В математике топология (от греческих слов τόπος — «место, расположение» и λόγος — «изучение») связана со свойствами геометрического объекта , которые сохраняются при непрерывных деформациях , таких как растяжение , скручивание , смятие и изгиб. ; то есть без закрытия отверстий, открытия отверстий, разрыва, склеивания или прохождения через себя.
Топологическое пространство — это множество , наделенное структурой, называемой топологией , которая позволяет определить непрерывную деформацию подпространств и, в более общем смысле, все виды непрерывности . Евклидовы пространства и, в более общем смысле, метрические пространства являются примерами топологических пространств, поскольку любое расстояние или метрика определяют топологию. Деформации, рассматриваемые в топологии, — это гомеоморфизмы и гомотопии . Свойство, инвариантное относительно таких деформаций, является топологическим свойством . Ниже приведены основные примеры топологических свойств: размерность , позволяющая различать линию и поверхность ; компактность , позволяющая различать линию и круг; связность , позволяющая отличить круг от двух непересекающихся кругов.
Идеи, лежащие в основе топологии, восходят к Готфриду Вильгельму Лейбницу , который в 17 веке представил геометрию и анализ . Задача Леонарда Эйлера о семи мостах Кенигсберга и формула многогранника, возможно, являются первыми теоремами в этой области. Термин топология был введен Иоганном Бенедиктом Листингом в 19 веке; хотя идея топологического пространства получила развитие только в первые десятилетия 20 века.
Мотивирующая идея топологии заключается в том, что некоторые геометрические задачи зависят не от точной формы задействованных объектов, а скорее от способа их соединения. Например, квадрат и круг имеют много общих свойств: они оба являются одномерными объектами (с топологической точки зрения) и разделяют плоскость на две части: часть внутри и часть снаружи.
В одной из первых работ по топологии Леонард Эйлер продемонстрировал, что невозможно найти маршрут через город Кенигсберг (ныне Калининград ), который пересекал бы каждый из семи его мостов ровно один раз. Этот результат зависел не от длины мостов или от их расстояния друг от друга, а только от свойств связности: какие мосты соединяются с какими островами или берегами рек. Задача «Семь мостов Кенигсберга» привела к возникновению раздела математики, известного как теория графов .
Точно так же теорема алгебраической топологии о волосатом клубке гласит, что «нельзя расчесать волосы на волосатом клубке, не создав при этом челку ». Этот факт немедленно убеждает большинство людей, даже если они не осознают более формального утверждения теоремы, что на сфере не существует ненулевого непрерывного касательного векторного поля . Как и в случае с «Кенигсбергскими мостами» , результат не зависит от формы сферы; это применимо к любой гладкой капле, если в ней нет дырок.
Чтобы справиться с этими проблемами, которые не зависят от точной формы объектов, необходимо четко понимать, от каких именно свойств зависят эти проблемы. Из этой необходимости возникает понятие гомеоморфизма . Невозможность пересечь каждый мост только один раз применима к любому расположению мостов, гомеоморфному мостам в Кенигсберге, а теорема о волосатом шаре применима к любому пространству, гомеоморфному сфере.
Интуитивно понятно, что два пространства гомеоморфны, если одно можно деформировать в другое, не разрезая и не склеивая. Традиционная шутка заключается в том, что тополог не может отличить кофейную кружку от пончика, поскольку достаточно гибкий пончик можно превратить в кофейную чашку, создав ямочку и постепенно увеличивая ее, сжимая при этом отверстие до ручки. [1]
Гомеоморфизм можно считать самой основной топологической эквивалентностью . Другой — гомотопическая эквивалентность . Это сложнее описать, не вдаваясь в технические подробности, но основная идея состоит в том, что два объекта гомотопически эквивалентны, если они оба являются результатом «сжатия» какого-то более крупного объекта.
Топология как четко определенная математическая дисциплина зародилась в начале двадцатого века, но некоторые отдельные результаты можно проследить несколько столетий назад. [2] Среди них есть некоторые вопросы геометрии, исследованные Леонардом Эйлером . Его статья 1736 года о семи мостах Кенигсберга считается одним из первых практических применений топологии. [2] 14 ноября 1750 года Эйлер написал другу, что осознал важность ребер многогранника . Это привело к его формуле многогранника V − E + F = 2 (где V , E и F соответственно указывают количество вершин, ребер и граней многогранника). Некоторые авторитеты считают этот анализ первой теоремой, сигнализирующей о рождении топологии. [3]
Дальнейший вклад внесли Огюстен-Луи Коши , Людвиг Шлефли , Иоганн Бенедикт Листинг , Бернхард Риман и Энрико Бетти . [4] Листинг ввел термин «Топология» в « Vorstudien zur Topologie» , написанном на его родном немецком языке, в 1847 году, использовав это слово в течение десяти лет в переписке, прежде чем оно впервые появилось в печати. [5] Английская форма «топология» была использована в 1883 году в некрологе Листинга в журнале Nature , чтобы отличить «качественную геометрию от обычной геометрии, в которой в основном рассматриваются количественные отношения». [6]
Их работу исправил, консолидировал и значительно расширил Анри Пуанкаре . В 1895 году он опубликовал свою новаторскую статью «Анализ положения» , в которой ввел понятия, ныне известные как гомотопия и гомология , которые теперь считаются частью алгебраической топологии . [4]
Объединив работы по функциональным пространствам Георга Кантора , Вито Вольтерры , Чезаре Арсела , Жака Адамара , Джулио Асколи и других, Морис Фреше ввел метрическое пространство в 1906 году . [7] Метрическое пространство теперь считается частным случаем общего топологического пространства. , причем любое данное топологическое пространство потенциально порождает множество различных метрических пространств. В 1914 году Феликс Хаусдорф ввёл термин «топологическое пространство» и дал определение тому, что сейчас называется пространством Хаусдорфа . [8] В настоящее время топологическое пространство представляет собой небольшое обобщение пространств Хаусдорфа, данное в 1922 году Казимежем Куратовским . [9]
Современная топология во многом зависит от идей теории множеств, разработанных Георгом Кантором во второй половине XIX века. Помимо установления основных идей теории множеств, Кантор рассматривал множества точек в евклидовом пространстве как часть своего исследования рядов Фурье . Для дальнейшего развития см. топологию набора точек и алгебраическую топологию .
Премия Абеля 2022 года была присуждена Деннису Салливану «за его новаторский вклад в топологию в ее самом широком смысле, и в частности ее алгебраические, геометрические и динамические аспекты». [10]
Термин топология также относится к конкретной математической идее, центральной для области математики, называемой топологией. Неформально топология описывает, как элементы набора пространственно соотносятся друг с другом. Один и тот же набор может иметь разные топологии. Например, действительную линию , комплексную плоскость и множество Кантора можно рассматривать как один и тот же набор с разными топологиями.
Формально, пусть X — множество, а τ — семейство подмножеств X. Тогда τ называется топологией на X , если:
Если τ — топология на X , то пара ( X , τ ) называется топологическим пространством. Обозначение X τ может использоваться для обозначения множества X , наделенного конкретной топологией τ . По определению каждая топология является π -системой .
Члены τ называются открытыми множествами в X . Подмножество X называется замкнутым, если его дополнение находится в τ (т. е. его дополнение открыто). Подмножество X может быть открытым, закрытым, обоими ( закрыто-открытое множество ) или ни одним из них. Пустое множество и сам X всегда одновременно закрыты и открыты. Открытое подмножество X , содержащее точку x , называется окрестностью x .
Функция или отображение одного топологического пространства в другое называется непрерывной, если прообраз любого открытого множества открыт. Если функция отображает действительные числа в действительные числа (оба пространства со стандартной топологией), то это определение непрерывности эквивалентно определению непрерывности в исчислении . Если непрерывная функция взаимно однозначна и на , и если обратная функция также непрерывна, то функция называется гомеоморфизмом, а область определения функции называется гомеоморфной области значений. Другими словами, функция имеет естественное расширение топологии. Если два пространства гомеоморфны, они имеют одинаковые топологические свойства и считаются топологически одинаковыми. Куб и сфера гомеоморфны, как и чашка кофе и пончик. Однако сфера не гомеоморфна бублику.
Хотя топологические пространства могут быть чрезвычайно разнообразными и экзотическими, многие области топологии сосредоточены на более знакомом классе пространств, известных как многообразия. Многообразие — это топологическое пространство, напоминающее евклидово пространство вблизи каждой точки . Точнее, каждая точка n -мерного многообразия имеет окрестность , гомеоморфную евклидову пространству размерности n . Линии и окружности , но не восьмерки , являются одномерными многообразиями. Двумерные многообразия также называются поверхностями , хотя не все поверхности являются многообразиями. Примеры включают плоскость , сферу и тор, которые могут быть реализованы без самопересечения в трех измерениях, а также бутылку Клейна и реальную проективную плоскость , которые не могут (то есть все их реализации представляют собой поверхности, не являющиеся многообразиями) .
