Леонард Эйлер ( / ˈ ɔɪ l ər / OY -lər , [b] немецкий: [ˈleːɔnhaʁt ˈʔɔʏlɐ] ⓘ ,швейцарский стандартный немецкий: [ˈleːɔnhart ˈɔʏlər] ; 15 апреля 1707 — 18 сентября 1783) —швейцарскийматематик,физик,астроном,географ,логикиинженер, который основал исследованиятеории графовитопологиии сделал новаторские и влиятельные открытия во многих других областяхматематики, таких каканалитическая теория чисел,комплексный анализиисчисление бесконечно малых. Он ввел большую часть современной математической терминологии иобозначений, включая понятиематематической функции. [6]Он также известен своими работами вобласти механики,гидродинамики,оптики,астрономииитеории музыки. [7]
Эйлер считается одним из величайших математиков в истории и величайшим математиком XVIII века. Несколько великих математиков, написавших свои работы после смерти Эйлера, признали его важность в этой области, о чем свидетельствуют цитаты, приписываемые многим из них: Пьер-Симон Лаплас выразил влияние Эйлера на математику, заявив: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он мастер из нас всех». [8] [c] Карл Фридрих Гаусс писал: «Изучение трудов Эйлера останется лучшей школой для различных областей математики, и ничто другое не сможет заменить его». [9] [d] Эйлер также широко считается самым плодовитым; его 866 публикаций, а также его корреспонденция собраны в Opera Omnia Leonhard Euler , которая, когда будет завершена, будет состоять из 81 тома- кварто . [11] [12] [13] Большую часть своей взрослой жизни он провел в Санкт-Петербурге , Россия, и в Берлине , тогдашней столице Пруссии .
Эйлеру приписывают популяризацию греческой буквы (строчная пи ) для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру , а также первое использование обозначения значения функции, буквы для выражения воображаемой единицы , греческой буквы ( заглавная сигма ) для выражения суммирования , греческая буква (заглавная дельта ) для конечных разностей и строчные буквы для обозначения сторон треугольника, а углы представляются заглавными буквами. [14] Он дал нынешнее определение константы , основания натурального логарифма , теперь известного как число Эйлера . [15]
Эйлеру также приписывают то, что он был первым, кто разработал теорию графов (частично как решение проблемы семи мостов Кенигсберга , которую многие также считают первым практическим применением топологии). Он также прославился, среди многих других достижений, решением нескольких нерешенных проблем теории чисел и анализа, включая Базельскую проблему , которая оставалась нерешенной в течение 150 лет. Базельская задача состоит в нахождении суммы обратных квадратов натуральных чисел. Эйлер нашел, что эта сумма в точности равна π 2 /6 . Эйлеру также приписывают открытие того, что сумма числа вершин и граней минус количество ребер многогранника равна 2, числу, которое сейчас широко известно как характеристика Эйлера . В области физики Эйлер в своей двухтомной работе « Механика» переформулировал законы физики Ньютона в новые законы , чтобы лучше объяснить движение твердых тел . Он также внес существенный вклад в изучение упругих деформаций твердых тел.
Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в Базеле в семье Павла III Эйлера, пастора реформатской церкви , и Маргариты ( урожденной Брукер), чьи предки включают ряд известных ученых-классиков. [16] Он был старшим из четырех детей, имел двух младших сестер, Анну Марию и Марию Магдалену, и младшего брата Иоганна Генриха. [17] [16] Вскоре после рождения Леонарда семья Эйлеров переехала из Базеля в город Риэн , Швейцария, где его отец стал пастором в местной церкви и Леонард провел большую часть своего детства. [16]
С юных лет Эйлер получил математическое образование у своего отца, который несколькими годами ранее посещал курсы Якоба Бернулли в Базельском университете . Примерно в восемь лет Эйлера отправили жить в дом бабушки по материнской линии, и он поступил в латинскую школу в Базеле. Кроме того, он получил частное репетиторство у Йоханнеса Буркхардта, молодого теолога, проявлявшего большой интерес к математике. [16]
В 1720 году, в тринадцатилетнем возрасте, Эйлер поступил в Базельский университет . [7] Посещение университета в таком юном возрасте не было чем-то необычным в то время. [16] Курс элементарной математики читал Иоганн Бернулли , младший брат покойного Якоба Бернулли (учивший отца Эйлера). Иоганн Бернулли и Эйлер вскоре лучше узнали друг друга. Эйлер описал Бернулли в своей автобиографии: [18]
Именно в это время Эйлер при поддержке Бернулли добился согласия своего отца стать математиком, а не пастором. [19] [20]
В 1723 году Эйлер получил степень магистра философии за диссертацию, в которой сравнивались философии Рене Декарта и Исаака Ньютона . [16] После этого он поступил на богословский факультет Базельского университета. [20]
В 1726 году Эйлер защитил диссертацию о распространении звука под названием «Де Соно» [21] [22] , с которой он безуспешно пытался получить должность в Базельском университете. [23] В 1727 году он впервые принял участие в конкурсе на приз Парижской академии (проводимом ежегодно, а затем раз в два года академией, начиная с 1720 года) [24] . Задача, поставленная в том году, заключалась в том, чтобы найти лучший способ разместить мачты на корабле. Победу одержал Пьер Бугер , ставший известным как «отец морской архитектуры», а Эйлер занял второе место. [25] За прошедшие годы Эйлер участвовал в этом соревновании 15 раз, [24] выиграв 12 из них. [25]
Два сына Иоганна Бернулли, Даниил и Николаус , поступили на службу в Императорскую Российскую академию наук в Санкт-Петербурге в 1725 году, оставив Эйлеру уверенность, что они порекомендуют его на должность, когда она будет доступна. [23] 31 июля 1726 года Николай умер от аппендицита, проведя в России менее года. [26] [27] Когда Дэниел занял должность своего брата в отделе математики и физики, он рекомендовал, чтобы освободившуюся им должность по физиологии занял его друг Эйлер. [23] В ноябре 1726 года Эйлер с радостью принял предложение, но отложил поездку в Санкт-Петербург, поскольку безуспешно подал заявку на должность профессора физики в Базельском университете. [23]
Эйлер прибыл в Санкт-Петербург в мае 1727 года. [23] [20] Его повысили с младшей должности в медицинском отделении академии до должности на математическом факультете. Он поселился у Даниэля Бернулли, с которым работал в тесном сотрудничестве. [28] Эйлер освоил русский язык , поселился в Санкт-Петербурге и устроился на дополнительную работу медиком в Российский флот . [29]
Академия в Санкт-Петербурге, основанная Петром Великим , была призвана улучшить образование в России и сократить научный разрыв с Западной Европой. В результате она стала особенно привлекательной для иностранных учёных, таких как Эйлер. [25] Благодетельница академии Екатерина I , продолжавшая прогрессивную политику своего покойного мужа, умерла до приезда Эйлера в Петербург. [30] Русское консервативное дворянство пришло к власти после восшествия на престол двенадцатилетнего Петра II . [30] Дворянство, подозрительно относившееся к иностранным ученым академии, сократило финансирование Эйлера и его коллег и препятствовало входу иностранных и неаристократических студентов в гимназии и университеты. [30]
