Геометрическая алгебра

Алгебраическая структура, предназначенная для геометрии

В математике геометрическая алгебра (также известная как алгебра Клиффорда ) является расширением элементарной алгебры для работы с геометрическими объектами, такими как векторы . Геометрическая алгебра построена из двух фундаментальных операций: сложения и геометрического произведения. Умножение векторов приводит к созданию объектов более высокой размерности, называемых мультивекторами . По сравнению с другими формализмами манипулирования геометрическими объектами геометрическая алгебра примечательна тем, что поддерживает деление векторов (хотя, как правило, не для всех элементов) и добавление объектов разных размерностей.

Геометрическое произведение было впервые кратко упомянуто Германом Грассманом ^[1] , который в основном интересовался разработкой тесно связанной с ним внешней алгебры . В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд значительно расширил работу Грассмана, сформировав то, что сейчас обычно называют алгебрами Клиффорда в его честь (хотя сам Клиффорд предпочитал называть их «геометрическими алгебрами»). Клиффорд определил алгебру Клиффорда и ее произведение как объединение алгебры Грассмана и алгебры кватернионов Гамильтона . Добавление двойственного внешнего произведения Грассмана («встреча») позволяет использовать алгебру Грассмана – Кэли , а конформная версия последней вместе с конформной алгеброй Клиффорда дает конформную геометрическую алгебру (CGA), обеспечивающую основу для классической геометрии . ^[2] На практике эти и некоторые производные операции позволяют сопоставлять элементы, подпространства и операции алгебры с геометрическими интерпретациями. В течение нескольких десятилетий геометрические алгебры несколько игнорировались, их сильно затмило векторное исчисление, недавно разработанное для описания электромагнетизма. Термин «геометрическая алгебра» был повторно популяризирован в 1960-х годах Хестеном , который отстаивал его важность для релятивистской физики. ^[3]

Скаляры и векторы имеют свою обычную интерпретацию и составляют отдельные подпространства геометрической алгебры. Бивекторы обеспечивают более естественное представление псевдовекторных величин векторного исчисления, обычно определяемых с использованием векторного произведения , таких как ориентированная площадь, ориентированный угол поворота, крутящий момент, угловой момент и магнитное поле . Тривектор может представлять ориентированный объем и так далее. Элемент, называемый лезвием , может использоваться для представления подпространства и ортогональных проекций на это подпространство. Вращения и отражения представлены как элементы. В отличие от векторной алгебры, геометрическая алгебра естественным образом допускает любое количество измерений и любую квадратичную форму, например, в теории относительности . ${\displaystyle V}$

Примеры геометрических алгебр, применяемых в физике, включают алгебру пространства-времени (и менее распространенную алгебру физического пространства ) и конформную геометрическую алгебру . Геометрическое исчисление , расширение ГА, включающее дифференцирование и интегрирование , может использоваться для формулирования других теорий, таких как комплексный анализ и дифференциальная геометрия , например, используя алгебру Клиффорда вместо дифференциальных форм . Геометрическую алгебру пропагандировали, в первую очередь Дэвид Хестенс ^[4] и Крис Доран ^[5] , как предпочтительную математическую основу физики . Сторонники утверждают, что он обеспечивает компактные и интуитивно понятные описания во многих областях, включая классическую и квантовую механику , теорию электромагнетизма и теорию относительности . ^[6] GA также нашел применение в качестве вычислительного инструмента в компьютерной графике ^[7] и робототехнике .

Определение и обозначения

Существует несколько различных способов определения геометрической алгебры. Первоначальный подход Хестенеса был аксиоматическим, ^[8] «полным геометрического значения» и эквивалентным универсальной ^[а] алгебре Клиффорда. ^[9] Учитывая конечномерное векторное пространство над полем с симметричной билинейной формой ( канеральное произведение , ^[b] например, евклидова или лоренцева метрика ) , геометрической алгеброй квадратичного пространства является алгебра Клиффорда , элементом которой называется многовекторным. Алгебра Клиффорда обычно определяется как факторалгебра тензорной алгебры , хотя это определение является абстрактным, поэтому следующее определение представлено без требования абстрактной алгебры . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g:V\times V\to F}$ ${\displaystyle (V,g)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$

Определение

Ассоциативная алгебра с единицей с невырожденной симметричной билинейной формой называется алгеброй Клиффорда квадратичного пространства, если ^[10] ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$ ${\displaystyle g:V\times V\to F}$ ${\displaystyle (V,g)}$

• он содержит и как отдельные подпространства ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}$для ${\displaystyle a\in V}$
• ${\displaystyle V}$генерирует как алгебра ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$не порождается никаким собственным подпространством . ${\displaystyle V}$

Чтобы охватить вырожденные симметричные билинейные формы, последнее условие необходимо изменить. ^[c] Можно показать, что эти условия однозначно характеризуют геометрическое произведение.

В оставшейся части статьи будет рассматриваться только реальный случай . Обозначение (соответственно ) будет использоваться для обозначения геометрической алгебры, для которой билинейная форма имеет сигнатуру (соответственно ). ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q,r)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (p,q,r)}$

Произведение в алгебре называется геометрическим произведением , а произведение в содержащейся внешней алгебре называется внешним произведением (часто называемым клиновым произведением и реже внешним произведением ^[d] ). Обычно их обозначают сопоставлением (т. е. подавлением любого явного символа умножения) и символом . ${\displaystyle \wedge }$

Приведенное выше определение геометрической алгебры все еще несколько абстрактно, поэтому мы суммируем здесь свойства геометрического произведения. Для мультивекторов : ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {G}}(p,q)}$

• ${\displaystyle AB\in {\mathcal {G}}(p,q)}$( закрытие )
• ${\displaystyle 1A=A1=A}$, где – идентификационный элемент (наличие идентификационного элемента ) ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle A(BC)=(AB)C}$( ассоциативность )
• ${\displaystyle A(B+C)=AB+AC}$и ( дистрибутивность ) ${\displaystyle (B+C)A=BA+CA}$
• ${\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}$для . ${\displaystyle a\in V}$

Внешний продукт имеет те же свойства, за исключением того, что последнее свойство выше заменено на for . ${\displaystyle a\wedge a=0}$ ${\displaystyle a\in V}$

Обратите внимание, что в последнем свойстве, приведенном выше, действительное число не обязательно должно быть неотрицательным, если оно не является положительно определенным. Важным свойством геометрического произведения является существование элементов, имеющих мультипликативный обратный. Для вектора if then существует и равен . Ненулевой элемент алгебры не обязательно имеет мультипликативный обратный. Например, если вектор в таком , что элемент является одновременно нетривиальным идемпотентным элементом и ненулевым делителем нуля и, следовательно, не имеет обратного. ^[э] ${\displaystyle g(a,a)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle g(a,a)^{-1}a}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u^{2}=1}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(1+u)}$

Обычно отождествляют и их образы при естественных вложениях и . В данной статье предполагается такая идентификация. Везде термины скаляр и вектор относятся к элементам и соответственно (и их изображениям при этом вложении). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle V\to {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$

Геометрическое произведение

Учитывая два вектора и , если геометрическое произведение ^[13] антикоммутативно ; они перпендикулярны (сверху), потому что , если он коммутативен; они параллельны (внизу), потому что . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a\cdot b=0}$ ${\displaystyle a\wedge b=0}$

Геометрическая интерпретация элементов градиента в реальной внешней алгебре для (точки со знаком), (направленного отрезка или вектора), (ориентированного плоского элемента), (ориентированного объема). Внешнее произведение векторов можно визуализировать как любую -мерную форму (например , - параллелотоп , - эллипсоид ); с величиной ( гиперобъемом ) и ориентацией, определяемой тем, на ее -мерной границе и на какой стороне находится внутренняя часть. ^{[14] [15]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Для векторов и мы можем записать геометрическое произведение любых двух векторов и как сумму симметричного произведения и антисимметричного произведения: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba).}$

Таким образом, мы можем определить скалярное произведение ^[b] векторов как

${\displaystyle a\cdot b:=g(a,b),}$

так что симметричное произведение можно записать как

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b.}$

И наоборот, полностью определяется алгеброй. Антисимметричная часть — это внешнее произведение двух векторов, произведение содержащейся в нем внешней алгебры : ${\displaystyle g}$

${\displaystyle a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a).}$

Затем простым сложением:

${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$необобщенная или векторная форма геометрического произведения.

Внутренние и внешние продукты связаны со знакомыми понятиями стандартной векторной алгебры. Геометрически и параллельны , если их геометрическое произведение равно их внутреннему продукту, тогда как и перпендикулярны, если их геометрическое произведение равно их внешнему произведению. В геометрической алгебре, для которой квадрат любого ненулевого вектора положителен, скалярное произведение двух векторов можно отождествить со скалярным произведением стандартной векторной алгебры. Внешнее произведение двух векторов можно идентифицировать по области со знаком , заключенной в параллелограмм , стороны которого являются векторами. Перекрестное произведение двух векторов в измерениях положительно определенной квадратичной формы тесно связано с их внешним произведением. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 3}$

Большинство представляющих интерес примеров геометрических алгебр имеют невырожденную квадратичную форму. Если квадратичная форма полностью вырождена , скалярное произведение любых двух векторов всегда равно нулю, и тогда геометрическая алгебра является просто внешней алгеброй. Если не указано иное, в этой статье будут рассматриваться только невырожденные геометрические алгебры.

Внешний продукт естественным образом расширяется как ассоциативный билинейный бинарный оператор между любыми двумя элементами алгебры, удовлетворяющий тождествам

${\displaystyle {\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}}$

где сумма ведется по всем перестановкам индексов со знаком перестановки и являются векторами (не общими элементами алгебры). Поскольку каждый элемент алгебры может быть выражен как сумма произведений этого вида, это определяет внешний продукт для каждой пары элементов алгебры. Из определения следует, что внешнее произведение образует знакопеременную алгебру . ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Эквивалентное структурное уравнение для алгебры Клиффорда: ^{[16] [17]}

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}Pf(a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}}$

где - пфаффиан и обеспечивает комбинации индексов , разделенных на и части , и - четность комбинации . ${\displaystyle Pf(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\textstyle {\mathcal {C}}={\binom {n}{2i}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2i}$ ${\displaystyle n-2i}$ ${\displaystyle k}$

Пфаффиан обеспечивает метрику для внешней алгебры, и, как отметил Клод Шевалле, алгебра Клиффорда сводится к внешней алгебре с нулевой квадратичной формой. ^[18] Роль, которую играет пфаффиан, можно понять с геометрической точки зрения, разработав алгебру Клиффорда на основе симплексов . ^[19] Этот вывод обеспечивает лучшую связь между треугольником Паскаля и симплексами , поскольку он дает интерпретацию первого столбца единиц.

Лезвия, степени и каноническая основа

Мультивектор, который является внешним произведением линейно независимых векторов, называется лезвием и называется градацией . ^[f] Мультивектор, который представляет собой сумму лопастей степени, называется (однородным) мультивектором степени . Из аксиом с замыканием каждый мультивектор геометрической алгебры представляет собой сумму лопастей. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Рассмотрим набор линейно независимых векторов, охватывающих -мерное подпространство векторного пространства. С их помощью мы можем определить действительную симметричную матрицу (так же, как матрица Грама ) ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{r}\}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}$

По спектральной теореме можно диагонализировать до диагональной матрицы ортогональную матрицу через ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {O} }$

${\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$

Определите новый набор векторов , известный как ортогональные базисные векторы, которые будут преобразованы ортогональной матрицей: ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}$

Поскольку ортогональные преобразования сохраняют скалярные произведения, отсюда следует, что и, следовательно, они перпендикулярны. Другими словами, геометрическое произведение двух различных векторов полностью определяется их внешним произведением или, в более общем смысле, ${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$ ${\displaystyle e_{i}\neq e_{j}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}$

Следовательно, каждое лезвие сорта можно записать как внешнее произведение векторов. В более общем смысле, если разрешена вырожденная геометрическая алгебра, то ортогональная матрица заменяется блочной матрицей , ортогональной в невырожденном блоке, а диагональная матрица имеет нулевые элементы вдоль вырожденных измерений. Если новые векторы невырожденного подпространства нормализованы согласно ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{i}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},}$

тогда эти нормализованные векторы должны быть квадратными или . По закону инерции Сильвестра общее количество и общее количество s вдоль диагональной матрицы инвариантны. В более широком смысле, общее количество этих векторов, которые находятся в квадрате , и общее количество этих векторов , которые находятся в квадрате, инвариантны. (Общее число базисных векторов, обращающихся в ноль, также инвариантно и может быть отличным от нуля, если разрешен вырожденный случай.) Обозначим эту алгебру . Например, моделирует трехмерное евклидово пространство , релятивистское пространство-время и конформную геометрическую алгебру трехмерного пространства. ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

Множество всех возможных произведений ортогональных базисных векторов с индексами в порядке возрастания, в том числе и пустое произведение, образует основу всей геометрической алгебры (аналог теоремы ПБВ ) . Например, следующее является основой геометрической алгебры : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}e_{3}\}}$

Базис, сформированный таким образом, называется каноническим базисом геометрической алгебры, и любой другой ортогональный базис будет порождать другой канонический базис. Каждый канонический базис состоит из элементов. Каждый мультивектор геометрической алгебры можно выразить как линейную комбинацию элементов канонического базиса. Если канонические базисные элементы являются набором индексов, то геометрическое произведение любых двух мультивекторов равно ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \{B_{i}\mid i\in S\}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \left(\sum _{i}\alpha _{i}B_{i}\right)\left(\sum _{j}\beta _{j}B_{j}\right)=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}.}$

Терминология « -вектор» часто встречается для описания мультивекторов, содержащих элементы только одного сорта. В пространстве более высокого измерения некоторые такие мультивекторы не являются лопастями (не могут быть учтены во внешнем произведении векторов). Например, in нельзя учитывать; однако обычно такие элементы алгебры не поддаются геометрической интерпретации как объекты, хотя они могут представлять геометрические величины, такие как вращения. Только -, -, - и -векторы всегда являются лезвиями в -пространстве. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,0)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Версор

-версор — это мультивектор, который можно выразить как геометрическое произведение обратимых векторов. ^{[g] [21]} Единичные кватернионы (первоначально названные Гамильтоном версорами) могут быть отождествлены с роторами в трехмерном пространстве почти так же, как реальные двумерные роторы включают в себя комплексные числа; за подробностями обращайтесь в Дорст. ^[22] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Некоторые авторы используют термин «версорный продукт» для обозначения часто встречающегося случая, когда операнд «зажат» между операторами. Описания вращений и отражений, включая их внешние морфизмы, являются примерами такого сэндвичинга. Эти внешние морфизмы имеют особенно простую алгебраическую форму. ^[h] В частности, отображение векторов вида

${\displaystyle V\to V:a\mapsto RaR^{-1}}$продолжается до внешнего морфизма ${\displaystyle {\mathcal {G}}(V)\to {\mathcal {G}}(V):A\mapsto RAR^{-1}.}$

Поскольку и операторы, и операнд являются версорами, существует возможность альтернативных примеров, таких как вращение ротора или отражение спинора, всегда при условии, что таким операциям можно придать некоторый геометрический или физический смысл.

По теореме Картана-Дьедонне мы получаем, что каждая изометрия может быть задана как отражения в гиперплоскостях, а поскольку составные отражения обеспечивают вращения, то ортогональные преобразования являются версорами.

В групповых терминах для действительного невырожденного , идентифицировав группу как группу всех обратимых элементов , Лундхольм дает доказательство того, что «группа версоров» (множество обратимых версоров) равна группе Липшица ( также известной как Клиффорда, хотя Лундхольм не одобряет такое использование). ^[23] ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\times }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \{v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\in {\mathcal {G}}:v_{i}\in V^{\times }\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Подгруппы группы Липшица

Обозначим инволюцию степени как и реверсию как . ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

Хотя группы Липшица (определяемые как ) и группа версора (определяемые как ) имеют разные определения, они представляют собой одну и ту же группу. Лундхольм определяет , и подгруппы группы Липшица. ^[24] ${\displaystyle \{X\in {\mathcal {G}}^{\times }\mid {\hat {X}}VX^{-1}\subseteq V\}}$ ${\displaystyle \textstyle \{\prod _{i=0}^{k}v_{i}\mid v_{i}\in V^{\times },k\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle \operatorname {Pin} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$

Множественный анализ спиноров использует GA в качестве представления. ^[25]

Прогноз оценки

Структуру A - градуированного векторного пространства можно установить в геометрической алгебре с помощью внешнего произведения, которое естественным образом индуцируется геометрическим произведением. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Поскольку геометрическое произведение и внешнее произведение равны на ортогональных векторах, эту градуировку удобно построить с использованием ортогонального базиса . ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

Элементы геометрической алгебры, которые являются скалярными кратными, имеют степень и называются скалярами . Элементы, находящиеся в диапазоне имеют класс и являются обычными векторами. Элементы в диапазоне имеют степень и являются бивекторами. Эта терминология продолжается до последнего класса -векторов. Альтернативно -векторы называются псевдоскалярами , -векторы называются псевдовекторами и т. д. Многие элементы алгебры не классифицируются по этой схеме, поскольку они представляют собой суммы элементов разной степени. Такие элементы называются смешанными . Градация мультивекторов не зависит от изначально выбранного базиса. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \{e_{i}e_{j}\mid 1\leq i<j\leq n\}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Это градуировка векторного пространства, но не алгебры. Поскольку произведение -лопасти и -лопасти содержится в промежутке сквозных -лопастей, геометрическая алгебра является фильтрованной алгеброй . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r+s}$

Мультивектор можно разложить с помощью оператора проекции уклона , который выводит часть уклона . Как результат: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{r=0}^{n}\langle A\rangle _{r}}$

Например, геометрическое произведение двух векторов с и и для отличных от и . ${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b=\langle ab\rangle _{0}+\langle ab\rangle _{2}}$ ${\displaystyle \langle ab\rangle _{0}=a\cdot b}$ ${\displaystyle \langle ab\rangle _{2}=a\wedge b}$ ${\displaystyle \langle ab\rangle _{i}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$

Разложение мультивектора также можно разделить на четные и нечетные компоненты: ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{+}=\langle A\rangle _{0}+\langle A\rangle _{2}+\langle A\rangle _{4}+\cdots }$

${\displaystyle A^{-}=\langle A\rangle _{1}+\langle A\rangle _{3}+\langle A\rangle _{5}+\cdots }$

Это результат забывания структуры от градуированного векторного пространства к градуированному векторному пространству . Геометрическое произведение учитывает эту более грубую градацию. Таким образом, геометрическая алгебра не только является а - градуированным векторным пространством , но и является а - градуированной алгеброй или супералгеброй . ${\displaystyle \mathrm {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

Ограничиваясь четной частью, произведение двух четных элементов также является четным. Это означает, что четные мультивекторы определяют четную подалгебру . Четная подалгебра -мерной геометрической алгебры изоморфна (без сохранения ни фильтрации, ни градуировки) полной геометрической алгебре размерностей. Примеры включают и . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{+}(2,0)\cong {\mathcal {G}}(0,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{+}(1,3)\cong {\mathcal {G}}(3,0)}$

Представление подпространств

Геометрическая алгебра представляет подпространства как лезвия, поэтому они сосуществуют в одной алгебре с векторами из . -мерное подпространство представлено путем взятия ортогонального базиса и использования геометрического произведения для формирования лезвия . Есть несколько лезвий, обозначающих ; все представляющие являются скалярными кратными . Эти лезвия можно разделить на два набора: положительные кратные и отрицательные кратные . Говорят , что положительные кратные имеют ту же ориентацию , что и отрицательные кратные, противоположную ориентацию . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k}\}}$ ${\displaystyle D=b_{1}b_{2}\cdots b_{k}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Лезвия важны, поскольку геометрические операции, такие как проекции, повороты и отражения, зависят от факторизуемости через внешний продукт, который обеспечивает (ограниченный класс) -лопастей, но что (обобщенный класс) градус- мультивекторов не делает, когда . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 4}$

Единичные псевдоскаляры

Единичные псевдоскаляры — это лезвия, которые играют важную роль в GA. Единичный псевдоскаляр для невырожденного подпространства представляет собой лезвие, которое является произведением членов ортонормированного базиса для . Можно показать, что если и являются единичными псевдоскалярами для , то и . Если не выбрать ортонормированный базис для , то вложение Плюкера дает вектор во внешней алгебре, но только с точностью до масштабирования. Используя изоморфизм векторного пространства между геометрической алгеброй и внешней алгеброй, это дает класс эквивалентности для всех . Ортонормальность избавляет от этой двусмысленности, за исключением признаков, указанных выше. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I'}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle I=\pm I'}$ ${\displaystyle I^{2}=\pm 1}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \alpha I}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$

Предположим, что геометрическая алгебра со знакомым положительно определенным скалярным произведением сформирована. Учитывая плоскость (двумерное подпространство)  , можно найти ортонормированный базис, охватывающий плоскость, и, таким образом, найти единичный псевдоскаляр, представляющий эту плоскость. Геометрическое произведение любых двух векторов в диапазоне и лежит в , то есть это сумма -вектора и -вектора . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(n,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{b_{1},b_{2}\}}$ ${\displaystyle I=b_{1}b_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$

По свойствам геометрического произведения . Сходство с мнимой единицей не случайно: подпространство является -алгеброй, изоморфной комплексным числам . Таким образом, копия комплексных чисел встраивается в геометрическую алгебру для каждого двумерного подпространства, в котором определена квадратичная форма. ${\displaystyle I^{2}=b_{1}b_{2}b_{1}b_{2}=-b_{1}b_{2}b_{2}b_{1}=-1}$ ${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$

Иногда можно определить наличие мнимой единицы в физическом уравнении. Такие единицы возникают из одной из многих величин в реальной алгебре, которые квадратичны к , и они имеют геометрическое значение из-за свойств алгебры и взаимодействия ее различных подпространств. ${\displaystyle -1}$

В случае происходит еще один знакомый случай. Учитывая канонический базис, состоящий из ортонормированных векторов , набор всех -векторов натянут на ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \{e_{3}e_{2},e_{1}e_{3},e_{2}e_{1}\}.}$

Обозначая их и ( на мгновение отклоняясь от нашего соглашения о верхнем регистре), подпространство, созданное -vectors и -vectors, равно . Этот набор рассматривается как четная подалгебра , и, кроме того , как -алгебра изоморфна кватернионам , другой важной алгебраической системе. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \{\alpha _{0}+i\alpha _{1}+j\alpha _{2}+k\alpha _{3}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Расширения внутренних и внешних продуктов

Обычной практикой является расширение внешнего произведения векторов на всю алгебру. Это можно сделать с помощью вышеупомянутого оператора проекции уклона:

${\displaystyle C\wedge D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r+s}}$     ( внешний продукт )

Это обобщение согласуется с приведенным выше определением антисимметризации. Другое обобщение, связанное с внешним произведением, - это коммутаторное произведение:

${\displaystyle C\times D:={\tfrac {1}{2}}(CD-DC)}$     ( коммутаторное произведение )

Регрессивный продукт является двойником внешнего продукта (соответственно соответствующему «встрече» и «объединению» в этом контексте). ^[i] Двойная спецификация элементов допускает для лезвий и пересечение (или встречу), где двойственность должна быть принята относительно лезвия a, содержащего оба и (наименьшее такое лезвие является соединением). ^[27] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle C\vee D:=((CI^{-1})\wedge (DI^{-1}))I}$

с единичным псевдоскаляром алгебры. Регрессивный продукт, как и внешний продукт, ассоциативен. ^[28] ${\displaystyle I}$

Внутреннее произведение векторов также можно обобщить, но более чем одним неэквивалентным способом. В статье (Дорст 2002) дается полное описание нескольких различных внутренних продуктов, разработанных для геометрических алгебр и их взаимосвязей, и обозначения взяты оттуда. Многие авторы используют тот же символ, что и для внутреннего произведения векторов выбранного ими расширения (например, Гестенес и Первасс). Никаких последовательных обозначений не появилось.

Среди этих нескольких различных обобщений скалярного произведения векторов:

${\displaystyle C\;\rfloor \;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{s-r}}$   ( левое сокращение )

${\displaystyle C\;\lfloor \;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r-s}}$   ( правое сокращение )

${\displaystyle C*D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{0}}$   ( скалярное произведение )

${\displaystyle C\bullet D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}}$   (продукт «(жирная) точка») ^[j]

Дорст (2002) приводит доводы в пользу использования сокращений вместо внутреннего продукта Гестенеса; они алгебраически более регулярны и имеют более чистую геометрическую интерпретацию. Ряд тождеств, включающих сокращения, действительны без ограничения их входных данных. Например,

${\displaystyle C\;\rfloor \;D=(C\wedge (DI^{-1}))I}$

${\displaystyle C\;\lfloor \;D=I((I^{-1}C)\wedge D)}$

${\displaystyle (A\wedge B)*C=A*(B\;\rfloor \;C)}$

${\displaystyle C*(B\wedge A)=(C\;\lfloor \;B)*A}$

${\displaystyle A\;\rfloor \;(B\;\rfloor \;C)=(A\wedge B)\;\rfloor \;C}$

${\displaystyle (A\;\rfloor \;B)\;\lfloor \;C=A\;\rfloor \;(B\;\lfloor \;C).}$

Преимущества использования левого сокращения в качестве расширения внутреннего произведения векторов включают в себя то, что идентичность расширяется для любого вектора и мультивектора , а операция проецирования расширяется для любого лезвия и любого мультивектора (с незначительной модификацией для размещения нулевых значений). , нижеприведенный). ${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$ ${\displaystyle aB=a\;\rfloor \;B+a\wedge B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}(a)=(a\cdot b^{-1})b}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B^{-1})\;\rfloor \;B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Двойной базис

Позвольте быть базисом , т.е. набором линейно независимых векторов, охватывающих -мерное векторное пространство . Базис, двойственный к, - это набор элементов двойственного векторного пространства , который образует с этим базисом биортогональную систему , то есть элементы, обозначаемые как удовлетворяющие ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \{e^{1},\ldots ,e^{n}\}}$

${\displaystyle e^{i}\cdot e_{j}=\delta ^{i}{}_{j},}$

где находится дельта Кронекера . ${\displaystyle \delta }$

При наличии невырожденной квадратичной формы на , естественно отождествляется с , и двойственный базис можно рассматривать как элементы , но, как правило, это не тот же набор, что и исходный базис. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Учитывая далее GA , пусть ${\displaystyle V}$

${\displaystyle I=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$

быть псевдоскаляром (который не обязательно квадрат к ), образованным из базиса . Двойственные базисные векторы могут быть построены как ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle e^{i}=(-1)^{i-1}(e_{1}\wedge \cdots \wedge {\check {e}}_{i}\wedge \cdots \wedge e_{n})I^{-1},}$

где означает, что i-й базисный вектор исключен из произведения. ${\displaystyle {\check {e}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Двойной базис также известен как взаимный базис или обратная основа.

Основное использование двойного базиса — разделение векторов на компоненты. Учитывая вектор , скалярные компоненты можно определить как ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{i}}$

${\displaystyle a^{i}=a\cdot e^{i}\ ,}$

в терминах которых можно разделить на векторные компоненты как ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{i}a^{i}e_{i}\ .}$

Мы также можем определить скалярные компоненты как ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle a_{i}=a\cdot e_{i}\ ,}$

в терминах которого можно разделить на векторные компоненты в терминах двойственного базиса как ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{i}a_{i}e^{i}\ .}$

Двойственный базис, определенный выше для векторного подпространства геометрической алгебры, может быть расширен до покрытия всей алгебры. ^[29] Для компактности мы будем использовать одну заглавную букву для обозначения упорядоченного набора векторных индексов. Тоесть, написание

${\displaystyle J=(j_{1},\dots ,j_{n})\ ,}$

где мы можем записать базисное лезвие как ${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\dots <j_{n}}$

${\displaystyle e_{J}=e_{j_{1}}\wedge e_{j_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{j_{n}}\ .}$

Соответствующая ответная лопасть имеет индексы в обратном порядке:

${\displaystyle e^{J}=e^{j_{n}}\wedge \cdots \wedge e^{j_{2}}\wedge e^{j_{1}}\ .}$

Аналогично приведенному выше случаю с векторами, можно показать, что

${\displaystyle e^{J}*e_{K}=\delta _{K}^{J}\ ,}$

где скалярное произведение. ${\displaystyle *}$

С помощью мультивектора мы можем определить скалярные компоненты как ^[30] ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{ij\cdots k}=(e^{k}\wedge \cdots \wedge e^{j}\wedge e^{i})*A\ ,}$

с точки зрения которого можно разделить на составляющие лопатки как ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A^{ij\cdots k}e_{i}\wedge e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{k}\ .}$

Альтернативно мы можем определить скалярные компоненты

${\displaystyle A_{ij\cdots k}=(e_{k}\wedge \cdots \wedge e_{j}\wedge e_{i})*A\ ,}$

с точки зрения которого можно разделить на составляющие лопатки как ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A_{ij\cdots k}e^{i}\wedge e^{j}\wedge \cdots \wedge e^{k}\ .}$

Линейные функции

Хотя с версором проще работать, поскольку его можно непосредственно представить в алгебре как мультивектор, версоры представляют собой подгруппу линейных функций на мультивекторах, которые все равно можно использовать при необходимости. Геометрическая алгебра -мерного векторного пространства натянута на базис элементов. Если мультивектор представлен вещественной матрицей - столбцом коэффициентов базиса алгебры, то все линейные преобразования мультивектора можно выразить как умножение матрицы на действительную матрицу. Однако такое общее линейное преобразование допускает произвольный обмен между оценками, например «поворот» скаляра в вектор, который не имеет очевидной геометрической интерпретации. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 1}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$

Представляет интерес общее линейное преобразование векторов в векторы. С естественным ограничением на сохранение индуцированной внешней алгебры внешний морфизм линейного преобразования является уникальным ^[k] -расширением версора. Если — линейная функция, отображающая векторы в векторы, то ее внешний морфизм — это функция, подчиняющаяся правилу ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r})=f(a_{1})\wedge f(a_{2})\wedge \cdots \wedge f(a_{r})}$

для лезвия, распространенного на всю алгебру за счет линейности.

Моделирование геометрии

Хотя CGA уделяется много внимания, следует отметить, что GA — это не просто одна алгебра, а одно из семейств алгебр с одинаковой существенной структурой. ^[31]

Векторная космическая модель

Четная подалгебра изоморфна комплексным числам , в чем можно убедиться, записав вектор через его компоненты в ортонормированном базисе и умножив его слева на базисный вектор , что дает ${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,0)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle e_{1}}$

${\displaystyle Z=e_{1}P=e_{1}(xe_{1}+ye_{2})=x(1)+y(e_{1}e_{2}),}$

где мы определяем, поскольку ${\displaystyle i\mapsto e_{1}e_{2}}$

${\displaystyle (e_{1}e_{2})^{2}=e_{1}e_{2}e_{1}e_{2}=-e_{1}e_{1}e_{2}e_{2}=-1.}$

Точно так же четная подалгебра с базисом изоморфна кватернионам , как можно увидеть, отождествив , и . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ ${\displaystyle \{1,e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}\}}$ ${\displaystyle i\mapsto -e_{2}e_{3}}$ ${\displaystyle j\mapsto -e_{3}e_{1}}$ ${\displaystyle k\mapsto -e_{1}e_{2}}$

Каждая ассоциативная алгебра имеет матричное представление; замена трех декартовых базисных векторов матрицами Паули дает представление : ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}=\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\e_{2}=\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\e_{3}=\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

Расстановка точек на « векторе Паули » ( диаде ):

${\displaystyle \sigma =\sigma _{1}e_{1}+\sigma _{2}e_{2}+\sigma _{3}e_{3}}$с произвольными векторами и умножением на дает: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle (\sigma \cdot a)(\sigma \cdot b)=a\cdot b+a\wedge b}$(Эквивалентно, при осмотре, ) ${\displaystyle a\cdot b+i\sigma \cdot (a\times b)}$

Модель пространства-времени

В физике основными приложениями являются геометрическая алгебра пространства-времени Минковского 3+1 , называемая алгеброй пространства-времени (STA), ^[3] или реже, интерпретируемая алгеброй физического пространства (APS). ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

В то время как в STA точки пространства-времени представлены просто векторами, в APS точки -мерного пространства-времени вместо этого представлены паравекторами , трехмерным вектором (пространством) плюс одномерным скаляром (временем). ${\displaystyle (3+1)}$

В алгебре пространства-времени тензор электромагнитного поля имеет бивекторное представление . ^[32] Здесь – единичный псевдоскаляр (или элемент четырехмерного объема), – единичный вектор во временном направлении, и – классические векторы электрического и магнитного полей (с нулевой временной составляющей). Используя четырехток , уравнения Максвелла тогда становятся ${\displaystyle {F}=({E}+ic{B})\gamma _{0}}$ ${\displaystyle i=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {J}}$

В геометрическом исчислении сопоставление векторов, например, указывает на геометрическое произведение и может быть разложено на части как . Вот производная ковектора в любом пространстве-времени, которая сводится к плоскому пространству-времени. Где играет роль в пространстве-времени Минковского, которая является синонимом роли в евклидовом пространстве и связана с даламберианом соотношением . Действительно, учитывая наблюдателя, представленного будущим, указывающим времениподобным вектором, мы имеем ${\displaystyle DF}$ ${\displaystyle DF=D~\rfloor ~F+D\wedge F}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \bigtriangledown }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \Box =\bigtriangledown ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \bigtriangledown ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\wedge \bigtriangledown =\nabla }$

Повышение в этом лоренцевом метрическом пространстве имеет то же выражение , что и вращение в евклидовом пространстве, где это бивектор, порожденный временем и задействованными пространственными направлениями, тогда как в евклидовом случае это бивектор, порожденный двумя пространственными направлениями, что усиливает «аналогию». "почти до идентичности. ${\displaystyle e^{\beta }}$ ${\displaystyle {\beta }}$

Матрицы Дирака представляют собой представление , показывая эквивалентность с матричными представлениями, используемыми физиками. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$

Однородные модели

Однородные модели обычно относятся к проективному представлению, в котором элементы одномерных подпространств векторного пространства представляют точки геометрии.

В геометрической алгебре пространства измерений роторы представляют собой набор преобразований со степенями свободы, соответствующими вращениям – например, когда и когда . Геометрическая алгебра часто используется для моделирования проективного пространства , т.е. как однородная модель : точка, линия, плоскость и т. д. представляется классом эквивалентности элементов алгебры, отличающихся обратимым скалярным множителем. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle n=4}$

Роторы в пространстве измерений имеют степени свободы, такие же, как количество степеней свободы вращений и перемещений, вместе взятых для -мерного пространства. ${\displaystyle n+1}$ $n(n-1)/2+n$ ${\displaystyle n}$

Именно так обстоит дело в проективной геометрической алгебре (PGA), которая используется ^{[33] [34] [35]} для представления евклидовых изометрий в евклидовой геометрии (тем самым охватывая подавляющее большинство инженерных приложений геометрии). В этой модели к трем евклидовым измерениям добавляется вырожденное измерение, чтобы сформировать алгебру . При подходящей идентификации подпространств для представления точек, линий и плоскостей версоры этой алгебры представляют все собственные евклидовы изометрии, которые всегда представляют собой винтовые движения в трехмерном пространстве, а также все неправильные евклидовы изометрии, которые включают отражения, роторные отражения, трансфлексии. , и точечные отражения. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$

PGA сочетается  с двойным оператором для получения формул пересечения, соединения, расстояния и угла. В зависимости от автора, ^{[36] [37]} это может означать звезду Ходжа или проективную дуальную звезду , хотя оба приводят к получению идентичных уравнений, хотя и с разными обозначениями. По сути, двойственные переключатели базисных векторов присутствуют и отсутствуют в выражении каждого члена алгебраического представления. Например, в PGA или трехмерном пространстве двойственной линии является линия , потому что и являются базовыми элементами, которые не содержатся в , но содержатся в . В PGA двумерного пространства двойственным является , поскольку элемента нет . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{03}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{03}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{3}}$

PGA — широко используемая система, сочетающая геометрическую алгебру с однородными представлениями в геометрии, но существует несколько других таких систем. Конформная модель, обсуждаемая ниже, является однородной, как и «Коническая геометрическая алгебра» ^[38] . См. «Геометрическую алгебру на основе плоскостей» , где обсуждаются однородные модели эллиптической и гиперболической геометрии по сравнению с евклидовой геометрией, полученной из PGA.

Конформная модель

Работая в GA, евклидово пространство (вместе с конформной точкой на бесконечности) проективно встраивается в CGA посредством идентификации евклидовых точек с 1D подпространствами в 4D нулевом конусе 5D векторного подпространства CGA. Это позволяет выполнять все конформные преобразования как вращения и отражения и является ковариантным , расширяя отношения инцидентности проективной геометрии на круги и сферы. ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

В частности, мы добавляем ортогональные базисные векторы и тому подобное к базису векторного пространства, которое генерирует и идентифицирует нулевые векторы. ${\displaystyle e_{+}}$ ${\displaystyle e_{-}}$ ${\displaystyle e_{+}^{2}=+1}$ ${\displaystyle e_{-}^{2}=-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle n_{\infty }=e_{-}+e_{+}}$как конформная точка на бесконечности (см. Компактификация ) и

${\displaystyle n_{\text{o}}={\tfrac {1}{2}}(e_{-}-e_{+})}$как точка начала координат, давая

${\displaystyle n_{\infty }\cdot n_{\text{o}}=-1.}$

Эта процедура имеет некоторое сходство с процедурой работы с однородными координатами в проективной геометрии и в этом случае позволяет моделировать евклидовы преобразования как ортогональные преобразования подмножества . ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4,1}}$

Быстро меняющаяся и изменчивая область ГА, CGA также исследуется на предмет применения в релятивистской физике.

Таблица моделей

Обратите внимание в этом списке, что и можно поменять местами, и применяется то же имя; например, при относительно небольших изменениях см. соглашение о знаках . Например, и оба называются алгеброй пространства-времени. ^[39] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3,0)}$

Геометрическая интерпретация в модели векторного пространства

Проекция и отвержение

В трехмерном пространстве бивектор определяет подпространство двумерной плоскости (голубой, простирается бесконечно в указанных направлениях). Любой вектор в трехмерном пространстве можно разложить на его проекцию на плоскость и его выброс из этой плоскости. ${\displaystyle a\land b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c_{\Vert }}$ ${\displaystyle c_{\perp }}$

Для любого вектора и любого обратимого вектора ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle a=amm^{-1}=(a\cdot m+a\wedge m)m^{-1}=a_{\|m}+a_{\perp m},}$

где проекция на ( или параллельную часть) равна ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{\|m}=(a\cdot m)m^{-1}}$

и отказ от from (или ортогональной части) равен ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{\perp m}=a-a_{\|m}=(a\wedge m)m^{-1}.}$

Используя концепцию -лезвия как представляющего подпространство, и каждый мультивектор в конечном итоге выражается в терминах векторов, это обобщается до проекции общего мультивектора на любое обратимое -лезвие как ^[l] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B)\;\rfloor \;B^{-1},}$

при этом отказ определяется как

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(A)=A-{\mathcal {P}}_{B}(A).}$

Проекция и отклонение обобщаются до нулевых лезвий путем замены обратного псевдообратным по отношению к сжимающемуся произведению. ^[m] Результат проекции совпадает в обоих случаях для ненулевых лопастей. ^{[46] [47]} Для нулевых лезвий следует использовать определение проекции, данное здесь, с первым сжатием, а не со вторым, находящимся на псевдоинверсии, ^[n] , поскольку только тогда результат обязательно будет в подпространстве, представленном . ^[46] Проекция обобщается посредством линейности на общие мультивекторы . ^[o] Проекция не является линейной и не распространяется на объекты , не являющиеся лезвиями. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{-1}}$ ${\displaystyle B^{+}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Отражение

Простые отражения в гиперплоскости легко выражаются в алгебре через сопряжение с одним вектором. Они служат для создания группы общих роторных отражений и вращений .

Отражение вектора вдоль вектора . Отменяется только составляющая параллели . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$

Отражение вектора вдоль вектора или, что то же самое, в гиперплоскости, ортогональной , аналогично отрицанию компонента вектора, параллельного . Результатом отражения будет ${\displaystyle c'}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle c'={-c_{\|m}+c_{\perp m}}={-(c\cdot m)m^{-1}+(c\wedge m)m^{-1}}={(-m\cdot c-m\wedge c)m^{-1}}=-mcm^{-1}}$

Это не самая общая операция, которую можно рассматривать как отражение при измерении . Общее отражение может быть выражено как совокупность любого нечетного числа одноосных отражений. Таким образом, общее отражение вектора можно записать ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\mapsto a'=-MaM^{-1},}$

где

${\displaystyle M=pq\cdots r}$и ${\displaystyle M^{-1}=(pq\cdots r)^{-1}=r^{-1}\cdots q^{-1}p^{-1}.}$

Если мы определим отражение вдоль ненулевого вектора произведения векторов как отражение каждого вектора в произведении вдоль того же вектора, мы получим для любого произведения нечетного числа векторов, что, например, ${\displaystyle m}$

${\displaystyle (abc)'=a'b'c'=(-mam^{-1})(-mbm^{-1})(-mcm^{-1})=-ma(m^{-1}m)b(m^{-1}m)cm^{-1}=-mabcm^{-1}\,}$

и для произведения четного числа векторов, которое

${\displaystyle (abcd)'=a'b'c'd'=(-mam^{-1})(-mbm^{-1})(-mcm^{-1})(-mdm^{-1})=mabcdm^{-1}.}$

Используя концепцию каждого мультивектора, выражаемого в конечном итоге через векторы, можно записать отражение общего мультивектора с использованием любого версора отражения. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle A\mapsto M\alpha (A)M^{-1},}$

где – автоморфизм отражения через начало векторного пространства ( ), распространенный за счет линейности на всю алгебру. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle v\mapsto -v}$

Ротации

Ротор, который вращает векторы в плоскости, вращает векторы на угол , то есть поворот на угол . Угол между и равен . Аналогичные интерпретации справедливы и для общего мультивектора вместо вектора . ^[13] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x\mapsto R_{\theta }x{\tilde {R}}_{\theta }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta /2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$

Если у нас есть произведение векторов , то мы обозначаем обратное как ${\displaystyle R=a_{1}a_{2}\cdots a_{r}}$

${\displaystyle {\tilde {R}}=a_{r}\cdots a_{2}a_{1}.}$

В качестве примера предположим, что мы получили ${\displaystyle R=ab}$

${\displaystyle R{\tilde {R}}=abba=ab^{2}a=a^{2}b^{2}=ba^{2}b=baab={\tilde {R}}R.}$

Масштабируем так, чтобы тогда ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R{\tilde {R}}=1}$

${\displaystyle (Rv{\tilde {R}})^{2}=Rv^{2}{\tilde {R}}=v^{2}R{\tilde {R}}=v^{2}}$

поэтому длина остается неизменной. Мы также можем показать, что ${\displaystyle Rv{\tilde {R}}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle (Rv_{1}{\tilde {R}})\cdot (Rv_{2}{\tilde {R}})=v_{1}\cdot v_{2}}$

поэтому преобразование сохраняет и длину, и угол. Поэтому его можно определить как вращение или роторное отражение; называется ротором, если это собственное вращение (как если бы его можно было выразить как произведение четного числа векторов) и является примером того, что известно в GA как версор . ${\displaystyle Rv{\tilde {R}}}$ ${\displaystyle R}$

Существует общий метод вращения вектора, включающий формирование мультивектора формы , производящей вращение в плоскости и с ориентацией, определяемой -лопастью . ${\displaystyle R=e^{-B\theta /2}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle B}$

Роторы — это обобщение кватернионов на -мерные пространства. ${\displaystyle n}$

Примеры и приложения

Гиперобъем параллелоэдра, натянутого векторами

Для векторов и охвата параллелограмма имеем ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a\wedge b=((a\wedge b)b^{-1})b=a_{\perp b}b}$

с результатом, линейным по произведению «высоты» и «основания» параллелограмма, то есть его площади. ${\displaystyle a\wedge b}$

Подобные интерпретации верны для любого числа векторов, охватывающих -мерный параллелоэдр ; внешнее произведение векторов , то есть , имеет величину, равную объему -параллелоэдра . -вектор не обязательно имеет форму параллелоэдра – это удобная визуализация. Форма может быть любой, но объем равен объему параллелоэдра. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigwedge _{i=1}^{n}a_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Пересечение прямой и плоскости

Линия L, определяемая точками T и P (которые мы ищем), и плоскость, определяемая бивектором B, содержащим точки P и Q.

Мы можем параметрически определить линию как , где и – векторы положения точек P и T, а – вектор направления линии. ${\displaystyle p=t+\alpha \ v}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle v}$

Затем

${\displaystyle B\wedge (p-q)=0}$и ${\displaystyle B\wedge (t+\alpha v-q)=0}$

так

${\displaystyle \alpha ={\frac {B\wedge (q-t)}{B\wedge v}}}$

и

${\displaystyle p=t+\left({\frac {B\wedge (q-t)}{B\wedge v}}\right)v.}$

Вращающиеся системы

Величина вращения, такая как крутящий момент или угловой момент, описывается в геометрической алгебре как бивектор. Предположим, что круговой путь в произвольной плоскости содержит ортонормированные векторы и параметризован углом. ${\displaystyle {\hat {u}}}$ ${\displaystyle {\hat {v}}}$

${\displaystyle \mathbf {r} =r({\hat {u}}\cos \theta +{\hat {v}}\sin \theta )=r{\hat {u}}(\cos \theta +{\hat {u}}{\hat {v}}\sin \theta )}$

Обозначив единичный бивектор этой плоскости мнимым числом

${\displaystyle {i}={\hat {u}}{\hat {v}}={\hat {u}}\wedge {\hat {v}}}$

${\displaystyle i^{2}=-1}$

этот вектор пути удобно записать в комплексной экспоненциальной форме

${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {u}}e^{i\theta }}$

а производная по углу равна

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}=r{\hat {u}}ie^{i\theta }=\mathbf {r} i.}$

Перекрестное произведение по отношению к внешнему произведению. Красным обозначены единичный вектор нормали и «параллельный» единичный бивектор.

