Симметричная алгебра

В математике симметричная алгебра S $(V) ($ также обозначаемая $Sym(V))$ в векторном пространстве $V$ над полем $K$ является коммутативной алгеброй над $K$ , которая содержит $V$ и в некотором смысле минимальна для этого свойства. Здесь «минимальный» означает, что $S (V)$ удовлетворяет следующему универсальному свойству : для каждого линейного отображения $f$ из $V$ в коммутативную алгебру $A$ существует единственный гомоморфизм алгебры $g : S (V) \to A$ такой, что $f = g \circ i$ , где $i$ $—$ карта включения V в $S$ $(V)$ .

Если $B$ является базисом $V$ , симметрическая алгебра $S (V)$ может быть отождествлена посредством канонического изоморфизма с кольцом многочленов $K [B]$ , где элементы $B$ считаются неопределенными. Следовательно, симметрическую алгебру над $V$ можно рассматривать как «свободное от координат» кольцо полиномов над $V$ .

Симметрическую алгебру $S (V)$ можно построить как фактор тензорной алгебры $T (V)$ по двустороннему идеалу , порожденному элементами вида $x \otimes y - y \otimes x$ .

Все эти определения и свойства естественным образом распространяются на случай, когда $V$ — модуль (не обязательно свободный) над коммутативным кольцом .

Строительство

Из тензорной алгебры

Тензорную алгебру $T (V)$ можно использовать для описания симметричной алгебры $S (V)$ . Фактически, $S (V)$ можно определить как факторалгебру T $($ $V$ $)$ по двустороннему идеалу, $порожденному$ коммутаторами $v\otimes ww\otimes v.$

Непосредственно проверяется, что полученная алгебра удовлетворяет универсальному свойству, указанному во введении. Из-за универсального свойства тензорной алгебры линейное отображение $f$ из $V$ в коммутативную алгебру $A$ расширяется до гомоморфизма алгебры , который факторизуется через $S(V),$ поскольку $A$ коммутативна. Расширение $f$ до гомоморфизма алгебры единственно, поскольку $V$ порождает $S(V)$ как $K$ -алгебру. ${\ displaystyle T (V) \ rightarrow A}$ $S(V)\rightarrow A$

Это также является прямым следствием общего результата теории категорий , который утверждает, что композиция двух левых сопряженных функторов также является левым сопряженным функтором. Здесь функтор забывания от коммутативных алгебр к векторным пространствам или модулям (забывание умножения) представляет собой композицию функторов забывания от коммутативных алгебр к ассоциативным алгебрам (забывание коммутативности) и от ассоциативных алгебр к векторам или модулям (забывание умножения). Поскольку тензорная алгебра и фактор по коммутаторам левосопряжены к этим забывчивым функторам, их композиция левосопряжена к забывчивому функтору от коммутативной алгебры к векторам или модулям, и это доказывает желаемое универсальное свойство.

Из полиномиального кольца

Симметрическую алгебру $S (V)$ можно построить и из колец полиномов .

Если $V$ — $K$ -векторное пространство или свободный $K$ -модуль с базисом $B$ , пусть $K [B]$ — кольцо полиномов, элементы которого $B$ являются неопределенными. Однородные полиномы первой степени образуют векторное пространство или свободный модуль, который можно отождествить с $V$ . Непосредственно проверяется, что это делает $K [B]$ решением универсальной задачи, сформулированной во введении. Это означает, что $K [B]$ и $S (V)$ канонически изоморфны и, следовательно, могут быть отождествлены. Это также непосредственно следует из общих соображений теории категорий , поскольку свободные модули и кольца многочленов являются свободными объектами своих соответствующих категорий.

