В математике эндоморфизм — это морфизм математического объекта в самого себя. Эндоморфизм, который также является изоморфизмом, является автоморфизмом . Например, эндоморфизм векторного пространства V — это линейное отображение f : V → V , а эндоморфизм группы G — это групповой гомоморфизм f : G → G. В целом, мы можем говорить об эндоморфизмах в любой категории . В категории множеств эндоморфизмы — это функции из множества S в себя.
В любой категории композиция любых двух эндоморфизмов X снова является эндоморфизмом X . Отсюда следует, что множество всех эндоморфизмов X образует моноид , полный моноид преобразований , и обозначается End( X ) (или End C ( X ) , чтобы подчеркнуть категорию C ).
Обратимый эндоморфизм X называется автоморфизмом . Множество всех автоморфизмов является подмножеством End ( X ) с групповой структурой , называемой группой автоморфизмов X и обозначаемой Aut( X ) . На следующей диаграмме стрелки обозначают последствия:
Любые два эндоморфизма абелевой группы A можно сложить по правилу ( f + g )( a ) = f ( a ) + g ( a ) . При этом добавлении и при определении умножения как композиции функций эндоморфизмы абелевой группы образуют кольцо ( кольцо эндоморфизмов ). Например, множество эндоморфизмов — это кольцо всех матриц размера n × n с целыми элементами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта в преаддитивной категории . Эндоморфизмы неабелевой группы порождают алгебраическую структуру, известную как почти кольцо . Каждое кольцо с единицей является кольцом эндоморфизмов своего регулярного модуля и, следовательно, является подкольцом кольца эндоморфизмов абелевой группы; [1] однако существуют кольца, которые не являются кольцами эндоморфизмов какой-либо абелевой группы.
В любой конкретной категории , особенно для векторных пространств , эндоморфизмы представляют собой отображения множества в себя и могут интерпретироваться как унарные операторы на этом множестве, действующие на элементы и позволяющие определить понятие орбит элементов и т. д.
В зависимости от дополнительной структуры, определенной для рассматриваемой категории ( топология , метрика ,...), такие операторы могут обладать такими свойствами, как непрерывность , ограниченность и т. д. Более подробную информацию можно найти в статье о теории операторов .
Эндофункция — это функция, область определения которой равна ее кодомену . Гомоморфная эндофункция является эндоморфизмом.
Пусть S — произвольное множество. Среди эндофункций на S можно найти перестановки S и постоянные функции , сопоставляющие каждому x в S один и тот же элемент c в S . Каждая перестановка S имеет кодобласть, равную ее области определения, и является биективной и обратимой. Если S имеет более одного элемента, постоянная функция на S имеет образ , который является собственным подмножеством ее кодомена и, следовательно, не является биективным (и, следовательно, необратимым). Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу n пол из n /2, имеет образ, равный ее кодомену, и не является обратимой.
Конечные эндофункции эквивалентны направленным псевдолесам . Для множеств размера n на множестве имеется n n эндофункций.
Частными примерами биективных эндофункций являются инволюции ; т. е. функции, совпадающие со своими обратными.
