.svg/1280px-Pythagorean_proof_(1).svg.png)
Математическая красота — это эстетическое удовольствие, получаемое от абстрактности, чистоты, простоты, глубины или упорядоченности математики . Математики могут выражать это удовольствие, описывая математику (или, по крайней мере, некоторые аспекты математики) как прекрасную или описывая математику как форму искусства (позиция, занятая GH Hardy [1] ) или, как минимум, как творческую деятельность .
Проводятся сравнения с музыкой и поэзией .
Математики обычно описывают особенно приятный метод доказательства как элегантный . [2] В зависимости от контекста это может означать:
В поисках элегантного доказательства математики могут искать несколько независимых способов доказать результат, поскольку первое найденное доказательство часто может быть улучшено. Теорема, для которой было обнаружено наибольшее количество различных доказательств, — это, возможно, теорема Пифагора , и на сегодняшний день опубликованы сотни доказательств. [3] Другая теорема, которая была доказана многими различными способами, — это теорема о квадратичной взаимности . Фактически, только у Карла Фридриха Гаусса было восемь различных доказательств этой теоремы, шесть из которых он опубликовал. [4]
И наоборот, результаты, которые логически верны, но требуют трудоемких вычислений, чрезмерно сложных методов, весьма традиционных подходов или большого количества мощных аксиом или предыдущих результатов, обычно не считаются элегантными и даже могут быть названы уродливыми или неуклюжими .
Некоторые математики видят красоту в математических результатах, которые устанавливают связи между двумя областями математики, которые на первый взгляд кажутся не связанными. [5] Эти результаты часто описываются как глубокие . Хотя трудно найти всеобщее согласие относительно того, является ли результат глубоким, некоторые примеры цитируются чаще, чем другие. Одним из таких примеров является тождество Эйлера : [6]
Это элегантное выражение связывает вместе, возможно, пять самых важных математических констант ( e , i , π, 1 и 0) с двумя наиболее распространенными математическими символами (+, =). Тождество Эйлера является частным случаем формулы Эйлера , которую физик Ричард Фейнман называл «нашей драгоценностью» и «самой замечательной формулой в математике». [7] Современные примеры включают теорему о модулярности , которая устанавливает важную связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами (работа над которой привела к присуждению премии Вольфа Эндрю Уайлсу и Роберту Ленглендсу ), и « чудовищный лунный свет », который связывает группу монстров с модулярными функциями через теорию струн (за которую Ричард Борчердс был награжден медалью Филдса ).
Другие примеры глубоких результатов включают неожиданные прозрения в математические структуры. Например, теорема Гаусса Egregium — это глубокая теорема, которая удивительным образом связывает локальное явление ( кривизну ) с глобальным явлением ( площадью ). В частности, площадь треугольника на искривленной поверхности пропорциональна избытку треугольника, а пропорциональность — кривизне. Другим примером является фундаментальная теорема исчисления [8] (и ее векторные версии, включая теорему Грина и теорему Стокса ).
Противоположность deep — trivial . Тривиальная теорема может быть результатом, который можно вывести очевидным и простым способом из других известных результатов, или который применим только к определенному набору конкретных объектов, например, пустому множеству . В некоторых случаях утверждение теоремы может быть достаточно оригинальным, чтобы считаться глубоким, хотя его доказательство довольно очевидно.
В своем эссе 1940 года «Апология математика » Г. Х. Харди предположил, что красивое доказательство или результат обладают «неизбежностью», «неожиданностью» и «экономичностью». [9]
В 1997 году Джан-Карло Рота не согласился с тем, что неожиданность является достаточным условием красоты, и предложил контрпример:
Очень многие теоремы математики, когда они впервые опубликованы, кажутся удивительными; так, например, около двадцати лет назад [с 1977 года] доказательство существования неэквивалентных дифференцируемых структур на сферах высокой размерности считалось удивительным, но никому не приходило в голову назвать такой факт красивым, ни тогда, ни сейчас. [10]
Напротив, Монастырский писал в 2001 году:
Очень трудно найти аналогичное изобретение в прошлом прекрасному построению Милнора различных дифференциальных структур на семимерной сфере... Первоначальное доказательство Милнора было не очень конструктивным, но позднее Э. Брискорн показал, что эти дифференциальные структуры можно описать в чрезвычайно явной и красивой форме. [11]
Это разногласие иллюстрирует как субъективную природу математической красоты, так и ее связь с математическими результатами: в данном случае не только существование экзотических сфер, но и конкретную их реализацию.
