Сегмент линии

Часть линии, ограниченная двумя различными конечными точками; линия с двумя конечными точками

Геометрическое определение замкнутого отрезка прямой: пересечение всех точек, расположенных в точке А или справа от нее, со всеми точками, расположенными в точке В или слева от нее.

историческое изображение – создайте отрезок линии (1699)

В геометрии отрезок прямой — это часть прямой линии , ограниченная двумя различными конечными точками и содержащая каждую точку на прямой, которая находится между ее конечными точками. Это особый случай дуги с нулевой кривизной . Длина отрезка прямой задается евклидовым расстоянием между его конечными точками. Замкнутый отрезок прямой включает обе конечные точки, в то время как открытый отрезок прямой исключает обе конечные точки; полуоткрытый отрезок прямой включает ровно одну из конечных точек. В геометрии отрезок прямой часто обозначается с помощью верхней черты ( винкулума ) над символами двух конечных точек, например, AB . ^[1]

Примерами отрезков являются стороны треугольника или квадрата. В более общем смысле, когда обе конечные точки отрезка являются вершинами многоугольника или многогранника , отрезок является либо ребром ( этого многоугольника или многогранника), если они являются смежными вершинами, либо диагональю . Когда обе конечные точки лежат на кривой (например, окружности ), отрезок называется хордой (этой кривой).

В действительных или комплексных векторных пространствах

Если V — векторное пространство над ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ и L — подмножество V , то L является отрезком прямой , если L можно параметризовать как

${\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}}$

для некоторых векторов , где v не равно нулю. Конечными точками L тогда являются векторы u и u + v . ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$

Иногда необходимо различать «открытые» и «закрытые» сегменты линии. В этом случае можно определить закрытый сегмент линии , как указано выше, а открытый сегмент линии — как подмножество L , которое можно параметризовать как

${\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}}$

для некоторых векторов ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V.}$

Эквивалентно, отрезок прямой — это выпуклая оболочка двух точек. Таким образом, отрезок прямой может быть выражен как выпуклая комбинация двух конечных точек отрезка.

В геометрии можно определить точку B как находящуюся между двумя другими точками A и C , если расстояние | AB |, добавленное к расстоянию | BC |, равно расстоянию | AC | . Таким образом, в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ отрезок прямой с конечными точками и представляет собой следующий набор точек: ${\displaystyle A=(a_{x},a_{y})}$ ${\displaystyle C=(c_{x},c_{y})}$

${\displaystyle {\Biggl \{}(x,y)\mid {\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}{\Biggr \}}.}$

Характеристики

• Отрезок прямой — это связное непустое множество .
• Если V — топологическое векторное пространство , то замкнутый отрезок прямой является замкнутым множеством в V. Однако открытый отрезок прямой является открытым множеством в V тогда и только тогда, когда V одномерно .
• В более общем плане, чем выше, понятие отрезка прямой можно определить в упорядоченной геометрии .
• Пара отрезков может быть любой из следующих: пересекающиеся , параллельные , перекрещивающиеся , или ни один из них. Последняя возможность — это способ, которым отрезки отличаются от прямых: если две непараллельные прямые находятся в одной и той же евклидовой плоскости, то они должны пересекать друг друга, но это не обязательно относится к отрезкам.

В доказательствах

В аксиоматической трактовке геометрии понятие промежуточности либо предполагается удовлетворяющим определенному числу аксиом, либо определяется в терминах изометрии линии (используемой в качестве системы координат).

Сегменты играют важную роль в других теориях. Например, в выпуклом множестве отрезок, соединяющий любые две точки множества, содержится в множестве. Это важно, поскольку это преобразует часть анализа выпуклых множеств в анализ отрезка прямой. Постулат сложения сегментов можно использовать для сложения конгруэнтного сегмента или сегментов с одинаковой длиной и, следовательно, подставлять другие сегменты в другое утверждение, чтобы сделать сегменты конгруэнтными.

Как вырожденный эллипс

Отрезок прямой можно рассматривать как вырожденный случай эллипса , в котором малая полуось стремится к нулю, фокусы стремятся к конечным точкам, а эксцентриситет стремится к единице. Стандартное определение эллипса — это множество точек, для которых сумма расстояний точки до двух фокусов является константой; если эта константа равна расстоянию между фокусами, то результатом является отрезок прямой. Полная орбита этого эллипса пересекает отрезок прямой дважды. Как вырожденная орбита, это радиальная эллиптическая траектория .

