Кватернион

В математике система кватернионных чисел расширяет комплексные числа . Кватернионы были впервые описаны ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году ^[1]^[2] и применены к механике в трехмерном пространстве . Алгебра кватернионов часто обозначается как $H$ (для Гамильтона ), или на доске жирным шрифтом как Кватернионы не являются полем , поскольку умножение кватернионов, вообще говоря, не является коммутативным . Кватернионы дают определение частного двух векторов в трехмерном пространстве. ^[3]^[4] Кватернионы обычно представляются в виде $\mathbb {H} .$

$a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k},$

где коэффициенты $a$ , $b$ , $c$ , $d$ являются действительными числами , а $1, i, j$ , $k$ являются базисными векторами или базисными элементами . ^[5]

Кватернионы используются в чистой математике , но также имеют практическое применение в прикладной математике , в частности, для вычислений, включающих трехмерные вращения , например, в трехмерной компьютерной графике , компьютерном зрении , робототехнике, магнитно-резонансной томографии ^[6] и кристаллографическом анализе текстур . ^[7] Их можно использовать вместе с другими методами вращения, такими как углы Эйлера и матрицы вращения , или в качестве альтернативы им, в зависимости от приложения.

В современных терминах кватернионы образуют четырехмерную ассоциативную нормированную алгебру с делением над действительными числами, а значит, и кольцо, а также кольцо с делением и домен . Это частный случай алгебры Клиффорда , классифицируемой как Это была первая некоммутативная алгебра с делением, которая была обнаружена. $\operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} ).$

Согласно теореме Фробениуса , алгебра является одним из двух конечномерных делений, содержащих собственное подкольцо , изоморфное действительным числам; другое — комплексные числа. Эти кольца также являются евклидовыми алгебрами Гурвица , из которых кватернионы являются наибольшей ассоциативной алгеброй (и, следовательно, наибольшим кольцом). Дальнейшее расширение кватернионов дает неассоциативные октонионы , которые являются последней нормированной алгеброй с делением над действительными числами. Следующее расширение дает седенионы , которые имеют делители нуля и, таким образом, не могут быть нормированной алгеброй с делением. ^[8] $\mathbb {H}$

Единичные кватернионы задают групповую структуру на 3-сфере $S 3 ,$ изоморфную группам Spin(3) и SU(2) , т.е. универсальную группу покрытия SO(3) . Положительные и отрицательные базисные векторы образуют восьмиэлементную группу кватернионов .

История

Кватернионы были введены Гамильтоном в 1843 году. ^[9] Важными предшественниками этой работы были четырехквадратное тождество Эйлера (1748) и параметризация Олинды Родригес общих вращений четырьмя параметрами (1840), но ни один из этих авторов не рассматривал четырехпараметрические вращения как алгебру. ^[10]^[11] Карл Фридрих Гаусс открыл кватернионы в 1819 году, но эта работа была опубликована только в 1900 году. ^[12]^[13]

Гамильтон знал, что комплексные числа можно интерпретировать как точки на плоскости , и он искал способ сделать то же самое для точек в трехмерном пространстве . Точки в пространстве можно представить их координатами, которые являются тройками чисел, и в течение многих лет он знал, как складывать и вычитать тройки чисел. Однако долгое время он застрял на проблеме умножения и деления. Он не мог понять, как вычислить частное координат двух точек в пространстве. Фактически, Фердинанд Георг Фробениус позже доказал в 1877 году, что для того, чтобы алгебра с делением над действительными числами была конечномерной и ассоциативной, она не может быть трехмерной, и существует только три таких алгебры с делением: (комплексные числа) и (кватернионы), которые имеют размерность 1, 2 и 4 соответственно. $\mathbb {R,C}$ $\mathbb {H}$

Великий прорыв в кватернионах наконец произошел в понедельник 16 октября 1843 года в Дублине , когда Гамильтон направлялся в Королевскую ирландскую академию, чтобы председательствовать на заседании совета. Пока он шел по дорожке Королевского канала со своей женой, концепции, лежащие в основе кватернионов, обретали форму в его сознании. Когда ответ пришел к нему, Гамильтон не смог устоять перед желанием вырезать формулу для кватернионов,

$\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2} = \mathbf {i\,j\,k} = -1$

в камень моста Бруэм , когда он остановился на нем. Хотя резьба с тех пор стерлась, с 1989 года проводится ежегодное паломничество под названием « Прогулка Гамильтона» для ученых и математиков, которые идут от обсерватории Дансинк до моста через Королевский канал в память об открытии Гамильтона.

На следующий день Гамильтон написал письмо своему другу и коллеге-математику Джону Т. Грейвсу , описав ход мыслей, который привел его к открытию. Это письмо было позже опубликовано в письме в London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science ; ^[14] Гамильтон утверждает:

И тут меня осенила мысль, что мы должны допустить, в каком-то смысле, четвертое измерение пространства для целей вычислений с тройками... Электрическая цепь, казалось, замкнулась, и вспыхнула искра. ^[14]

Гамильтон назвал четверку с этими правилами умножения кватернионом и посвятил большую часть своей оставшейся жизни их изучению и преподаванию. Трактовка Гамильтона более геометрична, чем современный подход, который подчеркивает алгебраические свойства кватернионов. Он основал школу «кватернионистов» и пытался популяризировать кватернионы в нескольких книгах. Последняя и самая длинная из его книг, Elements of Quaternions ^[15] , была длиной в 800 страниц; она была отредактирована его сыном и опубликована вскоре после его смерти.

После смерти Гамильтона шотландский математик-физик Питер Тейт стал главным представителем кватернионов. В то время кватернионы были обязательной темой экзамена в Дублине. Темы физики и геометрии, которые теперь описывались бы с помощью векторов, такие как кинематика в пространстве и уравнения Максвелла , были описаны полностью в терминах кватернионов. Существовала даже профессиональная исследовательская ассоциация, Quaternion Society , посвященная изучению кватернионов и других гиперкомплексных числовых систем.

С середины 1880-х годов кватернионы начали вытесняться векторным анализом , который был разработан Джозайей Уиллардом Гиббсом , Оливером Хевисайдом и Германом фон Гельмгольцем . Векторный анализ описывал те же явления, что и кватернионы, поэтому он свободно заимствовал некоторые идеи и терминологию из литературы по кватернионам. Однако векторный анализ был концептуально проще и нотацией чище, и в конечном итоге кватернионы были отведены второстепенной роли в математике и физике . Побочным эффектом этого перехода является то, что работа Гамильтона трудна для понимания многими современными читателями. Первоначальные определения Гамильтона незнакомы, а его стиль письма был многословным и трудным для понимания.

Однако кватернионы возродились с конца 20-го века, в первую очередь из-за их полезности в описании пространственных вращений . Представления вращений кватернионами более компактны и быстрее вычисляются, чем представления матрицами . Кроме того, в отличие от углов Эйлера, они не подвержены « карданному захвату ». По этой причине кватернионы используются в компьютерной графике , ^[16]^[17] компьютерном зрении , робототехнике , ^[18] выборке изображений ядерного магнитного резонанса , ^[6] теории управления , обработке сигналов , управлении ориентацией , физике , биоинформатике , молекулярной динамике , компьютерном моделировании и орбитальной механике . Например, для систем управления ориентацией космических аппаратов обычно используется управление в терминах кватернионов. Кватернионы получили еще один импульс от теории чисел из-за их связей с квадратичными формами . ^[19]

Кватернионы в физике

Открытие 1924 года, что в квантовой механике спин электрона и других частиц материи (известных как спиноры ) можно описать с помощью кватернионов (в форме знаменитых спиновых матриц Паули), усилило их интерес; кватернионы помогли понять, как вращения электронов на 360° можно отличить от вращений на 720° (« трюк с пластиной »). ^[20]^[21] По состоянию на 2018 год их использование не превзошло использование групп вращений . ^[a]^{[обновлять]}

Определение

Кватернион — это выражение формы

$a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k},$

где $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , являются действительными числами, а $i$ , $j$ , $k$ , являются символами , которые можно интерпретировать как единичные векторы, указывающие вдоль трех пространственных осей. На практике, если один из $a$ , $b$ , $c$ , $d$ равен 0, соответствующий член опускается; если $a$ , $b$ , $c$ , $d$ все равны нулю, кватернион является нулевым кватернионом , обозначаемым 0; если один из $b$ , $c$ , $d$ равен 1, соответствующий член записывается просто $i, j$ , или $k$ .

Гамильтон описывает кватернион , как состоящий из скалярной части и векторной части. Кватернион называется векторной частью (иногда мнимой частью ) $q$ , а $a$ — скалярной частью (иногда действительной частью ) $q$ . Кватернион, равный своей действительной части (то есть его векторная часть равна нулю), называется скалярным или действительным кватернионом и отождествляется с соответствующим действительным числом. То есть действительные числа вложены в кватернионы. (Более правильно, поле действительных чисел изоморфно подмножеству кватернионов. Поле комплексных чисел также изоморфно трем подмножествам кватернионов.) ^[22] Кватернион, равный своей векторной части, называется векторным кватернионом . $q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}$ $b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}$

Множество кватернионов представляет собой 4-мерное векторное пространство над действительными числами, в качестве базиса которого взято покомпонентное сложение $\left\{1,\mathbf {я},\mathbf {j},\mathbf {к} \right\}$

${\begin{aligned}&(a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k} )\\[3mu]&\qquad =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\mathbf {k} ,\end{aligned}}$

и покомпонентное скалярное умножение

$\lambda (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )=\lambda a+(\lambda b)\mathbf {i} +(\lambda c)\mathbf {j} +(\lambda d)\mathbf {k} .$

Мультипликативная групповая структура, называемая произведением Гамильтона , обозначаемая сопоставлением, может быть определена на кватернионах следующим образом:

Действительный кватернион $1$ является единичным элементом .
Действительные кватернионы коммутируют со всеми другими кватернионами, то есть $aq$ $=$ $qa$ для каждого кватерниона $q$ и каждого действительного кватерниона $a$ . В алгебраической терминологии это означает, что поле действительных кватернионов является центром этой кватернионной алгебры.
Произведение сначала дается для базисных элементов (см. следующий подраздел), а затем распространяется на все кватернионы с использованием свойства дистрибутивности и свойства центра действительных кватернионов. Произведение Гамильтона не является коммутативным , но является ассоциативным , поэтому кватернионы образуют ассоциативную алгебру над действительными числами.
Кроме того, каждый ненулевой кватернион имеет обратный по отношению к произведению Гамильтона: $(a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )^{-1}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\,(a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} ).$

Таким образом, кватернионы образуют алгебру деления.