Условия немного улучшились после смерти Петра II в 1730 году, и к власти пришла находящаяся под немецким влиянием Анна Русская . [31] Эйлер быстро поднялся по карьерной лестнице в академии и в 1731 году стал профессором физики . [31] Он также покинул российский флот, отказавшись от звания лейтенанта . [31] Два года спустя Даниэль Бернулли, уставший от цензуры и враждебности, с которыми он столкнулся в Санкт-Петербурге, уехал в Базель. Эйлер сменил его на посту заведующего математическим факультетом. [32] В январе 1734 года он женился на Катарине Гселль (1707–1773), дочери Георга Гселля . [33] Фридрих II предпринял попытку нанять Эйлера для своей недавно созданной Берлинской академии в 1740 году, но Эйлер первоначально предпочел остаться в Санкт-Петербурге. [34] Но после смерти императрицы Анны и Фридриха II согласился заплатить 1600 экю (столько же, сколько Эйлер заработал в России), он согласился переехать в Берлин. В 1741 году он попросил разрешения уехать в Берлин, мотивируя это тем, что ему нужен более мягкий климат для зрения. [34] Русская академия дала свое согласие и будет платить ему 200 рублей в год как одному из ее активных членов. [34]
Обеспокоенный продолжающимися беспорядками в России, Эйлер в июне 1741 года покинул Санкт-Петербург, чтобы занять должность в Берлинской академии , которую ему предложил Фридрих Великий Прусский . [35] Он прожил 25 лет в Берлине , где написал несколько сотен статей. [20] В 1748 году был опубликован его текст о функциях под названием « Introductio in analysin infinitorum», а в 1755 году — текст по дифференциальному исчислению под названием « Institutiones Calculi Differentialis» . [36] [37] В 1755 году он был избран иностранным членом Шведской королевской академии наук [38] и Французской академии наук . [39] Среди известных учеников Эйлера в Берлине был Степан Румовский , позже считавшийся первым русским астрономом. [40] [41] В 1748 году он отклонил предложение Базельского университета стать преемником недавно умершего Иоганна Бернулли. [20] В 1753 году он купил дом в Шарлоттенбурге , в котором жил со своей семьей и овдовевшей матерью. [42] [43]
Эйлер стал наставником Фридерики Шарлотты Бранденбург-Шведтской , принцессы Ангальт-Дессау и племянницы Фридриха. В начале 1760-х годов он написал ей более 200 писем, которые позже были собраны в том, озаглавленный « Письма Эйлера на различные темы натуральной философии, адресованные немецкой принцессе ». [44] Эта работа содержала изложение Эйлера по различным предметам, касающимся физики и математики, и предлагала ценную информацию о личности и религиозных убеждениях Эйлера. Она была переведена на несколько языков, опубликована по всей Европе и в США и стала более читаемой, чем любая из его математических работ. Популярность « Письм» свидетельствует о способности Эйлера эффективно доносить научные вопросы до непрофессиональной аудитории, что является редкой способностью для преданного своему делу ученого-исследователя. [37]
Несмотря на огромный вклад Эйлера в престиж академии и то, что Жан ле Рон д'Аламбер выдвинул ее кандидатом на пост президента , Фридрих II назвал себя ее президентом. [43] При дворе прусского короля был большой круг интеллектуалов, и он нашел математика неискушенным и плохо осведомленным в вопросах, выходящих за рамки чисел и цифр. Эйлер был простым, глубоко религиозным человеком, который никогда не ставил под сомнение существующий общественный порядок или общепринятые убеждения. Во многих отношениях он был полной противоположностью Вольтера , пользовавшегося высоким авторитетом при дворе Фридриха. Эйлер не был опытным спорщиком и часто спорил по темам, о которых мало что знал, что делало его частой мишенью остроумия Вольтера. [37] Фредерик также выразил разочарование практическими инженерными способностями Эйлера, заявив:
Мне хотелось иметь в своем саду водомет: Эйлер рассчитал силу колес, необходимую для подъема воды в водоем, откуда она должна упасть обратно по каналам, выплеснувшись наконец в Сан-Суси . Моя мельница была выполнена геометрически и не могла поднять глоток воды ближе, чем на пятьдесят шагов к водоему. Суета сует! Суета геометрии! [45]
Однако разочарование почти наверняка было неоправданным с технической точки зрения. Расчеты Эйлера, похоже, верны, даже если взаимодействие Эйлера с Фридрихом и теми, кто строил его фонтан, могло быть неблагополучным. [46]
На протяжении всего своего пребывания в Берлине Эйлер поддерживал тесные связи с академией в Санкт-Петербурге, а также опубликовал 109 статей в России. [47] Он также помогал студентам Санкт-Петербургской академии и иногда размещал русских студентов в своем доме в Берлине. [47] В 1760 году, во время Семилетней войны , ферма Эйлера в Шарлоттенбурге была разграблена наступающими русскими войсками. [42] Узнав об этом событии, генерал Иван Петрович Салтыков выплатил компенсацию за ущерб, причиненный имуществу Эйлера, а российская императрица Елизавета позже добавила дополнительную выплату в размере 4000 рублей - непомерную сумму по тем временам. [48] Эйлер решил покинуть Берлин в 1766 году и вернуться в Россию. [49]