Например, крутящий момент обычно определяется как величина перпендикулярной составляющей силы, умноженная на расстояние, или работа на единицу угла. Таким образом, крутящий момент, скорость изменения работы относительно угла под действием силы , равен ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \tau ={\frac {dW}{d\theta }}=F\cdot {\frac {dr}{d\theta }}=F\cdot (\mathbf {r} i).}$

Вращательные величины представлены в векторном исчислении в трех измерениях с использованием векторного произведения . Вместе с выбором ориентированной формы объема они могут быть связаны с внешним продуктом с его более естественной геометрической интерпретацией таких величин как бивекторы, используя двойственное соотношение ${\displaystyle I}$

${\displaystyle a\times b=-I(a\wedge b).}$

В отличие от описания векторного произведения крутящего момента, описание геометрической алгебры не вводит вектор в нормальном направлении; вектор, который не существует в двух измерениях и не уникален более чем в трех измерениях. Единичный бивектор описывает плоскость и ориентацию вращения, а направление вращения определяется углом между векторами и . ${\displaystyle \tau =\mathbf {r} \times F}$ ${\displaystyle {\hat {u}}}$ ${\displaystyle {\hat {v}}}$

Геометрическое исчисление

Геометрическое исчисление расширяет формализм, включив в него дифференцирование и интегрирование, включая дифференциальную геометрию и дифференциальные формы . ^[48]

По сути, векторная производная определяется так, чтобы верна версия теоремы Грина GA:

${\displaystyle \int _{A}dA\,\nabla f=\oint _{\partial A}dx\,f}$

и тогда можно будет написать

${\displaystyle \nabla f=\nabla \cdot f+\nabla \wedge f}$

как геометрическое произведение, эффективно обобщающее теорему Стокса (включая ее версию в дифференциальной форме).

В 1D, когда кривая с конечными точками и , то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \int _{A}dA\,\nabla f=\oint _{\partial A}dx\,f}$

сводится к

${\displaystyle \int _{a}^{b}dx\,\nabla f=\int _{a}^{b}dx\cdot \nabla f=\int _{a}^{b}df=f(b)-f(a)}$

или фундаментальная теорема интегрального исчисления.

Развиваются также понятие векторного многообразия и геометрическая теория интегрирования (обобщающая дифференциальные формы).

История

До 20 века

Хотя связь геометрии с алгеброй восходит, по крайней мере, к « Началам » Евклида в третьем веке до нашей эры (см. Греческая геометрическая алгебра ), ГА в том смысле, который используется в этой статье, не получил развития до 1844 года, когда он был использован в систематический способ описания геометрических свойств и преобразований пространства. В том же году Герман Грассман в полной общности представил идею геометрической алгебры как некоего исчисления (аналога исчисления высказываний ), кодирующего всю геометрическую информацию пространства. ^[49] Алгебраическая система Грассмана может быть применена к ряду различных типов пространств, главными из которых являются евклидово пространство , аффинное пространство и проективное пространство . Вслед за Грассманом в 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд исследовал алгебраическую систему Грассмана вместе с кватернионами Уильяма Роуэна Гамильтона в (Клиффорд, 1878). С его точки зрения, кватернионы описывали определенные преобразования (которые он назвал роторами ), тогда как алгебра Грассмана описывала определенные свойства (или Стрекена , такие как длина, площадь и объем). Его вклад заключался в том, чтобы определить новый продукт – геометрический продукт  – на существующей алгебре Грассмана, который реализовал кватернионы как живущие внутри этой алгебры. Впоследствии Рудольф Липшиц в 1886 году обобщил интерпретацию кватернионов Клиффорда и применил ее к геометрии вращений в измерениях. Позже эти разработки побудили других математиков 20-го века формализовать и изучить свойства алгебры Клиффорда. ${\displaystyle n}$

Тем не менее, другое революционное развитие 19-го века полностью затмило геометрические алгебры: векторный анализ , разработанный независимо Джозайей Уиллардом Гиббсом и Оливером Хевисайдом . Векторный анализ был мотивирован исследованиями Джеймса Клерка Максвелла по электромагнетизму и, в частности, необходимостью удобно выражать и манипулировать некоторыми дифференциальными уравнениями . Векторный анализ имел определенную интуитивную привлекательность по сравнению со строгостью новых алгебр. Физики и математики с готовностью приняли его в качестве своего геометрического инструментария, особенно после влиятельного учебника 1901 года « Векторный анализ» Эдвина Бидуэлла Уилсона , последовавшего за лекциями Гиббса.

Более подробно, существовало три подхода к геометрической алгебре: кватернионный анализ, начатый Гамильтоном в 1843 году и геометризированный как роторы Клиффордом в 1878 году; геометрическая алгебра, начатая Грассманом в 1844 году; и векторный анализ, разработанный на основе кватернионного анализа в конце 19 века Гиббсом и Хевисайдом. Наследие кватернионного анализа в векторном анализе можно увидеть в использовании , , для обозначения базисных векторов : это считается чисто мнимыми кватернионами. С точки зрения геометрической алгебры, четная подалгебра алгебры пространства-времени изоморфна GA трехмерного евклидова пространства, а кватернионы изоморфны четной подалгебре GA трехмерного евклидова пространства, что объединяет три подхода. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$

20 век и настоящее время

Прогресс в изучении алгебр Клиффорда спокойно продвигался на протяжении двадцатого века, хотя во многом благодаря работам абстрактных алгебраистов , таких как Эли Картан , Герман Вейль и Клод Шевалле . Геометрический подход к геометрическим алгебрам пережил ряд возрождений в 20-м веке . В математике «Геометрическая алгебра» Эмиля Артина [ ^50] обсуждает алгебру, связанную с каждой из множества геометрий, включая аффинную геометрию , проективную геометрию , симплектическую геометрию и ортогональную геометрию . В физике геометрические алгебры были возрождены как «новый» способ изучения классической механики и электромагнетизма, а также более сложных тем, таких как квантовая механика и калибровочная теория. ^[5] Дэвид Хестенс переосмыслил матрицы Паули и Дирака как векторы в обычном пространстве и пространстве-времени соответственно и был основным современным сторонником использования геометрической алгебры.

В компьютерной графике и робототехнике геометрические алгебры были возрождены для эффективного представления вращений и других преобразований. О применении ГА в робототехнике ( теория винтов , кинематика и динамика с использованием версоров), компьютерном зрении, управлении и нейронных вычислениях (геометрическое обучение) см. Bayro (2010).

Смотрите также

• Сравнение векторной алгебры и геометрической алгебры
• Алгебра Клиффорда
• Алгебра Грассмана – Кэли
• Алгебра пространства-времени
• Спинор
• Кватернион
• Алгебра физического пространства
• Универсальная геометрическая алгебра

Примечания

1. «Универсальная» алгебра — это наиболее «полная» или наименее вырожденная алгебра, удовлетворяющая всем определяющим уравнениям. В этой статье под «алгеброй Клиффорда» мы подразумеваем универсальную алгебру Клиффорда.
2. Термин «внутренний продукт» , используемый в геометрической алгебре , относится к симметричной билинейной форме в -векторном подпространстве и является синонимом скалярного произведения псевдоевклидова векторного пространства , а не внутреннего продукта в нормированном векторном пространстве. Некоторые авторы могут распространить значение внутреннего продукта на всю алгебру, но по этому поводу нет единого мнения. Даже в текстах по геометрическим алгебрам этот термин не используется повсеместно. ${\displaystyle 1}$
3. Его можно заменить условием, что ^[11] произведение любого набора линейно независимых векторов в не должно находиться в или что ^[12] размерность алгебры должна быть . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2^{\dim V}}$
4. Термин «внешний продукт» , используемый в геометрической алгебре, противоречит значению внешнего продукта в других разделах математики.
5. Учитывая , у нас есть это , показывающее, что оно идемпотентно, и это , показывающее, что это ненулевой делитель нуля. ${\displaystyle u^{2}=1}$ ${\textstyle ({\tfrac {1}{2}}(1+u))^{2}}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}(1+2u+uu)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}(1+2u+1)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1+u)}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(1+u)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1+u)(1-u)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1-uu)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1-1)=0}$
6. Оценка — синоним степени однородного элемента при градуировке как алгебры с внешним произведением (а -градуировкой), а не при геометрическом произведении. ${\displaystyle \mathrm {Z} }$
7. «возрождая и в некоторой степени обобщая термин из вышедшего из употребления кватернионного исчисления Гамильтона» Хестенес определил -версор как мультивектор, который можно разложить на произведение векторов. ^[20] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
8. Под это описание подходят только внешние морфизмы линейных преобразований, соблюдающие квадратичную форму; внешние морфизмы, вообще говоря, не выражаются в терминах алгебраических операций.
9. [...] внешняя операция произведения и отношение соединения имеют по существу одно и то же значение. Алгебра Грассмана – Кэли рассматривает отношение встречи как своего аналога и дает объединяющую структуру, в которой эти две операции имеют равноправное положение [...] Сам Грассман определил операцию встречи как двойственную операции внешнего произведения, но позже математики определили встретиться с оператором независимо от внешнего продукта с помощью процесса, называемого перетасовкой , а операция встречи называется перетасовкой продукта. Показано, что это антисимметричная операция, удовлетворяющая ассоциативности, определяющая самостоятельную алгебру. Таким образом, алгебра Грассмана – Кэли одновременно имеет две алгебраические структуры: одну, основанную на внешнем произведении (или объединении), другую на основе перемешивания произведения (или объединения). Отсюда и название «двойная алгебра», и показано, что они двойственны друг другу. ^[26]
10. Это не следует путать с нерегулярным обобщением Хестенса , где отличительные обозначения взяты из Dorst, Fontijne & Mann (2007), p. 590, §B.1, в котором указывается, что скалярные компоненты с этим произведением должны обрабатываться отдельно. ${\displaystyle \textstyle C\bullet _{\text{H}}D:=\sum _{r\neq 0,s\neq 0}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{\vert s-r\vert }}$
11. Условие, которое обычно добавляется для обеспечения уникальности нулевой карты . ${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(1)=1}$
12. Это определение соответствует Дорсту, Фонтейну и Манну (2007) и Первассу (2009) - левое сокращение, используемое Дорстом, заменяет внутренний продукт («жирную точку»), который использует Первасс, в соответствии с ограничением Первасса о том, что степень не может превышать степень . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
13. Дорст, по-видимому, просто предполагает , что , тогда как Первасс (2009) определяет , где является сопряженным , что эквивалентно обратному с точностью до знака. ${\displaystyle B^{+}}$ ${\displaystyle B\;\rfloor \;B^{+}=1}$ ${\displaystyle B^{+}=B^{\dagger }/(B\;\rfloor \;B^{\dagger })}$ ${\displaystyle B^{\dagger }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$
14. То есть проекция должна быть определена как , а не как , хотя они эквивалентны для ненулевых лезвий . ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B^{+})\;\rfloor \;B}$ ${\displaystyle (A\;\rfloor \;B)\;\rfloor \;B^{+}}$ ${\displaystyle B}$
15. Первасс и Дорст, очевидно, не учитывают это обобщение на всех . ${\displaystyle A}$

