Личность Эйлера

Математическое уравнение, связывающее e, i и pi

В математике тождество Эйлера ^{[примечание 1]} (также известное как уравнение Эйлера ) — это равенство , где $${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$$

${\displaystyle e}$— число Эйлера , основание натуральных логарифмов ,

${\displaystyle i}$- мнимая единица , которая по определению удовлетворяет , и ${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle \pi }$Пи — отношение длины окружности к ее диаметру .​​

Личность Эйлера названа в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера . Это частный случай формулы Эйлера при вычислении . Тождество Эйлера считается образцом математической красоты , поскольку оно показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике. Кроме того, оно непосредственно используется в доказательстве ^{[3] [4]} трансцендентности π , из чего следует невозможность квадратуры круга . ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ ${\displaystyle x=\pi }$

Математическая красота

Личность Эйлера часто называют примером глубокой математической красоты . ^[5] Три основные арифметические операции выполняются ровно один раз: сложение , умножение и возведение в степень . Тождество также связывает пять фундаментальных математических констант : ^[6]

• Число , аддитивное тождество
• Число 1 , мультипликативное тождество
• Число π ( π = 3,1415...), фундаментальная константа окружности .
• Число е ( е = 2,718...), также известное как число Эйлера, широко встречается в математическом анализе .
• Число i , мнимая единица, такая , что ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Уравнение часто задается в виде набора выражений, равного нулю, что является обычной практикой в ​​некоторых областях математики.

Профессор математики Стэнфордского университета Кейт Девлин сказал: «Подобно шекспировскому сонету , отражающему самую суть любви, или картине, раскрывающей красоту человеческой формы, которая гораздо больше, чем просто глубина кожи, уравнение Эйлера проникает в самые глубины». глубины существования». ^[7] А Пол Нахин , почетный профессор Университета Нью-Гэмпшира , написавший книгу, посвященную формуле Эйлера и ее применениям в анализе Фурье , описывает личность Эйлера как «исключительную красоту». ^[8]

Писатель-математик Констанс Рид высказала мнение, что тождество Эйлера - «самая известная формула во всей математике». ^[9] А Бенджамин Пирс , американский философ XIX века , математик и профессор Гарвардского университета , после доказательства тождества Эйлера во время лекции, заявил, что тождество «абсолютно парадоксально; мы не можем понять его, и мы не знаем что это значит, но мы доказали это и поэтому знаем, что это должно быть истиной». ^[10]

Опрос читателей, проведенный The Mathematical Intelligencer в 1990 году, назвал тождество Эйлера «самой красивой теоремой математики». ^[11] В другом опросе читателей, проведенном журналом Physics World в 2004 году, личность Эйлера была связана с уравнениями Максвелла ( электромагнетизма ) как с «величайшими уравнениями всех времен». ^[12]

О личности Эйлера было опубликовано как минимум три книги по популярной математике :

• Потрясающая формула доктора Эйлера: лечит многие математические недуги , Пол Нахин (2011) ^[13]
• Самое элегантное уравнение: формула Эйлера и красота математики , Дэвид Стипп (2017) ^[14]
• Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике , Робин Уилсон (2018). ^[15]

Пояснения

Мнимые показатели

В этой анимации N принимает различные возрастающие значения от 1 до 100. Вычисление (1 +яπ/Н) ^N отображается как совокупный эффект N повторных умножений в комплексной плоскости , где конечной точкой является фактическое значение (1 +яπ/Н) ^Н . Видно, что по мере увеличения N (1 +яπ/Н) ^N приближается к пределу -1.

По сути, тождество Эйлера утверждает, что оно равно −1. Выражение является частным случаем выражения , где z — любое комплексное число. В общем, определяется для комплексного z путем расширения одного из определений экспоненциальной функции от действительных показателей до комплексных показателей. Например, одно из распространенных определений: ${\displaystyle e^{i\pi }}$ ${\displaystyle e^{i\pi }}$ ${\displaystyle e^{z}}$ ${\displaystyle e^{z}}$

${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$

Таким образом, тождество Эйлера гласит, что предел при n , стремящемся к бесконечности, равен -1. Этот предел показан на анимации справа. ${\displaystyle (1+i\pi /n)^{n}}$

Формула Эйлера для общего угла

Тождество Эйлера — это частный случай формулы Эйлера , которая утверждает, что для любого действительного числа x

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

где входные данные тригонометрических функций синус и косинус указаны в радианах .