В годы пребывания в Берлине (1741–1766) Эйлер находился на пике своей продуктивности. Он написал 380 произведений, 275 из которых были опубликованы. [50] Это включало 125 мемуаров в Берлинской Академии и более 100 мемуаров, отправленных в Санкт-Петербургскую Академию , которая сохранила его в качестве члена и выплачивала ему ежегодную стипендию. «Introductio in Analysin Infinitorum» Эйлера было опубликовано в двух частях в 1748 году. Помимо своих собственных исследований, Эйлер руководил библиотекой, обсерваторией, ботаническим садом, а также публикацией календарей и карт, от которых академия получала доход. [51] Он даже участвовал в проектировании фонтанов в Сан-Суси , летнем дворце короля. [52]
Политическая ситуация в России стабилизировалась после восшествия на престол Екатерины Великой , поэтому в 1766 году Эйлер принял приглашение вернуться в Петербургскую Академию. Условия его были весьма непомерными — годовое жалованье в 3000 рублей, пенсия жене и обещание высоких должностей сыновьям. В университете ему помогал его студент Андерс Йохан Лексель . [53] Когда он жил в Петербурге, пожар 1771 года уничтожил его дом. [54]
7 января 1734 года он женился на Катарине Гселль (1707–1773), дочери Георга Гзелля , художника академической гимназии в Санкт-Петербурге. [33] Молодая пара купила дом на берегу Невы .
Из их тринадцати детей в детстве дожили только пятеро: [55] три сына и две дочери. [56] Их первым сыном был Иоганн Альбрехт Эйлер , крестным отцом которого был Кристиан Гольдбах . [56]
Через три года после смерти жены в 1773 году [54] Эйлер женился на ее сводной сестре Саломеи Эбигейл Гзель (1723–1794). [57] Этот брак продлился до его смерти в 1783 году.
Его брат Иоганн Генрих поселился в Петербурге в 1735 году и работал художником в академии. [34]
Зрение Эйлера ухудшалось на протяжении всей его математической карьеры. В 1738 году, через три года после того, как он едва не умер от лихорадки, [58] он почти ослеп на правый глаз. Эйлер винил в своем состоянии картографию , которую он выполнял для Петербургской Академии, [59] но причина его слепоты остается предметом спекуляций. [60] [61] Зрение Эйлера этим глазом ухудшилось во время его пребывания в Германии до такой степени, что Фридрих называл его « Циклопом ». Эйлер отметил потерю зрения, заявив: «Теперь у меня будет меньше отвлекающих факторов». [59] В 1766 году у него была обнаружена катаракта в левом глазу. Хотя лечение катаракты временно улучшило его зрение, осложнения в конечном итоге привели к тому, что он почти полностью ослеп и на левый глаз. [39] Однако его состояние, похоже, мало повлияло на его продуктивность. С помощью его писцов продуктивность Эйлера во многих областях исследований возросла; [62] , а в 1775 году он писал в среднем одну математическую статью каждую неделю. [39]
В Санкт-Петербурге 18 сентября 1783 года, после обеда с семьей, Эйлер обсуждал недавно открытую планету Уран и ее орбиту с Андерсом Йоханом Лекселлом , когда тот потерял сознание и умер от кровоизлияния в мозг . [60] Якоб фон Штелин написал короткий некролог для Российской академии наук, а русский математик Николас Фусс , один из учеников Эйлера, написал более подробный панегирик, [55] который он произнес на мемориальном собрании. В своей хвалебной речи Французской академии французский математик и философ маркиз де Кондорсе писал:
il cessa de Calculer et de vivre — … он перестал считать и жить. [63]
Эйлер был похоронен рядом с Катариной на Смоленском лютеранском кладбище на Васильевском острове . В 1837 году Российская академия наук установила новый памятник, заменив ему заросшую могильную доску. В ознаменование 250-летия со дня рождения Эйлера в 1957 году его могила была перенесена на Лазаревское кладбище Александро-Невской лавры . [64]
Эйлер работал почти во всех областях математики, включая геометрию , исчисление бесконечно малых , тригонометрию , алгебру и теорию чисел , а также физику сплошных сред , теорию Луны и другие области физики . Он — выдающаяся фигура в истории математики; в случае печати его работы, многие из которых представляют фундаментальный интерес, займут от 60 до 80 томов -кварто . [39] С именем Эйлера связано большое количество тем . Работа Эйлера в среднем составляет 800 страниц в год с 1725 по 1783 год. Он также написал более 4500 писем и сотни рукописей. Подсчитано, что Леонард Эйлер был автором четверти совокупного объема работ по математике, физике, механике, астрономии и навигации в 18 веке. [14]