Умножение базисных элементов

Умножение на $1$ базисных элементов $i, j$ и $k$ определяется тем фактом, что $1$ является мультипликативным тождеством , то есть,

$\mathbf {i} \,1=1\,\mathbf {i} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {j} \,1=1\,\mathbf {j} =\mathbf {j} ,\qquad \mathbf {k} \,1=1\,\mathbf {k} =\mathbf {k} .$

Продукты других базовых элементов:

${\begin{aligned}\mathbf {i} ^{2}&=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=-1,\\[5mu]\mathbf {i\,j} &=-\mathbf {j\,i} =\mathbf {k} ,\qquad \mathbf {j\,k} =-\mathbf {k\,j} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {k\,i} =-\mathbf {i\,k} =\mathbf {j} .\end{aligned}}$

Объединяя эти правила,

${\begin{aligned}\mathbf {i\,j\,k} &=-1.\end{aligned}}$

Центр

Центр некоммутативного кольца — это подкольцо элементов $c$ , такое что $cx$ $=$ $xc$ для каждого $x$ . Центр кватернионной алгебры — это подполе действительных кватернионов. Фактически, это часть определения, что действительные кватернионы принадлежат центру. Наоборот, если $q$ $=$ $a$ $+$ $b$ $i$ $+$ $c$ $j$ $+$ $d$ $k$ принадлежит центру, то

$0=\mathbf {i} \,q-q\,\mathbf {i} =2c\,\mathbf {ij} +2d\,\mathbf {ik} =2c\,\mathbf {k} -2d\,\mathbf {j} ,$

и $c = d = 0.$ Аналогичное вычисление с $j$ вместо $i$ показывает, что также $b = 0.$ Таким образом, $q = a$ является действительным кватернионом.

Кватернионы образуют алгебру с делением. Это означает, что некоммутативность умножения является единственным свойством, которое отличает кватернионы от поля. Эта некоммутативность имеет некоторые неожиданные последствия, среди которых то, что полиномиальное уравнение над кватернионами может иметь больше различных решений, чем степень полинома. Например, уравнение $z 2 + 1 = 0$ имеет бесконечно много кватернионных решений , которые являются кватернионами $z = b i + c j + d k$ такими, что $b 2 + c 2 + d 2 = 1$ . Таким образом, эти «корни из –1» образуют единичную сферу в трехмерном пространстве векторных кватернионов.

продукт Гамильтона

Для двух элементов $a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k$ и $a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k$ их произведение, называемое произведением Гамильтона ( $a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k$ ) ( $a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k$ ), определяется произведениями базисных элементов и распределительным законом . Распределительный закон позволяет разложить произведение так, чтобы оно стало суммой произведений базисных элементов. Это дает следующее выражение:

${\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&+a_{1}b_{2}\mathbf {i} &&+a_{1}c_{2}\mathbf {j} &&+a_{1}d_{2}\mathbf {k} \\{}+{}&b_{1}a_{2}\mathbf {i} &&+b_{1}b_{2}\mathbf {i} ^{2}&&+b_{1}c_{2}\mathbf {ij} &&+b_{1}d_{2}\mathbf {ik} \\{}+{}&c_{1}a_{2}\mathbf {j} &&+c_{1}b_{2}\mathbf {ji} &&+c_{1}c_{2}\mathbf {j} ^{2}&&+c_{1}d_{2}\mathbf {jk} \\{}+{}&d_{1}a_{2}\mathbf {k} &&+d_{1}b_{2}\mathbf {ki} &&+d_{1}c_{2}\mathbf {kj} &&+d_{1}d_{2}\mathbf {k} ^{2}\end{alignedat}}$

Теперь базисные элементы можно умножить, используя приведенные выше правила, чтобы получить: ^[9]

${\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&-b_{1}b_{2}&&-c_{1}c_{2}&&-d_{1}d_{2}\\{}+{}(&a_{1}b_{2}&&+b_{1}a_{2}&&+c_{1}d_{2}&&-d_{1}c_{2})\mathbf {i} \\{}+{}(&a_{1}c_{2}&&-b_{1}d_{2}&&+c_{1}a_{2}&&+d_{1}b_{2})\mathbf {j} \\{}+{}(&a_{1}d_{2}&&+b_{1}c_{2}&&-c_{1}b_{2}&&+d_{1}a_{2})\mathbf {k} \end{alignedat}}$

Скалярная и векторная части

Кватернион вида $a + 0 i + 0 j + 0 k$ , где $a$ — действительное число, называется скаляром , а кватернион вида $0 + b i + c j + d k$ , где $b$ , $c$ , и $d$ — действительные числа, и по крайней мере одно из $b$ , $c$ , или $d$ не равно нулю, называется векторным кватернионом . Если $a + b i + c j + d k$ — любой кватернион, то $a$ называется его скалярной частью , а $b i + c j + d k$ называется его векторной частью . Несмотря на то, что каждый кватернион можно рассматривать как вектор в четырехмерном векторном пространстве, принято называть векторную часть векторами в трехмерном пространстве. Согласно этому соглашению, вектор — это то же самое, что и элемент векторного пространства ^[b] $\mathbb {R} ^{3}.$

Гамильтон также называл векторные кватернионы правильными кватернионами ^[24]^[25] , а действительные числа (рассматриваемые как кватернионы с нулевой векторной частью) скалярными кватернионами .

Если кватернион разделить на скалярную часть и векторную часть, то есть,

$\mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}}),\ \mathbf {q} \in \mathbb {H} ,\ r\in \mathbb {R} ,\ {\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3},$

тогда формулы для сложения, умножения и мультипликативного обратного действия будут такими:

${\begin{aligned}(r_{1},\,{\vec {v}}_{1})+(r_{2},\,{\vec {v}}_{2})&=(r_{1}+r_{2},\,{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}),\\[5mu](r_{1},\,{\vec {v}}_{1})(r_{2},\,{\vec {v}}_{2})&=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\,r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2}),\\[5mu](r,\,{\vec {v}})^{-1}&=\left({\frac {r}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}},\ {\frac {-{\vec {v}}}{r^{2}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\right),\end{aligned}}$

где " " и " " обозначают соответственно скалярное произведение и векторное произведение . ${}\cdot {}$ $\times$

Спряжение, норма и взаимность

Сопряжение кватернионов аналогично сопряжению комплексных чисел и транспонированию (также известному как обращение) элементов алгебр Клиффорда. Чтобы определить его, пусть будет кватернионом. Сопряжение q — это кватернион . Он обозначается как $q$ $*$ , $q$ ^t , , или q . ^[9] Сопряжение — это инволюция , то есть оно является своим собственным обратным , поэтому сопряжение элемента дважды возвращает исходный элемент. Сопряжение произведения двух кватернионов — это произведение сопряженных в обратном порядке . То есть, если $p$ и $q$ — кватернионы, то $($ $pq$ $)$ $*$ $=$ $q$ $*$ $p$ $*$ , а не $p$ $*$ $q$ $*$ . $q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}$ $q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k}$ ${\tilde {q}}$

Сопряжение кватерниона, в отличие от сложной ситуации, может быть выражено умножением и сложением кватернионов:

$q^{*}=-{\tfrac {1}{2}}(q+\mathbf {i} \,q\,\mathbf {i} +\mathbf {j} \,q\,\mathbf {j} +\mathbf {k} \,q\,\mathbf {k} ).$

Сопряженность может быть использована для извлечения скалярной и векторной частей кватерниона. Скалярная часть $p$ равна $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ ( p + p ∗ )$ , а векторная часть $p$ равна $⁠$ $1 / 2 ⁠ (п - п *)$ .

Квадратный корень из произведения кватерниона на его сопряженное называется его нормой и обозначается $‖ q ‖$ (Гамильтон называл эту величину тензором q , но это противоречит современному значению слова « тензор »). В формулах это выражается следующим образом:

$\lVert q\rVert ={\sqrt {qq^{*}}}={\sqrt {q^{*}q}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}$

Это всегда неотрицательное действительное число, и оно совпадает с евклидовой нормой на рассматриваемом как векторное пространство . Умножение кватерниона на действительное число масштабирует его норму на абсолютное значение числа. То есть, если $α$ действительно, то $\mathbb {H}$ $\mathbb {R} ^{4}$

$\lVert \alpha q\rVert =\left|\alpha \right|\,\lVert q\rVert .$

Это частный случай того факта, что норма является мультипликативной , что означает, что

$\lVert pq\rVert =\lVert p\rVert \,\lVert q\rVert$

для любых двух кватернионов $p$ и $q$ . Мультипликативность является следствием формулы для сопряженного произведения. Альтернативно она следует из тождества

$\det {\begin{pmatrix}a+ib&id+c\\id-c&a-ib\end{pmatrix}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},$

(где $i$ обозначает обычную мнимую единицу ) и, следовательно, из мультипликативного свойства определителей квадратных матриц.

