Натуральное число

В математике натуральными числами являются числа 0, 1, 2, 3 и так далее, возможно, исключая 0. ^[1] Некоторые начинают счет с 0, определяя натуральные числа как неотрицательные целые числа $0, 1, 2, 3, ...$ , в то время как другие начинают с 1, определяя их как положительные целые числа $1, 2, 3, ...$ . ^[a] Некоторые авторы признают оба определения, когда это удобно. ^[2] Иногда целые числа — это натуральные числа плюс ноль. В других случаях целые числа относятся ко всем целым числам , включая отрицательные целые числа. ^[3] Числа для счета — это еще один термин для натуральных чисел, особенно в начальном школьном образовании, и также неоднозначны, хотя обычно начинаются с 1. ^[4]

Натуральные числа используются для подсчета вещей, например, « на столе лежит шесть монет», в этом случае они называются количественными числительными . Они также используются для упорядочивания вещей, например, «это третий по величине город в стране», которые называются порядковыми числительными . Натуральные числа также используются в качестве меток, например, номера на футболках спортивных команд, где они служат номинальными числами и не имеют математических свойств. ^[5]

Натуральные числа образуют множество , обычно обозначаемое жирным шрифтом $N$ или жирным шрифтом blackboard ⁠ ⁠ $\mathbb {N}$ . Многие другие числовые множества построены из натуральных чисел. Например, целые числа получаются путем сложения 0 и отрицательных чисел. Рациональные числа складывают дроби, а действительные числа складывают бесконечные десятичные дроби. Комплексные числа складывают квадратный корень из $-1$ . Эта цепочка расширений канонически встраивает натуральные числа в другие числовые системы. ^[6]^[7]

Натуральные числа изучаются в различных областях математики. Теория чисел изучает такие вещи, как деление чисел нацело ( делимость ) или распределение простых чисел . Комбинаторика изучает подсчет и упорядочивание пронумерованных объектов, таких как разбиения и перечисления .

История

Древние корни

Самый примитивный способ представления натурального числа — это использование пальцев, как при счете по пальцам . Еще один примитивный способ — проставление отметки для каждого объекта. Позже набор объектов можно было проверить на равенство, избыток или недостаток — вычеркивая отметку и удаляя объект из набора.

Первым крупным достижением в абстракции стало использование цифр для представления чисел. Это позволило разработать системы для записи больших чисел. Древние египтяне разработали мощную систему цифр с различными иероглифами для 1, 10 и всех степеней 10 до более чем 1 миллиона. Каменная резьба из Карнака , датируемая примерно 1500 годом до н. э. и ныне находящаяся в Лувре в Париже, изображает 276 как 2 сотни, 7 десятков и 6 единиц; и то же самое для числа 4622. У вавилонян была система позиционных значений, основанная по существу на цифрах для 1 и 10, с использованием основания шестьдесят, так что символ для шестидесяти был таким же, как символ для одного — его значение определялось из контекста. ^[11]

Гораздо более поздним достижением стало развитие идеи о том, что можно рассматривать как число, имеющее собственную цифру. Использование цифры 0 в позиционной нотации (внутри других чисел) восходит к 700 г. до н. э. вавилонянами, которые опускали такую цифру, когда она была бы последним символом в числе. ^[b] Цивилизации ольмеков и майя использовали 0 как отдельное число еще в I в. до н. э. , но это использование не распространилось за пределы Мезоамерики . ^[13]^[14] Использование цифры 0 в современное время началось с индийского математика Брахмагупты в 628 г. н. э. Однако 0 использовался как число в средневековом computus (вычисление даты Пасхи), начиная с Дионисия Малого в 525 г. н. э., без обозначения цифрой. Стандартные римские цифры не имеют символа для 0; вместо этого для обозначения значения 0 использовалось nulla (или форма родительного падежа nullae ) от nullus^{, латинского слова, означающего «нет». [15]}

Первое систематическое изучение чисел как абстракций обычно приписывают греческим философам Пифагору и Архимеду . Некоторые греческие математики трактовали число 1 иначе, чем более крупные числа, иногда даже не как число вообще. ^[c] Евклид , например, сначала определил единицу, а затем число как множество единиц, таким образом, по его определению, единица не является числом, и нет никаких уникальных чисел (например, любые две единицы из неопределенного множества единиц равны 2). ^[17] Однако в определении совершенного числа , которое появляется вскоре после этого, Евклид трактует 1 как число, подобное любому другому. ^[18]

Независимые исследования чисел также проводились примерно в то же время в Индии , Китае и Мезоамерике . ^[19]

Возникновение как термин

Николя Шюке использовал термин progression naturelle (естественная прогрессия) в 1484 году. ^[20] Самое раннее известное использование «натурального числа» в качестве полноценного английского выражения относится к 1763 году. ^[21]^[22] Британская энциклопедия 1771 года определяет натуральные числа в статье о логарифмах. ^[22]