В частности, когда x = π ,

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .}$

С

${\displaystyle \cos \pi =-1}$

и

${\displaystyle \sin \pi =0,}$

следует, что

${\displaystyle e^{i\pi }=-1+0i,}$

что дает тождество Эйлера:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

Геометрическая интерпретация

Любое комплексное число можно представить точкой на комплексной плоскости . Эту точку также можно представить в полярных координатах как , где r — абсолютное значение z (расстояние от начала координат) и — аргумент z (угол против часовой стрелки от положительной оси x ). По определениям синуса и косинуса эта точка имеет декартовы координаты , что означает . Согласно формуле Эйлера, это эквивалентно высказыванию . ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )}$ ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$

Об этом говорит личность Эйлера . Поскольку для r = 1 и , это можно интерпретировать как факт о числе −1 на комплексной плоскости: его расстояние от начала координат равно 1, а угол от положительной оси x равен радианам . ${\displaystyle -1=e^{i\pi }}$ ${\displaystyle e^{i\pi }}$ ${\displaystyle re^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Кроме того, когда любое комплексное число z умножается на , оно приводит к повороту z против часовой стрелки на угол в комплексной плоскости. Поскольку умножение на -1 отражает точку в начале координат, тождество Эйлера можно интерпретировать как утверждение, что вращение любой точки в радианах вокруг начала координат имеет тот же эффект, что и отражение точки в начале координат. Аналогичным образом, установка равенства дает соответствующее уравнение , которое можно интерпретировать как говорящее, что поворот любой точки на один оборот вокруг начала координат возвращает ее в исходное положение. ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle e^{2\pi i}=1,}$

Обобщения

Тождество Эйлера также является частным случаем более общего тождества, согласно которому корни n- й степени из единицы для n > 1 в сумме дают 0:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.}$

Тождество Эйлера — это случай, когда n = 2 .

Аналогичное тождество также применимо к экспоненте кватернионов : пусть { i , j , k } — базисные кватернионы ; затем,

${\displaystyle e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.}$

В более общем смысле, пусть q — кватернион с нулевой вещественной частью и нормой, равной 1 ; то есть с Тогда имеется ${\displaystyle q=ai+bj+ck,}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.}$

${\displaystyle e^{q\pi }+1=0.}$

Та же формула применима и к октонионам , имеющим нулевую действительную часть и норму, равную 1 . Эти формулы являются прямым обобщением тождества Эйлера, поскольку и являются единственными комплексными числами с нулевой вещественной частью и нормой (абсолютным значением), равной 1 . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -i}$

История

Хотя тождество Эйлера является прямым результатом формулы Эйлера , опубликованной в его монументальном труде по математическому анализу в 1748 году « Введение в анализ бесконечности» [ ^16], сомнительно, можно ли отнести конкретную концепцию соединения пяти фундаментальных констант в компактную форму к Сам Эйлер, поскольку он, возможно, никогда этого не выражал. ^[17]

Робин Уилсон утверждает следующее. ^[18]

Мы видели, как это [тождество Эйлера] можно легко вывести из результатов Иоганна Бернулли и Роджера Котса , но ни один из них, похоже, этого не сделал. Даже Эйлер, кажется, не записал это в явном виде – и, конечно, оно не появляется ни в одной из его публикаций – хотя он, конечно, должен был осознавать, что это следует непосредственно из его тождества (т. е. формулы Эйлера ): e ^ix = cos x + я грешу х . Более того, похоже, неизвестно, кто первым явно сформулировал результат...