Эта норма позволяет определить расстояние $d (p, q)$ между $p$ и $q$ как норму их разности:

$d(p,q)=\lVert p-q\rVert .$

Это создает метрическое пространство . Сложение и умножение непрерывны относительно соответствующей метрической топологии . Это следует с точно таким же доказательством, как и для действительных чисел, из того факта, что является нормированной алгеброй. $\mathbb {H}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {H}$

Единичный кватернион

Единичный кватернион — это кватернион нормы 1. Деление ненулевого кватерниона $q$ $на$ его норму дает единичный кватернион $U q,$ называемый версором q :

$\mathbf {U} q={\frac {q}{\lVert q\rVert }}.$

Каждый ненулевой кватернион имеет уникальное полярное разложение , в то время как нулевой кватернион может быть образован из любого единичного кватерниона. $q=\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q,$

Использование сопряжения и нормы позволяет определить обратную величину ненулевого кватерниона. Произведение кватерниона с его обратной величиной должно быть равно 1, а приведенные выше соображения подразумевают, что произведение и равно 1 (для любого порядка умножения). Таким образом, обратная величина $q$ определяется как $q$ $q^{*}/\left\Vert q\right\|^{2}$

$q^{-1}={\frac {q^{*}}{\lVert q\rVert ^{2}}}.$

Поскольку умножение некоммутативно, частные величины $p q -1$ или $q -1 p$ различны (за исключением случаев, когда $p$ и $q$ являются скалярными множителями друг друга или когда одно из них является скаляром): обозначение $⁠$ $п / д ⁠$ является двусмысленным и не должен использоваться.

Алгебраические свойства

Множество всех кватернионов представляет собой векторное пространство над действительными числами с размерностью 4. ^[c] Умножение кватернионов ассоциативно и распределяется по векторному сложению, но за исключением скалярного подмножества оно не коммутативно. Следовательно, кватернионы представляют собой некоммутативную, ассоциативную алгебру над действительными числами. Хотя она содержит копии комплексных чисел, она не является ассоциативной алгеброй над комплексными числами. $\mathbb {H}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {H}$

Поскольку кватернионы можно разделить, они образуют алгебру с делением. Это структура, похожая на поле, за исключением некоммутативности умножения. Конечномерные ассоциативные алгебры с делением над действительными числами встречаются очень редко. Теорема Фробениуса утверждает, что их ровно три: , , и . Норма превращает кватернионы в нормированную алгебру , и нормированные алгебры с делением над действительными числами также встречаются очень редко: теорема Гурвица утверждает, что их всего четыре: , , , и (октонионы). Кватернионы также являются примером композиционной алгебры и унитальной банаховой алгебры . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {O}$

Трехмерный график Q ₈ . Красные, зеленые и синие стрелки представляют умножение на $i$ , $j$ и $k$ соответственно. Умножение на отрицательные числа опущено для ясности.

Поскольку произведение любых двух базисных векторов равно плюсу или минусу другому базисному вектору, множество ${\pm1, \pm i, \pm j, \pm k}$ образует группу относительно умножения. Эта неабелева группа называется группой кватернионов и обозначается $Q 8$ . ^[26] Действительное групповое кольцо Q $8 является$ кольцом , которое также является восьмимерным векторным пространством над Оно имеет один базисный вектор для каждого элемента Кватернионы изоморфны фактор- кольцу по идеалу , порожденному элементами $1 + (-1)$ , $i$ $+ (-$ $i$ $)$ , $j$ $+ (-$ $j$ $)$ и $k$ $+ (-$ $k$ $)$ . Здесь первый член в каждой из разностей является одним из базисных элементов $1,$ $i$ $,$ $j$ и $k$ , а второй член является одним из базисных элементов $-1, -$ $i$ $, -$ $j$ и $-$ $k$ , а не аддитивными обратными элементами $1,$ $i$ $,$ $j$ и $k$ . $\mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]$ $\mathbb {R} .$ $\mathrm {Q} _{8}.$ $\mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]$

Кватернионы и трехмерная геометрия

Векторная часть кватерниона может быть интерпретирована как координатный вектор , поэтому алгебраические операции кватернионов отражают геометрию таких операций, как векторное точечное и векторное произведение, могут быть определены в терминах кватернионов, и это позволяет применять методы кватернионов везде, где возникают пространственные векторы. Полезным применением кватернионов была интерполяция ориентаций ключевых кадров в компьютерной графике. ^[16] $\mathbb {R} ^{3};$ $\mathbb {R} ^{3}.$

В оставшейся части этого раздела $i$ , $j$ , и $k$ будут обозначать как три мнимых ^[27] базисных вектора , так и базис для Замена $i$ на $-$ $i$ , $j$ на $-$ $j$ , а $k$ на $-$ $k$ переводит вектор в его аддитивный обратный , так что аддитивный обратный вектор совпадает с его сопряженным как кватернион. По этой причине сопряжение иногда называют пространственным обратным . $\mathbb {H}$ $\mathbb {R} ^{3}.$

Для двух векторных кватернионов $p = b 1 i + c 1 j + d 1 k$ и $q = b 2 i + c 2 j + d 2 k$ их скалярное произведение , по аналогии с векторами в $\mathbb {R} ^{3},$

$p\cdot q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}.$

Его также можно выразить безкомпонентным способом, как

$p\cdot q=\textstyle {\frac {1}{2}}(p^{*}q+q^{*}p)=\textstyle {\frac {1}{2}}(pq^{*}+qp^{*}).$

Это равно скалярным частям произведений $pq *, qp *, p * q и q * p$ . Обратите внимание, что их векторные части различны.

Перекрестное произведение p и $q$ относительно ориентации, определяемой упорядоченным базисом $i$ $,$ $j$ и $k$ $,$ равно

$p\times q=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\mathbf {i} +(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})\mathbf {j} +(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\mathbf {k} .$

(Напомним, что ориентация необходима для определения знака.) Это равно векторной части произведения $pq$ (как кватернионов), а также векторной части $- q * p *$ . Она также имеет формулу

$p\times q=\textstyle {\tfrac {1}{2}}(pq-qp).$

Для коммутатора $[p, q] =$ pq $-$ $qp$ $двух$ векторных кватернионов получаем

$[p,q]=2p\times q.$

В общем случае пусть $p$ и $q$ будут кватернионами и запишем

${\begin{aligned}p&=p_{\text{s}}+p_{\text{v}},\\[5mu]q&=q_{\text{s}}+q_{\text{v}},\end{aligned}}$

где $p s$ и $q s$ — скалярные части, а $p v$ и $q v$ — векторные части $p$ и $q$ . Тогда имеем формулу

$pq=(pq)_{\text{s}}+(pq)_{\text{v}}=(p_{\text{s}}q_{\text{s}}-p_{\text{v}}\cdot q_{\text{v}})+(p_{\text{s}}q_{\text{v}}+q_{\text{s}}p_{\text{v}}+p_{\text{v}}\times q_{\text{v}}).$

Это показывает, что некоммутативность умножения кватернионов происходит из умножения векторных кватернионов. Это также показывает, что два кватерниона коммутируют тогда и только тогда, когда их векторные части коллинеарны. Гамильтон ^[28] показал, что это произведение вычисляет третью вершину сферического треугольника из двух заданных вершин и связанных с ними длин дуг, что также является алгеброй точек в эллиптической геометрии .

Единичные кватернионы можно отождествить с вращениями , и Гамильтон назвал их версорами . ^[28] Также см. Кватернионы и пространственное вращение для получения дополнительной информации о моделировании трехмерных вращений с использованием кватернионов. $\mathbb {R} ^{3}$

См. Hanson (2005) ^[29] для визуализации кватернионов.

Матричные представления

Так же, как комплексные числа могут быть представлены в виде матриц , так же могут быть представлены и кватернионы. Существует по крайней мере два способа представления кватернионов в виде матриц таким образом, что сложение и умножение кватернионов соответствуют сложению и умножению матриц . Один из них заключается в использовании комплексных матриц 2 × 2, а другой — в использовании действительных матриц 4 × 4. В каждом случае данное представление является одним из семейства линейно связанных представлений. Это инъективные гомоморфизмы из в матричные кольца $M(2,$ $C$ $)$ и $M(4,$ $R$ $)$ , соответственно. $\mathbb {H}$

Кватернион $a + b i + c j + d k$ можно представить с помощью комплексной матрицы 2 × 2 как

${\begin{bmatrix}{\phantom {-}}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}.$

Это представление имеет следующие свойства:

