Тензорная алгебра

Универсальная конструкция в полилинейной алгебре

В математике тензорная алгебра векторного пространства V , обозначаемая T ( V ) или T ^• ( V ), — это алгебра тензоров на V (любого ранга) с умножением, являющимся тензорным произведением . Это свободная алгебра на V , в том смысле, что она является левой сопряженной к забывающему функтору из алгебр в векторные пространства: это «наиболее общая» алгебра, содержащая V , в смысле соответствующего универсального свойства (см. ниже).

Тензорная алгебра важна, поскольку многие другие алгебры возникают как фактор -алгебры T ( V ). К ним относятся внешняя алгебра , симметрическая алгебра , алгебры Клиффорда , алгебра Вейля и универсальные обертывающие алгебры .

Тензорная алгебра также имеет две структуры коалгебры : одну простую, которая не делает ее биалгеброй, но приводит к концепции косвободной коалгебры , и более сложную, которая дает биалгебру и может быть расширена путем указания антипода для создания структуры алгебры Хопфа .

Примечание : В этой статье все алгебры предполагаются унитальными и ассоциативными . Единица явно требуется для определения копроизведения .

Строительство

Пусть V — векторное пространство над полем K. Для любого неотрицательного целого числа k мы определяем k-ю тензорную степень V как тензорное произведение V на себя k раз :

${\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V.}$

То есть T ^k V состоит из всех тензоров на V порядка k . По соглашению T ⁰ V — это основное поле K (как одномерное векторное пространство над собой).

Затем мы строим T ( V ) как прямую сумму T k ^V для k = 0,1,2,…

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots .}$

Умножение в T ( V ) определяется каноническим изоморфизмом

${\displaystyle T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V}$

заданное тензорным произведением, которое затем линейно распространяется на все T ( V ). Это правило умножения подразумевает, что тензорная алгебра T ( V ) является естественно градуированной алгеброй с T ^k V , служащей подпространством градуировки k . Эту градуировку можно расширить до Z -градуировки, добавив подпространства для отрицательных целых чисел k . ${\displaystyle T^{k}V=\{0\}}$

Конструкция обобщается простым образом на тензорную алгебру любого модуля M над коммутативным кольцом . Если R — некоммутативное кольцо , то построение все равно можно выполнить для любого R - R -бимодуля M. (Она не работает для обычных R -модулей, поскольку итерированные тензорные произведения не могут быть сформированы.)

Присоединение и универсальное свойство

Тензорная алгебра T ( V ) также называется свободной алгеброй на векторном пространстве V и является функториальной ; это означает, что отображение продолжается до линейных отображений для формирования функтора из категории K -векторных пространств в категорию ассоциативных алгебр . Аналогично с другими свободными конструкциями , функтор T является левым сопряженным к забывающему функтору , который отправляет каждую ассоциативную K -алгебру в ее базовое векторное пространство. ${\displaystyle V\mapsto T(V)}$

В явном виде тензорная алгебра удовлетворяет следующему универсальному свойству , которое формально выражает утверждение, что она является наиболее общей алгеброй, содержащей V :

Любое линейное отображение из V в ассоциативную алгебру A над K может быть единственным образом продолжено до гомоморфизма алгебр из T ( V ) в A, как показано в следующей коммутативной диаграмме : ${\displaystyle f:V\to A}$

Универсальное свойство тензорной алгебры

Здесь i — каноническое включение V в T ( V ) . Что касается других универсальных свойств, то тензорная алгебра T ( V ) может быть определена как единственная алгебра, удовлетворяющая этому свойству (в частности, она единственна с точностью до единственного изоморфизма), но это определение требует доказательства того, что объект, удовлетворяющий этому свойству, существует.

Вышеуказанное универсальное свойство подразумевает, что T является функтором из категории векторных пространств над K в категорию K -алгебр. Это означает, что любое линейное отображение между K -векторными пространствами U и W продолжается единственным образом до гомоморфизма K -алгебр из T ( U ) в T ( W ) .

Некоммутативные многочлены

Если V имеет конечную размерность n , то другой способ рассмотрения тензорной алгебры — это «алгебра полиномов над K от n некоммутирующих переменных». Если мы возьмем базисные векторы для V , они станут некоммутирующими переменными (или неопределенными ) в T ( V ), не подчиняясь никаким ограничениям, кроме ассоциативности , закона дистрибутивности и K -линейности.

Обратите внимание, что алгебра многочленов на V не является , а скорее : (однородная) линейная функция на V является элементом , например, координаты на векторном пространстве являются ковекторами , так как они принимают вектор и выдают скаляр (заданную координату вектора). ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle T(V^{*})}$ ${\displaystyle V^{*},}$ ${\displaystyle x^{1},\dots ,x^{n}}$

Коэффициенты

Из-за общности тензорной алгебры многие другие интересные алгебры могут быть построены, начиная с тензорной алгебры и затем накладывая определенные соотношения на генераторы, т. е. строя определенные фактор-алгебры T ( V ). Примерами этого являются внешняя алгебра , симметрическая алгебра , алгебры Клиффорда , алгебра Вейля и универсальные обертывающие алгебры .

Коалгебра

Тензорная алгебра имеет две различные структуры коалгебр . Одна совместима с тензорным произведением и, таким образом, может быть расширена до биалгебры , и может быть дополнительно расширена антиподом к структуре алгебры Хопфа . Другая структура, хотя и более простая, не может быть расширена до биалгебры. Первая структура разрабатывается непосредственно ниже; вторая структура приведена в разделе о косвободной коалгебре , ниже.

Представленное ниже развитие может быть с равным успехом применено к внешней алгебре , используя символ клина вместо символа тензора ; знак также должен отслеживаться при перестановке элементов внешней алгебры. Это соответствие также продолжается через определение биалгебры и далее до определения алгебры Хопфа. То есть, внешней алгебре также можно придать структуру алгебры Хопфа. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \otimes }$

Аналогично, симметричной алгебре можно придать структуру алгебры Хопфа, точно таким же образом, заменив везде тензорное произведение симметризованным тензорным произведением , т.е. таким произведением, где ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes _{\mathrm {Sym} }}$ ${\displaystyle v\otimes _{\mathrm {Sym} }w=w\otimes _{\mathrm {Sym} }v.}$

В каждом случае это возможно, поскольку чередующееся произведение и симметричное произведение подчиняются требуемым условиям согласованности для определения биалгебры и алгебры Хопфа; это можно явно проверить следующим образом. Всякий раз, когда есть произведение, подчиняющееся этим условиям согласованности, построение выполняется; поскольку такое произведение породило факторпространство, факторпространство наследует структуру алгебры Хопфа. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \otimes _{\mathrm {Sym} }}$

На языке теории категорий говорят, что существует функтор T из категории K -векторных пространств в категорию K -ассоциативных алгебр. Но есть также функтор Λ, переводящий векторные пространства в категорию внешних алгебр, и функтор Sym, переводящий векторные пространства в симметричные алгебры. Существует естественное отображение из T в каждое из них. Проверка того, что факторизация сохраняет структуру алгебры Хопфа, совпадает с проверкой того, что отображения действительно являются естественными.

Побочный продукт

Коалгебра получается путем определения копроизведения или диагонального оператора

${\displaystyle \Delta :TV\to TV\boxtimes TV}$

Здесь используется как сокращение для избежания взрыва скобок. Символ используется для обозначения «внешнего» тензорного произведения, необходимого для определения коалгебры. Он используется для отличия его от «внутреннего» тензорного произведения , которое уже используется для обозначения умножения в тензорной алгебре (см. раздел Умножение ниже для дальнейшего разъяснения по этому вопросу). Чтобы избежать путаницы между этими двумя символами, большинство текстов заменяют их простой точкой или даже полностью опускают, понимая, что это подразумевается из контекста. Это затем позволяет использовать символ вместо символа. Ниже этого не делается, и два символа используются независимо и явно, чтобы показать правильное расположение каждого. Результат немного более многословен, но должен быть более понятным. ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle \boxtimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \boxtimes }$

Определение оператора проще всего построить поэтапно, сначала определив его для элементов , а затем гомоморфно распространив его на всю алгебру. Подходящим выбором для копроизведения тогда будет ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle v\in V\subset TV}$