Если $V$ $—$ несвободный модуль, его можно записать где L $—$ свободный модуль, а $M$ — подмодуль L. В этом случае имеется $V=L/M,$

S(V)=S(L/M)=S(L)/\langle M\rangle,

где – идеал, порожденный $M$ . (Здесь знаки равенства означают равенство с точностью до канонического изоморфизма.) Опять же, это можно доказать, показав, что существует решение универсального свойства, и это можно сделать либо с помощью простых, но скучных вычислений, либо с помощью теории категорий. и, более конкретно, тот факт, что фактор является решением универсальной проблемы для морфизмов, которые отображают в ноль данное подмножество. (В зависимости от случая ядром является нормальная подгруппа , подмодуль или идеал, а обычное определение частных можно рассматривать как доказательство существования решения универсальной задачи.) $\langle M\rangle$

Оценка

Симметричная алгебра является градуированной алгеброй . То есть это прямая сумма

S(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S^{n}(V),

где называется $n$ -й симметричной степенью V , это векторное подпространство или подмодуль $,$ порожденный произведениями $n$ элементов $V.$ (Вторую симметричную степень иногда называют симметричным квадратом V $)$ . $S^{n}(V),$ $S^{2}(V)$

Это можно доказать разными способами. Одно следует из конструкции тензорной алгебры: поскольку тензорная алгебра градуирована, а симметрическая алгебра является ее фактор-фактором по однородному идеалу : идеалу, порожденному всеми, где $x$ и $y$ находятся в $V$ , то есть однородными степени один. $x\otimes yy\otimes x,$

В случае векторного пространства или свободного модуля градация — это градация полиномов по полной степени . Несвободный модуль можно записать как $L / M$ , где $L$ — свободный модуль базы $B$ ; ее симметрическая алгебра является фактором (градуированной) симметрической алгебры $L$ (кольца полиномов) по однородному идеалу, порожденному элементами $M$ , однородными первой степени.

Можно также определить решение универсальной проблемы для n -линейных симметричных функций из $V$ в векторное пространство или модуль, а затем проверить, что прямая сумма всех удовлетворяет универсальной задаче для симметричной алгебры. $S^{n}(V)$ $S^{n}(V)$

Связь с симметричными тензорами

Поскольку симметрическая алгебра векторного пространства является фактором тензорной алгебры, элемент симметрической алгебры не является тензором и, в частности, не является симметричным тензором . Однако симметричные тензоры тесно связаны с симметрической алгеброй.

Симметричный тензор степени $n —$ $это$ элемент $Tn (V)$ $,$ инвариантный относительно действия симметрической группы. $Точнее$ , данное преобразование определяет линейный эндоморфизм Tn $($ $V$ $)$ . Симметричный тензор — это тензор, инвариантный относительно всех этих эндоморфизмов. Симметричные тензоры степени $n$ образуют векторное подпространство (или модуль) $Sym$ $n$ $($ $V$ $) \subset$ $T$ $n$ $($ $V$ $)$ . Симметричные тензоры — это элементы прямой суммы , которая представляет собой градуированное векторное пространство (или градуированный модуль ). Это не алгебра, поскольку тензорное произведение двух симметричных тензоров вообще не симметрично. ${\mathcal {S}}_{n}.$ $\sigma \in {\mathcal {S}}_{n},$ $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_ {n} \mapsto v_ {\sigma (1)} \otimes \cdots \otimes v_ {\sigma (n)}$ $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),$

Пусть – ограничение на $Sym$ $n$ $($ $V$ $)$ канонической сюръекции. If $n$ $!$ обратим в основном поле (или кольце), то является изоморфизмом . Это всегда имеет место с основным полем нулевой характеристики . Обратный изоморфизм - это линейное отображение, определяемое (на произведениях n $векторов$ ) симметризацией $\pi _{n}$ $T^{n}(V)\to S^{n}(V).$ $\pi _{n}$

v_{1}\cdots v_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}v_{\sigma (1)}\otimes \ cdots \otimes v_ {\sigma (n)}.