В других геометрических формах

Помимо того, что отрезки линий появляются в виде рёбер и диагоналей многоугольников и многогранников , они также появляются во многих других местах относительно других геометрических фигур .

Треугольники

Некоторые очень часто рассматриваемые сегменты в треугольнике включают три высоты (каждая перпендикулярно соединяющая сторону или ее продолжение с противоположной вершиной ), три медианы (каждая соединяющая середину стороны с противоположной вершиной), перпендикулярные серединные линии сторон (перпендикулярно соединяющие середину стороны с одной из других сторон) и внутренние биссектрисы углов (каждая соединяющая вершину с противоположной стороной). В каждом случае существуют различные равенства, связывающие эти длины сегментов с другими (обсуждаемые в статьях о различных типах сегментов), а также различные неравенства .

Другие представляющие интерес сегменты треугольника включают те, которые соединяют различные центры треугольника друг с другом, в частности , центр вписанной окружности , центр описанной окружности , центр девяти точек , центроид и ортоцентр .

Четырехугольники

Помимо сторон и диагоналей четырехугольника , важными сегментами являются две бимедианы (соединяющие середины противоположных сторон) и четыре малтиды (каждая перпендикулярно соединяет одну сторону с серединой противоположной стороны).

Круги и эллипсы

Любой отрезок прямой, соединяющий две точки на окружности или эллипсе, называется хордой . Любая хорда в окружности, которая больше не имеет хорды, называется диаметром , а любой отрезок, соединяющий центр окружности (середину диаметра) с точкой на окружности, называется радиусом .

В эллипсе самая длинная хорда, которая также является самым длинным диаметром , называется большой осью , а отрезок от середины большой оси (центра эллипса) до любой из конечных точек большой оси называется большой полуосью . Аналогично, самый короткий диаметр эллипса называется малой осью , а отрезок от его середины (центра эллипса) до любой из его конечных точек называется малой полуосью . Хорды ​​эллипса, которые перпендикулярны большой оси и проходят через один из его фокусов , называются боковыми прямыми эллипса. Межфокальный отрезок соединяет два фокуса.

Направленный отрезок прямой

Когда сегменту линии придается ориентация ( направление ), он называется направленным сегментом линии или ориентированным сегментом линии . Это предполагает перемещение или смещение (возможно, вызванное силой ). Величина и направление указывают на потенциальное изменение. Расширение направленного сегмента линии до полубесконечности дает направленную полупрямую , а до бесконечности в обоих направлениях дает направленную линию . Это предложение было принято в математической физике через концепцию евклидова вектора . ^{[2] [3]} Набор всех направленных сегментов линии обычно сокращается путем того, что любая пара, имеющая одинаковую длину и ориентацию, становится равнозначной . ^[4] Это применение отношения эквивалентности было введено Джусто Беллавитисом в 1835 году.

Обобщения

По аналогии с прямолинейными сегментами, описанными выше, можно также определить дуги как сегменты кривой .

В одномерном пространстве шар представляет собой отрезок прямой.

Ориентированный плоский отрезок или бивектор обобщает направленный отрезок прямой.

За пределами евклидовой геометрии геодезические отрезки играют роль отрезков прямых.

Типы отрезков линии

• Хорда (геометрия)
• Диаметр
• Радиус

Смотрите также

• Полигональная цепь
• Интервал (математика)
• Пересечение отрезков прямых , алгоритмическая задача поиска пересекающихся пар в наборе отрезков прямых

Примечания

1. "Определение отрезка прямой - Math Open Reference". www.mathopenref.com . Получено 01.09.2020 .
2. Гарри Ф. Дэвис и Артур Дэвид Снайдер (1988) Введение в векторный анализ , 5-е издание, стр. 1, Wm. C. Brown Publishers ISBN 0-697-06814-5 
3. Матиур Рахман и Исаак Мулолани (2001) Прикладной векторный анализ , страницы 9 и 10, CRC Press ISBN 0-8493-1088-1 
4. Эутикио К. Янг (1978) Векторный и тензорный анализ , страницы 2 и 3, Марсель Деккер ISBN 0-8247-6671-7 

Ссылки

• Дэвид Гильберт Основы геометрии . Издательство Open Court Publishing Company, 1950, стр. 4

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Отрезок прямой». Математический мир .
• Отрезок линии в PlanetMath
• Копирование отрезка прямой с помощью циркуля и линейки
• Деление отрезка на N равных частей с помощью циркуля и линейки Анимированная демонстрация

В данной статье использованы материалы из Line segment на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .