Бивектор

В математике бивектор или 2-вектор — это величина во внешней алгебре или геометрической алгебре , которая расширяет идею скаляров и векторов . Рассматривая скаляр как величину нулевой степени, а вектор — как величину первой степени, бивектор имеет степень два. Бивекторы имеют приложения во многих областях математики и физики. Они связаны с комплексными числами в двух измерениях и как с псевдовекторами , так и с векторными кватернионами в трех измерениях. Они могут использоваться для генерации вращений в пространстве с любым числом измерений и являются полезным инструментом для классификации таких вращений.

Геометрически простой бивектор можно интерпретировать как характеристику направленного сегмента плоскости (или ориентированного сегмента плоскости ), подобно тому, как векторы можно рассматривать как характеристику направленных отрезков прямой . ^[2] Бивектор $a \land b$ имеет отношение (или направление ) плоскости , натянутой на $a$ и $b$ , имеет площадь, которая является скалярным кратным любого сегмента опорной плоскости с тем же отношением (а в геометрической алгебре он имеет величину, равную площади параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ ), и имеет ориентацию, являющуюся стороной $a,$ на которой $b$ лежит внутри плоскости, натянутой на $a$ и $b$ . ^[2]^[3] С точки зрения неспециалиста, любая поверхность определяет тот же бивектор, если она параллельна той же плоскости (то же отношение), имеет ту же площадь и ту же ориентацию (см. рисунок).

Бивекторы генерируются внешним произведением векторов: если заданы два вектора $a$ и $b$ , их внешнее произведение $a \land b$ является бивектором, как и любая сумма бивекторов. Не все бивекторы можно выразить как внешнее произведение без такого суммирования. Точнее, бивектор, который можно выразить как внешнее произведение, называется простым ; в измерениях до трех все бивекторы являются простыми, но в более высоких измерениях это не так. ^[4] Внешнее произведение двух векторов является чередующимся , поэтому $a \land a$ является нулевым бивектором, а $b \land a$ является отрицательным значением бивектора $a \land b$ , что дает противоположную ориентацию. Понятия, непосредственно связанные с бивектором, — это антисимметричный тензор ранга 2 и кососимметричная матрица .

История

Бивектор был впервые определен в 1844 году немецким математиком Германом Грассманом во внешней алгебре как результат внешнего произведения двух векторов. Всего за год до этого в Ирландии Уильям Роуэн Гамильтон открыл кватернионы . Гамильтон ввел в обиход как вектор , так и бивектор , последний в своих «Лекциях по кватернионам» (1853), когда он ввел бикватернионы , которые имеют бивекторы для своих векторных частей. Только после того, как английский математик Уильям Кингдон Клиффорд в 1888 году добавил геометрическое произведение в алгебру Грассмана, включив идеи как Гамильтона, так и Грассмана, и основал алгебру Клиффорда , возник бивектор этой статьи. Генри Фордер использовал термин бивектор для разработки внешней алгебры в 1941 году. ^[5]

В 1890-х годах Джозайя Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд разработали векторное исчисление , которое включало отдельные перекрестные произведения и скалярные произведения , которые были получены из умножения кватернионов. ^[6]^[7]^[8] Успех векторного исчисления и книги «Векторный анализ» Гиббса и Уилсона имел эффект того, что идеи Гамильтона и Клиффорда долгое время игнорировались, поскольку большая часть математики и физики 20-го века была сформулирована в векторных терминах. Гиббс использовал векторы для выполнения роли бивекторов в трех измерениях и использовал бивектор в смысле Гамильтона, использование, которое иногда копировалось. ^[9]^[10]^[11] Сегодня бивектор в основном изучается как тема в геометрической алгебре , алгебре Клиффорда над действительными или комплексными векторными пространствами с квадратичной формой . Его возрождение было инициировано Дэвидом Хестенсом , который вместе с другими применил геометрическую алгебру к ряду новых приложений в физике . ^[12]

Вывод

В этой статье бивектор будет рассматриваться только в реальных геометрических алгебрах, которые могут применяться в большинстве областей физики. Также, если не указано иное, все примеры имеют евклидову метрику и, следовательно, положительно определенную квадратичную форму .

Геометрическая алгебра и геометрическое произведение

Бивектор возникает из определения геометрического произведения над векторным пространством с ассоциированной квадратичной формой, иногда называемой метрикой . Для векторов $a$ , $b$ и $c$ геометрическое произведение удовлетворяет следующим свойствам:

Ассоциативность: $(\mathbf {ab})\mathbf {c} =\mathbf {a} (\mathbf {bc})$
Левая и правая дистрибутивность: ${\begin{align}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {ab} +\mathbf {ac} \\(\mathbf {b} +\mathbf {c} )\mathbf {a} &=\mathbf {ba} +\mathbf {ca} \end{align}}$
Скалярный квадрат: ⁠ ⁠ $\mathbf {a} ^{2}=Q(\mathbf {a})$ , где $Q$ — квадратичная форма, которая не обязательно должна быть положительно определенной .

Скалярное произведение

Из ассоциативности, $a (ab) = a 2 b$ , есть скаляр, умноженный $на b$ . Когда $b$ не параллельно и, следовательно, не является скалярным множителем $a$ , $ab$ не может быть скаляром. Но

{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba} )={\tfrac {1}{2}}\left((\mathbf {a} +\mathbf { b} )^{2}-\mathbf {a} ^{2}-\mathbf {b} ^{2}\right)

является суммой скаляров и, следовательно, скаляром. Из закона косинусов в треугольнике, образованном векторами, его значение равно $| a | | b | cos θ$ , где $θ$ — угол между векторами. Поэтому оно идентично скалярному произведению двух векторов и записывается таким же образом,

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} = {\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba}).

Он симметричен, имеет скалярное значение и может использоваться для определения угла между двумя векторами: в частности, если $a$ и $b$ ортогональны, то произведение равно нулю.

Внешний вид продукта

Так же, как скалярное произведение можно сформулировать как симметричную часть геометрического произведения другой величины, внешнее произведение (иногда называемое «клиновым» или «прогрессивным» произведением) можно сформулировать как его антисимметричную часть :

\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} -\mathbf {ba} )

Он антисимметричен в $a$ и $b$

\mathbf {b} \wedge \mathbf {a} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ba} -\mathbf {ab} )=-{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} -\mathbf {ba} )=-\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}

и путем добавления:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} +\mathbf {ba} )+{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {ab} -\mathbf {ba} )=\mathbf {ab}

То есть геометрическое произведение представляет собой сумму симметричного скалярного произведения и знакопеременного внешнего произведения.

Чтобы исследовать природу $a \land b$ , рассмотрим формулу

(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}-(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )^{2}=\mathbf {a} ^{2}\mathbf {b} ^{2},

что с использованием тригонометрического тождества Пифагора дает значение $(a \land b) 2$

(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b})^{2} = (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b})^{2}-\mathbf {a} ^{2} \mathbf {b} ^{2}=\left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}(\cos ^{2}\theta -1)=-\left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right| ^{2}\sin ^{2}\theta

При отрицательном квадрате он не может быть скалярной или векторной величиной, поэтому это новый вид объекта, бивектор . Он имеет величину $| a | | b | | sin θ |$ , где $θ$ — угол между векторами, и поэтому равен нулю для параллельных векторов.

Чтобы отличить их от векторов, бивекторы здесь пишутся жирным шрифтом, например:

\mathbf {A} =\mathbf {a} \клин \mathbf {b} =-\mathbf {b} \клин \mathbf {a} \,,

хотя используются и другие соглашения, в частности, поскольку векторы и бивекторы являются элементами геометрической алгебры.

Характеристики

Алгебра, порожденная геометрическим произведением (то есть все объекты, образованные взятием повторяющихся сумм и геометрических произведений скаляров и векторов), является геометрической алгеброй над векторным пространством. Для евклидова векторного пространства эта алгебра записывается или $Cl$ $n$ $($ $R$ $)$ , где $n$ — размерность векторного пространства $R$ $n$ . $Cl$ $n$ $($ $R$ $)$ является как векторным пространством, так и алгеброй, порожденной всеми произведениями между векторами в $R$ $n$ , поэтому она содержит все векторы и бивекторы. Точнее, как векторное пространство она содержит векторы и бивекторы как линейные подпространства , хотя и не как подалгебры (поскольку геометрическое произведение двух векторов, как правило, не является другим вектором). ${\mathcal {G}}_{n}$

Пространство ⋀2Рн

Пространство всех бивекторов имеет размерность $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ n ( n − 1)$ и записывается $как ⋀ 2 R n$ ,^[13] и является второй внешней степенью исходного векторного пространства.

Четная подалгебра

Подалгебра, порожденная бивекторами, является четной подалгеброй геометрической алгебры, обозначаемой $Cl [0] н (R)$ . Эта алгебра получается из рассмотрения всех повторяющихся сумм и геометрических произведений скаляров и бивекторов. Она имеет размерность $2 n -1$ и содержит $⋀ 2 R n$ как линейное подпространство. В двух и трех измерениях четная подалгебра содержит только скаляры и бивекторы, и каждый из них представляет особый интерес. В двух измерениях четная подалгебра изоморфна комплексным числам , C $,$ тогда как в трех измерениях она изоморфна кватернионам , H $.$ Четная подалгебра содержит вращения в любом измерении.

Величина

Как было отмечено в предыдущем разделе, величина простого бивектора, то есть внешнего произведения двух векторов $a$ и $b$ , равна $| a | | b | sin θ$ , где $θ$ — угол между векторами. Она записывается $как | B |$ , где $B$ — бивектор.

Для общих бивекторов величину можно вычислить, взяв норму бивектора, рассматриваемого как вектор в пространстве $⋀ 2 R n$ . Если величина равна нулю, то все компоненты бивектора равны нулю, а бивектор является нулевым бивектором, который как элемент геометрической алгебры равен скалярному нулю.

Единичные бивекторы

Единичный бивектор — это бивектор с единичной величиной. Такой бивектор может быть получен из любого ненулевого бивектора путем деления бивектора на его величину, то есть

{\frac {\mathbf {B} }{\left\vert \mathbf {B} \right\vert }}.

Особую полезность представляют единичные бивекторы, образованные из произведений стандартного базиса векторного пространства. Если $e i$ и $e j$ являются различными базисными векторами, то произведение $e i \land e j$ является бивектором. Поскольку $e i$ и $e j$ ортогональны, $e i \land e j = e i e j$ , что записывается как $e ij$ , и имеет единичную величину, поскольку векторы являются единичными векторами . Множество всех бивекторов, полученных из базиса таким образом, образует базис для $⋀ 2 R n$ . Например, в четырех измерениях базис для $⋀ 2 R 4$ равен ( $e 1 e 2$ , $e 1 e 3$ , $e$ $1 e 4 , e 2$ $e$ $3$ , $e$ $2$ $e$ $4$ , $e 3 e 4$ ) $или (e 12$ , $e 13$ , $e 14$ , $e 23$ , $e 24$ , $e 34$ ) $. [$ 14 ^]

Простые бивекторы

Внешнее произведение двух векторов — это бивектор, но не все бивекторы являются внешними произведениями двух векторов. Например, в четырех измерениях бивектор

\mathbf {B} =\mathbf {e} _{1}\клин \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\клин \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}

не может быть записан как внешнее произведение двух векторов. Бивектор, который может быть записан как внешнее произведение двух векторов, является простым. В двух и трех измерениях все бивекторы являются простыми, но не в четырех или более измерениях; в четырех измерениях каждый бивектор является суммой не более двух внешних произведений. Бивектор имеет действительный квадрат тогда и только тогда, когда он является простым, и только простые бивекторы могут быть представлены геометрически направленной плоской областью. ^[4]

Произведение двух бивекторов

Геометрическое произведение двух бивекторов, $A$ и $B$ , равно

\mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {B} .

Величина $A \cdot B$ является скалярным скалярным произведением, в то время как $A \land B$ является внешним произведением степени 4, которое возникает в четырех или более измерениях. Величина $A \times B$ является бивекторно-значным коммутаторным произведением, заданным как

\mathbf {A} \times \mathbf {B} = {\tfrac {1}{2}}(\mathbf {AB} -\mathbf {BA}),

^[15]

Пространство бивекторов $⋀ 2 R n$ является алгеброй Ли над $R$ , с коммутаторным произведением в качестве скобки Ли. Полное геометрическое произведение бивекторов порождает четную подалгебру.

Особый интерес представляет произведение бивектора на себя. Поскольку произведение коммутатора антисимметрично, произведение упрощается до

\mathbf {A} \mathbf {A} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .

Если бивектор простой, последний член равен нулю, а произведение — скалярное значение $A \cdot A$ , которое можно использовать для проверки простоты. В частности, внешнее произведение бивекторов существует только в четырех или более измерениях, поэтому все бивекторы в двух и трех измерениях являются простыми. ^[4]

Общие бивекторы и матрицы

Бивекторы изоморфны кососимметричным матрицам в любом числе измерений. Например, общий бивектор $B 23 e 23 + B 31 e 31 + B 12 e 12$ в трех измерениях отображается в матрицу

M_{B}={\begin{pmatrix}0&B_{12}&-B_{31}\\-B_{12}&0&B_{23}\\B_{31}&-B_{23}&0\end{pmatrix}}.

Умножение на векторы с обеих сторон дает тот же вектор, что и произведение вектора и бивектора за вычетом внешнего произведения; примером является тензор угловой скорости .

Кососимметричные матрицы генерируют ортогональные матрицы с определителем $1$ посредством экспоненциальной карты. В частности, применение экспоненциальной карты к бивектору, связанному с вращением, дает матрицу вращения . Матрица вращения $M R,$ заданная кососимметричной матрицей выше, имеет вид

M_{R}=\exp {M_{B}}.

Вращение, описываемое $M R,$ такое же, как и вращение, описываемое ротором $R,$ заданным формулой

R=\exp {{\tfrac {1}{2}}B},

и матрица $M R$ также может быть вычислена непосредственно из ротора $R.$ В трех измерениях это определяется как

M_{R}={\begin{pmatrix}(R\mathbf {e} _{1}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{1}&(R\mathbf {e} _{2}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{1}&(R\mathbf {e} _{3}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{1}\\(R\mathbf {e} _{1}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{2}&(R\mathbf {e} _{2}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{2}&(R\mathbf {e} _{3}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{2}\\(R\mathbf {e} _{1}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{3}&(R\mathbf {e} _{2}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{3}&(R\mathbf {e} _{3}R^{-1})\cdot \mathbf {e} _{3}\end{pmatrix}}.

Бивекторы связаны с собственными значениями матрицы вращения. Если задана матрица вращения $M,$ собственные значения можно вычислить, решив характеристическое уравнение для этой матрицы $0 = det(M - λI)$ . Согласно основной теореме алгебры, это имеет три корня (только один из которых является действительным, поскольку имеется только один собственный вектор, т. е. ось вращения). Остальные корни должны быть комплексно сопряженной парой. Они имеют единичную величину, поэтому являются чисто мнимыми логарифмами, равными величине бивектора, связанного с вращением, который также является углом поворота. Собственные векторы, связанные с комплексными собственными значениями, находятся в плоскости бивектора, поэтому внешнее произведение двух непараллельных собственных векторов дает бивектор (или кратное ему).

Два измерения

При работе с координатами в геометрической алгебре базисные векторы обычно записывают как ( $e 1, e 2, ...)$ , это соглашение будет использоваться и здесь.

Вектор в действительном двумерном пространстве $R$ $2$ можно записать $как a$ $=$ $a$ $1$ $e$ $1$ $+$ $a$ $2$ $e$ $2$ , где $a$ $1$ и $a$ $2$ — действительные числа, $e$ $1$ и $e$ $2$ — ортонормированные базисные векторы. Геометрическое произведение двух таких векторов равно

{\begin{aligned}\mathbf {a} \mathbf {b} &=(a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2})(b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2})\\&=a_{1}b_{1}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{1}+a_{1}b_{2}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+a_{2}b_{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1}+a_{2}b_{2}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{2}\\&=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}

Его можно разбить на симметричное скалярное произведение и антисимметричное бивекторное внешнее произведение:

{\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2},\\\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} &=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}.\end{aligned}}

Все бивекторы в двух измерениях имеют эту форму, то есть кратны бивектору $e 1 e 2$ , записанному как $e 12 ,$ чтобы подчеркнуть, что это бивектор, а не вектор. Величина $e 12$ равна $1$ , причем

\mathbf {e} _{12}^{2}=-1,

поэтому он называется единичным бивектором . Термин единичный бивектор может использоваться в других измерениях, но он однозначно определен (с точностью до знака) только в двух измерениях, и все бивекторы кратны $e 12$ . Как элемент высшего порядка алгебры $e 12$ также является псевдоскаляром , которому присваивается символ $i$ .

Комплексные числа

С учетом свойств отрицательного квадрата и единичной величины единичный бивектор можно отождествить с мнимой единицей из комплексных чисел . Бивекторы и скаляры вместе образуют четную подалгебру геометрической алгебры, которая изоморфна комплексным числам $C.$ Четная подалгебра имеет базис $(1, e 12)$ , вся алгебра имеет базис $(1, e 1, e 2, e 12)$ .

Комплексные числа обычно отождествляются с осями координат и двумерными векторами, что означало бы ассоциирование их с векторными элементами геометрической алгебры. В этом нет противоречия, так как для получения из общего вектора комплексного числа ось должна быть идентифицирована как вещественная ось, скажем, $e 1.$ Это умножается на все векторы, чтобы получить элементы четной подалгебры.

Все свойства комплексных чисел можно вывести из бивекторов, но два из них представляют особый интерес. Во-первых, как и в случае с комплексными числами, произведения бивекторов и, следовательно, четная подалгебра являются коммутативными . Это верно только в двух измерениях, поэтому свойства бивектора в двух измерениях, зависящие от коммутативности, обычно не обобщаются на более высокие измерения.

Во-вторых, общий бивектор можно записать

\theta \mathbf {e} _{12}=i\theta ,

где $θ$ — действительное число. Разложение этого в ряд Тейлора для экспоненциального отображения и использование свойства $e 122 = -1$ приводит к бивекторной версии формулы Эйлера ,

\exp {\theta \mathbf {e} _{12}}=\exp {i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta },

который при умножении на любой вектор поворачивает его на угол $θ$ вокруг начала координат:

(x'\mathbf {e} _{1}+y'\mathbf {e} _{2})=(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2})\exp {i\theta }.

Произведение вектора с бивектором в двух измерениях антикоммутативно , поэтому все следующие произведения генерируют одно и то же вращение:

\mathbf {v} '=\mathbf {v} \exp {i\theta }=\exp(-i\theta )\,\mathbf {v} =\exp({-i\theta }/{2})\,\mathbf {v} \exp({i\theta }/{2}).

Из них последний продукт является тем, который обобщается в более высокие измерения. Требуемая величина называется ротором и обозначается символом $R$ , так что в двух измерениях ротор, который вращается на угол $θ,$ можно записать

R=\exp({-{\tfrac {1}{2}}i\theta })=\exp({-{\tfrac {1}{2}}\theta \mathbf {e} _{12}}),

и вращение, которое он генерирует, равно ^[16]

\mathbf {v} '=R\mathbf {v} R^{-1}.

Три измерения

В трех измерениях геометрическое произведение двух векторов равно

{\begin{aligned}\mathbf {ab} &=(a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3})(b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+b_{3}\mathbf {e} _{3})\\&=a_{1}b_{1}{\mathbf {e} _{1}}^{2}+a_{2}b_{2}{\mathbf {e} _{2}}^{2}+a_{3}b_{3}{\mathbf {e} _{3}}^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\\\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} &=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{23}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {e} _{31}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}.\end{aligned}}

В трех измерениях все бивекторы являются простыми и, таким образом, являются результатом внешнего произведения. Единичные бивекторы $e 23$ , $e 31$ и $e 12$ образуют базис для пространства бивекторов $⋀ 2 R 3$ , которое само по себе является трехмерным линейным пространством. Так что если общий бивектор:

\mathbf {A} =A_{23}\mathbf {e} _{23}+A_{31}\mathbf {e} _{31}+A_{12}\mathbf {e} _{12},

их можно добавлять как векторы

\mathbf {A} +\mathbf {B} =(A_{23}+B_{23})\mathbf {e} _{23}+(A_{31}+B_{31})\mathbf {e} _{31}+(A_{12}+B_{12})\mathbf {e} _{12}.

в то время как при умножении они производят следующее

\mathbf {A} \mathbf {B} =-A_{23}B_{23}-A_{31}B_{31}-A_{12}B_{12}+(A_{12}B_{31}-A_{31}B_{12})\mathbf {e} _{23}+(A_{23}B_{12}-A_{12}B_{23})\mathbf {e} _{31}+(A_{31}B_{23}-A_{23}B_{31})\mathbf {e} _{12}

который можно разделить на симметричную скалярную и антисимметричную бивекторную части следующим образом

{\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} &=-A_{12}B_{12}-A_{31}B_{31}-A_{23}B_{23}\\\mathbf {A} \times \mathbf {B} &=(A_{23}B_{31}-A_{31}B_{23})\mathbf {e} _{12}+(A_{12}B_{23}-A_{23}B_{12})\mathbf {e} _{13}+(A_{31}B_{12}-A_{12}B_{31})\mathbf {e} _{23}.\end{aligned}}

Внешнее произведение двух бивекторов в трех измерениях равно нулю.

Бивектор $B$ можно записать как произведение его величины и единичного бивектора, поэтому, записывая $β$ вместо $| B |$ и используя ряд Тейлора для экспоненциального отображения, можно показать, что

\exp {\mathbf {B} }=\exp({\beta {\frac {\mathbf {B} }{\beta }}})=\cos {\beta }+{\frac {\mathbf {B} }{\beta }}\sin {\beta }.

Это еще одна версия формулы Эйлера, но с общим бивектором в трех измерениях. В отличие от двух измерений бивекторы не коммутативны, поэтому свойства, зависящие от коммутативности, не применяются в трех измерениях. Например, в общем случае $exp(A + B) \neq exp(A) exp(B)$ в трех (или более) измерениях.

Полная геометрическая алгебра в трех измерениях, $Cl 3 (R)$ , имеет базис ( $1$ , $e 1$ , $e 2$ , $e 3$ , $e 23$ , $e 31$ , $e 12$ , $e 123$ ). Элемент $e 123$ является тривектором и псевдоскаляром для геометрии. Бивекторы в трех измерениях иногда отождествляются с псевдовекторами ^[17], с которыми они связаны, как обсуждается ниже.

Кватернионы

Бивекторы не замкнуты относительно геометрического произведения, но четная подалгебра замкнута. В трех измерениях она состоит из всех скалярных и бивекторных элементов геометрической алгебры, поэтому общий элемент можно записать, например, как $a + A$ , где $a$ — скалярная часть, а $A$ — бивекторная часть. Это записывается $как Cl [0] 3$ и имеет базис $(1, e 23, e 31, e 12)$ . Произведение двух общих элементов четной подалгебры равно

(a+\mathbf {A} )(b+\mathbf {B} )=ab+a\mathbf {B} +b\mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \mathbf {B} .

Четная подалгебра, то есть алгебра, состоящая из скаляров и бивекторов, изоморфна кватернионам , H. $Это$ можно увидеть, сравнив базис с базисом кватернионов или из приведенного выше произведения, которое идентично произведению кватернионов , за исключением смены знака, которая относится к отрицательным произведениям в скалярном произведении бивекторов $A$ $\cdot$ $B.$ Другие свойства кватернионов могут быть аналогичным образом связаны с геометрической алгеброй или выведены из нее.

Это предполагает, что обычное разделение кватерниона на скалярную и векторную части было бы лучше представить как разделение на скалярную и бивекторную части; если это сделать, то произведение кватернионов будет просто геометрическим произведением. Это также связывает кватернионы в трех измерениях с комплексными числами в двух, поскольку каждый из них изоморфен четной подалгебре для измерения, отношение, которое обобщается на более высокие измерения.

Вектор вращения

Вектор вращения, от представления вращения как ось-угол , является компактным способом представления вращения в трех измерениях. В своей наиболее компактной форме он состоит из вектора, произведения единичного вектора $ω,$ который является осью вращения, на (знаковый) угол вращения $θ$ , так что величина общего вектора вращения $θω$ равна (беззнаковому) углу вращения.

Кватернион, связанный с вращением, равен

q=\left(\cos {{\tfrac {1}{2}}\theta },\omega \sin {{\tfrac {1}{2}}\theta }\right)

В геометрической алгебре вращение представлено бивектором. Это можно увидеть в его отношении к кватернионам. Пусть $Ω$ — единичный бивектор в плоскости вращения, а $θ$ — угол поворота . Тогда бивектор вращения равен $Ω θ$ . Кватернион близко соответствует экспоненте половины бивектора $Ω θ$ . То есть компоненты кватерниона соответствуют скалярной и бивекторной частям следующего выражения: $\exp {{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\Omega }}\theta }=\cos {{\tfrac {1}{2}}\theta }+{\boldsymbol {\Omega }}\sin {{\tfrac {1}{2}}\theta }$

Экспоненту можно определить через ее степенной ряд и легко оценить, используя тот факт, что $Ω$ в квадрате равен $-1$ .

Итак, вращения могут быть представлены бивекторами. Так же, как кватернионы являются элементами геометрической алгебры, они связаны экспоненциальным отображением в этой алгебре.

Роторы

Бивектор $Ω θ$ генерирует вращение через экспоненциальное отображение. Сгенерированные четные элементы вращают общий вектор в трех измерениях таким же образом, как кватернионы: $\mathbf {v} '=\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\Omega }}\theta )\,\mathbf {v} \exp({\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\Omega }}\theta ).$

Как и в двух измерениях, величина $exp(- ⁠ 1 / 2 ⁠ Ω θ)$ называется ротором и обозначается $R.$ Величина $exp(⁠ 1 / 2 ⁠ Ω θ)$ тогда равно $R -1$ , и они генерируют вращения как $\mathbf {v} '=R\mathbf {v} R^{-1}.$

Это идентично двум измерениям, за исключением того, что здесь роторы являются четырехмерными объектами, изоморфными кватернионам. Это можно обобщить на все измерения, с роторами, элементами четной подалгебры с единичной величиной, генерируемыми экспоненциальным отображением из бивекторов. Они образуют двойное покрытие над группой вращения, поэтому роторы $R$ и $- R$ представляют одно и то же вращение.

Аксиальные векторы

Вектор вращения является примером аксиального вектора . Аксиальные векторы, или псевдовекторы, являются векторами с особой особенностью, заключающейся в том, что их координаты претерпевают изменение знака относительно обычных векторов (также называемых «полярными векторами») при инверсии через начало координат, отражении в плоскости или другом линейном преобразовании, меняющем ориентацию. ^[18] Примерами являются такие величины, как крутящий момент , угловой момент и векторные магнитные поля . Величины, которые использовали бы аксиальные векторы в векторной алгебре, должным образом представлены бивекторами в геометрической алгебре. ^[19] Точнее, если выбрана базовая ориентация, аксиальные векторы естественным образом отождествляются с обычными векторами; тогда двойственный вектор Ходжа дает изоморфизм между аксиальными векторами и бивекторами, поэтому каждый аксиальный вектор связан с бивектором и наоборот; то есть

\mathbf {A} ={\star }\mathbf {a} \,,\quad \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A}

где ⁠ ⁠ ${\star }$ — звезда Ходжа. Обратите внимание, что если базовая ориентация меняется на противоположную путем инверсии через начало координат, то и идентификация аксиальных векторов с обычными векторами, и дуальный вектор Ходжа меняют знак, но бивекторы не сдвигаются с места. В качестве альтернативы, используя единичный псевдоскаляр в $Cl 3 (R)$ , $i = e 1 e 2 e 3$ дает

\mathbf {A} =\mathbf {a} i\,,\quad \mathbf {a} =-\mathbf {A} i.

Это проще использовать, поскольку продукт — это просто геометрическое произведение. Но это антисимметрично, потому что (как в двух измерениях) единичный псевдоскаляр $i$ возводится в квадрат до $-1$ , поэтому в одном из произведений требуется отрицательное значение.

Эта связь распространяется на такие операции, как векторное векторное произведение и бивекторное внешнее произведение, поскольку при записи в виде определителей они вычисляются одинаково:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\,,\quad \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{23}&\mathbf {e} _{31}&\mathbf {e} _{12}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\,,

поэтому связаны дуальным соотношением Ходжа:

{\star }(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )=\mathbf {a\times b} \,,\quad {\star }(\mathbf {a\times b} )=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \,.

Бивекторы имеют ряд преимуществ перед аксиальными векторами. Они лучше устраняют неоднозначность аксиальных и полярных векторов, то есть величин, представленных ими, поэтому становится яснее, какие операции разрешены и каковы их результаты. Например, внутреннее произведение полярного вектора и аксиального вектора, полученное из перекрестного произведения в тройном произведении, должно привести к псевдоскаляру , результату, который более очевиден, если вычисление оформлено как внешнее произведение вектора и бивектора. Они обобщаются на другие измерения; в частности, бивекторы могут использоваться для описания величин, таких как крутящий момент и угловой момент, как в двух, так и в трех измерениях. Кроме того, они тесно соответствуют геометрической интуиции несколькими способами, как показано в следующем разделе. ^[20]

Геометрическая интерпретация

Как следует из их названия и названия алгебры, одно из преимуществ бивекторов заключается в том, что они имеют естественную геометрическую интерпретацию. Это можно описать в любом измерении, но лучше всего сделать в трех измерениях, где можно провести параллели с более знакомыми объектами, прежде чем применять к более высоким измерениям. В двух измерениях геометрическая интерпретация тривиальна, поскольку пространство двумерно, поэтому имеет только одну плоскость, и все бивекторы связаны с ней, отличаясь только масштабным коэффициентом.

Все бивекторы можно интерпретировать как плоскости , или, точнее, как направленные сегменты плоскости. В трех измерениях есть три свойства бивектора, которые можно интерпретировать геометрически:

Расположение плоскости в пространстве, точнее, отношение плоскости (или, поочередно, вращение , геометрическая ориентация или градиент плоскости), связано с отношением компонентов бивектора. В частности, три базисных бивектора, $e 23$ , $e 31$ и $e 12$ , или их скалярные кратные, связаны с плоскостью $yz$ , плоскостью $zx$ и плоскостью $xy$ соответственно.
Величина бивектора связана с площадью сегмента плоскости. Площадь не имеет определенной формы, поэтому может быть использована любая форма. Она даже может быть представлена другими способами, например, угловой мерой. Но если векторы интерпретируются как длины, бивектор обычно интерпретируется как площадь с теми же единицами, как показано ниже.
Подобно направлению вектора , плоскость, связанная с бивектором, имеет направление, циркуляцию или чувство вращения в плоскости, которое принимает два значения, рассматриваемых как по часовой стрелке и против часовой стрелки , если смотреть с точки зрения, не лежащей в плоскости. Это связано с изменением знака в бивекторе, то есть если направление меняется на противоположное, бивектор становится отрицательным. С другой стороны, если два бивектора имеют одинаковое отношение и величину, но противоположные направления, то один из них является отрицательным по отношению к другому.
Если представить его в виде параллелограмма с началом векторов в точке 0, то знаковая площадь является определителем декартовых координат векторов ( $a x b y - b x a y$ ). ^[21]

В трех измерениях все бивекторы могут быть получены внешним произведением двух векторов. Если бивектор $B = a \land b$ , то величина $B$ равна

|\mathbf {B} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta ,

где $θ$ — угол между векторами. Это площадь параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ , как показано на диаграмме. Одна из интерпретаций заключается в том, что площадь выметается $b$ при движении вдоль $a$ . Внешнее произведение антисимметрично, поэтому изменение порядка $a$ и $b$ для $движения$ вдоль $b$ приводит к бивектору с противоположным направлением, которое является отрицательным по отношению к первому. Плоскость бивектора $a \land b$ содержит как $a,$ так и $b,$ поэтому они оба параллельны плоскости.

Бивекторы и аксиальные векторы связаны дуальным вектором Ходжа . В реальном векторном пространстве дуальный вектор Ходжа связывает подпространство с его ортогональным дополнением , поэтому если бивектор представлен плоскостью, то аксиальный вектор, связанный с ним, — это просто нормаль к поверхности плоскости . Плоскость имеет две нормали, по одной с каждой стороны, что дает две возможные ориентации для плоскости и бивектора.

Это связывает векторное произведение с внешним произведением . Его также можно использовать для представления физических величин, таких как крутящий момент и угловой момент . В векторной алгебре они обычно представлены векторами, перпендикулярными плоскости силы , линейного импульса или смещения, из которых они вычисляются. Но если вместо этого использовать бивектор, то плоскость является плоскостью бивектора, поэтому это более естественный способ представления величин и того, как они действуют. Он также в отличие от векторного представления обобщается на другие измерения.

Произведение двух бивекторов имеет геометрическую интерпретацию. Для ненулевых бивекторов $A$ и $B$ произведение можно разбить на симметричную и антисимметричную части следующим образом:

\mathbf {AB} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \mathbf {B} .

Подобно векторам, они имеют величины $| A \cdot B | = | A | | B | cos θ$ и $| A \times B | = | A | | B | sin θ$ , где $θ$ — угол между плоскостями. В трех измерениях он совпадает с углом между нормальными векторами, дуальными плоскостям, и в некоторой степени обобщается в более высоких измерениях.

Бивекторы можно складывать вместе как площади. Если даны два ненулевых бивектора $B$ и $C$ в трех измерениях, то всегда можно найти вектор, который содержится в обоих, скажем, $a$ , поэтому бивекторы можно записать как внешние произведения, включающие $a$ :

{\begin{aligned}\mathbf {B} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \\\mathbf {C} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {c} \end{aligned}}

Это можно интерпретировать геометрически, как показано на диаграмме: две площади суммируются, чтобы получить третью, причем три площади образуют грани призмы с a $,$ b $,$ c $и$ b $+ c в$ качестве ребер. Это соответствует двум способам вычисления площади с использованием дистрибутивности внешнего произведения:

{\begin{aligned}\mathbf {B} +\mathbf {C} &=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {c} \\&=\mathbf {a} \wedge (\mathbf {b} +\mathbf {c} ).\end{aligned}}

Это работает только в трех измерениях, поскольку это единственное измерение, где должен существовать вектор, параллельный обоим бивекторам. В более высоких измерениях бивекторы обычно не связаны с одной плоскостью, или, если они связаны (простые бивекторы), два бивектора могут не иметь общего вектора и, таким образом, в сумме давать не простой бивектор.

Четыре измерения

В четырех измерениях базисными элементами для пространства $⋀ 2 R 4$ бивекторов являются ( $e 12$ , $e 13$ , $e 14$ , $e 23$ , $e 24$ , $e 34$ ), поэтому общий бивектор имеет вид

\mathbf {A} =a_{12}\mathbf {e} _{12}+a_{13}\mathbf {e} _{13}+a_{14}\mathbf {e} _{14}+a_{23}\mathbf {e} _{23}+a_{24}\mathbf {e} _{24}+a_{34}\mathbf {e} _{34}.