Общая топология — это раздел топологии, изучающий основные теоретико-множественные определения и конструкции, используемые в топологии. [11] [12] Это основа большинства других разделов топологии, включая дифференциальную топологию, геометрическую топологию и алгебраическую топологию. Другое название общей топологии — топология множества точек.
Основной объект исследования — топологические пространства , представляющие собой множества, снабженные топологией , то есть семейством подмножеств , называемых открытыми множествами , замкнутым относительно конечных пересечений и (конечных или бесконечных) объединений . Фундаментальные понятия топологии, такие как непрерывность , компактность и связность , можно определить в терминах открытых множеств. Интуитивно понятно, что непрерывные функции переводят близлежащие точки в соседние точки. Компактные множества — это те, которые могут быть покрыты конечным числом множеств сколь угодно малого размера. Связные множества — это множества, которые нельзя разделить на две части, находящиеся далеко друг от друга. Слова «рядом », «сколь угодно маленькие » и « далеко друг от друга» можно уточнить с помощью открытых наборов. В одном пространстве можно определить несколько топологий. Изменение топологии заключается в изменении набора открытых множеств. Это меняет, какие функции являются непрерывными, а какие подмножества компактными или связными.
Метрические пространства — важный класс топологических пространств, где расстояние между любыми двумя точками определяется функцией, называемой метрикой . В метрическом пространстве открытое множество представляет собой объединение открытых дисков, где открытый диск радиуса r с центром в точке x представляет собой набор всех точек, расстояние до которых до x меньше r . Многие общие пространства представляют собой топологические пространства, топология которых может быть определена с помощью метрики. Это случай вещественной прямой , комплексной плоскости , вещественных и комплексных векторных пространств и евклидовых пространств . Наличие метрики упрощает многие доказательства.
Алгебраическая топология — это раздел математики, который использует инструменты алгебры для изучения топологических пространств. [13] Основная цель — найти алгебраические инварианты, которые классифицируют топологические пространства с точностью до гомеоморфизма, хотя обычно большинство из них классифицируют с точностью до гомотопической эквивалентности.
Наиболее важными из этих инвариантов являются гомотопические группы , гомологии и когомологии .
Хотя алгебраическая топология в основном использует алгебру для изучения топологических проблем, иногда возможно также использование топологии для решения алгебраических задач. Например, алгебраическая топология позволяет удобно доказать, что любая подгруппа свободной группы снова является свободной группой.
Дифференциальная топология — это область, имеющая дело с дифференцируемыми функциями на дифференцируемых многообразиях . [14] Она тесно связана с дифференциальной геометрией и вместе они составляют геометрическую теорию дифференцируемых многообразий.
Более конкретно, дифференциальная топология рассматривает свойства и структуры, для определения которых требуется только гладкая структура на многообразии. Гладкие многообразия «мягче», чем многообразия с дополнительными геометрическими структурами, которые могут служить препятствиями для определенных типов эквивалентностей и деформаций , существующих в дифференциальной топологии. Например, объем и риманова кривизна являются инвариантами, которые позволяют различать разные геометрические структуры на одном и том же гладком многообразии - то есть можно плавно «сгладить» определенные многообразия, но для этого может потребоваться искажение пространства и влияние на кривизну или объем.
Геометрическая топология — это раздел топологии, который в основном фокусируется на многообразиях низкой размерности (то есть пространствах размерностей 2, 3 и 4) и их взаимодействии с геометрией, но также включает в себя некоторую топологию более высокой размерности. [15] Некоторыми примерами тем геометрической топологии являются ориентируемость , разложение ручкой , локальная плоскостность , смятие, а также плоская и многомерная теорема Шенфлиса .
В многомерной топологии характеристические классы являются базовым инвариантом, а теория хирургии — ключевой теорией.
Низкоразмерная топология является строго геометрической, что отражено в теореме об униформизации в двух измерениях: каждая поверхность допускает постоянную метрику кривизны; геометрически он имеет одну из трех возможных геометрий: положительную кривизну / сферическую, нулевую кривизну / плоскую и отрицательную кривизну / гиперболическую - и гипотезу геометризации (теперь теорема) в трех измерениях - каждое трехмерное многообразие можно разрезать на части, каждое из которых который имеет одну из восьми возможных геометрий.