Цитаты

1. Хестенес 1986, с. 6.
2. Ли 2008, с. 411.
3. Хестенес 1966.
4. Хестенес 2003.
5. Доран 1994.
6. Ласенби, Ласенби и Доран 2000.
7. Хильденбранд и др. 2004.
8. Хестенес и Собчик 1984, с. 3–5.
9. Арагон, Арагон и Родригес 1997, с. 101.
10. Лунесто 2001, с. 190.
11. Лунесто 2001, с. 191.
12. Ваз и да Роча 2016, с. 58, теорема 3.1.
13. Hestenes 2005.
14. Пенроуз 2007.
15. Уилер, Миснер и Торн 1973, с. 83.
16. Уилмот 1988a, стр. 2338.
17. Уилмот 1988b, стр. 2346.
18. Шевалле 1991.
19. Уилмот 2023.
20. Хестенес и Собчик 1984, с. 103.
21. Дорст, Фонтейн и Манн 2007, с. 204.
22. Дорст, Фонтейн и Манн 2007, стр. 177–182.
23. Лундхольм и Свенссон 2009, стр. 58 и далее .
24. Лундхольм и Свенссон 2009, с. 58.
25. Фрэнсис и Косовский 2008.
26. Канатани 2015, стр. 112–113.
27. Дорст и Ласенби 2011, с. 443.
28. Ваз и да Роша 2016, §2.8.
29. Хестенес и Собчик 1984, с. 31.
30. Доран и Ласенби 2003, с. 102.
31. Дорст и Ласенби 2011, с. VI.
32. «Электромагнетизм с использованием геометрической алгебры в сравнении с компонентами» . Проверено 19 марта 2013 г.
33. Селиг 2005.
34. Хэдфилд и Ласенби 2020.
35. «Проективная геометрическая алгебра». projectivegeometricalgebra.org . Проверено 03 октября 2023 г.
36. Селиг 2000.
37. Лендьел 2016.
38. Хрдина, Наврат и Вашик 2018.
39. Ву 2022.
40. Соколов 2013.
41. Ласенби 2004.
42. Дорст 2016.
43. Первасс 2009.
44. Брейльс и др. 2019.
45. Пасха и Хитцер 2017.
46. Dorst, Fontijne & Mann 2007, §3.6 стр. 85.
47. Первасс 2009, §3.2.10.2 стр. 83.
48. Гестенес и Собчик 1984.
49. Грассманн 1844.
50. Артин 1988.