Ограничение любых двух из $b$ , $c$ и $d$ до нуля дает представление комплексных чисел. Например, установка $c = d = 0$ дает диагональное комплексное матричное представление комплексных чисел, а установка $b = d = 0$ дает действительное матричное представление.
Норма кватерниона (квадратный корень из произведения на сопряженное ему число, как в случае с комплексными числами) — это квадратный корень из определителя соответствующей матрицы. ^[30]
Скалярная часть кватерниона составляет половину следа матрицы .
Сопряжение кватерниона соответствует сопряженному транспонированию матрицы.
Ограничением это представление дает изоморфизм между подгруппой единичных кватернионов и их образом SU(2) . Топологически единичные кватернионы являются 3-сферой, поэтому базовое пространство SU(2) также является 3-сферой. Группа $SU(2)$ важна для описания спина в квантовой механике; см. матрицы Паули .
Существует сильная связь между единицами кватерниона и матрицами Паули. Комплексная матрица 2 × 2 выше может быть записана как , так что в этом представлении единицы кватерниона ${\pm1, \pm$ $i$ $, \pm$ $j$ $, \pm$ $k$ $}$ соответствуют ${\pm$ $I$ $,$ $,$ $,$ $}$ = ${\pm$ $I$ $,$ $,$ $,$ $}$ , так что умножение любых двух матриц Паули всегда дает матрицу единиц кватерниона, все они, за исключением −1. Можно получить −1 через $i$ $2$ $=$ $j$ $2$ $=$ $k$ $2$ $=$ $ijk$ $= -1$ ; например, последнее равенство имеет вид $aI+bi\sigma _{3}+ci\sigma _{2}+di\sigma _{1}$ $\pm i\sigma _{3}$ $\pm \sigma _{1}\sigma _{2}$ $\mathbf {i\;j\;k} =\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=-1.$
Представление в $M(2, C)$ не является уникальным. Другое соглашение, которое сохраняет направление циклического упорядочения между кватернионами и матрицами Паули, состоит в выборе $1\mapsto \mathbf {I} ,\quad \mathbf {i} \mapsto -i\sigma _{1}=-\sigma _{2}\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto -i\sigma _{2}=-\sigma _{3}\sigma _{1},\quad \mathbf {k} \mapsto -i\sigma _{3}=-\sigma _{1}\sigma _{2},$
Это дает альтернативное представление, ^[31] $a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} \mapsto {\begin{bmatrix}a-di&-c-bi\\c-bi&{\phantom {-}}a+di\end{bmatrix}}.$

Используя действительные матрицы 4 × 4, тот же кватернион можно записать как

${\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&-b&-c&-d\\b&a&-d&c\\c&d&a&-b\\d&-c&b&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right].\end{aligned}}$

Однако представление кватернионов в $M(4, R)$ не является единственным. Например, тот же кватернион может быть представлен и как

${\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rrrr}a&d&-b&-c\\-d&a&c&-b\\b&-c&a&-d\\c&b&d&a\end{array}}\right]&=a\left[{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]+b\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right]\\[10mu]&\qquad +c\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right]+d\left[{\begin{array}{rrrr}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right].\end{aligned}}$

Существует 48 различных матричных представлений этой формы, в которых одна из матриц представляет скалярную часть, а остальные три являются кососимметричными. Точнее, существует 48 наборов четверок матриц с этими ограничениями симметрии, такими, что функция, отправляющая $1, i, j$ и $k$ матрицам в четверке, является гомоморфизмом, то есть она отправляет суммы и произведения кватернионов в суммы и произведения матриц. ^[32] В этом представлении сопряжение кватерниона соответствует транспонированию матрицы. Четвертая степень нормы кватерниона является определителем соответствующей матрицы. Скалярная часть кватерниона составляет одну четверть следа матрицы. Как и в случае с комплексным представлением 2 × 2 выше, комплексные числа снова могут быть получены путем ограничения коэффициентов соответствующим образом; например, как блочно-диагональные матрицы с двумя блоками 2 × 2, установив $c = d = 0$ .

Каждое матричное представление кватернионов 4×4 соответствует таблице умножения единичных кватернионов. Например, последнее матричное представление, приведенное выше, соответствует таблице умножения

который изоморфен — через — $\{a\mapsto 1,\,b\mapsto i,\,c\mapsto j,\,d\mapsto k\}$

Ограничивая любую такую таблицу умножения, чтобы она имела идентичность в первой строке и столбце, а знаки заголовков строк были противоположны знакам заголовков столбцов, тогда есть 3 возможных выбора для второго столбца (игнорируя знак), 2 возможных выбора для третьего столбца (игнорируя знак) и 1 возможный выбор для четвертого столбца (игнорируя знак); это дает 6 возможностей. Затем второй столбец может быть выбран как положительный или отрицательный, третий столбец может быть выбран как положительный или отрицательный, и четвертый столбец может быть выбран как положительный или отрицательный, что дает 8 возможностей для знака. Умножение возможностей для позиций букв и их знаков дает 48. Затем замена $1$ на $a$ , $i$ на $b$ , $j$ на $c$ , а $k$ на $d$ и удаление заголовков строк и столбцов дает матричное представление $a + b i + c j + d k$ .

Теорема Лагранжа о четырех квадратах

Кватернионы также используются в одном из доказательств теоремы Лагранжа о четырех квадратах в теории чисел , которая гласит, что каждое неотрицательное целое число является суммой четырех целых квадратов. Помимо того, что теорема Лагранжа о четырех квадратах сама по себе является элегантной теоремой, она имеет полезные приложения в областях математики за пределами теории чисел, таких как комбинаторная теория дизайна. Доказательство на основе кватернионов использует кватернионы Гурвица , подкольцо кольца всех кватернионов, для которого существует аналог алгоритма Евклида .

Кватернионы как пары комплексных чисел

Кватернионы можно представить как пары комплексных чисел. С этой точки зрения кватернионы являются результатом применения конструкции Кэли–Диксона к комплексным числам. Это обобщение конструкции комплексных чисел как пар действительных чисел.

Пусть — двумерное векторное пространство над комплексными числами. Выберем базис, состоящий из двух элементов $1$ и $j$ . Вектор в можно записать через базисные элементы $1$ и $j$ как $\mathbb {C} ^{2}$ $\mathbb {C} ^{2}$

$(a+bi)1+(c+di)\mathbf {j} .$

Если мы определим $j 2 = -1$ и $i j = - j i$ , то мы можем умножить два вектора, используя распределительный закон. Использование $k$ в качестве сокращенной записи для произведения $i j$ приводит к тем же правилам умножения, что и обычные кватернионы. Поэтому указанный выше вектор комплексных чисел соответствует кватерниону $a + bi + c j + d k$ . Если мы запишем элементы как упорядоченные пары, а кватернионы как четверки, то соответствие будет следующим: $\mathbb {C} ^{2}$

$(a+bi,\,c+di)\leftrightarrow (a,\,b,\,c,\,d).$

Квадратные корни

Квадратные корни из −1

В комплексных числах есть ровно два числа, $i$ и $-$ $i$ , которые при возведении в квадрат дают −1. В существует бесконечно много квадратных корней из минус единицы: кватернионное решение для квадратного корня из −1 — это единичная сфера в Чтобы увидеть это, пусть $q$ $=$ $a$ $+$ $b$ $i$ $+$ $c$ $j$ $+$ $d$ $k$ будет кватернионом, и предположим, что его квадрат равен −1. В терминах $a$ , $b$ , $c$ и $d$ это означает $\mathbb {C} ,$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {R} ^{3}.$

${\begin{aligned}a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}&=-1,{\vphantom {x^{|}}}\\[3mu]2ab&=0,\\[3mu]2ac&=0,\\[3mu]2ad&=0.\end{aligned}}$

Чтобы удовлетворить последним трем уравнениям, либо $a = 0,$ либо $b$ , $c$ и $d$ все равны 0. Последнее невозможно, поскольку a — действительное число, а первое уравнение означало бы, что $a 2 = -1$ . Следовательно, $a = 0$ и $b 2 + c 2 + d 2 = 1.$ Другими словами: квадрат кватерниона равен −1 тогда и только тогда, когда он является векторным кватернионом с нормой 1. По определению, множество всех таких векторов образует единичную сферу.

Только отрицательные действительные кватернионы имеют бесконечно много квадратных корней. Все остальные имеют только два (или один в случае 0). ^{[ необходима цитата ]}^[d]

Как объединение комплексных плоскостей

Каждая антиподальная пара квадратных корней −1 создает отдельную копию комплексных чисел внутри кватернионов. Если $q 2 = -1$ , то копия является образом функции

$a+bi\mapsto a+bq.$

Это инъективный гомоморфизм колец из в , который определяет изоморфизм полей из на его образ . Образы вложений, соответствующие $q$ и − $q,$ идентичны. $\mathbb {C}$ $\mathbb {H} ,$ $\mathbb {C}$

Каждый недействительный кватернион порождает подалгебру кватернионов, которая изоморфна и, таким образом, является планарным подпространством записи $q$ как суммы его скалярной части и его векторной части: $\mathbb {C} ,$ $\mathbb {H} \colon$

$q=q_{s}+{\vec {q}}_{v}.$

Разложим векторную часть далее как произведение ее нормы и ее версора :

$q=q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert \cdot \mathbf {U} {\vec {q}}_{v}=q_{s}+\|{\vec {q}}_{v}\|\,{\frac {{\vec {q}}_{v}}{\|{\vec {q}}_{v}\|}}.$

(Это не то же самое, что .) Версор векторной части $q$ , , является правым версором с –1 в качестве квадрата. Прямая проверка показывает, что определяет инъективный гомоморфизм нормированных алгебр из в кватернионы. При этом гомоморфизме $q$ является образом комплексного числа . $q_{s}+\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q$ $\mathbf {U} {\vec {q}}_{v}$ $a+bi\mapsto a+b\mathbf {U} {\vec {q}}_{v}$ $\mathbb {C}$ $q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert i$

Поскольку объединение образов всех этих гомоморфизмов представляет собой объединение кватернионов, можно рассматривать их как пучок плоскостей, пересекающихся на действительной прямой . Каждая из этих комплексных плоскостей содержит ровно одну пару антиподальных точек сферы квадратных корней из минус единицы. $\mathbb {H}$