Эйлер ввел и популяризировал несколько условных обозначений в своих многочисленных и широко распространенных учебниках. В частности, он ввел понятие функции [ 6] и был первым, кто написал f ( x ) для обозначения функции f , применяемой к аргументу x . Он также ввел современные обозначения тригонометрических функций , букву е для основания натурального логарифма (теперь также известного как число Эйлера ), греческую букву Σ для суммирования и букву i для обозначения мнимой единицы . [65] Использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру также было популяризировано Эйлером, хотя автором этой идеи стал валлийский математик Уильям Джонс . [66]
Развитие исчисления бесконечно малых было в авангарде математических исследований 18-го века, и Бернулли — друзья семьи Эйлера — были ответственны за большую часть раннего прогресса в этой области. Благодаря их влиянию изучение математического анализа стало основным направлением работы Эйлера. Хотя некоторые доказательства Эйлера неприемлемы по современным стандартам математической строгости [67] (в частности, его опора на принцип общности алгебры ), его идеи привели ко многим большим достижениям. Эйлер хорошо известен в анализе своим частым использованием и разработкой степенных рядов , выражением функций в виде сумм бесконечного числа членов, [68] таких как
Использование Эйлером степенных рядов позволило ему решить знаменитую Базельскую задачу в 1735 году (более подробный аргумент он представил в 1741 году): [67]
Эйлер ввёл использование показательной функции и логарифмов в аналитических доказательствах . Он открыл способы выражения различных логарифмических функций с помощью степенных рядов и успешно определил логарифмы для отрицательных и комплексных чисел , тем самым значительно расширив сферу математического применения логарифмов. [65] Он также определил показательную функцию для комплексных чисел и обнаружил ее связь с тригонометрическими функциями . Для любого действительного числа φ (которое принимается за радианы) формула Эйлера утверждает, что комплексная показательная функция удовлетворяет условию
которую Ричард П. Фейнман назвал «самой замечательной формулой в математике» . [70]
Частный случай приведенной выше формулы известен как тождество Эйлера .
Эйлер разработал теорию высших трансцендентных функций , введя гамма-функцию [71] [72] и ввёл новый метод решения уравнений четвертой степени . [73] Он нашел способ вычисления интегралов со сложными пределами, предвещая развитие современного комплексного анализа . Он изобрел вариационное исчисление и сформулировал уравнение Эйлера–Лагранжа , позволяющее свести оптимизационные задачи в этой области к решению дифференциальных уравнений .
Эйлер первым применил аналитические методы для решения задач теории чисел. При этом он объединил две разрозненные области математики и представил новую область исследований — аналитическую теорию чисел . Открывая основы этой новой области, Эйлер создал теорию гипергеометрических рядов , q-рядов , гиперболических тригонометрических функций и аналитическую теорию цепных дробей . Например, он доказал бесконечность простых чисел , используя расхождение гармонического ряда , и использовал аналитические методы, чтобы получить некоторое представление о том, как распределяются простые числа . Работы Эйлера в этой области привели к разработке теоремы о простых числах . [74]
Интерес Эйлера к теории чисел можно объяснить влиянием Христиана Гольдбаха , [75] его друга по Петербургской Академии. [58] Большая часть ранних работ Эйлера по теории чисел была основана на работах Пьера де Ферма . Эйлер развил некоторые идеи Ферма и опроверг некоторые из его гипотез, например, гипотезу о том, что все числа формы ( числа Ферма ) являются простыми. [76]
Эйлер связал природу простого распределения с идеями анализа. Он доказал, что сумма обратных простых чисел расходится . При этом он обнаружил связь между дзета-функцией Римана и простыми числами; это известно как формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана . [77]
Эйлер изобрел функцию тотента φ( n ), количество натуральных чисел, меньших или равных целому числу n , которые взаимно просты с n . Используя свойства этой функции, он обобщил маленькую теорему Ферма до того, что сейчас известно как теорема Эйлера . [78] Он внес значительный вклад в теорию совершенных чисел , которая очаровывала математиков со времен Евклида . Он доказал, что связь, показанная между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна (которую он ранее доказал), была взаимно однозначной, результат, также известный как теорема Евклида-Эйлера . [79] Эйлер также выдвинул гипотезу о квадратичном законе взаимности . Эта концепция считается фундаментальной теоремой в теории чисел, и его идеи проложили путь для работ Карла Фридриха Гаусса , в частности Disquisitiones Arithmeticae . [80] К 1772 году Эйлер доказал, что 2 31 − 1 = 2 147 483 647 является простым числом Мерсенна. Возможно, оно оставалось самым большим известным простым числом до 1867 года. [81]