Интерес к чистой математике , которая отделена от эмпирического изучения, был частью опыта различных цивилизаций , включая цивилизацию древних греков , которые «занимались математикой ради ее красоты». [12] Эстетическое удовольствие, которое математические физики, как правило, испытывают в общей теории относительности Эйнштейна, было приписано ( Полем Дираком и другими) ее «великой математической красоте». [13] Красота математики ощущается, когда физическая реальность объектов представлена математическими моделями . Теория групп , разработанная в начале 1800-х годов с единственной целью решения полиномиальных уравнений, стала плодотворным способом категоризации элементарных частиц — строительных блоков материи. Аналогичным образом, изучение узлов дает важные сведения о теории струн и петлевой квантовой гравитации . [ требуется ссылка ]
Некоторые [ кто? ] считают, что для того, чтобы оценить математику, нужно заниматься ею. [14]
Например, математические кружки — это программы послешкольного обогащения, где ученики занимаются математикой с помощью лекций и занятий; есть также некоторые учителя, которые поощряют вовлечение учеников , обучая математике в кинестетическом обучении . На общем уроке математического кружка ученики используют поиск закономерностей, наблюдение и исследование, чтобы делать свои собственные математические открытия. Например, математическая красота возникает в математическом кружке, деятельность которого посвящена симметрии, разработанной для учеников 2-го и 3-го классов, где ученики создают свои собственные снежинки, складывая квадратный лист бумаги и вырезая узоры по своему выбору по краям сложенной бумаги. Когда бумага разворачивается, появляется симметричный узор. На повседневном уроке математики в начальной школе симметрия может быть представлена как таковая в художественной манере, где ученики видят эстетически приятные результаты в математике. [ требуется ссылка ]
Некоторые [ кто? ] учителя предпочитают использовать математические манипулятивы для представления математики в эстетически приятном виде. Примерами манипулятивов являются алгебраические плитки , палочки Кюизенера и блоки с узорами . Например, можно научить методу завершения квадрата , используя алгебраические плитки. Палочки Кюизенера можно использовать для обучения дробям, а блоки с узорами можно использовать для обучения геометрии. Использование математических манипулятивов помогает ученикам получить концептуальное понимание, которое может быть не сразу видно в письменных математических формулах. [15]
Другой пример красоты в опыте включает использование оригами . Оригами, искусство складывания бумаги, имеет эстетические качества и множество математических связей. Можно изучать математику складывания бумаги , наблюдая за рисунком сгиба на развернутых деталях оригами. [16]
Комбинаторика , изучение счета, имеет художественные представления, которые некоторые [ кто? ] находят математически красивыми. Существует множество визуальных примеров, иллюстрирующих комбинаторные концепции. Некоторые темы и объекты, рассматриваемые в курсах комбинаторики с визуальными представлениями, включают, среди прочего, Теорему о четырех цветах , Таблицу Юнга , Пермутоэдр , Теорию графов , Разбиение множества . [17]
Эксперименты по визуализации мозга, проведенные Семиром Зеки и его коллегами [18], показывают, что восприятие математической красоты имеет, как нейронный коррелят, активность в поле A1 медиальной орбитофронтальной коры (mOFC) мозга и что эта активность параметрически связана с заявленной интенсивностью красоты. Местоположение активности похоже на местоположение активности, которая коррелирует с восприятием красоты из других источников, таких как музыка, радость или печаль. Более того, математики, похоже, сопротивляются пересмотру своего суждения о красоте математической формулы в свете противоречивого мнения, высказанного их коллегами. [19]
Некоторые [ кто? ] математики придерживаются мнения, что занятие математикой ближе к открытию, чем к изобретению, например:
Нет ни одного ученого-первооткрывателя, поэта, художника, музыканта, который не скажет вам, что он нашел свое открытие, стихотворение или картину готовыми — что они пришли к нему извне, а не он сознательно создал их изнутри.