Коммутативные подкольца

Связь кватернионов друг с другом в комплексных подплоскостях также может быть определена и выражена в терминах коммутативных подколец . В частности, поскольку два кватерниона $p$ и $q$ коммутируют (т. е. $pq$ $=$ $qp$ ), только если они лежат в одной и той же комплексной подплоскости , профиль как объединение комплексных плоскостей возникает, когда кто-то пытается найти все коммутативные подкольца кольца кватернионов . $\mathbb {H}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {H}$

Квадратные корни произвольных кватернионов

Любой кватернион (представленный здесь в скалярно-векторном представлении) имеет по крайней мере один квадратный корень , который решает уравнение . Рассматривая скалярную и векторную части в этом уравнении по отдельности, получаем два уравнения, которые при решении дают решения $\mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}})$ ${\sqrt {\mathbf {q} }}=(x,\,{\vec {y}})$ ${\sqrt {\mathbf {q} }}^{\,2}=(x,\,{\vec {y}})^{2}=\mathbf {q}$

${\sqrt {\mathbf {q} }}={\sqrt {(r,\,{\vec {v}})}}=\pm \left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\|\mathbf {q} \|+r}{\bigr )}}},\ {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\|\mathbf {q} \|-r}{\bigr )}}}\right),$

где — норма , а — норма . Для любого скалярного кватерниона это уравнение дает правильные квадратные корни, если интерпретируется как произвольный единичный вектор. ${\textstyle \|{\vec {v}}\|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}={\sqrt {-{\vec {v}}{\vphantom {v}}^{2}}}}$ ${\vec {v}}$ ${\textstyle \|\mathbf {q} \|={\sqrt {\mathbf {q} ^{*}\mathbf {q} }}=r^{2}+\|{\vec {v}}\|^{2}}$ $\mathbf {q}$ $\mathbf {q}$ ${\textstyle {\vec {v}}/\|{\vec {v}}\|}$

Следовательно, ненулевые, нескалярные кватернионы или положительные скалярные кватернионы имеют ровно два корня, в то время как 0 имеет ровно один корень (0), а отрицательные скалярные кватернионы имеют бесконечно много корней, которые являются векторными кватернионами, расположенными на , т. е. где скалярная часть равна нулю, а векторная часть расположена на 2-сфере с радиусом . $\{0\}\times S^{2}{\bigl (}{\sqrt {-r}}{\bigr )}$ ${\sqrt {-r}}$

Функции кватернионной переменной

Подобно функциям комплексной переменной , функции кватернионной переменной предлагают полезные физические модели. Например, исходные электрические и магнитные поля, описанные Максвеллом, были функциями кватернионной переменной. Примерами других функций являются расширение множеств Мандельброта и Жулиа в 4-мерное пространство. ^[36]

Экспоненциальные, логарифмические и степенные функции

Дан кватернион,

$q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} =a+\mathbf {v} ,$

экспонента вычисляется как ^[37]

$\exp(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}\left(\cos \|\mathbf {v} \|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|\right),$

и логарифм ^[37]

$\ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\arccos {\frac {a}{\|q\|}}.$

Отсюда следует, что полярное разложение кватерниона можно записать

$q=\|q\|e^{{\hat {n}}\varphi }=\|q\|\left(\cos(\varphi )+{\hat {n}}\sin(\varphi )\right),$

где угол ^[e] $\varphi$

$a=\|q\|\cos(\varphi )$

а единичный вектор определяется как: ${\hat {n}}$

$\mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\sin(\varphi ).$

Любой единичный кватернион может быть выражен в полярной форме следующим образом:

$q=\exp {({\hat {n}}\varphi )}.$

Степень кватерниона, возведенного в произвольную (действительную) степень x $,$ определяется по формуле:

$q^{x}=\|q\|^{x}e^{{\hat {n}}x\varphi }=\|q\|^{x}\left(\cos(x\varphi )+{\hat {n}}\,\sin(x\varphi )\right).$

Геодезическая норма

Геодезическое расстояние $d g (p, q)$ между единичными кватернионами $p$ и $q$ определяется как: ^[39]

$d_{\text{g}}(p,q)=\lVert \ln(p^{-1}q)\rVert .$

и составляет абсолютную величину половины угла, образованного $p$ и $q$ вдоль большой дуги сферы $S 3.$ Этот угол также может быть вычислен из скалярного произведения кватерниона без логарифма как:

$d_{\text{g}}(p,q)=\arccos(2(p\cdot q)^{2}-1).$

Трехмерные и четырехмерные группы вращения

Слово « сопряжение », помимо значения, данного выше, может также означать взятие элемента $a$ в $r a r -1$ , где $r$ — некоторый ненулевой кватернион. Все элементы, которые сопряжены данному элементу (в этом смысле слова сопряженный), имеют одну и ту же действительную часть и одну и ту же норму векторной части. (Таким образом, сопряженный в другом смысле является одним из сопряженных в этом смысле.) ^[40]

Таким образом, мультипликативная группа ненулевых кватернионов действует сопряжением на копию , состоящую из кватернионов с действительной частью, равной нулю. Сопряжение единичным кватернионом (кватернионом абсолютной величины 1) с действительной частью $cos($ $φ$ $)$ представляет собой поворот на угол $2$ $φ$ , ось поворота которого совпадает с направлением векторной части. Преимущества кватернионов: ^[41] $\mathbb {R} ^{3}$

Избежание блокировки карданного подвеса , проблемы с такими системами, как углы Эйлера.
Быстрее и компактнее матриц.
Несингулярное представление (например, по сравнению с углами Эйлера).
Пары единичных кватернионов представляют собой вращение в 4-мерном пространстве (см. Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве: Алгебра 4-мерных вращений ).

Множество всех единичных кватернионов ( версоров ) образует 3-сферу $S 3$ и группу ( группу Ли ) при умножении, дважды покрывающую группу действительных ортогональных матриц 3×3 определителя 1 , поскольку два единичных кватерниона соответствуют каждому повороту при указанном выше соответствии. См. трюк с пластиной . ${\text{SO}}(3,\mathbb {R} )$

Образ подгруппы версоров является точечной группой , и наоборот, прообраз точечной группы является подгруппой версоров. Прообраз конечной точечной группы называется тем же именем с приставкой binary . Например, прообраз икосаэдрической группы является бинарная икосаэдрическая группа .

Группа Версорса изоморфна $SU(2)$ — группе комплексных унитарных матриц 2×2 с определителем 1.

Пусть $A$ — набор кватернионов вида $a + b i + c j + d k,$ где $a, b, c$ и $d$ — либо все целые числа , либо все полуцелые числа . Набор $A$ — это кольцо (фактически домен ) и решетка , и называется кольцом кватернионов Гурвица. В этом кольце имеется 24 единичных кватерниона, и они являются вершинами правильной 24-ячейки с символом Шлефли ${3,4,3}.$ Они соответствуют двойному покрытию группы вращательной симметрии правильного тетраэдра . Аналогично вершины правильной 600-ячейки с символом Шлефли ${3,3,5$ } можно взять в качестве единичных икосиан , соответствующих двойному покрытию группы вращательной симметрии правильного икосаэдра . Двойное покрытие группы вращательной симметрии правильного октаэдра соответствует кватернионам, которые представляют вершины двуклиновидной 288-ячейки . ^[42]

Кватернионные алгебры

Кватернионы можно обобщить в дальнейшие алгебры, называемые кватернионными алгебрами . Возьмем в качестве $F$ любое поле с характеристикой, отличной от 2, а $a$ и $b$ — элементы $F ; над$ $F$ можно определить четырехмерную унитарную ассоциативную алгебру с базисом $1, i, j и$ $ij$ , где $i 2 = a$ , $j 2 = b$ и $ij = - ji$ (так что $(ij) 2 = -$ ab $)$ .

Алгебры кватернионов изоморфны алгебре матриц 2×2 над $F$ или образуют алгебры с делением над $F$ в зависимости от выбора $a$ и $b$ .

Кватернионы как четная частьКл 3,0 (Р)

Полезность кватернионов для геометрических вычислений можно обобщить на другие измерения, определив кватернионы как четную часть алгебры Клиффорда. Это ассоциативная многовекторная алгебра, построенная из фундаментальных базисных элементов $σ$ $1$ $,$ $σ$ $2$ $,$ $σ$ $3$ с использованием правил произведения. $\operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )$ $\operatorname {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} ).$

$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=1,$ $\sigma _{m}\sigma _{n}=-\sigma _{n}\sigma _{m}\qquad (m\neq n).$

Если эти фундаментальные базисные элементы взять для представления векторов в трехмерном пространстве, то окажется, что отражение вектора $r$ в плоскости, перпендикулярной единичному вектору $w,$ можно записать:

$r^{\prime }=-w\,r\,w.$

Два отражения совершают поворот на угол, вдвое превышающий угол между двумя плоскостями отражения, поэтому

$r^{\prime \prime }=\sigma _{2}\sigma _{1}\,r\,\sigma _{1}\sigma _{2}$

соответствует повороту на 180° в плоскости, содержащей σ ₁ и σ ₂ . Это очень похоже на соответствующую формулу кватерниона,

$r^{\prime \prime }=-\mathbf {k} \,r\,\mathbf {k} .$

Действительно, две структуры и изоморфны . Одной из естественных идентификаций является $\operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {H}$

$1\mapsto 1,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2},$

и легко подтвердить, что это сохраняет соотношения Гамильтона

$\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1.$

На этой картинке так называемые «векторные кватернионы» (то есть чисто мнимые кватернионы) соответствуют не векторам, а бивекторам – величинам с величинами и ориентациями, связанными с конкретными двумерными плоскостями, а не одномерными направлениями . Связь с комплексными числами также становится яснее: в двумерном пространстве с двумя векторными направлениями $σ 1$ и $σ 2$ существует только один бивекторный базисный элемент $σ 1 σ 2$ , то есть только одна мнимая часть. Но в трехмерном пространстве с тремя векторными направлениями существует три бивекторных базисных элемента $σ 2 σ 3$ , $σ 3 σ 1$ , $σ 1 σ 2$ , то есть три мнимые части.