Эйлер также внес важные разработки в теорию разбиения целого числа . [82]
В 1735 году Эйлер представил решение проблемы, известной как «Семь мостов Кенигсберга» . [83] Город Кенигсберг в Пруссии был расположен на реке Прегель и включал в себя два больших острова, которые были соединены друг с другом и с материком семью мостами. Задача состоит в том, чтобы решить, можно ли следовать по пути, который пересекает каждый мост ровно один раз и возвращается в исходную точку. Это невозможно: эйлеровой схемы не существует . Это решение считается первой теоремой теории графов . [83]
Эйлер также открыл формулу , связывающую число вершин, ребер и граней выпуклого многогранника [84] и, следовательно, плоского графа . Константа в этой формуле теперь известна как эйлерова характеристика графа (или другого математического объекта) и связана с родом объекта. [85] Изучение и обобщение этой формулы, в частности Коши [86] и Л'Юилье , [87] лежит в основе топологии . [84]
Некоторые из величайших успехов Эйлера были связаны с аналитическим решением реальных задач и описанием многочисленных применений чисел Бернулли , рядов Фурье , чисел Эйлера , констант e и π , непрерывных дробей и интегралов. Он объединил дифференциальное исчисление Лейбница с методом флюксий Ньютона и разработал инструменты, упрощающие применение исчисления к физическим задачам. Он добился больших успехов в совершенствовании числовой аппроксимации интегралов, изобретя то, что сейчас известно как аппроксимации Эйлера . Наиболее заметными из этих приближений являются метод Эйлера [88] и формула Эйлера–Маклорена . [89] [90] [91]
Эйлер помог разработать уравнение балки Эйлера-Бернулли , которое стало краеугольным камнем техники. [92] Помимо успешного применения своих аналитических инструментов к задачам классической механики , Эйлер применил эти методы к небесным задачам. За свою карьеру его работы в области астрономии были отмечены многочисленными премиями Парижской академии . Его достижения включают определение с большой точностью орбит комет и других небесных тел, понимание природы комет и расчет параллакса Солнца . Его расчеты способствовали разработке точных таблиц долготы . [93]
Эйлер внес важный вклад в оптику . [94] Он не соглашался с корпускулярной теорией света Ньютона , [95] которая была преобладающей теорией того времени. Его статьи по оптике 1740-х годов помогли гарантировать, что волновая теория света, предложенная Христианом Гюйгенсом , станет доминирующим способом мышления, по крайней мере, до развития квантовой теории света . [96]
В гидродинамике Эйлер был первым, кто предсказал явление кавитации в 1754 году, задолго до его первого наблюдения в конце 19-го века, а число Эйлера , используемое в расчетах потока жидкости, взято из его родственных работ по эффективности турбин . [97] В 1757 году он опубликовал важный набор уравнений для невязкого течения в гидродинамике , которые теперь известны как уравнения Эйлера . [98]
Эйлер хорошо известен в строительной технике своей формулой, дающей критическую нагрузку Эйлера , критическую нагрузку на изгиб идеальной стойки, которая зависит только от ее длины и жесткости на изгиб . [99]
Эйлеру приписывают использование замкнутых кривых для иллюстрации силлогистических рассуждений (1768). Эти диаграммы стали известны как диаграммы Эйлера . [100]
Диаграмма Эйлера — это схематическое средство представления множеств и их отношений. Диаграммы Эйлера состоят из простых замкнутых кривых (обычно кругов) на плоскости, изображающих множества . Каждая кривая Эйлера делит плоскость на две области или «зоны»: внутреннюю, которая символически представляет элементы множества , и внешнюю, которая представляет все элементы, не являющиеся членами множества. Размеры и форма кривых не имеют значения; Значение диаграммы в том, как они перекрываются. Пространственные отношения между областями, ограниченными каждой кривой (перекрытие, включение или ни одно из них), соответствуют теоретико-множественным отношениям ( пересечение , подмножество и непересекаемость ). Кривые, внутренние зоны которых не пересекаются, представляют собой непересекающиеся множества . Две кривые, внутренние зоны которых пересекаются, представляют множества, имеющие общие элементы; зона внутри обеих кривых представляет собой совокупность элементов, общих для обоих множеств (пересечение множеств ). Кривая, полностью находящаяся во внутренней зоне другой, представляет собой ее подмножество .