Ортогональность

В четырех измерениях бивектор, двойственный по Ходжу, является бивектором, а пространство $⋀ 2 R 4$ двойственно самому себе. Нормальные векторы не являются уникальными, вместо этого каждая плоскость ортогональна всем векторам в своем двойственном по Ходжу пространстве. Это можно использовать для разбиения бивекторов на две «половины» следующим образом. У нас есть три пары ортогональных бивекторов: $(e 12, e 34)$ , $(e 13, e 24)$ и $(e 14, e 23)$ . Существует четыре различных способа выбрать один бивектор из каждой из первых двух пар, и как только эти первые два выбраны, их сумма дает третий бивектор из другой пары. Например, $(e 12, e 13, e 14)$ и $(e 23, e 24, e 34)$ .

Простые бивекторы в 4D

В четырех измерениях бивекторы генерируются внешним произведением векторов в $R 4$ , но с одним важным отличием от $R 3$ и $R 2$ . В четырех измерениях не все бивекторы являются простыми. Существуют бивекторы, такие как $e 12 + e 34$ , которые не могут быть получены внешним произведением двух векторов. Это также означает, что они не имеют действительного, то есть скалярного, квадрата. В этом случае

(\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34})^{2}=\mathbf {e} _{12}\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{12}\mathbf {e} _{34}+\mathbf {e} _{34}\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}\mathbf {e} _{34}=-2+2\mathbf {e} _{1234}.

Элемент $e 1234$ является псевдоскаляром в $Cl 4$ , отличным от скаляра, поэтому квадрат не является скаляром.

Все бивекторы в четырех измерениях могут быть получены с использованием максимум двух внешних произведений и четырех векторов. Вышеуказанный бивектор может быть записан как

\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}=\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.

Аналогично, каждый бивектор может быть записан как сумма двух простых бивекторов. Для этого полезно выбрать два ортогональных бивектора, и это всегда возможно сделать. Более того, для общего бивектора выбор простых бивекторов является единственным, то есть существует только один способ разложения на ортогональные бивекторы; единственным исключением является случай, когда два ортогональных бивектора имеют равные величины (как в приведенном выше примере): в этом случае разложение не является единственным. ^[4] Разложение всегда является единственным в случае простых бивекторов, с дополнительным бонусом, что одна из ортогональных частей равна нулю.

Вращения в R4

Как и в трех измерениях, бивекторы в четырех измерениях генерируют вращения через экспоненциальное отображение, и все вращения могут быть сгенерированы таким образом. Как и в трех измерениях, если $B$ является бивектором, то ротор $R$ является $exp ⁠ 1 / 2 ⁠ B$ и вращения генерируются таким же образом:

v'=RvR^{-1}.

Трёхмерная проекция тессеракта , совершающего изоклиническое вращение .

Однако генерируемые вращения более сложны. Их можно классифицировать следующим образом:

Простые вращения — это те, которые фиксируют плоскость в 4D и вращаются на угол «вокруг» этой плоскости.

Двойные вращения имеют только одну фиксированную точку, начало координат, и вращаются на два угла вокруг двух ортогональных плоскостей. В общем случае углы различны, а плоскости однозначно заданы

Изоклинные вращения — это двойные вращения, в которых углы вращения равны. В этом случае плоскости, вокруг которых происходит вращение, не являются единственными.

Они генерируются бивекторами простым способом. Простые вращения генерируются простыми бивекторами, с фиксированной плоскостью, двойственной или ортогональной плоскости бивектора. Можно сказать, что вращение происходит вокруг этой плоскости, в плоскости бивектора. Все другие бивекторы генерируют двойные вращения, с двумя углами вращения, равными величинам двух простых бивекторов, из которых состоит непростой бивектор. Изоклинные вращения возникают, когда эти величины равны, и в этом случае разложение на два простых бивектора не является единственным. ^[22]

Бивекторы в общем случае не коммутируют, но одним исключением являются ортогональные бивекторы и их показатели. Так что если бивектор $B = B 1 + B 2$ , где $B 1$ и $B 2$ — ортогональные простые бивекторы, используется для генерации поворота, он разлагается на два простых поворота, которые коммутируют следующим образом:

R=\exp({\tfrac {1}{2}}(\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2}))=\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{1})\,\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{2})=\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{2})\,\exp({\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} _{1})

Это всегда возможно сделать, поскольку все бивекторы можно выразить как суммы ортогональных бивекторов.

Вращения пространства-времени

Пространство-время — это математическая модель нашей Вселенной, используемая в специальной теории относительности. Оно состоит из трех пространственных измерений и одного временного измерения, объединенных в одно четырехмерное пространство. Оно естественным образом описывается с помощью геометрической алгебры и бивекторов, причем евклидова метрика заменяется метрикой Минковского . Эта алгебра идентична евклидовой алгебре, за исключением измененной сигнатуры , поэтому

\mathbf {e} _{i}^{2}={\begin{cases}1,&i=1,2,3\\-1,&i=4\end{cases}}

(Обратите внимание, что порядок и индексы выше не являются универсальными — здесь $e 4$ — это временноподобное измерение). Геометрическая алгебра — это $Cl 3,1 (R)$ , а подпространство бивекторов — это $⋀ 2 R 3,1$ .

Простые бивекторы бывают двух типов. Простые бивекторы $e 23$ , $e 31$ и $e 12$ имеют отрицательные квадраты и охватывают бивекторы трехмерного подпространства, соответствующего евклидову пространству, $R 3$ . Эти бивекторы порождают обычные вращения в $R 3$ .

Простые бивекторы $e 14$ , $e 24$ и $e 34$ имеют положительные квадраты и как плоскости охватывают пространственное измерение и временное измерение. Они также генерируют вращения через экспоненциальное отображение, но вместо тригонометрических функций нужны гиперболические функции, которые генерируют ротор следующим образом:

\exp {{\tfrac {1}{2}}{{\boldsymbol {\Omega }}\theta }}=\cosh {{\tfrac {1}{2}}\theta }+{\boldsymbol {\Omega }}\sinh {{\tfrac {1}{2}}\theta },

где $Ω$ — бивектор ( $e 14$ и т. д.), определяемый через метрику с антисимметричным линейным преобразованием $R 3,1$ . Это лоренцевы усиления , выраженные особенно компактным образом, с использованием того же вида алгебры, что и в $R 3$ и $R 4$ .

В общем случае все вращения пространства-времени генерируются из бивекторов посредством экспоненциального отображения, то есть общий ротор, генерируемый бивектором $A,$ имеет вид

R=\exp {{\tfrac {1}{2}}\mathbf {A} }.

Набор всех вращений в пространстве-времени образует группу Лоренца , и из них можно вывести большинство следствий специальной теории относительности. В более общем плане это показывает, как преобразования в евклидовом пространстве и пространстве-времени могут быть описаны с использованием одного и того же вида алгебры.