Смотрите также

• Математический портал

• Формула де Муавра
• Экспоненциальная функция
• постоянная Гельфонда

Примечания

1. Термин «тождество Эйлера» (или «тождество Эйлера») также используется в других местах для обозначения других концепций, включая соответствующую общую формулу e ^ix = cos x + i sin x , ^[1] и формулу произведения Эйлера . ^[2] См. также Список вещей, названных в честь Леонарда Эйлера .

Рекомендации

1. Данэм, 1999, с. XXIV.
2. Степанов, С.А. (2001) [1994], «Тождество Эйлера», Математическая энциклопедия , EMS Press
3. Милла, Лоренц (2020), Трансцендентность π и квадратура круга , arXiv : 2003.14035
4. Хайнс, Роберт. «е трансцендентно» (PDF) . Университет Колорадо . Архивировано (PDF) из оригинала 23 июня 2021 г.
5. Галлахер, Джеймс (13 февраля 2014 г.). «Математика: почему мозг считает математику красотой». Новости BBC онлайн . Проверено 26 декабря 2017 г.
6. Паулос, 1992, с. 117.
7. Нахин, 2006, с. 1.
8. Нахин, 2006, с. xxxii.
9. Рид, глава e .
10. Маор, с. 160 и Каснер и Ньюман, с. 103–104.
11. Уэллс, 1990.
12. Складка, 2004.
13. Нахин, Пол (2011). Великолепная формула доктора Эйлера: излечивает многие математические недуги . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-11822-2.
14. Стипп, Дэвид (2017). Самое элегантное уравнение: формула Эйлера и красота математики (первое изд.). Основные книги. ISBN 978-0-465-09377-9.
15. Уилсон, Робин (2018). Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема математики . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-879493-6.
16. Конвей и Гай, с. 254–255.
17. Сандифер, с. 4.
18. Уилсон, с. 151-152.

Источники

• Конвей, Джон Х. и Гай, Ричард К. (1996), Книга чисел , Springer ISBN 978-0-387-97993-9 
• Криз, Роберт П. (10 мая 2004 г.), «Величайшие уравнения всех времен», Physics World [требуется регистрация]
• Данхэм, Уильям (1999), Эйлер: Мастер всех нас , ISBN Математической ассоциации Америки 978-0-88385-328-3 
• Эйлер, Леонард (1922), Леонарди Эйлери опера омния. 1, Математическая опера. Том VIII, Леонарди Эйлери «Введение в анализ бесконечности». Tomus primus , Лейпциг: Б.Г. Тойбнери
• Каснер Э. и Ньюман Дж. (1940), Математика и воображение , Саймон и Шустер.
• Маор, Эли (1998), e : История числа , ISBN Princeton University Press 0-691-05854-7 
• Нахин, Пол Дж. (2006), Невероятная формула доктора Эйлера: лечит многие математические недуги , ISBN Princeton University Press 978-0-691-11822-2 
• Паулос, Джон Аллен (1992), За пределами счета: необычный математический словарь , ISBN Penguin Books 0-14-014574-5 
• Рид, Констанс (различные издания), От нуля до бесконечности , Математическая ассоциация Америки.
• Сандифер, К. Эдвард (2007), Лучшие хиты Эйлера , ISBN Математической ассоциации Америки 978-0-88385-563-8 
• Стипп, Дэвид (2017), Самое элегантное уравнение: формула Эйлера и красота математики , Basic Books
• Уэллс, Дэвид (1990). «Они самые красивые?». Математический интеллект . 12 (3): 37–41. дои : 10.1007/BF03024015. S2CID  121503263.
• Уилсон, Робин (2018), Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике , Oxford University Press , ISBN 978-0-192-51406-6
• Зеки, С. ; Ромайя, Япония; Бенинкаса, ДМТ; Атья, М.Ф. (2014), «Опыт математической красоты и ее нейронных коррелятов», Frontiers in Human Neuroscience , 8:68 , doi : 10.3389/fnhum.2014.00068 , PMC  3923150 , PMID  24592230

Внешние ссылки

• Интуитивное понимание формулы Эйлера