Начало с 0 или 1 долгое время было вопросом определения. В 1727 году Бернар Ле Бовье де Фонтенель написал, что его понятия расстояния и элемента привели к определению натуральных чисел как включающих или исключающих 0. ^[23] В 1889 году Джузеппе Пеано использовал N для положительных целых чисел и начал с 1, ^[24] но позже он изменил это определение на N ₀ и N ₁ . ^[25] Исторически большинство определений исключали 0, ^[22]^[26]^[27] но многие математики, такие как Джордж А. Вентворт , Бертран Рассел , Николя Бурбаки , Пол Халмош , Стивен Коул Клини и Джон Хортон Конвей , предпочитали включать 0. ^[28]^[22]

Математики отметили тенденции, в которых используется определение, например, тексты по алгебре, включающие 0, ^[22]^[d] тексты по теории чисел и анализу, исключающие 0, ^[22]^[29]^[30] тексты по логике и теории множеств, включающие 0, ^[31]^[32]^[33] словари, исключающие 0, ^[22]^[34] школьные учебники (вплоть до уровня средней школы), исключающие 0, и книги для старших классов колледжа, включающие 0. ^[1] Существуют исключения из каждой из этих тенденций, и по состоянию на 2023 год формальное исследование не проводилось. Приводимые аргументы включают деление на ноль ^[29] и размер пустого множества . Компьютерные языки часто начинают с нуля при перечислении элементов, таких как счетчики циклов и элементы строк или массивов . ^[35]^[36] Включение 0 начало набирать популярность в 1960-х годах. ^[22] Стандарт ISO 31-11 включил 0 в натуральные числа в своем первом издании в 1978 году, и это продолжалось в его нынешнем издании как ISO 80000-2 . ^[37]

Формальное строительство

В Европе 19 века шла математическая и философская дискуссия о точной природе натуральных чисел. Анри Пуанкаре утверждал, что аксиомы могут быть продемонстрированы только в их конечном применении, и пришел к выводу, что «сила разума» позволяет представить себе бесконечное повторение одного и того же действия. ^[38] Леопольд Кронекер резюмировал свою веру так: «Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека». ^[e]

Конструктивисты увидели необходимость улучшить логическую строгость в основаниях математики . ^[f] В 1860-х годах Герман Грассман предложил рекурсивное определение для натуральных чисел, таким образом заявив, что они на самом деле не являются естественными, а являются следствием определений. Позже возникло два класса таких формальных определений, использующих теорию множеств и аксиомы Пеано соответственно. Еще позже было показано, что они эквивалентны в большинстве практических приложений.

Определения натуральных чисел в теории множеств были инициированы Фреге . Первоначально он определил натуральное число как класс всех множеств, которые находятся во взаимно-однозначном соответствии с определенным множеством. Однако это определение привело к парадоксам, включая парадокс Рассела . Чтобы избежать таких парадоксов, формализм был изменен таким образом, что натуральное число определяется как определенное множество, и любое множество, которое может быть поставлено во взаимно-однозначное соответствие с этим множеством, называется имеющим это число элементов. ^[41]

В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс предоставил первую аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. ^[42]^[43] В 1888 году Ричард Дедекинд предложил другую аксиоматизацию арифметики натуральных чисел, ^[44] а в 1889 году Пеано опубликовал упрощенную версию аксиом Дедекинда в своей книге «Принципы арифметики, представленные новым методом» ( лат . Arithmetices principia, nova methodo exposita ). Этот подход теперь называется арифметикой Пеано . Он основан на аксиоматизации свойств порядковых чисел : каждое натуральное число имеет последующее, а каждое ненулевое натуральное число имеет уникального предшественника. Арифметика Пеано равносогласована с несколькими слабыми системами теории множеств . Одной из таких систем является ZFC , в которой аксиома бесконечности заменена ее отрицанием. ^[45] Теоремы, которые можно доказать в ZFC, но нельзя доказать с помощью аксиом Пеано, включают теорему Гудстейна . ^[46]

Обозначение

Множество всех натуральных чисел стандартно обозначается $N$ или ^[2]^[47] В более старых текстах в качестве символа этого множества иногда использовалась $буква J.$ ^[48] $\mathbb {N} .$

Поскольку натуральные числа могут содержать $0$ или нет, может быть важно знать, о какой версии идет речь. Это часто указывается в контексте, но также может быть сделано с помощью нижнего или верхнего индекса в нотации, например: ^[37]^[49]

Натуральные числа без нуля: $\{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}=\mathbb {N} _{1}$
Натуральные числа с нулем: $\;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

В качестве альтернативы, поскольку натуральные числа естественным образом образуют подмножество целых чисел (часто обозначаемых ), $\mathbb {Z}$ их можно называть положительными или неотрицательными целыми числами соответственно. ^[50] Чтобы однозначно указать, включен ли 0 или нет, иногда в первом случае добавляется верхний индекс " " или "+", а во втором случае добавляется нижний индекс (или верхний индекс) "0": ^[37] $*$

\{1,2,3,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x>0\}=\mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} _{>0}

\{0,1,2,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x\geq 0\}=\mathbb {Z} _{0}^{+}=\mathbb {Z} _{\geq 0}

Характеристики

В этом разделе используется соглашение . $\mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

Добавление

Учитывая множество натуральных чисел и функцию-последователя, отправляющую каждое натуральное число к следующему, можно определить сложение натуральных чисел рекурсивно, установив $a$ $+ 0 =$ $a$ и $a$ $+$ $S$ $($ $b$ $) =$ $S$ $($ $a$ $+$ $b$ $)$ для всех $a$ , $b$ . Таким образом, $a$ $+ 1 =$ $a$ $+ S(0) = S($ $a$ $+0) = S($ $a$ $)$ , $a$ $+ 2 =$ $a$ $+ S(1) = S($ $a$ $+1) = S(S($ $a$ $))$ , и так далее. Алгебраическая структура является коммутативным моноидом с единичным элементом 0. Это свободный моноид с одним генератором. Этот коммутативный моноид удовлетворяет свойству сокращения , поэтому его можно вложить в группу . Наименьшая группа, содержащая натуральные числа, — это целые числа . $\mathbb {N}$ $S\двоеточие \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $(\mathbb {N},+)$

Если 1 определяется как $S (0)$ , то $b + 1 = b + S (0) = S (b + 0) = S (b)$ . То есть $b + 1$ — это просто последующее за $b значение$ .

Умножение

Аналогично, учитывая, что сложение определено, оператор умножения может быть определен через $a$ $\times 0 = 0$ и $a$ $\times S($ $b$ $) = ($ $a$ $\times$ $b$ $) +$ $a$ . Это превращается в свободный коммутативный моноид с единичным элементом 1; генераторным набором для этого моноида является множество простых чисел . $\times$ $(\mathbb {N} ^{*},\times )$

Связь между сложением и умножением

Сложение и умножение совместимы, что выражается в законе распределения : $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ . Эти свойства сложения и умножения делают натуральные числа примером коммутативного полукольца . Полукольца являются алгебраическим обобщением натуральных чисел, где умножение не обязательно коммутативно. Отсутствие аддитивных обратных, что эквивалентно тому факту, что не замкнуто относительно вычитания (то есть вычитание одного натурального числа из другого не всегда приводит к другому натуральному числу), означает, что это не кольцо ; вместо этого это полукольцо (также известное как rig ). $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$

Если натуральные числа рассматривать как «исключая 0» и «начиная с 1», то определения + и × будут такими же, как и выше, за исключением того, что они начинаются с $a + 1 = S (a)$ и $a \times 1 = a$ . Кроме того, не имеет элемента идентичности. $(\mathbb {N^{*}},+)$

Заказ

В этом разделе сопоставленные переменные, такие как $ab,$ указывают на произведение $a \times b$ ^[51] , и предполагается стандартный порядок операций .

Полный порядок натуральных чисел определяется, если $a \leq b$ тогда и только тогда, когда существует другое натуральное число $c,$ где $a + c = b$ . Этот порядок совместим с арифметическими операциями в следующем смысле: если $a$ , $b$ и $c$ — натуральные числа и $a \leq b$ , то $a + c \leq b + c$ и $ac \leq bc$ .

Важным свойством натуральных чисел является то, что они хорошо упорядочены : каждое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент. Ранг среди хорошо упорядоченных множеств выражается порядковым числом ; для натуральных чисел это обозначается как $ω$ (омега).

Разделение

В этом разделе сопоставленные переменные, такие как $ab,$ указывают на произведение $a \times b$ , и предполагается стандартный порядок операций .

Хотя в общем случае невозможно разделить одно натуральное число на другое и получить в результате натуральное число, процедура деления с остатком или евклидово деление доступна в качестве замены: для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ , где $b \neq 0,$ существуют натуральные числа $q$ и $r,$ такие что

a=bq+r{\text{ и }}r<b.

Число $q$ называется частным , а $r$ называется остатком от деления $a$ на $b$ . Числа $q$ и $r$ однозначно определяются $a$ и $b$ . Это евклидово деление является ключом к нескольким другим свойствам ( делимости ), алгоритмам (таким как алгоритм Евклида ) и идеям в теории чисел.

Алгебраические свойства, которым удовлетворяют натуральные числа

Операции сложения (+) и умножения (×) натуральных чисел, определенные выше, обладают несколькими алгебраическими свойствами:

Замкнутость относительно сложения и умножения: для всех натуральных чисел $a$ и $b$ , как $a + b$ , так и $a \times b$ являются натуральными числами. ^[52]
Ассоциативность : для всех натуральных чисел $a$ , $b$ и $c$ , $a + (b + c) = (a + b) + c$ и $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ . ^[53]
Коммутативность : для всех натуральных чисел $a$ и $b$ , $a + b = b + a$ и $a \times b = b \times a$ . ^[54]
Существование единичных элементов : для каждого натурального числа a , a + 0 = a и a × 1 = a .
- Если натуральные числа взять как «исключая 0» и «начиная с 1», то для каждого натурального числа $a$ , $a \times 1 = a$ . Однако свойство «существования аддитивного тождественного элемента» не выполняется
Распределимость умножения относительно сложения для всех натуральных чисел $a$ , $b$ и $c$ : $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ .
Нет ненулевых делителей нуля : если $a$ и $b$ — натуральные числа, такие что $a \times b = 0$ , то $a = 0$ или $b = 0$ (или оба).