Диаграммы Эйлера (и их усовершенствование до диаграмм Венна ) были включены в обучение теории множеств в рамках нового математического движения в 1960-х годах. [101] С тех пор они стали широко использоваться как способ визуализации комбинаций характеристик. [102]
Одним из наиболее необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке . В 1739 году он написал Tentamen novae theoriae musicae ( «Попытка новой теории музыки »), надеясь в конечном итоге включить музыкальную теорию как часть математики. Эта часть его работ, однако, не получила широкого внимания и когда-то была описана как слишком математическая для музыкантов и слишком музыкальная для математиков. [103] Даже когда речь идет о музыке, подход Эйлера в основном математический, [104] например, его введение двоичных логарифмов как способа численного описания подразделения октав на дробные части. [105] Его сочинения о музыке не особенно многочисленны (несколько сотен страниц, общий объем его работы составляет около тридцати тысяч страниц), но они отражают ранние занятия, которые оставались с ним на протяжении всей его жизни. [104]
Первым пунктом музыкальной теории Эйлера является определение «жанров», то есть возможных делений октавы с использованием простых чисел 3 и 5. Эйлер описывает 18 таких жанров с общим определением 2 m A , где A - «показатель степени». «жанра» (т.е. сумма показателей 3 и 5) и 2 m (где «m — неопределенное число, маленькое или большое, пока звуки ощутимы» [106] ) выражает, что соотношение независимо от количества соответствующих октав. Первый жанр с А = 1 — это сама октава (или ее дубликаты); второй жанр, 2 м .3, представляет собой октаву, разделенную на квинту (пятая + четвертая, C–G–C); третий жанр — 2 м.5 , мажорная терция + минорная шестая (C–E–C); четвертый — 2 м.3 2 , две четверти и тон (C–F–B ♭ –C) ; пятый – 2 м.3,5 (C–E–G–B–C); и т . д . Жанры 12 (2 м.33.5 ), 13 (2 м.32.52 ) и 14 (2 м.3,53 ) представляют собой исправленные варианты диатонического , хроматического и энгармонического соответственно произведений Древних. . Жанр 18 (2 м 3 3 5 2 ) — «диатонико-хроматический», «используемый вообще во всех композициях» [107] и который оказывается тождественным системе, описанной Иоганном Маттезоном . [108] Позже Эйлер предусмотрел возможность описания жанров, включая простое число 7. [109]
Эйлер разработал конкретный график Speculum musicum , [110] [111] для иллюстрации диатонико-хроматического жанра, и обсудил пути на этом графике для определенных интервалов, вспоминая свой интерес к Семи мостам Кенигсберга (см. выше). Устройство вызвало новый интерес как Тоннец в неоримановой теории (см. Также Решетка (музыка) ). [112]
Далее Эйлер использовал принцип «экспоненты», чтобы предложить вывод gradus suavitatis (степени учтивости, приятности) интервалов и аккордов из их простых множителей – нужно иметь в виду, что он рассматривал только интонацию, т. е. 1 и только простые числа 3 и 5. [113] Были предложены формулы, расширяющие эту систему на любое количество простых чисел, например, в форме
Эйлер всю свою жизнь был религиозным человеком. [20] Многое из того, что известно о религиозных убеждениях Эйлера, можно вывести из его «Письм к немецкой принцессе» и более ранней работы «Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister» ( «Защита Божественного Откровения против возражений вольнодумцев» ). Эти работы показывают, что Эйлер был набожным христианином, который считал Библию богодухновенной; Реттунг был прежде всего аргументом в пользу божественного вдохновения Священного Писания . [115] [116]
