Гомеоморфизм

Отображение, сохраняющее все топологические свойства данного пространства.

Часто повторяемая математическая шутка заключается в том, что топологи не могут отличить кофейную кружку от пончика , ^[1] поскольку достаточно податливый пончик можно придать форму кофейной кружки , создав ямочку и постепенно увеличивая ее, сохраняя при этом форму кофейной кружки. отверстие для бублика в ручке кружки. Это иллюстрирует, что кофейная кружка и пончик ( тор ) гомеоморфны.

В математике и, более конкретно, в топологии , гомеоморфизм ( от греческих корней , означающих «подобную форму», названный Анри Пуанкаре ), ^{[2] [3]} также называемый топологическим изоморфизмом или двояконепрерывной функцией , является взаимно однозначной и непрерывной функцией между топологическими пространствами. которая имеет непрерывную обратную функцию . Гомеоморфизмы — это изоморфизмы в категории топологических пространств , то есть отображения , сохраняющие все топологические свойства данного пространства. Два пространства, между которыми существует гомеоморфизм, называются гомеоморфными и с топологической точки зрения они одинаковы.

Грубо говоря, топологическое пространство — это геометрический объект, а гомеоморфизм возникает в результате непрерывной деформации объекта в новую форму. Таким образом, квадрат и круг гомеоморфны друг другу, а сфера и тор — нет. Однако это описание может ввести в заблуждение. Некоторые непрерывные деформации не приводят к гомеоморфизмам, например деформация прямой в точку. Некоторые гомеоморфизмы не являются результатом непрерывных деформаций, например гомеоморфизм между узлом-трилистником и кругом. Гомотопия и изотопия являются точными определениями неформальной концепции непрерывной деформации .

Определение

Функция между двумя топологическими пространствами является гомеоморфизмом , если она обладает следующими свойствами: ${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle f}$является биекцией ( взаимно и на ),
• ${\displaystyle f}$является непрерывным ,
• обратная функция непрерывна ( является открытым отображением ). ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Гомеоморфизм иногда называют двояконепрерывной функцией. Если такая функция существует и гомеоморфны . Самогомеоморфизм — это гомеоморфизм топологического пространства на себя. Быть «гомеоморфным» — это отношение эквивалентности в топологических пространствах. Его классы эквивалентности называются классами гомеоморфизма . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Третье требование — непрерывность — является существенным. Рассмотрим, например, функцию ( единичный круг в ), определяемую формулой Эта функция биективна и непрерывна, но не является гомеоморфизмом ( компактна, но не является). Функция не является непрерывной в этой точке , поскольку , хотя отображение любой окрестности этой точки также включает в себя точки, которые функция отображает близко, но точки, которые она отображает на числа между ними, лежат за пределами окрестности. ^[4] ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle f(\varphi )=(\cos \varphi ,\sin \varphi ).}$ ${\textstyle S^{1}}$ ${\textstyle [0,2\pi )}$ ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle (1,0),}$ ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle (1,0)}$ ${\textstyle 0,}$ ${\textstyle 2\pi ,}$

Гомеоморфизмы — это изоморфизмы в категории топологических пространств . Таким образом, композиция двух гомеоморфизмов снова является гомеоморфизмом, а набор всех собственных гомеоморфизмов образует группу , называемую группой гомеоморфизмов X , часто обозначаемую. Этой группе может быть задана топология, такая как компактно-открытая топология , что при определенных предположениях делает ее топологической группой . ^[5] ${\textstyle X\to X}$ ${\textstyle {\text{Homeo}}(X).}$

В некоторых контекстах существуют гомеоморфные объекты, которые не могут непрерывно деформироваться от одного к другому. Гомотопия и изотопия — это отношения эквивалентности, которые были введены для решения таких ситуаций.

Точно так же, как обычно в теории категорий, при наличии двух гомеоморфных пространств пространство гомеоморфизмов между ними является торсором для групп гомеоморфизмов , и, при наличии конкретного гомеоморфизма между ними, все три множества идентифицируются. ^{[ нужны разъяснения ]} ${\textstyle {\text{Homeo}}(X,Y),}$ ${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$ ${\textstyle {\text{Homeo}}(Y),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

Примеры

Утолщенный узел -трилистник гомеоморфен полноторию, но не изотопен в. Непрерывные отображения не всегда реализуемы как деформации. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

• Открытый интервал гомеоморфен действительным числам для любого (в этом случае двояконепрерывное прямое отображение задается формулой, в то время как другие такие отображения задаются масштабированными и транслируемыми версиями функций tan или arg tanh ). ${\textstyle (a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle a<b.}$ ${\textstyle f(x)={\frac {1}{a-x}}+{\frac {1}{b-x}}}$
• Единица 2- круг и единичный квадрат гомеоморфны ; поскольку единичный диск можно деформировать в единичный квадрат. Пример двояконепрерывного отображения квадрата на диск в полярных координатах : ${\textstyle D^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
  $${\displaystyle (\rho ,\theta )\mapsto \left({\tfrac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right).}$$
• График дифференцируемой функции гомеоморфен области определения функции .
• Дифференцируемая параметризация кривой — это гомеоморфизм между областью параметризации и кривой.
• Карта многообразия — это гомеоморфизм между открытым подмножеством многообразия и открытым подмножеством евклидова пространства .
• Стереографическая проекция — это гомеоморфизм между единичной сферой с удаленной единственной точкой и множеством всех точек (двумерной плоскости ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Если - топологическая группа , ее отображение инверсии является гомеоморфизмом. Кроме того, для любого левого перевода правый перевод и внутренний автоморфизм являются гомеоморфизмами. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ ${\displaystyle x\in G,}$ ${\displaystyle y\mapsto xy,}$ ${\displaystyle y\mapsto yx,}$ ${\displaystyle y\mapsto xyx^{-1}}$