Отображение не является инъективным, если характеристика меньше $n$ +1; например, равен нулю во второй характеристике. Над кольцом нулевой характеристики может быть несюръективным; например, в целых числах, если $x$ и $y$ — два линейно независимых элемента $V$ $=$ $S$ $1$ $($ $V$ $)$ , которые не входят в $2$ $V$ , то, поскольку $\pi _{n}$ $\pi _ {n}(x\otimes y+y\otimes x)=2xy$ $\pi _{n}$ $xy\not \in \pi _{n}(\operatorname {Sym} ^{2}(V)),$ ${\frac {1}{2}}(x\otimes y+y\otimes x)\not \in \operatorname {Sym} ^{2}(V).$

Таким образом, над полем нулевой характеристики симметричные тензоры и симметрическая алгебра образуют два изоморфных градуированных векторных пространства. Таким образом, их можно идентифицировать, поскольку речь идет только о структуре векторного пространства, но их нельзя идентифицировать, если речь идет о продуктах. Более того, этот изоморфизм не распространяется на случаи полей положительной характеристики и колец, не содержащих рациональных чисел .

Категориальные свойства

Учитывая модуль $V$ над коммутативным кольцом $K$ , симметрическая алгебра $S (V)$ может быть определена следующим универсальным свойством :

Для каждого

K

- линейного отображения

f

из

V

в коммутативную

K

-алгебру

A

существует единственный гомоморфизм

K

- алгебры такой, что где

i

— включение

V

S

(

V

)

g:S(V)\to A

f=g\circ i,

Что касается каждого универсального свойства, то, как только решение существует, оно однозначно определяет симметрическую алгебру с точностью до канонического изоморфизма . Отсюда следует, что все свойства симметрической алгебры можно вывести из универсального свойства. Этот раздел посвящен основным свойствам, принадлежащим теории категорий .

Симметричная алгебра является функтором из категории K -модулей в категорию $K$ -коммутативной алгебры, поскольку из универсального свойства следует, что каждый $гомоморфизм$ модулей однозначно продолжается до гомоморфизма алгебры. $f:V\to W$ $S(f):S(V)\to S(W).$

Универсальное свойство можно переформулировать, сказав, что симметрическая алгебра является левым сопряженным функтору забывания , который отправляет коммутативную алгебру в ее базовый модуль.

Симметричная алгебра аффинного пространства

Аналогично можно построить симметрическую алгебру на аффинном пространстве . Ключевое отличие состоит в том, что симметрическая алгебра аффинного пространства является не градуированной, а фильтрованной алгеброй : можно определить степень полинома в аффинном пространстве, но не его однородных частей.

Например, для линейного многочлена в векторном пространстве можно определить его постоянную часть, оценивая его как 0. В аффинном пространстве нет выделенной точки, поэтому этого сделать нельзя (выбор точки превращает аффинное пространство в вектор космос).

Аналогия с внешней алгеброй

S ^k — функторы , сравнимые с внешними степенями ; здесь, однако, размерность растет с ростом k ; это дано

\operatorname {dim} (S^{k}(V))={\binom {n+k-1}{k}}

где n — размерность V. Этот биномиальный коэффициент представляет собой количество мономов n -переменной степени k . Фактически, симметрическая алгебра и внешняя алгебра появляются как изотипические компоненты тривиального и знакового представления действия действия ^на тензорное произведение (например, над комплексным ^полем⁾ $S_{n}$ $V^{\otimes n}$

Как алгебра Хопфа

Симметричной алгебре можно придать структуру алгебры Хопфа . Подробности см. в Тензорной алгебре .

Как универсальная обертывающая алгебра

Симметричная алгебра S ( V ) — универсальная обертывающая алгебра абелевой алгебры Ли , т. е. та, в которой скобка Ли тождественно равна 0.

Смотрите также

внешняя алгебра , аналог знакопеременной алгебры
градуированная симметричная алгебра , общее обобщение симметричной алгебры и внешней алгебры
Алгебра Вейля , квантовая деформация симметрической алгебры симплектической формой.
Алгебра Клиффорда , квантовая деформация внешней алгебры квадратичной формой