${\displaystyle \Delta :v\mapsto v\boxtimes 1+1\boxtimes v}$

и

${\displaystyle \Delta :1\mapsto 1\boxtimes 1}$

где - единица поля . По линейности, очевидно, имеем ${\displaystyle 1\in K=T^{0}V\subset TV}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Delta (k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k}$

для всех Легко проверить, что это определение удовлетворяет аксиомам коалгебры: то есть, что ${\displaystyle k\in K.}$

${\displaystyle (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})\circ \Delta }$

где находится карта идентичности на . Действительно, получается ${\displaystyle \mathrm {id} _{TV}:x\mapsto x}$ ${\displaystyle TV}$

${\displaystyle ((\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta )(v)=v\boxtimes 1\boxtimes 1+1\boxtimes v\boxtimes 1+1\boxtimes 1\boxtimes v}$

и то же самое для другой стороны. В этот момент можно было бы сослаться на лемму и сказать, что тривиально, по линейности, распространяется на все , поскольку является свободным объектом и является генератором свободной алгебры, и является гомоморфизмом. Однако полезно предоставить явные выражения. Так, для , имеется (по определению) гомоморфизм ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$

${\displaystyle \Delta :v\otimes w\mapsto \Delta (v)\otimes \Delta (w)}$

Расширяясь, можно

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v\otimes w)&=(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\otimes (w\boxtimes 1+1\boxtimes w)\\&=(v\otimes w)\boxtimes 1+v\boxtimes w+w\boxtimes v+1\boxtimes (v\otimes w)\end{aligned}}}$

В приведенном выше расширении нет необходимости вообще ничего писать, поскольку это просто обычное скалярное умножение в алгебре; то есть, тривиально получается, что ${\displaystyle 1\otimes v}$ ${\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}$

Расширение выше сохраняет алгебраическую градуировку. То есть,

${\displaystyle \Delta :T^{2}V\to \bigoplus _{k=0}^{2}T^{k}V\boxtimes T^{2-k}V}$

Продолжая таким образом, можно получить явное выражение для копроизведения, действующего на однородный элемент порядка m :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=\Delta (v_{1})\otimes \cdots \otimes \Delta (v_{m})\\&=\sum _{p=0}^{m}\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{p}\right)\;\omega \;\left(v_{p+1}\otimes \cdots \otimes v_{m}\right)\\&=\sum _{p=0}^{m}\;\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} (p,m-p)}\;\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\boxtimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)\end{aligned}}}$

где символ, который должен отображаться как ш, sha, обозначает произведение тасовки . Это выражается во втором суммировании, которое берется по всем ( p , m − p )-тасовкам . Тасовка есть ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sh} (p,q)=\{\sigma :\{1,\dots ,p+q\}\to \{1,\dots ,p+q\}\;\mid \;&\sigma {\text{ is bijective}},\;\sigma (1)<\sigma (2)<\cdots <\sigma (p),\\&{\text{and }}\;\sigma (p+1)<\sigma (p+2)<\cdots <\sigma (m)\}.\end{aligned}}}$

По соглашению, Sh( m, 0) и Sh(0, m ) равны {id: {1, ..., m } → {1, ..., m }}. Также удобно взять чистые тензорные произведения и равными 1 для p = 0 и p = m , соответственно (пустое произведение в ). Тасовка напрямую следует из первой аксиомы коалгебры: относительный порядок элементов сохраняется при тасовке рифлей: тасовка рифлей просто разбивает упорядоченную последовательность на две упорядоченные последовательности, одну слева и одну справа. ${\displaystyle v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}}$ ${\displaystyle v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}}$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle v_{k}}$

Эквивалентно,

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}\left(\prod _{k=1 \atop k\in S}^{n}v_{k}\right)\boxtimes \left(\prod _{k=1 \atop k\notin S}^{n}v_{k}\right)\!,}$

где произведения находятся в , а сумма берется по всем подмножествам . ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$

Как и прежде, сохраняется алгебраическая градуировка:

${\displaystyle \Delta :T^{m}V\to \bigoplus _{k=0}^{m}T^{k}V\boxtimes T^{(m-k)}V}$