Обобщения

Из двух способов использования счета и упорядочения вытекают два важных обобщения натуральных чисел: количественные числительные и порядковые числительные .

Натуральное число может быть использовано для выражения размера конечного множества; точнее, кардинальное число является мерой размера множества, которая подходит даже для бесконечных множеств. Нумерация кардиналов обычно начинается с нуля, чтобы вместить пустое множество . Эта концепция «размера» опирается на отображения между множествами, такие, что два множества имеют одинаковый размер , точно если между ними существует биекция . Множество натуральных чисел само по себе и любой его биективный образ называются счетно бесконечными и имеют мощность алеф-нуль ( $ℵ$ $0$ ). $\emptyset$
Натуральные числа также используются в качестве лингвистических порядковых чисел : «первый», «второй», «третий» и т. д. Нумерация порядковых чисел обычно начинается с нуля, чтобы соответствовать типу порядка пустого множества . Таким образом, их можно назначить элементам полностью упорядоченного конечного множества, а также элементам любого вполне упорядоченного счетно бесконечного множества без предельных точек . Это назначение можно обобщить до общих хорошо упорядоченных множеств с мощностью за пределами счетности, чтобы получить порядковые числа. Порядковое число также может использоваться для описания понятия «размера» для хорошо упорядоченного множества, в смысле, отличном от мощности: если между двумя хорошо упорядоченными множествами существует изоморфизм порядка (больше, чем биекция), они имеют одно и то же порядковое число. Первое порядковое число, которое не является натуральным числом, выражается как $ω$ ; это также порядковый номер самого множества натуральных чисел. $\emptyset$

Наименьшим порядковым числом мощности $ℵ 0$ (то есть начальным порядковым числом $ℵ 0$ ) является $ω ,$ но многие хорошо упорядоченные множества с кардинальным числом $ℵ 0$ имеют порядковое число, большее $ω$ .

Для конечных вполне упорядоченных множеств существует взаимно-однозначное соответствие между порядковыми и кардинальными числами; поэтому они оба могут быть выражены одним и тем же натуральным числом, числом элементов множества. Это число также может быть использовано для описания положения элемента в большей конечной или бесконечной последовательности .

Счётная нестандартная модель арифметики, удовлетворяющая арифметике Пеано (то есть аксиомам Пеано первого порядка), была разработана Скулемом в 1933 году. Гипернатуральные числа — это несчетная модель, которая может быть построена из обычных натуральных чисел с помощью ультрастепенной конструкции . Другие обобщения обсуждаются в разделе Число § Расширения концепции .

Джорджес Риб провокационно утверждал, что «Наивные целые числа не заполняются ». ^[55] $\mathbb {N}$

Формальные определения

Существует два стандартных метода формального определения натуральных чисел. Первый, названный в честь Джузеппе Пеано , состоит из автономной аксиоматической теории, называемой арифметикой Пеано , основанной на нескольких аксиомах, называемых аксиомами Пеано .

Второе определение основано на теории множеств . Оно определяет натуральные числа как особые множества . Точнее, каждое натуральное число $n$ определяется как явно определенное множество, элементы которого позволяют подсчитывать элементы других множеств, в том смысле, что предложение «множество $S$ имеет $n$ элементов» означает , что существует взаимно-однозначное соответствие между двумя множествами $n$ и $S.$

Множества, используемые для определения натуральных чисел, удовлетворяют аксиомам Пеано. Из этого следует, что каждая теорема , которая может быть сформулирована и доказана в арифметике Пеано, может быть доказана и в теории множеств. Однако эти два определения не эквивалентны, поскольку существуют теоремы, которые могут быть сформулированы в терминах арифметики Пеано и доказаны в теории множеств, но которые не доказуемы внутри арифметики Пеано. Вероятным примером является Великая теорема Ферма .

Определение целых чисел как множеств, удовлетворяющих аксиомам Пеано, дает модель арифметики Пеано внутри теории множеств. Важным следствием является то, что если теория множеств непротиворечива (как это обычно предполагается), то и арифметика Пеано непротиворечива. Другими словами, если бы противоречие можно было доказать в арифметике Пеано, то теория множеств была бы противоречивой, и каждая теорема теории множеств была бы как истинной, так и ложной.