Двумерную топологию можно изучать как комплексную геометрию с одной переменной ( римановы поверхности представляют собой комплексные кривые) – по теореме униформизации каждый конформный класс метрик эквивалентен единственному комплексному, а четырехмерную топологию можно изучать с точки зрения взгляд на сложную геометрию с двумя переменными (комплексные поверхности), хотя не каждое 4-многообразие допускает сложную структуру.
Иногда приходится использовать инструменты топологии, но «набор точек» недоступен. В бессмысленной топологии вместо этого рассматривается решетка открытых множеств как основное понятие теории, [16] в то время как топологии Гротендика представляют собой структуры, определенные в произвольных категориях , которые позволяют определить пучки в этих категориях и, тем самым, определить общие теории когомологий. . [17]
Топология использовалась для изучения различных биологических систем, включая молекулы и наноструктуры (например, мембранные объекты). В частности, топология цепей и теория узлов широко применялись для классификации и сравнения топологии свернутых белков и нуклеиновых кислот. Топология цепей классифицирует свернутые молекулярные цепи на основе попарного расположения их внутрицепных контактов и пересечений цепей. Теория узлов , раздел топологии, используется в биологии для изучения воздействия определенных ферментов на ДНК. Эти ферменты разрезают, скручивают и повторно соединяют ДНК, вызывая образование узлов с наблюдаемыми эффектами, такими как замедление электрофореза . [18] В нейробиологии топологические величины, такие как характеристика Эйлера и число Бетти, используются для измерения сложности моделей активности в нейронных сетях. [ нужна цитата ]
Топологический анализ данных использует методы алгебраической топологии для определения крупномасштабной структуры набора (например, определения того, является ли облако точек сферическим или тороидальным ). Основной метод, используемый при топологическом анализе данных, заключается в следующем:
Некоторые разделы семантики языков программирования , такие как теория предметной области , формализуются с помощью топологии. В этом контексте Стив Викерс , опираясь на работы Самсона Абрамски и Майкла Б. Смита, характеризует топологические пространства как булевы алгебры или алгебры Гейтинга над открытыми множествами, которые характеризуются как полуразрешимые (эквивалентно, конечно наблюдаемые) свойства. [20]
Топология имеет отношение к физике в таких областях, как физика конденсированного состояния , [21] квантовая теория поля и физическая космология .
Топологическая зависимость механических свойств твердых тел представляет интерес для дисциплин машиностроения и материаловедения . Электрические и механические свойства зависят от расположения и сетчатой структуры молекул и элементарных звеньев в материалах. [22] Прочность на сжатие смятых топологий изучается в попытках понять высокую устойчивость к весу таких структур, которые в основном представляют собой пустое пространство . [23] Топология имеет дальнейшее значение в контактной механике , где зависимость жесткости и трения от размерности поверхностных структур является предметом интереса с приложениями в физике многих тел.
Топологическая квантовая теория поля (или топологическая теория поля или TQFT) — это квантовая теория поля, которая вычисляет топологические инварианты .
Хотя TQFT были изобретены физиками, они также представляют математический интерес, поскольку связаны, среди прочего, с теорией узлов , теорией четырехмногообразий в алгебраической топологии и теорией пространств модулей в алгебраической геометрии. Дональдсон , Джонс , Виттен и Концевич получили медали Филдса за работы, связанные с топологической теорией поля.
Топологическая классификация многообразий Калаби – Яу имеет важные последствия в теории струн , поскольку разные многообразия могут поддерживать разные типы струн. [24]
В космологии топология может использоваться для описания общей формы Вселенной . [25] Эта область исследований широко известна как топология пространства-времени .
В конденсированном состоянии соответствующее применение к топологической физике связано с возможностью получения одностороннего тока, то есть тока, защищенного от обратного рассеяния. Впервые он был обнаружен в электронике с помощью знаменитого квантового эффекта Холла , а затем обобщен в других областях физики, например в фотонике [26] Ф.Д.М. Холдейном .
Возможные положения робота можно описать многообразием, называемым конфигурационным пространством . [27] В области планирования движения можно найти пути между двумя точками в конфигурационном пространстве. Эти пути представляют собой движение суставов и других частей робота в желаемую позу. [28]
Головоломки на распутывание основаны на топологических аспектах форм и компонентов головоломки. [29] [30] [31]
Чтобы создать непрерывное соединение частей в модульной конструкции, необходимо создать непрерывный путь в порядке, который окружает каждую часть и пересекает каждое ребро только один раз. Этот процесс является применением пути Эйлера . [32]