Это рассуждение распространяется дальше. В алгебре Клиффорда имеется шесть базисных элементов бивекторов, поскольку с четырьмя различными направлениями базисных векторов можно определить шесть различных пар и, следовательно, шесть различных линейно независимых плоскостей. Вращения в таких пространствах с использованием этих обобщений кватернионов, называемых роторами , могут быть очень полезны для приложений, включающих однородные координаты . Но только в 3D число базисных бивекторов равно числу базисных векторов, и каждый бивектор можно идентифицировать как псевдовектор . $\operatorname {Cl} _{4,0}(\mathbb {R} ),$

Размещение кватернионов в этой более широкой среде имеет несколько преимуществ: ^[43]

Роторы являются естественной частью геометрической алгебры и легко понимаются как кодировка двойного отражения.
В геометрической алгебре ротор и объекты, на которые он действует, находятся в одном и том же пространстве. Это устраняет необходимость менять представления и кодировать новые структуры данных и методы, что традиционно требуется при дополнении линейной алгебры кватернионами.
Роторы универсально применимы к любому элементу алгебры, не только к векторам и другим кватернионам, но и к линиям, плоскостям, окружностям, сферам, лучам и т. д.
В конформной модели евклидовой геометрии роторы позволяют кодировать вращение, трансляцию и масштабирование в одном элементе алгебры, универсально действующем на любой элемент. В частности, это означает, что роторы могут представлять вращения вокруг произвольной оси, тогда как кватернионы ограничены осью, проходящей через начало координат.
Преобразования с роторным кодированием делают интерполяцию особенно простой.
Роторы естественным образом переносятся в псевдоевклидовы пространства , например, пространство Минковского специальной теории относительности . В таких пространствах роторы могут использоваться для эффективного представления лоренцевских бустов и для интерпретации формул, включающих гамма-матрицы . ^{[ требуется цитата ]}

Более подробную информацию о геометрическом использовании алгебр Клиффорда см. в разделе Геометрическая алгебра .

Группа Брауэра

Кватернионы являются "по сути" единственной (нетривиальной) центральной простой алгеброй (CSA) над действительными числами, в том смысле, что каждая CSA над действительными числами эквивалентна по Брауэру либо действительным числам, либо кватернионам. Явно, группа Брауэра действительных чисел состоит из двух классов, представленных действительными числами и кватернионами, где группа Брауэра является множеством всех CSA, с точностью до отношения эквивалентности одного CSA, являющегося матричным кольцом над другим. По теореме Артина–Веддерберна (в частности, части Веддерберна), CSA являются всеми матричными алгебрами над алгеброй с делением, и, таким образом, кватернионы являются единственной нетривиальной алгеброй с делением над действительными числами.

CSA – конечномерные кольца над полем, которые являются простыми алгебрами (не имеют нетривиальных 2-сторонних идеалов, как и в случае с полями), центр которых в точности совпадает с полем – являются некоммутативным аналогом полей расширения и более ограничительны, чем общие расширения колец. Тот факт, что кватернионы являются единственными нетривиальными CSA над действительными числами (с точностью до эквивалентности), можно сравнить с тем фактом, что комплексные числа являются единственным нетривиальным конечным расширением поля действительных чисел.

Цитаты

Я рассматриваю это как неизящность или несовершенство кватернионов или, скорее, того состояния, в котором они были до сих пор развернуты, всякий раз, когда становится или кажется необходимым прибегнуть к $x, y, z$ и т. д.
— Уильям Роуэн Гамильтон ( ок. 1848 ) ^[44]

Говорят, что время имеет только одно измерение, а пространство — три измерения. ... Математический кватернион принимает участие в обоих этих элементах; на техническом языке его можно назвать «время плюс пространство» или «пространство плюс время»: И в этом смысле он имеет или, по крайней мере, подразумевает ссылку на четыре измерения. ... И как Единое Времени, Пространства Тройки, Может быть опоясанным Цепью Символов .
— Уильям Роуэн Гамильтон ( ок. 1853 г. ) ^[45]

Кватернионы появились у Гамильтона после того, как была проделана его действительно хорошая работа; и, хотя они были прекрасно гениальны, они стали явным злом для тех, кто хоть как-то к ним прикасался, включая Клерка Максвелла .
— У. Томпсон, лорд Кельвин (1892) ^[46]

Действительно, было время, когда я, хотя и признавал уместность векторного анализа в электромагнитной теории (и в математической физике в целом), считал, что его труднее понять и использовать, чем декартов анализ. Но это было до того, как я сбросил с себя кватернионного старца-моряка, который обвился вокруг моих плеч, когда я читал единственный доступный трактат по этой теме – « Кватернионы» профессора Тейта . Но позже я понял, что, насколько это касалось векторного анализа, который мне был нужен, кватернион не только не требовался, но и был положительным злом немалой величины; и что благодаря его избеганию создание векторного анализа стало довольно простым, а его работа также упростилась, и что его можно было удобно согласовать с обычной декартовой работой. Ни в одной из моих статей нет ни тени кватерниона (за исключением одной, для специальной цели). Векторный анализ, который я использую, можно описать либо как удобное и систематическое сокращение декартова анализа; или же, как кватернионы без кватернионов, ... . «Кватернион» , как мне кажется, был определен американской школьницей как «древняя религиозная церемония» . Однако это было полной ошибкой: древние — в отличие от профессора Тейта — не знали и не поклонялись кватернионам.
- Оливер Хевисайд (1893) ^[47]

Ни матрицы, ни кватернионы, ни обычные векторы не были изгнаны из этих десяти [дополнительных] глав. Ибо, несмотря на неоспоримую мощь современного тензорного исчисления, эти старые математические языки продолжают, по моему мнению, предлагать заметные преимущества в ограниченной области специальной теории относительности. Более того, в науке, как и в повседневной жизни, владение более чем одним языком также ценно, поскольку расширяет наши взгляды, способствует критике в отношении и защищает от гипостазии [слабого основания] материи, выраженной словами или математическими символами.
- Людвик Зильберштейн (1924) ^[48]

... кватернионы, кажется, источают атмосферу упадка девятнадцатого века, как довольно неудачный вид в борьбе за жизнь математических идей. Математики, по общему признанию, все еще хранят теплое место в своих сердцах для замечательных алгебраических свойств кватернионов, но, увы, такой энтузиазм мало что значит для более упрямого физика.
— Саймон Л. Альтманн (1986) ^[49]

Смотрите также

Преобразование между кватернионами и углами Эйлера – Математическая стратегия
Двойной кватернион – Восьмимерная алгебра над действительными числами
Двойственно-комплексное число – Четырехмерная алгебра над действительными числами
Внешняя алгебра – Алгебра внешних/клиновых произведений
Порядок кватерниона Гурвица – Концепция в математике
Гиперболический кватернион – мутация кватернионов, где единичные векторы возводятся в квадрат до +1
Сфера Ленарта – прозрачная сфера, которую можно стирать сухим способом, используемая для обучения сферической геометрии.
Матрицы Паули – Матрицы, важные в квантовой механике и изучении спина.
Кватернионное многообразие – Понятие в геометрии
Кватернионная матрица – Концепция линейной алгебры
Кватернионный многогранник – Концепция в геометрии
Кватернионное проективное пространство – Концепция в математике
Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве – Специальная ортогональная группа
Slerp – Сферическая линейная интерполяция в компьютерной графике
Сплит-кватернион – Четырехмерная ассоциативная алгебра над действительными числами
Тессеракт – Четырехмерный аналог куба

Примечания

^ Более личный взгляд на кватернионы был написан Иоахимом Ламбеком в 1995 году. Он написал в своем эссе Если бы Гамильтон преобладал: кватернионы в физике : «Мой собственный интерес как аспиранта был вызван вдохновляющей книгой Зильберштейна». В заключение он заявил: «Я твердо верю, что кватернионы могут предоставить кратчайший путь для чистых математиков, желающих ознакомиться с определенными аспектами теоретической физики». Ламбек, Дж. (1995). «Если бы Гамильтон преобладал: кватернионы в физике». Math. Intelligencer . Vol. 17, no. 4. pp. 7–15. doi :10.1007/BF03024783.
^ Векторная часть кватерниона является «аксиальным» вектором или « псевдовектором », а не обычным или «полярным» вектором, как было формально доказано Альтманом (1986). ^[23] Полярный вектор может быть представлен в вычислениях (например, для вращения с помощью кватернионного «преобразования подобия») чисто мнимым кватернионом, без потери информации, но их не следует путать. Ось «двоичного» (180°) кватерниона вращения соответствует направлению представленного полярного вектора в таком случае.
^ Для сравнения, действительные числа имеют размерность 1, комплексные числа имеют размерность 2, а октонионы имеют размерность 8. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {O}$
^ Идентификация квадратных корней из минус единицы была дана Гамильтоном ^[33] , но часто опускалась в других текстах. К 1971 году сфера была включена Сэмом Перлисом в его трехстраничное изложение, включенное в Historical Topics in Algebra, опубликованное Национальным советом преподавателей математики . ^[34] Совсем недавно сфера квадратных корней из минус единицы была описана в книге Яна Р. Портеуса Clifford Algebras and the Classical Groups (Кембридж, 1995) в предложении 8.13. ^[35] $\mathbb {H}$
^ Книги по прикладной математике, такие как Corke (2017) ^[38], часто используют другие обозначения с $φ := ⁠ 1 / 2 ⁠ θ$ — то есть другая переменная $θ = 2 φ$ .