Ссылки и дальнейшее чтение

Расположено в хронологическом порядке

• Грассманн, Герман (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, Лейпциг: О. Виганд, ОСЛК  20521674
• Клиффорд, профессор (1878), «Приложения обширной алгебры Грассмана», Американский журнал математики , 1 (4): 350–358, номер документа : 10.2307/2369379, JSTOR  2369379
• Артин, Эмиль (1988) [1957], Геометрическая алгебра , Библиотека классической литературы Wiley, Wiley, doi : 10.1002/9781118164518, ISBN 978-0-471-60839-4, МР  1009557
• Хестенес, Дэвид (1966), Алгебра пространства-времени , Гордон и Брич, ISBN 978-0-677-01390-9, OCLC  996371
• Уиллер, Дж.А.; Миснер, К.; Торн, KS (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Бурбаки, Николя (1980), «Гл. 9 «Алгебра Клиффорда»», «Элементы математики». Алгебра , Герман, ISBN. 9782225655166
• Хестенес, Дэвид ; Собчик, Гаррет (1984), от алгебры Клиффорда до геометрического исчисления, единого языка математики и физики , Springer Нидерланды, ISBN 978-90-277-1673-6
• Хестенес, Дэвид (1986), «Единый язык математики и физики», в JSR Chisholm; AK Commons (ред.), Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике , Серия NATO ASI (серия C), том. 183, Springer, стр. 1–23, номер документа : 10.1007/978-94-009-4728-3_1, ISBN. 978-94-009-4728-3
• Уилмот, Г. П. (1988a), Структура алгебры Клиффорда. Журнал математической физики , вып. 29, стр. 2338–2345.
• Уилмот, Г. П. (1988b), «Алгебра Клиффорда и расширение Пфаффа», Журнал математической физики , 29 : 2346–2350, doi : 10.1063/1.528118
• Шевалле, Клод (1991), Алгебраическая теория спиноров и алгебры Клиффорда, Собрание сочинений , том. 2, Спрингер, ISBN 3-540-57063-2
• Доран, Крис Дж.Л. (1994), Геометрическая алгебра и ее применение к математической физике (докторская диссертация), Кембриджский университет , doi : 10.17863/CAM.16148, hdl : 1810/251691, OCLC  53604228
• Бейлис, МЫ, изд. (2011) [1996], Клиффордская (геометрическая) алгебра с приложениями к физике, математике и технике , Биркхойзер , ISBN 9781461241058
• Арагон, Г.; Арагон, JL; Родригес, Массачусетс (1997), «Алгебры Клиффорда и геометрическая алгебра», Достижения в области прикладных алгебр Клиффорда , 7 (2): 91–102, doi : 10.1007/BF03041220, S2CID  120860757
• Хестенес, Дэвид (1999), Новые основы классической механики (2-е изд.), Springer Verlag, ISBN 978-0-7923-5302-7
• Ласенби, Джоан; Ласенби, Энтони Н.; Доран, Крис Дж.Л. (2000), «Единый математический язык физики и техники в 21 веке» (PDF) , Philosophical Transactions of the Royal Society A , 358 (1765): 21–39, Бибкод : 2000RSPTA.358.. .21L, doi : 10.1098/rsta.2000.0517, S2CID  91884543, заархивировано (PDF) из оригинала 19 марта 2015 г.
• Лунесто, Пертти (2001), Клиффордские алгебры и спиноры (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-00551-7
• Бейлис, МЫ (2002), Электродинамика: современный геометрический подход (2-е изд.), Биркхойзер , ISBN 978-0-8176-4025-5
• Дорст, Лео (2002), «Внутренние произведения геометрической алгебры», Дорст, Л.; Доран, К.; Ласенби, Дж. (ред.), Приложения геометрической алгебры в информатике и технике , Биркхойзер , стр. 35–46, doi : 10.1007/978-1-4612-0089-5_2, ISBN 978-1-4612-0089-5
• Доран, Крис Дж.Л .; Ласенби, Энтони Н. (2003), Геометрическая алгебра для физиков (PDF) , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-71595-9, заархивировано (PDF) из оригинала 6 января 2009 г.
• Хестенес, Дэвид (2003), «Лекция по медали Эрстеда 2002: Реформирование математического языка физики» (PDF) , Am. Дж. Физ. , 71 (2): 104–121, Bibcode : 2003AmJPh..71..104H, CiteSeerX  10.1.1.649.7506 , doi : 10.1119/1.1522700, заархивировано (PDF) из оригинала 17 июня 2010 г.
• Хильденбранд, Дитмар; Фонтейн, Дэниел; Первасс, Кристиан; Дорст, Лео (2004), «Геометрическая алгебра и ее применение к компьютерной графике» (PDF) , Proceedings of Eurographics 2004 , doi : 10.2312/egt.20041032, заархивировано (PDF) из оригинала 6 сентября 2015 г.
• Ласенби, Энтони (2004), «Конформные модели пространства де Ситтера, начальные условия инфляции и CMB», Материалы конференции AIP , том. 736, стр. 53–70, arXiv : astro-ph/0411579 , doi : 10.1063/1.1835174, S2CID  18034896
• Хестенес, Дэвид (2005), Введение в учебник для начинающих по геометрической алгебре
• Селиг, Дж. М. (2005). Геометрические основы робототехники. Монографии по информатике. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. дои : 10.1007/b138859. ISBN 978-0-387-20874-9.
• Бэйн, Дж. (2006), «Структурализм пространства-времени: §5 Многообразия против геометрической алгебры», в Деннисе Диксе (ред.), Онтология пространства-времени, Elsevier, стр. 54 и далее , ISBN 978-0-444-52768-4
• Дорст, Лео; Фонтейн, Дэниел; Манн, Стивен (2007), Геометрическая алгебра для информатики: объектно-ориентированный подход к геометрии, Elsevier, ISBN 978-0-12-369465-2, OCLC  132691969
• Пенроуз, Роджер (2007), Дорога к реальности , Винтажные книги, ISBN 978-0-679-77631-4
• Фрэнсис, Мэтью Р.; Косовский, Артур (2008), «Построение спиноров в геометрической алгебре», Annals of Physics , 317 (2): 383–409, arXiv : math-ph/0403040v2 , Bibcode : 2005AnPhy.317..383F, doi : 10.1016 /j.aop.2004.11.008, S2CID  119632876
• Ли, Хунбо (2008), Инвариантные алгебры и геометрические рассуждения, World Scientific, ISBN 9789812770110. Глава 1 в формате PDF
• Винс, Джон А. (2008), Геометрическая алгебра для компьютерной графики , Springer, ISBN 978-1-84628-996-5
• Лундхольм, Дуглас; Свенссон, Ларс (2009), «Алгебра Клиффорда, геометрическая алгебра и приложения», arXiv : 0907.5356v1 [math-ph]
• Первасс, Кристиан (2009), Геометрическая алгебра с приложениями в технике , геометрии и вычислениях, том. 4, Бибкод : 2009gaae.book.....P, doi : 10.1007/978-3-540-89068-3, ISBN 978-3-540-89067-6
• Селиг, Дж. М. (2000), «Алгебра Клиффорда точек, линий и плоскостей» (PDF) , Robotica , 18 (5): 545–556, doi : 10.1017/S0263574799002568, S2CID  28929170
• Байро-Коррочано, Эдуардо (2010), Геометрические вычисления для вейвлет-преобразований, зрение роботов, обучение, управление и действие , Springer Verlag, ISBN 9781848829299
• Байро-Коррошано, Э.; Шойерманн, Герик, ред. (2010), Геометрическая алгебра в технике и информатике, Springer, ISBN 9781849961080Отрывок из Интернета по адресу http://geocalc.clas.asu.edu/html/UAFCG.html № 5. Новые инструменты для вычислительной геометрии и возрождения теории винтов.
• Гольдман, Рон (2010), «Переосмысление кватернионов: теория и вычисления» , Морган и Клейпул, Часть III. Переосмысление кватернионов и алгебр Клиффорда, ISBN 978-1-60845-420-4
• Дорст, Лео .; Ласенби, Джоан (2011), Руководство по геометрической алгебре на практике , Springer, ISBN 9780857298119
• Макдональд, Алан (2011), Линейная и геометрическая алгебра, CreateSpace, ISBN 9781453854938, OCLC  704377582
• Снигг, Джон (2011), Новый подход к дифференциальной геометрии с использованием геометрической алгебры Клиффорда , Springer, ISBN 978-0-8176-8282-8
• Хильденбранд, Дитмар (2012), «Основы вычислений геометрической алгебры», Численный анализ и прикладная математика Icnaam 2012: Международная конференция по численному анализу и прикладной математике , Материалы конференции AIP, 1479 (1): 27–30, Бибкод : 2012AIPC.1479 ...27H, дои : 10.1063/1.4756054
• Соколов, Андрей (2013), Алгебра Клиффорда и проективная модель пространств Минковского (псевдоевклидовы) , arXiv : 1307.4179
• Бромборский, Алан (2014), Введение в геометрическую алгебру и исчисление (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 15 октября 2019 г.
• Клавиттер, Дэниел (2015), Алгебра Клиффорда , номер документа : 10.1007/978-3-658-07618-4, ISBN 978-3-658-07617-7
• Канатани, Кеничи (2015), Понимание геометрической алгебры: Гамильтон, Грассманн и Клиффорд для компьютерного зрения и графики , CRC Press, ISBN 978-1-4822-5951-3
• Ли, Хунбо; Хуан, Лей; Шао, Чанпэн; Донг, Лей (2015), «Трехмерная проективная геометрия с геометрической алгеброй», arXiv : 1507.06634v1 [math.MG]
• Хестенес, Дэвид (2017), «Происхождение геометрической алгебры: личная ретроспектива», « Достижения в прикладной алгебре Клиффорда» , 27 : 351–379, doi : 10.1007/s00006-016-0664-z, S2CID  253592888
• Дорст, Лео (2016), «3D-ориентированная проективная геометрия через версии », Достижения в области прикладных алгебр Клиффорда , 26 (4): 1137–1172, doi : 10.1007/s00006-015-0625-y ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,3}}$
• Лендьел, Эрик (2016). Основы разработки игровых движков . Математика. Том. 1. Линкольн, Калифорния: Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7.
• Ваз, Джейме; да Роча, Ролдан (2016), Введение в алгебры и спиноры Клиффорда , Oxford University Press, Bibcode : 2016icas.book.....V, ISBN 978-0-19-878292-6
• Пасха, Роберт Бенджамин; Хитцер, Экхард (2017), «Двойная конформная геометрическая алгебра», Достижения в области прикладных алгебр Клиффорда , 27 (3): 2175–2199, doi : 10.1007/s00006-017-0784-0, S2CID  253600526
• Ду, Хуан; Голдман, Рон; Манн, Стивен (2017), «Моделирование трехмерной геометрии в алгебре Клиффорда R (4, 4)», « Достижения в области прикладных алгебр Клиффорда» , 27 (4): 3039–3062, doi : 10.1007/s00006-017-0798-7, S2CID  253587390
• Байро-Коррошано, Эдуардо (2018). Компьютерное зрение, графика и нейрокомпьютеры. Приложения геометрической алгебры. Том. И. Спрингер. ISBN 978-3-319-74830-6.
• Брейль, Стефан (2018). Алгоритмическая структура для операций по геометрической алгебре и приложениям к квадратичным поверхностям (PDF) (PHD). университет-Париж-EST. Архивировано (PDF) из оригинала 14 июля 2019 г.
• Лавор, Карлайл; Ксамбо-Декамп, Себастья; Заплана, Исайя (2018). Приглашение к геометрической алгебре в физике пространства-времени, робототехнике и молекулярной геометрии. Спрингер. стр. 1–. ISBN 978-3-319-90665-2.
• Хрдина, Ярослав; Наврат, Алеш; Вашик, Петр (2018), «Геометрическая алгебра для коник», Достижения в области прикладных алгебр Клиффорда , 28 (3), doi : 10.1007/s00006-018-0879-2, S2CID  125649450
• Брейльс, Стефан; Фукс, Лоран; Хитцер, Экхард; Нозик, Винсент; Сугимото, Акихиро (2019), «Трехмерные квадрики в расширенных конформных геометрических алгебрах более высоких размерностей из контрольных точек, неявных уравнений и выравнивания осей» (PDF) , «Достижения в области прикладных алгебр Клиффорда» , 29 (3), doi : 10.1007/s00006 -019-0974-з, S2CID  253597480
• Йосипович, Мирослав (2019). Геометрическое умножение векторов: введение в геометрическую алгебру в физике. Springer International Publishing; Биркхойзер. п. 256. ИСБН 978-3-030-01756-9.
• Хэдфилд, Хьюго; Ласенби, Джоан (2020), «Динамика с ограничениями в конформной и проективной геометрической алгебре», Достижения в компьютерной графике , Конспекты лекций по информатике, том. 12221, стр. 459–471, номер домена : 10.1007/978-3-030-61864-3_39, ISBN. 978-3-030-61863-6, S2CID  224820480
• Ву, Бофэн (2022), «Сигнатурная инвариантная геометрическая алгебра для физики пространства-времени и ее применения в релятивистской динамике массивных частиц и гироскопической прецессии», Scientific Reports , 12 (1): 3981, arXiv : 2111.07353 , Bibcode : 2022NatSR. .12.3981W, doi : 10.1038/s41598-022-06895-0, PMC  8901677 , PMID  35256628
• Уилмот, врач общей практики (2023). «Алгебра геометрии». Гитхаб .

Внешние ссылки

• Обзор геометрической алгебры и геометрического исчисления Алан Макдональд, Колледж Лютера, Айова.
• Мнимые числа нереальны – геометрическая алгебра пространства-времени. Введение (Кембриджская группа Джорджии).
• Геометрическая алгебра 2015, магистерский курс по научным вычислениям, доктор Крис Доран (Кембридж).
• Математика для программистов (игр): 5 – Многовекторные методы. Комплексное введение и справочник для программистов от Яна Белла .
• Летняя школа IMPA 2010 Фернандес Оливейра. Вступление и слайды.
• Публикации Университета Фукуи ESM Hitzer и Japan GA.
• Группа Google для Google Analytics
• Учебник по геометрической алгебре. Введение в ГА, Яап Сутер.
• Вики-сайт «Ресурсы геометрической алгебры», куратор Пабло Блейер.
• Прикладные геометрические алгебры в информатике и инженерии, ранние труды 2018 г.
• Мини-мероприятие GAME2020 по геометрической алгебре
• Видео AGACSE 2021

Английские переводы ранних книг и статей

• Г. Комбебиак, «Исчисление трикватернионов» (Докторская диссертация)
• М. Маркич, «Трансформанты: новый математический аппарат. Синтез трикватернионов Комбебиака и геометрической системы Грассмана. Исчисление квадрикватернионов»
• К. Бурали-Форти, «Метод Грассмана в проективной геометрии». Сборник трех заметок о применении внешней алгебры к проективной геометрии.
• К. Бурали-Форти, «Введение в дифференциальную геометрию по методу Х. Грассмана». Ранняя книга по применению алгебры Грассмана.
• Г. Грассман, «Механика в соответствии с принципами теории расширения». Одна из его работ о приложениях внешней алгебры.

Исследовательские группы

• Международное геометрическое исчисление. Ссылки на исследовательские группы, программное обеспечение и конференции по всему миру.
• Группа Кембриджской геометрической алгебры. Полнотекстовые интернет-издания и другие материалы.
• Группа Университета Амстердама
• Исследования и разработки в области геометрического исчисления (Университет штата Аризона).
• Блог GA-Net и архив информационных бюллетеней. Новости развития геометрической алгебры/алгебры Клиффорда.
• Геометрическая алгебра для систем восприятия действия. Группа геометрической кибернетики (CINVESTAV, кампус Гвадалахара, Мексика).