— Уильям Кингдон Клиффорд , из лекции в Королевском институте под названием «Некоторые условия психического развития»
Эти математики считают, что подробные и точные результаты математики могут быть разумно приняты за истину без какой-либо зависимости от вселенной, в которой мы живем. Например, они утверждают, что теория натуральных чисел фундаментально верна, таким образом, что не требует какого-либо конкретного контекста. Некоторые математики экстраполировали эту точку зрения, что математическая красота есть истина, дальше, в некоторых случаях становясь мистицизмом .
В философии Платона было два мира: физический, в котором мы живем, и другой абстрактный мир, содержащий неизменную истину, включая математику. Он считал, что физический мир был всего лишь отражением более совершенного абстрактного мира. [20]
Венгерский математик Пауль Эрдёш [21] говорил о воображаемой книге, в которой Бог записал все самые красивые математические доказательства. Когда Эрдёш хотел выразить особую признательность доказательству, он восклицал: «Это из Книги!»
Французский философ двадцатого века Ален Бадью утверждал, что онтология — это математика. [22] Бадью также верит в глубокие связи между математикой, поэзией и философией.
Во многих случаях натурфилософы и другие ученые, которые широко использовали математику, делали скачки выводов между красотой и физической истиной способами, которые оказывались ошибочными. Например, на определенном этапе своей жизни Иоганн Кеплер считал, что пропорции орбит известных тогда планет Солнечной системы были упорядочены Богом так, чтобы соответствовать концентрическому расположению пяти Платоновых тел , причем каждая орбита лежит на описанной сфере одного многогранника и на вложенной сфере другого. Поскольку существует ровно пять Платоновых тел, гипотеза Кеплера могла вместить только шесть планетарных орбит и была опровергнута последующим открытием Урана .
GH Hardy [23] проанализировал красоту математических доказательств по этим шести измерениям: общее, серьезное, глубокое, неожиданное, неизбежное, экономичное (простое). Paul Ernest [24] предлагает семь измерений для любых математических объектов, включая концепции, теоремы, доказательства и теории. Это 1. Экономичность, простота, краткость, сжатость, элегантность; 2. Общность, абстракция, сила; 3. Удивление, изобретательность, умность; 4. Паттерн, структура, симметрия, регулярность, визуальный дизайн; 5. Логичность, строгость, тесное рассуждение и дедукция, чистая мысль; 6. Взаимосвязанность, связи, унификация; 7. Применимость, модельная сила, эмпирическая общность. Он утверждает, что отдельные математики и сообщества математиков будут иметь предпочтительный выбор из этого списка. Некоторые, как Харди, отвергнут некоторые (Харди утверждал, что прикладная математика уродлива). Однако Рентуя Са и его коллеги [25] сравнили взгляды британских математиков и студентов, а также китайских математиков на красоту 20 известных уравнений и обнаружили значительную степень согласия между их взглядами.