Ссылки

^ «О кватернионах; или о новой системе мнимых чисел в алгебре». Письмо Джону Т. Грейвсу . 17 октября 1843 г.
^ Розенфельд, Борис Абрамович (1988). История неевклидовой геометрии: Эволюция концепции геометрического пространства. Springer. С. 385. ISBN 9780387964584.
^ Гамильтон. Ходжес и Смит. 1853. стр. 60. кватернионные частные линии трехмерное пространство время
^ Харди 1881. Джинн, Хит и компания. 1881. с. 32. ISBN 9781429701860.
^ Кертис, Мортон Л. (1984), Матричные группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 10, ISBN 978-0-387-96074-6
^ ab Mamone, Salvatore; Pileio, Giuseppe; Levitt, Malcolm H. (2010). "Ориентационные схемы выборки на основе четырехмерных многогранников". Symmetry . 2 (3): 1423–1449. Bibcode :2010Symm....2.1423M. doi : 10.3390/sym2031423 .
^ Кунце, Карстен; Шебен, Хельмут (ноябрь 2004 г.). «Распределение Бингама кватернионов и его сферическое преобразование Радона в текстурном анализе». Математическая геология . 36 (8): 917–943. Bibcode :2004MatGe..36..917K. doi :10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59. S2CID 55009081.
^ Смит, Фрэнк (Тони). "Почему не sedenion?" . Получено 8 июня 2018 г. .
^ abc См. Хазевинкель, Губарени и Кириченко 2004, с. 12
^ Конвей и Смит 2003, стр. 9
^ Брэдли, Роберт Э.; Сэндифер, Чарльз Эдвард (2007). Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие. Elsevier. стр. 193. ISBN 978-0-444-52728-8.Они упоминают заявление Вильгельма Блашке от 1959 года о том, что «кватернионы были впервые идентифицированы Л. Эйлером в письме Гольдбаху, написанном 4 мая 1748 года», и комментируют, что «нет никакого смысла говорить, что Эйлер «идентифицировал» кватернионы в этом письме... это утверждение абсурдно».
^ Пуйоль, Дж., «Гамильтон, Родригес, Гаусс, кватернионы и вращения: историческая переоценка» Сообщения по математическому анализу (2012), 13(2), 1–14
^ Гаусс, CF (1900). «Mutationen des Raumes [Преобразования пространства] (ок. 1819 г.)». В Мартине Бренделе (ред.). Карл Фридрих Гаусс Верке [ Труды Карла Фридриха Гаусса ]. Том. 8. статья под редакцией профессора Штекеля из Киля, Германия. Геттинген, Германия: Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften [Королевское общество наук]. стр. 357–361.
^ ab Hamilton, WR (1844). «Письмо». Лондон, Эдинбург и Дублин Философский журнал и научный журнал . Том xxv. С. 489–495.
^ Гамильтон, сэр WR (1866). Гамильтон, WE (ред.). Элементы кватернионов. Лондон: Longmans, Green, & Co.
^ ab Shoemake, Ken (1985). "Анимация вращения с помощью кватернионных кривых" (PDF) . Компьютерная графика . 19 (3): 245–254. doi :10.1145/325165.325242.Представлено на SIGGRAPH '85.
^ Tomb Raider (1996) часто упоминается как первая массовая компьютерная игра, в которой для достижения плавных трехмерных вращений использовались кватернионы. См., например, Nick Bobick (июль 1998 г.). "Вращение объектов с использованием кватернионов". Разработчик игр .
^ Маккарти, Дж. М. (1990). Введение в теоретическую кинематику. MIT Press. ISBN 978-0-262-13252-7.
^ Гурвиц, А. (1919), Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen , Берлин: J. Springer, JFM 47.0106.01, относительно кватернионов Гурвица
^ Уэрта, Джон (27 сентября 2010 г.). «Введение в кватернионы» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2014-10-21 . Получено 8 июня 2018 г. .
^ Вуд, Чарли (6 сентября 2018 г.). «Странные числа, которые породили современную алгебру». Блог Abstractions . Журнал Quanta.
^ Ивс (1976, стр. 391)
^ Альтман, С.Л. Вращения, кватернионы и двойные группы . Гл. 12.
^ Гамильтон, сэр Уильям Роуэн (1866). «Статья 285». Элементы кватернионов. Longmans, Green, & Company. стр. 310.
^ Харди (1881). «Элементы кватернионов». Science . 2 (75). library.cornell.edu: 65. doi :10.1126/science.os-2.75.564. PMID 17819877.
^ "группа кватернионов". Wolframalpha.com .
^ Гиббс, Дж. Уиллард; Уилсон, Эдвин Бидвелл (1901). Векторный анализ. Издательство Йельского университета. стр. 428. правый тензор диадический
^ ab Hamilton, WR (1844–1850). «О кватернионах или новой системе мнимых в алгебре». Коллекция Дэвида Р. Уилкинса. Philosophical Magazine . Trinity College Dublin .
^ «Визуализация кватернионов». Morgan-Kaufmann/Elsevier. 2005.
^ "[название не указано; детерминантная оценка]". Wolframalpha.com .
^ например, Альтман (1986), Вращения, кватернионы и двойные группы , стр. 212, уравнение 5
^ Фарбратер, Ричард Уильям; Гросс, Юрген; Трошке, Свен-Оливер (2003). «Матричное представление кватернионов». Линейная алгебра и ее приложения . 362 : 251–255. дои : 10.1016/s0024-3795(02)00535-9 .
^ Гамильтон, WR (1899). Элементы кватернионов (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 244. ISBN 1-108-00171-8.
^ Перлис, Сэм (1971). "Капсула 77: Кватернионы" . Исторические темы в алгебре . Исторические темы для математического класса. Том 31. Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики . стр. 39. ISBN 9780873530583. OCLC 195566.
^ Портеус, Ян Р. (1995). "Глава 8: Кватернионы". Алгебры Клиффорда и классические группы (PDF) . Кембриджские исследования по высшей математике. Том 50. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 60. doi : 10.1017/CBO9780511470912.009. ISBN 9780521551779. MR 1369094. OCLC 32348823.
^ "[название не указано]" (PDF) . bridgesmathart.org . архив . Получено 19 августа 2018 г. .
^ ab Särkkä, Simo (28 июня 2007 г.). «Заметки о кватернионах» (PDF) . Lce.hut.fi . Архивировано из оригинала (PDF) 5 июля 2017 г.
^ Корк, Питер (2017). Робототехника, зрение и управление – фундаментальные алгоритмы в MATLAB . Springer . ISBN 978-3-319-54413-7.
^ Парк, ФК; Равани, Бахрам (1997). «Гладкая инвариантная интерполяция вращений». ACM Transactions on Graphics . 16 (3): 277–295. doi : 10.1145/256157.256160 . S2CID 6192031.
^ Хансон, Джейсон (2011). «Вращения в трех, четырех и пяти измерениях». arXiv : 1103.5263 [math.MG].
^ Günaşti, Gökmen (2016). Алгебра кватернионов, их применение во вращениях и за пределами кватернионов (BS). Университет Линнея.
^ "Трехмерные точечные группы". www.classe.cornell.edu . Получено 2022-12-09 .
^ "Кватернионы и геометрическая алгебра". geometricalgebra.net . Получено 2008-09-12 .См. также: Дорст, Лео; Фонтейн, Дэниел; Манн, Стивен (2007). Геометрическая алгебра для информатики. Морган Кауфманн . ISBN 978-0-12-369465-2.
^ Гамильтон, WR (1853). Лекции о кватернионах. Дублин, IE: Hodges & Smith. стр. 522.
↑ Грейвс, Р. П. Жизнь сэра Уильяма Роуэна Гамильтона. Дублин Ходжес, Фиггис. С. 635–636.
^ Томпсон, Сильванус Филлипс (1910). Жизнь Уильяма Томсона. Т. 2. Лондон, Великобритания: Macmillan. С. 1138.
^ Хевисайд, Оливер (1893). Электромагнитная теория. Т. I. Лондон, Великобритания: The Electrician Printing and Publishing Company. С. 134–135.
^ Зильберштейн, Людвик (1924). «Предисловие ко второму изданию». Теория относительности (2-е изд.).
^ Альтманн, Саймон Л. (1986). Вращения, кватернионы и двойные группы . Clarendon Press. ISBN 0-19-855372-2. LCCN 85013615.