Counit

Коединица задается проекцией компонента поля из алгебры. Это можно записать как для и для . По гомоморфизму под тензорным произведением это продолжается до ${\displaystyle \epsilon :TV\to K}$ ${\displaystyle \epsilon :v\mapsto 0}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \epsilon :k\mapsto k}$ ${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$ ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle \epsilon :x\mapsto 0}$

для всех Легко проверить, что эта коединица удовлетворяет необходимой аксиоме для коалгебры: ${\displaystyle x\in T^{1}V\oplus T^{2}V\oplus \cdots }$

${\displaystyle (\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\epsilon \boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta .}$

Работая с этим явно, можно

${\displaystyle {\begin{aligned}((\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta )(x)&=(\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )(1\boxtimes x+x\boxtimes 1)\\&=1\boxtimes \epsilon (x)+x\boxtimes \epsilon (1)\\&=0+x\boxtimes 1\\&\cong x\end{aligned}}}$

где на последнем шаге был использован изоморфизм , как это уместно для определяющей аксиомы коединицы. ${\displaystyle TV\boxtimes K\cong TV}$

Биалгебра

Биалгебра определяет как умножение, так и коумножение и требует, чтобы они были совместимы .

Умножение

Умножение задается оператором

${\displaystyle \nabla :TV\boxtimes TV\to TV}$

который в этом случае уже был задан как «внутреннее» тензорное произведение. То есть,

${\displaystyle \nabla :x\boxtimes y\mapsto x\otimes y}$

То есть, вышеизложенное должно прояснить, почему нужно использовать символ: на самом деле это одно и то же, что и ; и небрежность обозначений здесь привела бы к полному хаосу. Подкрепляя это: тензорное произведение тензорной алгебры соответствует умножению, используемому в определении алгебры, тогда как тензорное произведение требуется в определении коумножения в коалгебре. Эти два тензорных произведения — не одно и то же! ${\displaystyle \nabla (x\boxtimes y)=x\otimes y.}$ ${\displaystyle \boxtimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \boxtimes }$

Единица

Единица для алгебры

${\displaystyle \eta :K\to TV}$

это просто вложение, так что

${\displaystyle \eta :k\mapsto k}$

То, что единица совместима с тензорным произведением , «тривиально»: это всего лишь часть стандартного определения тензорного произведения векторных пространств. То есть, для полевого элемента k и любого Более многословно, аксиомы для ассоциативной алгебры требуют двух гомоморфизмов (или коммутирующих диаграмм): ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle k\otimes x=kx}$ ${\displaystyle x\in TV.}$

${\displaystyle \nabla \circ (\eta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})=\eta \otimes \mathrm {id} _{TV}=\eta \cdot \mathrm {id} _{TV}}$

на , и что симметрично, на , что ${\displaystyle K\boxtimes TV}$ ${\displaystyle TV\boxtimes K}$

${\displaystyle \nabla \circ (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \eta )=\mathrm {id} _{TV}\otimes \eta =\mathrm {id} _{TV}\cdot \eta }$

где правую часть этих уравнений следует понимать как скалярное произведение.

Совместимость

Единица и соединица, а также умножение и коумножение должны удовлетворять условиям совместимости. Легко увидеть, что

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\mathrm {id} _{K}.}$

Аналогично, единица совместима с умножением:

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta \boxtimes \eta \cong \eta }$

Для работы вышеизложенного требуется использование изоморфизма ; без этого теряется линейность. ${\displaystyle K\boxtimes K\cong K}$

${\displaystyle (\Delta \circ \eta )(k)=\Delta (k)=k(1\boxtimes 1)\cong k}$

с правой частью, использующей изоморфизм.

Умножение и соединённая единица совместимы:

${\displaystyle (\epsilon \circ \nabla )(x\boxtimes y)=\epsilon (x\otimes y)=0}$

всякий раз, когда x или y не являются элементами , и в противном случае, имеет место скалярное умножение на поле: Наиболее трудной для проверки является совместимость умножения и коумножения: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k_{1}\otimes k_{2}=k_{1}k_{2}.}$

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =(\nabla \boxtimes \nabla )\circ (\mathrm {id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm {id} )\circ (\Delta \boxtimes \Delta )}$