Уравнения Максвелла

(Примечание: в этом разделе традиционные 3-векторы обозначены линиями над символами, а векторы пространства-времени и бивекторы — жирными символами, причем векторы $J$ и $A$ исключительно заглавными буквами)

Уравнения Максвелла используются в физике для описания взаимосвязи между электрическими и магнитными полями. Обычно заданные как четыре дифференциальных уравнения, они имеют особенно компактную форму, когда поля выражаются как пространственно-временной бивектор из $⋀ 2 R 3,1$ . Если электрические и магнитные поля в $R 3$ — это $E$ и $B$ , то электромагнитный бивектор — это

\mathbf {F} ={\frac {1}{c}}{\overline {E}}\mathbf {e} _{4}+{\overline {B}}\mathbf {e} _{123},

где $e 4$ снова является базисным вектором для времениподобного измерения, а $c$ — скорость света . Произведение $B e 123$ дает бивектор, который является дуальным по Ходжу к $B$ в трех измерениях, как обсуждалось выше, в то время как $E e 4$ как произведение ортогональных векторов также имеет бивекторное значение. В целом это электромагнитный тензор, выраженный более компактно как бивектор, и используется следующим образом. Во-первых, он связан с 4-током $J$ , векторной величиной, заданной как

\mathbf {J} ={\overline {j}}+c\rho \mathbf {e} _{4},

где $j$ — плотность тока , а $ρ$ — плотность заряда . Они связаны дифференциальным оператором ∂, который есть

\partial =\nabla -\mathbf {e} _{4}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}.

Оператор ∇ является дифференциальным оператором в геометрической алгебре, действующим на измерения пространства и задаваемым как $\nabla M = \nabla\cdot M + \nabla\land M$ . При применении к векторам $\nabla\cdot M$ является дивергенцией , а $\nabla\land M$ является ротором , но с бивектором, а не вектором, который является дуальным в трех измерениях ротору. Для общей величины $M$ они действуют как дифференциальные операторы понижения и повышения градации. В частности, если $M$ является скаляром, то этот оператор является просто градиентом , и его можно рассматривать как геометрический алгебраический оператор del .

Вместе они могут быть использованы для придания особенно компактной формы уравнениям Максвелла с источниками:

\partial \mathbf {F} =\mathbf {J} .

Это уравнение, разложенное согласно геометрической алгебре, с использованием геометрических произведений, которые имеют как эффекты повышения, так и понижения оценок, эквивалентно четырем уравнениям Максвелла. Оно также связано с электромагнитным 4-потенциалом , вектором $A,$ заданным как

\mathbf {A} ={\overline {A}}+{\frac {1}{c}}V\mathbf {e} _{4},

где $A$ — векторный магнитный потенциал, а $V$ — электрический потенциал. Он связан с электромагнитным бивектором следующим образом

\partial \mathbf {A} =-\mathbf {F} ,

используя тот же дифференциальный оператор $\partial$ . ^[23]

Более высокие измерения

Как было предложено в предыдущих разделах, большая часть геометрической алгебры хорошо обобщается на более высокие измерения. Геометрическая алгебра для действительного пространства $R n$ — это $Cl n (R)$ , а подпространство бивекторов — это $⋀ 2 R n$ .

Число простых бивекторов, необходимых для формирования общего бивектора, растет с ростом размерности, так что для нечетного $n оно равно$ $(n - 1) / 2$ , для четного $n$ оно равно $n / 2$ . Так что для четырех и пяти измерений требуется только два простых бивектора, но для шести и семи измерений требуется три . Например, в шести измерениях со стандартным базисом ( $e 1$ , $e 2$ , $e 3$ , $e 4$ , $e 5$ , $e 6$ ) бивектор

\mathbf {e} _{12}+\mathbf {e} _{34}+\mathbf {e} _{56}

является суммой трех простых бивекторов, но не меньше. Так как в четырех измерениях всегда можно найти ортогональные простые бивекторы для этой суммы.

Вращения в более высоких измерениях

Как и в трех- и четырехмерном пространстве роторы генерируются экспоненциальным отображением, поэтому

\exp {{\tfrac {1}{2}}\mathbf {B} }

— ротор, порожденный бивектором $B.$ Простые вращения, происходящие в плоскости вращения вокруг неподвижной лопасти размерности $(n - 2),$ порождаются простыми бивекторами, в то время как другие бивекторы порождают более сложные вращения, которые можно описать в терминах простых бивекторов, суммами которых они являются, каждый из которых связан с плоскостью вращения. Все бивекторы можно выразить как сумму ортогональных и коммутативных простых бивекторов, поэтому вращения всегда можно разложить на набор коммутативных вращений вокруг плоскостей, связанных с этими бивекторами. Группа роторов в $n$ измерениях — это группа спинов , $Spin(n)$ .

Одной из примечательных особенностей, связанных с числом простых бивекторов и, следовательно, плоскостей вращения, является то, что в нечетных измерениях каждое вращение имеет фиксированную ось — ошибочно называть ее осью вращения, поскольку в более высоких измерениях вращения происходят в нескольких плоскостях, ортогональных ей. Это связано с бивекторами, поскольку бивекторы в нечетных измерениях распадаются на то же число бивекторов, что и четное измерение ниже, поэтому имеют то же число плоскостей, но одно дополнительное измерение. Поскольку каждая плоскость генерирует вращения в двух измерениях, в нечетных измерениях должно быть одно измерение, то есть ось, которая не вращается. ^[24]

Бивекторы также связаны с матрицей вращения в $n$ измерениях. Как и в трех измерениях, характеристическое уравнение матрицы может быть решено для нахождения собственных значений . В нечетных измерениях это имеет один действительный корень, с собственным вектором на фиксированной оси, а в четных измерениях это не имеет действительных корней, поэтому либо все, либо все, кроме одного, корни являются комплексно сопряженными парами. Каждая пара связана с простым компонентом бивектора, связанным с вращением. В частности, логарифм каждой пары является величиной с точностью до знака, в то время как собственные векторы, сгенерированные из корней, параллельны и поэтому могут использоваться для генерации бивектора. В общем случае собственные значения и бивекторы уникальны, и набор собственных значений дает полное разложение на простые бивекторы; если корни повторяются, то разложение бивектора на простые бивекторы не является уникальным.

Проективная геометрия

Геометрическая алгебра может быть применена к проективной геометрии простым способом. Используемая геометрическая алгебра — это $Cl n (R), n \geq 3$ , алгебра действительного векторного пространства $R n$ . Она используется для описания объектов в действительном проективном пространстве $RP n -1$ . Ненулевые векторы в $Cl n (R)$ или $R n$ связаны с точками в проективном пространстве, поэтому векторы, которые отличаются только масштабным множителем, поэтому их внешнее произведение равно нулю, отображаются в одну и ту же точку. Ненулевые простые бивекторы в $⋀ 2 R n$ представляют прямые в $RP n -1$ , причем бивекторы, отличающиеся только (положительным или отрицательным) масштабным множителем, представляют одну и ту же прямую.

Описание проективной геометрии может быть построено в геометрической алгебре с использованием основных операций. Например, если заданы две различные точки в $RP n -1,$ представленные векторами $a$ и $b,$ то прямая, содержащая их, задается как $a \land b$ (или $b \land a$ ). Две прямые пересекаются в точке, если $A \land B = 0$ для их бивекторов $A$ и $B$ . Эта точка задается вектором

\mathbf {p} =\mathbf {A} \lor \mathbf {B} =(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )J^{-1}.