Аксиомы Пеано

Пять аксиом Пеано следующие: ^[56]^[g]

0 — натуральное число.
У каждого натурального числа есть последующее число, которое также является натуральным числом.
0 не является последующим числом ни одного натурального числа.
Если последующий элемент равен последующему элементу , то равно . $x$ $у$ $x$ $у$
Аксиома индукции : если утверждение истинно относительно 0 и если истинность этого утверждения для числа подразумевает его истинность для числа, следующего за этим числом, то утверждение истинно для любого натурального числа.

Это не оригинальные аксиомы, опубликованные Пеано, но названы в его честь. Некоторые формы аксиом Пеано имеют 1 вместо 0. В обычной арифметике преемником является . $x$ $x+1$

Теоретико-множественное определение

Интуитивно, натуральное число $n$ является общим свойством всех множеств , которые имеют $n$ элементов. Поэтому кажется естественным определить $n$ как класс эквивалентности в отношении «можно установить соответствие один к одному ». Это не работает во всех теориях множеств , поскольку такой класс эквивалентности не будет множеством ^[h] (из-за парадокса Рассела ). Стандартное решение — определить конкретное множество с $n$ элементами, которое будет называться натуральным числом $n$ .

Следующее определение было впервые опубликовано Джоном фон Нейманом ^[57], хотя Леви приписывает эту идею неопубликованной работе Цермело 1916 года. ^[58] Поскольку это определение распространяется на бесконечное множество как определение порядкового числа , множества, рассматриваемые ниже, иногда называются ординалами фон Неймана .

Определение выглядит следующим образом:

Вызов $0 = { }$ , пустой набор .
Определим преемника $S (a)$ любого множества $a$ как $S (a) = a \cup {a}$ .
По аксиоме бесконечности существуют множества, которые содержат 0 и замкнуты относительно функции следования. Такие множества называются индуктивными . Пересечение всех индуктивных множеств по-прежнему является индуктивным множеством.
Это пересечение представляет собой множество натуральных чисел .

Отсюда следует, что натуральные числа определяются итеративно следующим образом:

$0 = { }$ ,
$1 = 0 \cup {0} = {0} = {{ }}$ ,
$2 = 1 \cup {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}}$ ,
$3 = 2 \cup {2} = {0, 1, 2}$ $= {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}$ ,
$n = n -1 \cup {n -1} = {0, 1, ..., n -1}$ $= {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, ...}}$ ,
и т. д.

Можно проверить, что натуральные числа удовлетворяют аксиомам Пеано .

При таком определении, если задано натуральное число $n$ , предложение «множество $S$ имеет $n$ элементов» можно формально определить как «существует биекция из $n$ в $S»$ . Это формализует операцию подсчета элементов $S.$ Кроме того, $n \leq m$ тогда и только тогда, когда $n$ является подмножеством m . Другими словами, включение множеств определяет обычный общий порядок натуральных чисел. Этот порядок является $вполне$ порядком .

Из определения следует, что каждое натуральное число равно множеству всех натуральных чисел, меньших его. Это определение можно распространить на определение фон Неймана ординалов для определения всех ординальных чисел , включая бесконечные: «каждый ординал есть вполне упорядоченное множество всех меньших ординалов».

Если не принимать аксиому бесконечности , то натуральные числа могут не образовывать множество. Тем не менее, натуральные числа все еще могут быть индивидуально определены, как указано выше, и они все еще удовлетворяют аксиомам Пеано.

Существуют и другие конструкции теории множеств. В частности, Эрнст Цермело предложил конструкцию, которая в настоящее время представляет только исторический интерес и иногда упоминается какОрдиналы Цермело .^[58]Он состоит в определении $0$ как пустого множества, а $S (a) = {a}$ .

При таком определении каждое ненулевое натуральное число является синглетонным множеством . Таким образом, свойство натуральных чисел представлять мощности не доступно напрямую; только ординальное свойство (быть $n$ -ым элементом последовательности) доступно непосредственно. В отличие от конструкции фон Неймана, ординалы Цермело не распространяются на бесконечные ординалы.

Смотрите также

Каноническое представление положительного целого числа – Представление числа в виде произведения простых чисел
Счётное множество – математическое множество, которое можно перечислить.
Последовательность – Функция натуральных чисел в другом множестве
Порядковое число – обобщение «n-го» на бесконечные случаи
Кардинальное число – размер возможно бесконечного множества
Теоретико-множественное определение натуральных чисел – Аксиома(ы) теории множеств