Дальнейшее чтение

Книги и публикации

Гамильтон, Уильям Роуэн (1844). «О кватернионах, или о новой системе мнимых в алгебре». Philosophical Magazine . 25 (3): 489–495. doi :10.1080/14786444408645047.
Гамильтон, Уильям Роуэн (1853), « Лекции о кватернионах ». Королевская Ирландская академия.
Гамильтон (1866) Элементы кватернионов Издательство Дублинского университета . Под редакцией Уильяма Эдвина Гамильтона, сына покойного автора.
Гамильтон (1899) Элементы кватернионов, том I, (1901) том II. Под редакцией Чарльза Джаспера Джоли ; опубликовано Longmans, Green & Co.
Тейт, Питер Гатри (1873), « Элементарный трактат о кватернионах ». 2-е изд., Кембридж, [англ.] : The University Press.
Максвелл, Джеймс Клерк (1873), « Трактат об электричестве и магнетизме ». Clarendon Press, Оксфорд.
Тейт, Питер Гатри (1886), " "Архивная копия". Архивировано из оригинала 8 августа 2014 года . Получено 26 июня 2005 года .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link) CS1 maint: unfit URL (link)". MA Sec. RSE Encyclopaedia Britannica , девятое издание, 1886, том XX, стр. 160–164. (сжатый файл PostScript )
Джоли, Чарльз Джаспер (1905). Справочник кватернионов . Macmillan. LCCN 05036137.
Макфарлейн, Александр (1906). Векторный анализ и кватернионы (4-е изд.). Wiley. LCCN 16000048.
Чисхолм, Хью , ред. (1911). «Алгебра» . Encyclopaedia Britannica (11-е изд.). Cambridge University Press.( См. раздел о кватернионах. )
Финкельштейн, Дэвид; Яух, Йозеф М.; Шиминович, Сэмюэл; Шпайзер, Дэвид (1962). «Основы кватернионной квантовой механики». J. Math. Phys . 3 (2): 207–220. Bibcode :1962JMP.....3..207F. doi :10.1063/1.1703794. S2CID 121453456.
Дю Валь, Патрик (1964). Гомографии, кватернионы и вращения . Оксфордские математические монографии. Clarendon Press. LCCN 64056979.
Майкл Дж. Кроу (1967), История векторного анализа : эволюция идеи векторной системы , Издательство Университета Нотр-Дам. Рассматривает основные и второстепенные векторные системы 19-го века (Гамильтон, Мёбиус, Беллавитис, Клиффорд, Грассман, Тейт, Пирс, Максвелл, Макфарлейн, Маколи, Гиббс, Хевисайд).
Альтманн, Саймон Л. (1989). «Гамильтон, Родригес и скандал с кватернионом». Mathematics Magazine . 62 (5): 291–308. doi :10.1080/0025570X.1989.11977459.
Пуйоль, Хосе (2014). «О почти забытой ранней работе Гамильтона о связи между вращениями и кватернионами и о композиции вращений». The American Mathematical Monthly . 121 (6): 515–522. doi :10.4169/amer.math.monthly.121.06.515. S2CID 1543951.
Адлер, Стивен Л. (1995). Кватернионная квантовая механика и квантовые поля . Международная серия монографий по физике. Т. 88. Oxford University Press. ISBN 0-19-506643-X. LCCN 94006306.
Уорд, Дж. П. (1997). Кватернионы и числа Кэли: алгебра и приложения . Kluwer Academic. ISBN 0-7923-4513-4.
Кантор, ИЛ; Солодников, АС (1989). Гиперкомплексные числа, элементарное введение в алгебры . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96980-2.
Gürlebeck, Klaus; Sprössig, Wolfgang (1997). Кватернионное и Клиффордово исчисление для физиков и инженеров . Математические методы на практике. Том 1. Wiley. ISBN 0-471-96200-7. LCCN 98169958.
Кёйперс, Джек (2002). Кватернионы и последовательности вращения: учебник с приложениями к орбитам, аэрокосмической отрасли и виртуальной реальности . Princeton University Press . ISBN 0-691-10298-8.
Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия . AK Peters. ISBN 1-56881-134-9.(обзор).
Джек, П.М. (2003). "Физическое пространство как кватернионная структура, I: Уравнения Максвелла. Краткая заметка". arXiv : math-ph/0307038 .
Кравченко, Владислав (2003). Прикладной кватернионный анализ . Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-228-8.
Хазевинкель, Михель ; Губарени, Надежда; Кириченко, Владимир В. (2004). Алгебры, кольца и модули. Том. 1. Спрингер. ISBN 1-4020-2690-0.
Хансон, Эндрю Дж. (2006). Визуализация кватернионов. Elsevier. ISBN 0-12-088400-3.
Binz, Ernst; Pods, Sonja (2008). "1. The Skew Field of Quaternions". Геометрия групп Гейзенберга . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4495-3.
Доран, Крис Дж. Л .; Ласенби, Энтони Н. (2003). Геометрическая алгебра для физиков . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-48022-2.
Винс, Джон А. (2008). Геометрическая алгебра для компьютерной графики . Springer. ISBN 978-1-84628-996-5.
Для молекул, которые можно рассматривать как классические жесткие тела, компьютерное моделирование молекулярной динамики использует кватернионы. Они были впервые введены для этой цели Эвансом, DJ (1977). "О представлении пространства ориентации". Mol. Phys . 34 (2): 317–325. Bibcode :1977MolPh..34..317E. doi :10.1080/00268977700101751.
Чжан, Фучжэнь (1997). «Кватернионы и матрицы кватернионов». Линейная алгебра и ее приложения . 251 : 21–57. doi : 10.1016/0024-3795(95)00543-9 .
Рон Голдман (2010). Переосмысление кватернионов: теория и вычисления . Морган и Клейпул. ISBN 978-1-60845-420-4.
Ивс, Говард (1976), Введение в историю математики (4-е изд.), Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , ISBN 0-03-089539-1
Войт, Джон (2021). Кватернионные алгебры . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 288. Springer. doi : 10.1007/978-3-030-56694-4 . ISBN 978-3-030-57467-3.

Ссылки и монографии

«Уведомления о кватернионе».Уведомления и материалы, связанные с презентациями конференции Quaternion
«Кватернион», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
«Часто задаваемые вопросы». Матрица и кватернион . 1.21.
Свитсер, Дуг. «Занимаемся физикой с помощью кватернионов».
Кватернионы для компьютерной графики и механики (Гернот Хоффман)
Гспонер, Андре; Хурни, Жан-Пьер (2002). «Физическое наследие сэра У. Р. Гамильтона». arXiv : math-ph/0201058 .
Уилкинс, Д.Р. «Исследования Гамильтона по кватернионам».
Гроссман, Дэвид Дж. «Кватернионные фракталы Жюлиа».3D Raytraced Quaternion Фракталы Джулии
«Математика и преобразования кватернионов».Отличная страница, объясняющая основы математики со ссылками на простые формулы преобразования вращения.
Мэтьюз, Джон Х. "Библиография кватернионов". Архивировано из оригинала 2006-09-02.
«Силы кватерниона». GameDev.net.
Хансон, Эндрю. "Домашняя страница Visualizing Quaternions". Архивировано из оригинала 2006-11-05.
Карни, Чарльз ФФ (январь 2007 г.). «Кватернионы в молекулярном моделировании». J. Mol. Graph. Mod . 25 (5): 595–604. arXiv : physics/0506177 . doi :10.1016/j.jmgm.2006.04.002. PMID 16777449. S2CID 6690718.
Мёбиус, Йохан Э. (2005). «Доказательство теоремы о представлении кватернионов для четырехмерных вращений на основе матриц». arXiv : math/0501249 .
Мёбиус, Йохан Э. (2007). «Вывод формулы Эйлера–Родригеса для трехмерных вращений из общей формулы для четырехмерных вращений». arXiv : math/0701759 .
«Прогулка Гамильтона». Кафедра математики, Национальный университет Мэйнута .
"Использование кватернионов для представления вращения". OpenGL:Учебники . Архивировано из оригинала 2007-12-15.
Дэвид Эриксон, Министерство оборонных исследований и разработок Канады (DRDC), Полный вывод матрицы вращения из представления унитарного кватерниона в статье DRDC TR 2005-228.
Мартинес, Альберто. «Отрицательная математика. Как математические правила могут быть сложены в положительную форму». Исторический факультет Техасского университета. Архивировано из оригинала 24.09.2011.
Штальке, Д. «Кватернионы в классической механике» (PDF) .
Морье-Жено, Софи; Овсиенко, Валентин (2008). «Ну, папа, ты умеешь умножать тройки?». arXiv : 0810.5562 [math.AC].описывает, как кватернионы можно преобразовать в косокоммутативную алгебру, градуированную по Z /2 × Z /2 × Z /2 .
Джойс, Хелен (ноябрь 2004 г.). «Любопытные кватернионы». Ведущий — Джон Баэз .
Ибаньес, Луис. "Учебник по кватернионам. Часть I" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2012-02-04 . Получено 2011-12-05 .Часть II (PDF; с использованием терминологии Гамильтона, которая отличается от современной)
Ghiloni, R.; Moretti, V.; Perotti, A. (2013). "Непрерывное функциональное исчисление срезов в кватернионных гильбертовых пространствах". Rev. Math. Phys . 25 (4): 1350006–126. arXiv : 1207.0666 . Bibcode :2013RvMaP..2550006G. doi :10.1142/S0129055X13500062. S2CID 119651315.
Ghiloni, R.; Moretti, V.; Perotti, A. (2017). "Спектральные представления нормальных операторов с помощью переплетающихся кватернионных проекционных мер". Rev. Math. Phys . 29 : 1750034. arXiv : 1602.02661 . doi :10.1142/S0129055X17500349. S2CID 124709652.две обзорные статьи о непрерывном функциональном исчислении и спектральной теории в квантернионных гильбертовых пространствах, полезные в строгой кватернионной квантовой механике.
Приложение Android Quaternions отображает кватернион, соответствующий ориентации устройства.
Статья «Вращение объектов с использованием кватернионов», в которой говорится об использовании кватернионов для вращения в видеоиграх/компьютерной графике.

Внешние ссылки

В Wikibook Associative Composition Algebra есть страница по теме: Кватернионы

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с Кватернионом .

Найдите значение слова «кватернион» в Викисловаре, бесплатном словаре.

Медиа, связанные с кватернионами на Wikimedia Commons
Полсон, Лоуренс К. Кватернионы (Формальное доказательство развития в Isabelle/HOL, Архив формальных доказательств)
Кватернионы – Визуализация