В 1970-х годах Абрахам Моулз и Фридер Наке проанализировали связи между красотой, обработкой информации и теорией информации . [26] [27] В 1990-х годах Юрген Шмидхубер сформулировал математическую теорию субъективной красоты, зависящей от наблюдателя, на основе алгоритмической теории информации : самые красивые объекты среди субъективно сопоставимых объектов имеют краткие алгоритмические описания (т. е. сложность Колмогорова ) относительно того, что уже знает наблюдатель. [28] [29] [30] Шмидхубер явно различает красивое и интересное. Последнее соответствует первой производной субъективно воспринимаемой красоты: наблюдатель постоянно пытается улучшить предсказуемость и сжимаемость наблюдений, обнаруживая такие закономерности, как повторения и симметрии, а также фрактальное самоподобие . Всякий раз, когда процесс обучения наблюдателя (возможно, предиктивной искусственной нейронной сети ) приводит к улучшенному сжатию данных, так что последовательность наблюдений может быть описана меньшим количеством бит , чем раньше, временная интересность данных соответствует прогрессу сжатия и пропорциональна вознаграждению за внутреннее любопытство наблюдателя. [31] [32]
Примерами использования математики в музыке являются стохастическая музыка Янниса Ксенакиса , последовательность Фибоначчи в Lateralus Тула , контрапункт Иоганна Себастьяна Баха , полиритмические структуры (как в The Rite of Spring Игоря Стравинского ) , метрическая модуляция Эллиота Картера , теория перестановок в сериализме , начинающаяся с Арнольда Шёнберга , и применение тонов Шепарда в Hymnen Карлхайнца Штокхаузена . Они также включают применение теории групп к преобразованиям в музыке в теоретических трудах Дэвида Левина .
Примерами использования математики в изобразительном искусстве являются применение теории хаоса и фрактальной геометрии к компьютерному искусству , исследования симметрии Леонардо да Винчи , проективная геометрия в развитии теории перспективы в искусстве эпохи Возрождения , сетки в оп-арте , оптическая геометрия в камере-обскуре Джамбаттисты делла Порта и множественная перспектива в аналитическом кубизме и футуризме .
Сакральная геометрия является отдельной областью, дающей начало бесчисленным формам искусства, включая некоторые из самых известных мистических символов и религиозных мотивов, и имеет особенно богатую историю в исламской архитектуре . Она также предоставляет средства медитации и созерцания, например, изучение Каббалы Сефирот (Древа Жизни) и Куба Метатрона ; а также сам процесс рисования.
Голландский графический дизайнер М. К. Эшер создал математически вдохновленные гравюры на дереве , литографии и меццо-тинто . Они представляют собой невозможные конструкции, исследования бесконечности , архитектуру, визуальные парадоксы и мозаики .
Некоторые художники и скульпторы создают работы, искажённые математическими принципами анаморфоза , в том числе южноафриканский скульптор Джонти Гурвиц .
Британский художник-конструкционист Джон Эрнест создавал рельефы и картины, вдохновлённые теорией групп. [33] Ряд других британских художников, принадлежащих к конструкционистской и системной школам мысли, также черпали вдохновение в математических моделях и структурах, включая Энтони Хилла и Питера Лоу . [34] Искусство, создаваемое компьютером, основано на математических алгоритмах .
Бертран Рассел выразил свое чувство математической красоты следующими словами:
Математика, если ее правильно рассматривать, обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и строгой, как красота скульптуры, не обращающейся ни к одной части нашей слабой натуры, без великолепных украшений живописи или музыки, но возвышенно чистой и способной к строгому совершенству, которое может показать только величайшее искусство. Истинный дух восторга, возвышения, чувства того, что ты больше, чем Человек, который является критерием высочайшего совершенства, можно найти в математике так же, как и в поэзии. [35]
Пауль Эрдёш выразил свои взгляды на невыразимость математики, когда сказал: «Почему числа красивы? Это все равно, что спросить, почему прекрасна Девятая симфония Бетховена . Если вы не понимаете, почему, никто не сможет вам сказать. Я знаю, что числа красивы. Если они некрасивы, то ничто не красиво». [36]
«...в мире математики нет ничего, что соответствовало бы аудитории в концертном зале, где пассивные слушают активных. К счастью, все математики — деятели , а не зрители.
, рассматриваемая правильно, обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и строгой, как красота скульптуры, не обращающейся ни к одной части нашей слабой натуры без великолепных атрибутов Рассел.