Контрпримеры

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$и не гомеоморфны при m ≠ n . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Евклидова действительная линия не гомеоморфна единичной окружности как подпространство , поскольку единичная окружность компактна как подпространство евклида, но действительная линия не компактна. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Одномерные интервалы и не гомеоморфны, поскольку один компактен, а другой нет. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (0,1)}$

Характеристики

• Два гомеоморфных пространства обладают одинаковыми топологическими свойствами . Например, если один из них компактен , то и другой компактен; если один из них подключен , то и другой тоже; если один из них Хаусдорф , то и другой тоже; их группы гомотопии и гомологии будут совпадать. Однако обратите внимание, что это не распространяется на свойства, определенные с помощью метрики ; существуют метрические пространства, которые гомеоморфны, даже если одно из них полно , а другое — нет.
• Гомеоморфизм является одновременно открытым и замкнутым отображением ; то есть он отображает открытые множества в открытые множества, а закрытые множества в закрытые.
• Любой автогомеоморфизм в можно расширить до автогомеоморфизма всего круга ( прием Александера ). ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$

Неформальное обсуждение

Интуитивный критерий растяжения, изгиба, разрезания и склеивания требует определенной практики для правильного применения - из приведенного выше описания может быть неочевидно, например, что деформация отрезка прямой в точку недопустима. Таким образом, важно понимать, что именно формальное определение, данное выше, имеет значение. В этом случае, например, отрезок имеет бесконечное число точек и поэтому не может быть помещен в биекцию с множеством, содержащим только конечное число точек, включая одну точку.

Такая характеристика гомеоморфизма часто приводит к путанице с понятием гомотопии , которая на самом деле определяется как непрерывная деформация, но от одной функции к другой, а не от одного пространства к другому. В случае гомеоморфизма представление непрерывной деформации — это мысленный инструмент, позволяющий отслеживать, какие точки пространства X соответствуют каким точкам Y — за ними просто следует следовать по мере деформации X. В случае гомотопии существенную роль играет непрерывная деформация от одного отображения к другому, а также менее ограничительная, поскольку ни одно из задействованных отображений не обязательно должно быть взаимно однозначным или находящимся. Гомотопия действительно приводит к отношению на пространствах: гомотопической эквивалентности .

Есть название для вида деформации, связанной с визуализацией гомеоморфизма. Это (за исключением случаев, когда требуются разрезание и переклейка) изотопия между тождественным отображением на X и гомеоморфизмом из X в Y .

Смотрите также

• Локальный гомеоморфизм  - математическая функция, обратимая вблизи каждой точки.
• Диффеоморфизм  - изоморфизм дифференцируемых многообразий.
• Равномерный изоморфизм  . Равномерно непрерывный гомеоморфизм - это изоморфизм между равномерными пространствами.
• Изометрический изоморфизм  . Математическое преобразование, сохраняющее расстояние, Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.представляет собой изоморфизм между метрическими пространствами.
• Группа гомеоморфизмов
• Ден твист
• Гомеоморфизм (теория графов)  - концепция теории графов (тесно связанная с подразделением графов).
• Гомотопия # Изотопия  - Непрерывная деформация между двумя непрерывными функциями.
• Группа классов отображения  - группа изотопических классов топологической группы автоморфизмов.
• Гипотеза Пуанкаре  - Теорема геометрической топологии
• Универсальный гомеоморфизм

Рекомендации

1. Хаббард, Джон Х.; Уэст, Беверли Х. (1995). Дифференциальные уравнения: подход динамических систем. Часть II: Многомерные системы. Тексты по прикладной математике. Том. 18. Спрингер. п. 204. ИСБН 978-0-387-94377-0.
2. Пуанкаре, Х. (1895). Анализ Ситус. Журнал политехнической школы. Готье-Виллар. OCLC  715734142. Архивировано из оригинала 11 июня 2016 года . Проверено 29 апреля 2018 г.
   Пуанкаре, Анри (2010). Статьи по топологии: анализ ситуации и пять дополнений к нему . Перевод Стиллвелла, Джона. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-5234-7.
3. Гамелен, ТВ; Грин, RE (1999). Введение в топологию (2-е изд.). Дувр. п. 67. ИСБН 978-0-486-40680-0.
4. Вяйсяля, Юсси (1999). Топология I. Лаймс Р.Ю. п. 63. ИСБН 951-745-184-9.
5. Дейкстра, Ян Дж. (1 декабря 2005 г.). «О группах гомеоморфизмов и компактно-открытой топологии» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 112 (10): 910–912. дои : 10.2307/30037630. JSTOR  30037630. Архивировано (PDF) из оригинала 16 сентября 2016 г.

Внешние ссылки

• «Гомеоморфизм», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]