Эйлер выступил против концепций монадизма Лейбница и философии Христиана Вольфа . [117] Эйлер настаивал на том, что знание частично основано на точных количественных законах, чего монадизм и вольфианская наука не смогли обеспечить. Эйлер также назвал идеи Вольфа «языческими и атеистическими». [118]
Существует известная легенда [119] , вдохновленная спорами Эйлера со светскими философами о религии, действие которой происходит во время второго пребывания Эйлера в Петербургской Академии. Французский философ Дени Дидро посетил Россию по приглашению Екатерины Великой. Однако императрица была встревожена тем, что аргументы философа в пользу атеизма влияют на членов ее двора, и поэтому Эйлера попросили выступить против француза. Дидро сообщили, что ученый математик представил доказательство существования Бога : он согласился рассмотреть это доказательство в том виде, в котором оно было представлено в суде. Появился Эйлер, подошел к Дидро и тоном совершенной убежденности заявил об этой нелогичности : «Сэр, значит, Бог существует — ответьте!» Дидро, для которого (как говорится в истории) вся математика была бредом, стоял ошеломленный, когда из двора раздались взрывы смеха. Смущенный, он попросил покинуть Россию, и эта просьба была милостиво удовлетворена императрицей. Каким бы забавным ни был этот анекдот, он является апокрифом, учитывая, что сам Дидро занимался математическими исследованиями. [120] Легенда, очевидно, была впервые рассказана Дьедонне Тьебо с прикрасами Огастеса Де Моргана . [119]
Эйлер был изображен как на шестой [121], так и на седьмой [122] сериях швейцарских банкнот номиналом 10 франков , а также на многочисленных швейцарских, немецких и российских почтовых марках. В 1782 году он был избран иностранным почётным членом Американской академии искусств и наук . [123] В его честь был назван астероид 2002 Эйлер . [124]
Эйлер имеет обширную библиографию . Его книги включают:
Лишь в 1830 году большая часть посмертных работ Эйлера была опубликована индивидуально [131] с дополнительной партией из 61 неопубликованной работы, обнаруженной Паулем Генрихом фон Фуссом (правнуком Эйлера и сыном Николаса Фусса ) и опубликованной в виде сборника. в 1862 году. [131] [132] Хронологический каталог работ Эйлера был составлен шведским математиком Густавом Энестремом и опубликован с 1910 по 1913 год. [133] Каталог, известный как индекс Энестрема, нумерует работы Эйлера от E1 до E866. [134] Архив Эйлера был создан в Дартмутском колледже [135], а затем в 2017 году он был переведен в Математическая ассоциация Америки [136] и, совсем недавно, в Тихоокеанский университет. [137]
В 1907 году Швейцарская академия наук создала Комиссию Эйлера и поручила ей публикацию полного собрания сочинений Эйлера. После нескольких задержек в 19 веке, [131] первый том Opera Omnia был опубликован в 1911 году . [138] Однако открытие новых рукописей продолжало увеличивать масштабы этого проекта. К счастью, публикация Opera Omnia Эйлера стабильно продвигается: к 2006 году было опубликовано более 70 томов (в среднем по 426 страниц каждый), а к 2022 году - 80 томов. [139] [12] [14] Эти тома разделены на четыре серии. В первой серии собраны работы по анализу, алгебре и теории чисел; он состоит из 29 томов и насчитывает более 14 000 страниц. 31 том серии II общим объемом 10 660 страниц содержит труды по механике, астрономии и технике. Серия III содержит 12 томов по физике. Серия IV, содержащая огромное количество переписки Эйлера, неопубликованных рукописей и заметок, начала составляться только в 1967 году. Планируется, что серия будет состоять из 16 томов, восемь томов из которых будут выпущены по состоянию на 2022 год [update]. [12] [138] [14]