Примечания

^ См. § Возникновение как термин
^ Табличка, найденная в Кише... предположительно датируемая примерно 700 г. до н. э., использует три крючка для обозначения пустого места в позиционной нотации. Другие таблички, датированные примерно тем же временем, используют один крючок для обозначения пустого места. ^[12]
^ Это соглашение используется, например, в «Началах» Евклида , см. веб-издание Д. Джойса Книги VII. ^[16]
^ Mac Lane & Birkhoff (1999, стр. 15) включают ноль в натуральные числа: «Интуитивно множество всех натуральных чисел можно описать следующим образом: содержит «начальное» число $0$ ; ...». Они следуют этому в своей версии аксиом Пеано . $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ $\mathbb {N}$
^ Английский перевод принадлежит Грею. В сноске Грей приписывает немецкую цитату: «Вебер 1891–1892, 19, цитируя лекцию Кронекера 1886 года». ^[39]^[40]
^ «Большая часть математических работ двадцатого века была посвящена изучению логических основ и структуры предмета» (Eves 1990, стр. 606)
^ Гамильтон (1988, стр. 117 и далее) называет их «постулатами Пеано» и начинает с «1. 0 — натуральное число».
Халмош (1960, стр. 46) использует язык теории множеств вместо языка арифметики для своих пяти аксиом. Он начинает с «(I) $0 \in ω$ (где, конечно, $0 = \emptyset$ » ( $ω$ — множество всех натуральных чисел). Мораш (1991) дает «двухчастную аксиому», в которой натуральные числа начинаются с 1. (Раздел 10.1: Аксиоматизация системы положительных целых чисел )
^ В некоторых теориях множеств, например, в «Новых основаниях» , существует универсальное множество , и парадокс Рассела не может быть сформулирован.