Операция " $\lor$ " является встречей, которая может быть определена, как указано выше, в терминах соединения, $J = A \land B$ ^{[ необходимо разъяснение ]} для ненулевого $A \land B.$ Используя эти операции, проективную геометрию можно сформулировать в терминах геометрической алгебры. Например, если задан третий (ненулевой) бивектор $C,$ точка $p$ лежит на прямой, заданной $C$ , тогда и только тогда, когда

\mathbf {p} \land \mathbf {C} =0.

Итак, условие того, чтобы линии, заданные $A$ , $B$ и $C,$ были коллинеарными, таково:

(\mathbf {A} \lor \mathbf {B} )\land \mathbf {C} =0,

что в $Cl 3 (R)$ и $RP 2$ упрощается до

\langle \mathbf {ABC} \rangle =0,

где угловые скобки обозначают скалярную часть геометрического произведения. Таким же образом все проективные пространственные операции могут быть записаны в терминах геометрической алгебры, с бивекторами, представляющими общие линии в проективном пространстве, так что вся геометрия может быть разработана с использованием геометрической алгебры. ^[15]

Тензоры и матрицы

Как отмечено выше, бивектор может быть записан как кососимметричная матрица, которая через экспоненциальное отображение генерирует матрицу вращения, которая описывает то же вращение, что и ротор, также генерируемый экспоненциальным отображением, но примененный к вектору. Но он также используется с другими бивекторами, такими как тензор угловой скорости и электромагнитный тензор , соответственно 3×3 и 4×4 кососимметричная матрица или тензор.

Действительные бивекторы в $⋀ 2 R n$ изоморфны $n \times n$ кососимметричным матрицам или, поочередно, антисимметричным тензорам степени 2 на $R n$ . Хотя бивекторы изоморфны векторам (через дуальное) в трех измерениях, они могут быть представлены кососимметричными матрицами в любом измерении. Это полезно для соотнесения бивекторов с задачами, описываемыми матрицами, поэтому их можно переформулировать в терминах бивекторов, учитывая геометрическую интерпретацию, затем часто решать более легко или связывать геометрически с другими задачами бивекторов. ^[25]

В более общем смысле, каждая действительная геометрическая алгебра изоморфна матричной алгебре . Они содержат бивекторы как подпространство, хотя часто таким образом, который не особенно полезен. Эти матрицы в основном представляют интерес как способ классификации алгебр Клиффорда. ^[26]

Смотрите также

Найдите значение слова «бивектор» в Викисловаре, бесплатном словаре.

Примечания

^ ab Дорст, Лео; Фонтейн, Дэниел; Манн, Стивен (2009). Геометрическая алгебра для компьютерных наук: объектно-ориентированный подход к геометрии (2-е изд.). Морган Кауфманн. стр. 32. ISBN 978-0-12-374942-0. Алгебраический бивектор не имеет конкретной формы; геометрически это величина направленной площади в определенной плоскости, вот и все.
^ ab Хестенс, Дэвид (1999). Новые основы классической механики: фундаментальные теории физики (2-е изд.). Springer. стр. 21. ISBN 978-0-7923-5302-7.
^ Лоунесто 2001, стр. 33
^ abcd Lounesto 2001, стр. 87
^ Фордер, Генри (1941). Исчисление расширения. стр. 79 – через Интернет-архив .
^ Паршалл, Карен Хангер; Роу, Дэвид Э. (1997). Возникновение Американского сообщества математических исследований, 1876–1900. Американское математическое общество. стр. 31 и далее . ISBN 978-0-8218-0907-5.
^ Фаруки, Рида Т. (2007). "Глава 5: Кватернионы". Кривые пифагорейского годографа: алгебра и геометрия неразделимы . Springer. стр. 60 и далее . ISBN 978-3-540-73397-3.
↑ Обсуждение кватернионов этих лет см. в: McAulay, Alexander (1911). «Кватернионы» . В Chisholm, Hugh (ред.). Encyclopaedia Britannica . Т. 22 (11-е изд.). Cambridge University Press. С. 718–723.
^ Гиббс, Джозайя Уиллард; Уилсон, Эдвин Бидвелл (1901). Векторный анализ: учебник для студентов-математиков и физиков. Издательство Йельского университета. стр. 481 и далее . направленный эллипс.
^ Буланже, Филипп; Хейс, Майкл А. (1993). Бивекторы и волны в механике и оптике. Springer. ISBN 978-0-412-46460-7.
^ Буланже, PH; Хейс, М. (1991). "Бивекторы и неоднородные плоские волны в анизотропных упругих телах". В Wu, Julian J.; Ting, Thomas Chi-tsai; Barnett, David M. (ред.). Современная теория анизотропной упругости и ее применение . Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). стр. 280 и далее . ISBN 978-0-89871-289-6.
^ Хестенес 1999, стр. 61
^ ab Lounesto 2001, стр. 35
^ Лоунесто 2001, стр. 86
^ аб Хестенес, Дэвид; Зиглер, Ренатус (1991). «Проективная геометрия с алгеброй Клиффорда» (PDF) . Acta Applicandae Mathematicae . 23 : 25–63. CiteSeerX 10.1.1.125.368 . дои : 10.1007/bf00046919. S2CID 1702787.
^ Лоунесто 2001, стр. 29
^ Уильям Э. Бейлис (1994). Теоретические методы в физических науках: введение в решение проблем с использованием Maple V. Биркхойзер. стр. 234, см. сноску. ISBN 978-0-8176-3715-6Термины аксиальный вектор и псевдовектор часто рассматриваются как синонимы, но весьма полезно уметь отличать бивектор (...псевдовектор) от его дуального (...аксиального вектора).
^ В строгих математических терминах аксиальные векторы представляют собой $n$ -мерное векторное пространство, снабженное обычной структурной группой $GL(n, R)$ , но с нестандартным представлением $A \to A det(A) / | det(A) |$ .
^ Крис Доран; Энтони Ласенби (2003). Геометрическая алгебра для физиков. Cambridge University Press. стр. 56. ISBN 978-0-521-48022-2.
^ Lounesto 2001, стр. 37–39
^ Wildberger, Norman J. (2010). Площадь и объем. Wild Linear Algebra. Том 4. Университет Нового Южного Уэльса – через YouTube.
^ Lounesto 2001, стр. 89–90
^ Lounesto 2001, стр. 109–110
^ Лоунесто 2001, стр. 222
^ Лоунесто 2001, стр. 193
^ Лоунесто 2001, стр. 217

Общие ссылки

Дорст, Лео; Фонтейн, Дэниел; Манн, Стивен (2009). "§ 2.3.3 Визуализация бивекторов". Геометрическая алгебра для компьютерных наук: объектно-ориентированный подход к геометрии (2-е изд.). Морган Кауфманн. стр. 31 и далее . ISBN 978-0-12-374942-0.
Уитни, Хасслер (1957). Геометрическая теория интегрирования . Принстон: Princeton University Press . ISBN 978-0-486-44583-0.
Lounesto, Pertti (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-00551-7.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
Крис Доран и Энтони Ласенби (2003). "§ 1.6 Внешнее произведение". Геометрическая алгебра для физиков . Кембридж: Cambridge University Press . стр. 11 и далее . ISBN 978-0-521-71595-9.