где обменивает элементы. Условие совместимости нужно проверить только на ; полная совместимость следует как гомоморфное расширение для всех Проверка многословна, но проста; она не приводится здесь, за исключением окончательного результата: ${\displaystyle \tau (x\boxtimes y)=y\boxtimes x}$ ${\displaystyle V\subset TV}$ ${\displaystyle TV.}$

${\displaystyle (\Delta \circ \nabla )(v\boxtimes w)=\Delta (v\otimes w)}$

Явное выражение для этого было дано в разделе коалгебры выше. ${\displaystyle v,w\in V,}$

алгебра Хопфа

Алгебра Хопфа добавляет антипод к аксиомам биалгебры. Антипод на задается как ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$

${\displaystyle S(k)=k}$

Это иногда называют «анти-идентичностью». Антипод на задается ${\displaystyle v\in V=T^{1}V}$

${\displaystyle S(v)=-v}$

и далее по ${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$

${\displaystyle S(v\otimes w)=S(w)\otimes S(v)=w\otimes v}$

Это гомоморфно продолжается до

${\displaystyle {\begin{aligned}S(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=S(v_{m})\otimes \cdots \otimes S(v_{1})\\&=(-1)^{m}v_{m}\otimes \cdots \otimes v_{1}\end{aligned}}}$

Совместимость

Совместимость антипода с умножением и коумножением требует, чтобы

${\displaystyle \nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta =\eta \circ \epsilon =\nabla \circ (\mathrm {id} \boxtimes S)\circ \Delta }$

Это легко проверить покомпонентно : ${\displaystyle k\in K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(k)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(1\boxtimes k)\\&=\nabla (1\boxtimes k)\\&=1\otimes k\\&=k\end{aligned}}}$

Аналогично, на : ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(v)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=\nabla (-v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=-v\otimes 1+1\otimes v\\&=-v+v\\&=0\end{aligned}}}$

Вспомните, что

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(k)=\eta (k)=k}$

и что

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(x)=\eta (0)=0}$

для любого , который не находится в ${\displaystyle x\in TV}$ ${\displaystyle K.}$

Можно действовать аналогичным образом, с помощью гомоморфизма, проверяя, что антипод вставляет соответствующие знаки сокращения в перетасовку, начиная с условия совместимости и продолжая индукцией. ${\displaystyle T^{2}V}$

Cofree cocomplete коалгебра

Можно определить другое копроизведение на тензорной алгебре, более простое, чем приведенное выше. Оно задается как

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{0}\otimes \dots \otimes v_{j})\boxtimes (v_{j+1}\otimes \dots \otimes v_{k+1})}$

Здесь, как и прежде, используется трюк с обозначениями ( тривиально вспоминая об этом). ${\displaystyle v_{0}=v_{k+1}=1\in K}$ ${\displaystyle v\otimes 1=v}$

Это копроизведение порождает коалгебру. Оно описывает коалгебру, которая является двойственной к структуре алгебры на T ( V ^∗ ), где V ^∗ обозначает двойственное векторное пространство линейных отображений V → F . Точно так же, как тензорная алгебра является свободной алгеброй , соответствующая коалгебра называется кополной косвободной. С обычным произведением это не биалгебра. Ее можно превратить в биалгебру с произведением , где (i,j) обозначает биномиальный коэффициент для . Эта биалгебра известна как алгебра Хопфа с разделенной степенью . ${\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}=(i,j)v_{i+j}}$ ${\displaystyle {\tbinom {i+j}{i}}}$

Разница между этой и другой коалгеброй наиболее легко видна в термине. Здесь есть то, что ${\displaystyle T^{2}V}$

${\displaystyle \Delta (v\otimes w)=1\boxtimes (v\otimes w)+v\boxtimes w+(v\otimes w)\boxtimes 1}$

для , в котором явно отсутствует перетасованный член по сравнению с предыдущим. ${\displaystyle v,w\in V}$

Смотрите также

• Сплетенное векторное пространство
• Сплетенная алгебра Хопфа
• Моноидальная категория
• Полилинейная алгебра
• Фок-пространство

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989). Алгебра I. Главы 1-3. Элементы математики . Springer-Verlag . ISBN 3-540-64243-9. (См. Главу 3 §5)

• Серж Ланг (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (3-е изд.), Springer Verlag , ISBN 978-0-387-95385-4