Ссылки

^ ab Эндертон, Герберт Б. (1977). Элементы теории множеств . Нью-Йорк: Academic Press. стр. 66. ISBN 0122384407.
^ ab Weisstein, Eric W. "Natural Number". mathworld.wolfram.com . Получено 11 августа 2020 г. .
^ Ganssle, Jack G. & Barr, Michael (2003). "целое число". Embedded Systems Dictionary . Taylor & Francis. стр. 138 (целое число), 247 (знаковое целое число) и 276 (беззнаковое целое число). ISBN 978-1-57820-120-4. Архивировано из оригинала 29 марта 2017 г. . Получено 28 марта 2017 г. – через Google Books.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Подсчет чисел». MathWorld .
^ Вудин, Грег; Винтер, Бодо (2024). «Числа в контексте: количественные, порядковые и именные числительные в американском английском». Когнитивная наука . 48 (6) e13471. doi : 10.1111/cogs.13471 . PMC 11475258 .
^ Мендельсон (2008, стр. x) говорит: «Вся фантастическая иерархия числовых систем построена чисто теоретико-множественными средствами из нескольких простых предположений о натуральных числах».
^ Блюман (2010, стр. 1): «Числа составляют основу математики».
^ "Введение". Кость Ишанго . Брюссель, Бельгия: Королевский бельгийский институт естественных наук . Архивировано из оригинала 4 марта 2016 года.
^ "Flash presentation". Кость Ишанго . Брюссель, Бельгия: Королевский бельгийский институт естественных наук . Архивировано из оригинала 27 мая 2016 года.
^ "Кость Ишанго, Демократическая Республика Конго". Портал ЮНЕСКО по астрономическому наследию . Архивировано из оригинала 10 ноября 2014 года., в постоянной экспозиции Королевского бельгийского института естественных наук , Брюссель, Бельгия.
^ Ифра, Жорж (2000). Всеобщая история чисел . Wiley. ISBN 0-471-37568-3.
^ "История нуля". MacTutor History of Mathematics . Архивировано из оригинала 19 января 2013 года . Получено 23 января 2013 года .
^ Манн, Чарльз С. (2005). 1491: Новые открытия Америки до Колумба. Кнопф. стр. 19. ISBN 978-1-4000-4006-3. Архивировано из оригинала 14 мая 2015 г. . Получено 3 февраля 2015 г. – через Google Books.
^ Эванс, Брайан (2014). "Глава 10. Доколумбовая математика: цивилизации ольмеков, майя и инков". Развитие математики на протяжении веков: краткая история в культурном контексте . John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-85397-9– через Google Книги.
↑ Deckers, Michael (25 августа 2003 г.). «Cyclus Decemnovennalis Dionysii – Девятнадцатилетний цикл Диониса». Hbar.phys.msu.ru. Архивировано из оригинала 15 января 2019 г. Получено 13 февраля 2012 г.
^ Евклид . «Книга VII, определения 1 и 2». В Джойсе, Д. (ред.). Элементы . Университет Кларка.
^ Мюллер, Ян (2006). Философия математики и дедуктивная структура в «Началах» Евклида . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 58. ISBN 978-0-486-45300-2. OCLC 69792712.
^ Евклид . "Книга VII, определение 22". В Джойсе, Д. (ред.). Элементы . Университет Кларка. Совершенное число — это то, которое равно сумме своих частей.В определении VII.3 «часть» была определена как число, но здесь 1 считается частью, так что, например, $6 = 1 + 2 + 3$ является совершенным числом.
^ Клайн, Моррис (1990) [1972]. Математическая мысль от древности до современности . Oxford University Press. ISBN 0-19-506135-7.
^ Шуке, Николя (1881) [1484]. Le Triparty en la science des nombres (на французском языке).
^ Эмерсон, Уильям (1763). Метод приращений. стр. 113.
^ abcdefgh "Самые ранние известные случаи использования некоторых слов математики (N)". История математики .
^ Фонтенель, Бернар де (1727). Элементы геометрии бесконечности (на французском языке). п. 3.
^ Arithmetices principia: nova Methodo (на латыни). Братья Бокка. 1889. с. 12.
^ Пеано, Джузеппе (1901). Formulaire des mathematiques (на французском языке). Париж, Готье-Виллар. п. 39.
^ Хорошо, Генри Берчард (1904). Колледж алгебры. Джинн. п. 6.
^ Расширенная алгебра: учебное пособие для использования с курсом USAFI MC 166 или CC166. Институт вооруженных сил США. 1958. стр. 12.
^ "Натуральное число". archive.lib.msu.edu .
^ аб Кржижек, Михал; Сомер, Лоуренс; Шолцова, Алена (21 сентября 2021 г.). От великих открытий в теории чисел к приложениям. Спрингер Природа. п. 6. ISBN 978-3-030-83899-7.
^ См., например, Carothers (2000, стр. 3) или Thomson, Bruckner & Bruckner (2008, стр. 2)
^ Гауэрс, Тимоти (2008). Принстонский компаньон по математике . Принстон: Princeton university press. стр. 17. ISBN 978-0-691-11880-2.
^ Bagaria, Joan (2017). Set Theory (зимнее издание 2014 г.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Архивировано из оригинала 14 марта 2015 г. Получено 13 февраля 2015 г.
^ Goldrei, Derek (1998). "3". Классическая теория множеств: независимое исследование под руководством (1-е изд., 1-е печатное изд.). Boca Raton, Fla. [ua]: Chapman & Hall/CRC. стр. 33. ISBN 978-0-412-60610-6.
^ "натуральное число". Merriam-Webster.com . Merriam-Webster . Архивировано из оригинала 13 декабря 2019 . Получено 4 октября 2014 .
^ Браун, Джим (1978). «В защиту индекса происхождения 0». ACM SIGAPL APL Quote Quad . 9 (2): 7. doi :10.1145/586050.586053. S2CID 40187000.
^ Хуэй, Роджер. «Является ли index origin 0 помехой?». jsoftware.com . Архивировано из оригинала 20 октября 2015 г. Получено 19 января 2015 г.
^ abc "Стандартные числовые наборы и интервалы" (PDF) . ISO 80000-2:2019. Международная организация по стандартизации . 19 мая 2020 г. стр. 4.
^ Пуанкаре, Анри (1905) [1902]. «О природе математических рассуждений». La Science et l'hypothèse [ Наука и гипотеза ]. Перевод Гринстрита, Уильяма Джона. VI.
^ Грей, Джереми (2008). Призрак Платона: модернистская трансформация математики. Princeton University Press. стр. 153. ISBN 978-1-4008-2904-0. Архивировано из оригинала 29 марта 2017 г. – через Google Books.
^ Вебер, Генрих Л. (1891–1892). «Кронекер».Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung[ Годовой отчет Немецкой математической ассоциации ]. стр. 2:5–23. (Цитата на стр. 19). Архивировано из оригинала 9 августа 2018 г.; «Доступ к Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung». Архивировано из оригинала 20 августа 2017 года.
↑ Евс 1990, Глава 15
^ Пирс, К. С. (1881). «О логике чисел». American Journal of Mathematics . 4 (1): 85–95. doi :10.2307/2369151. JSTOR 2369151. MR 1507856.
^ Шилдс, Пол (1997). "3. Аксиоматизация арифметики Пирса". В Хаузер, Натан; Робертс, Дон Д.; Ван Эвра, Джеймс (ред.). Исследования по логике Чарльза Сандерса Пирса . Издательство Индианского университета. стр. 43–52. ISBN 0-253-33020-3.
^ Был ли sind и был sollen die Zahlen? (на немецком языке). Ф.Вьюег. 1893. 71-73.
^ Барателла, Стефано; Ферро, Руджеро (1993). «Теория множеств с отрицанием аксиомы бесконечности». Mathematical Logic Quarterly . 39 (3): 338–352. doi :10.1002/malq.19930390138. MR 1270381.
^ Кирби, Лори; Пэрис, Джефф (1982). «Доступные результаты независимости для арифметики Пеано». Бюллетень Лондонского математического общества . 14 (4). Wiley: 285–293. doi :10.1112/blms/14.4.285. ISSN 0024-6093.
^ «Список математических обозначений, используемых на веб-сайте математических функций: числа, переменные и функции». functions.wolfram.com . Получено 27 июля 2020 г. .
^ Рудин, В. (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 25. ISBN 978-0-07-054235-8.
^ Гримальди, Ральф П. (2004). Дискретная и комбинаторная математика: прикладное введение (5-е изд.). Pearson Addison Wesley. ISBN 978-0-201-72634-3.
^ Гримальди, Ральф П. (2003). Обзор дискретной и комбинаторной математики (5-е изд.). Бостон: Addison-Wesley. стр. 133. ISBN 978-0-201-72634-3.
^ Weisstein, Eric W. "Multiplication". mathworld.wolfram.com . Получено 27 июля 2020 г. .
^ Флетчер, Гарольд; Хауэлл, Арнольд А. (9 мая 2014 г.). Математика с пониманием. Elsevier. стр. 116. ISBN 978-1-4832-8079-0. ...множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения... множество натуральных чисел замкнуто относительно умножения
^ Дэвиссон, Скайлер Колфакс (1910). Колледжская алгебра. Macmillian Company. стр. 2. Сложение натуральных чисел ассоциативно.
^ Брэндон, Берта (М.); Браун, Кеннет Э.; Гундлах, Бернард Х.; Кук, Ральф Дж. (1962). Математическая серия Laidlaw. Том 8. Laidlaw Bros., стр. 25.
^ Флетчер, Питер; Хрбачек, Карел; Кановей, Владимир; Кац, Михаил Г.; Лобри, Клод; Сандерс, Сэм (2017). «Подходы к анализу с помощью бесконечно малых по Робинсону, Нельсону и другим». Real Analysis Exchange . 42 (2): 193–253. arXiv : 1703.00425 . doi : 10.14321/realanalexch.42.2.0193 .
^ Минц, GE (ред.). "Аксиомы Пеано". Энциклопедия математики . Springer , в сотрудничестве с Европейским математическим обществом . Архивировано из оригинала 13 октября 2014 г. Получено 8 октября 2014 г.
^ фон Нейман (1923)
^ ab Levy (1979), стр. 52

Библиография

Блюман, Аллан (2010). Pre-Algebra DeMYSTiFieD (Второе издание). McGraw-Hill Professional. ISBN 978-0-07-174251-1– через Google Книги.
Carothers, NL (2000). Real Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-49756-5– через Google Книги.
Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (2014). Краткий Оксфордский словарь математики (Пятое издание). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-967959-1– через Google Книги.
Дедекинд, Ричард (1963) [1901]. Очерки теории чисел. Перевод Бемана, Вустера Вудраффа (переиздание). Dover Books. ISBN 978-0-486-21010-0– через Archive.org.
- Дедекинд, Ричард (1901). Очерки теории чисел. Перевод Бемана, Вустера Вудраффа. Чикаго, Иллинойс: Open Court Publishing Company . Получено 13 августа 2020 г. – через Project Gutenberg.
- Дедекинд, Ричард (2007) [1901]. Очерки теории чисел . Kessinger Publishing, LLC. ISBN 978-0-548-08985-9.
Ивс, Говард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Томсон. ISBN 978-0-03-029558-4– через Google Книги.
Халмос, Пол (1960). Наивная теория множеств. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90092-6– через Google Книги.
Гамильтон, АГ (1988). Логика для математиков (пересмотренное издание). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36865-0– через Google Книги.
Джеймс, Роберт С .; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь (Пятое издание). Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-99041-0– через Google Книги.
Ландау, Эдмунд (1966). Основы анализа (третье изд.). Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-2693-5– через Google Книги.
Леви, Азриэль (1979). Базовая теория множеств . Шпрингер-Верлаг Берлин Гейдельберг. ISBN 978-3-662-02310-5.
Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1646-2– через Google Книги.
Мендельсон, Эллиотт (2008) [1973]. Системы чисел и основы анализа. Dover Publications. ISBN 978-0-486-45792-5– через Google Книги.
Мораш, Рональд П. (1991). Мост к абстрактной математике: математическое доказательство и структуры (второе изд.). Mcgraw-Hill College. ISBN 978-0-07-043043-3– через Google Книги.
Массер, Гэри Л.; Петерсон, Блейк Э.; Бергер, Уильям Ф. (2013). Математика для учителей начальной школы: современный подход (10-е изд.). Wiley Global Education . ISBN 978-1-118-45744-3– через Google Книги.
Szczepanski, Amy F.; Kositsky, Andrew P. (2008). Руководство для полных идиотов по предварительной алгебре. Penguin Group. ISBN 978-1-59257-772-9– через Google Книги.
Томсон, Брайан С.; Брукнер, Джудит Б.; Брукнер, Эндрю М. (2008). Элементарный вещественный анализ (второе изд.). ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8– через Google Книги.
фон Нейман, Джон (1923). «Zur Einführung der transfiniten Zahlen» [О введении трансфинитных чисел]. Acta Litterarum AC Scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio Scientiarum Mathematicarum . 1 : 199–208. Архивировано из оригинала 18 декабря 2014 года . Проверено 15 сентября 2013 г.
фон Нейман, Джон (январь 2002 г.) [1923]. «О введении трансфинитных чисел». В ван Хейеноорт, Жан (ред.). От Фреге до Гёделя: первоисточник по математической логике, 1879–1931 (3-е изд.). Издательство Гарвардского университета. стр. 346–354. ISBN 978-0-674-32449-7.– Английский перевод фон Неймана 1923.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Натуральные числа» .

«Натуральное число», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
«Аксиомы и построение натуральных чисел». apronus.com .