В математике отношение ( / ˈ r eɪ ʃ ( i ) oʊ / ) показывает , сколько раз одно число содержит другое. Например, если в вазе с фруктами восемь апельсинов и шесть лимонов, то соотношение апельсинов и лимонов будет восемь к шести (то есть 8:6, что эквивалентно соотношению 4:3). Точно так же соотношение лимонов и апельсинов составляет 6:8 (или 3:4), а соотношение апельсинов к общему количеству фруктов — 8:14 (или 4:7).
Числа в отношении могут быть величинами любого типа, например, количеством людей или объектов, или такими, как измерения длин, весов, времени и т. д. В большинстве контекстов оба числа ограничены положительными значениями .
Отношение может быть задано либо путем указания обоих составляющих чисел, записанных как « а к b » или « а : b », либо путем указания только значения их частного . а/б. [1] [2] [3] Равные частные соответствуют равным соотношениям. Утверждение, выражающее равенство двух отношений, называется пропорцией .
Следовательно, отношение можно рассматривать как упорядоченную пару чисел, дробь с первым числом в числителе и вторым в знаменателе или как значение, обозначаемое этой дробью. Отношения счетчиков, заданные (ненулевыми) натуральными числами , являются рациональными числами и иногда могут быть натуральными числами.
Более конкретное определение, принятое в физических науках (особенно в метрологии ) для отношения , — это безразмерное частное между двумя физическими величинами , измеряемыми в одной и той же единице . [4] Частное двух величин, которые измеряются в разных единицах, можно назвать нормой . [5]
Отношение чисел А и В можно выразить как: [6]
Когда соотношение записано в форме A : B , символ из двух точек иногда является знаком препинания двоеточие . [8] В Юникоде это U+003A : Двоеточие , хотя в Юникоде также предусмотрен специальный символ соотношения: U+2236 ∶ RATIO . [9]
Числа A и B иногда называют членами отношения , где A является антецедентом , а B — консеквентом . [10]
Утверждение, выражающее равенство двух отношений A : B и C : D , называется пропорцией , [11] записываемой как A : B = C : D или A : B ∷ C : D . Эта последняя форма, когда говорят или пишут на английском языке, часто выражается как
A , B , C и D называются членами пропорции. A и D называются крайними значениями , а B и C — средними . Равенство трех и более соотношений, например A : B = C : D = E : F , называется непрерывной пропорцией . [12]
Соотношения иногда используются с тремя или даже более членами, например, пропорция длин кромок « два на четыре » длиной десять дюймов равна
хорошую бетонную смесь (в единицах объема) иногда называют
Для (довольно сухой) смеси цемента и воды в соотношении 4/1 по объему можно сказать, что соотношение цемента и воды составляет 4:1, что цемента в 4 раза больше, чем воды, или что существует четверть (1/4) воды меньше, чем цемента.
Смысл такой пропорции отношений с более чем двумя слагаемыми состоит в том, что отношение любых двух слагаемых в левой части равно отношению соответствующих двух слагаемых в правой части.
Происхождение слова «отношение» можно проследить от древнегреческого λόγος ( логос ). Ранние переводчики перевели это на латынь как Ratio («причина»; как в слове «рациональный»). Более современная интерпретация [ по сравнению с? ] значения Евклида больше похоже на вычисление или исчисление. [14] Средневековые писатели использовали слово proportio («пропорция») для обозначения соотношения, а пропорциональность («пропорциональность») — для равенства пропорций. [15]
Евклид собрал результаты, представленные в «Началах», из более ранних источников. Пифагорейцы разработали теорию соотношения и пропорции применительно к числам . [16] Концепция числа пифагорейцев включала только то, что сегодня назвали бы рациональными числами, ставя под сомнение обоснованность теории в геометрии, где, как также обнаружили пифагорейцы, существуют несоизмеримые отношения (соответствующие иррациональным числам ). Открытие теории отношений, не предполагающей соизмеримости, принадлежит, вероятно, Евдоксу Книдскому . Изложение теории пропорций, представленное в VII книге «Элементов», отражает более раннюю теорию отношений соизмеримых величин. [17]
Существование множества теорий кажется излишне сложным, поскольку отношения в значительной степени отождествляются с факторами и их предполагаемыми значениями. Однако это сравнительно недавнее явление, о чем свидетельствует тот факт, что в современных учебниках по геометрии все еще используются разные термины и обозначения для соотношений и частных. Причины этого двояки: во-первых, было упомянутое ранее нежелание принимать иррациональные числа в качестве истинных чисел, а во-вторых, отсутствие широко используемой символики для замены уже устоявшейся терминологии отношений задержало полное принятие дробей в качестве альтернативы до тех пор, пока 16 век. [18]
В пятой книге «Начал» Евклида содержится 18 определений, каждое из которых относится к пропорциям. [19] Кроме того, Евклид использует идеи, которые были настолько широко распространены, что он не включил для них определений. Первые два определения говорят, что часть величины — это другая величина, которая «измеряет» ее, и наоборот, кратная величине — это другая величина, которую она измеряет. В современной терминологии это означает, что кратное количеству — это количество, умноженное на целое число, большее единицы, а часть количества (имеется в виду аликвотная часть ) — это часть, которая при умножении на целое число, большее единицы, дает количество.
Евклид не дает определения термину «мера», используемому здесь. Однако можно сделать вывод, что если некоторая величина принимается за единицу измерения, а вторая величина дается как целое число этих единиц, то первая величина измеряет второй. Эти определения повторяются почти слово в слово, как определения 3 и 5 в книге VII.
Определение 3 описывает, что такое соотношение в общем виде. Она не является строгой в математическом смысле, и некоторые приписывают ее редакторам Евклида, а не самому Евклиду. [20] Евклид определяет отношение как между двумя величинами одного и того же типа , поэтому этим определением определяются отношения двух длин или двух площадей, но не соотношение длины и площади. Определение 4 делает это более строгим. Он утверждает, что соотношение двух величин существует, когда существует кратное число каждой, превышающее другую. В современных обозначениях соотношение существует между величинами p и q , если существуют целые числа m и n такие, что mp > q и nq > p . Это условие известно как свойство Архимеда .
Определение 5 является самым сложным и трудным. Он определяет, что означает равенство двух отношений. Сегодня это можно сделать, просто заявив, что отношения равны, когда равны частные члены, но такое определение было бы бессмысленным для Евклида. В современных обозначениях определение равенства Евклида заключается в том, что для данных величин p , q , r и s , p : q ∷ r : s тогда и только тогда, когда для любых натуральных чисел m и n np < mq , np = mq или np > mq в соответствии с nr < ms , nr = ms или nr > ms соответственно. [21] Это определение имеет сходство с дедекиндовыми разрезами , поскольку, когда n и q оба положительны, np соответствует mq какп/дсоответствует рациональному числум/н(разделив оба члена на nq ). [22]
Определение 6 говорит, что величины, имеющие одинаковое соотношение, пропорциональны или пропорциональны . Евклид использует греческое слово ἀναλόγον (аналог), оно имеет тот же корень, что и λόγος, и связано с английским словом «аналог».
Определение 7 определяет, что означает, что одно отношение меньше или больше другого, и основано на идеях, присутствующих в определении 5. В современных обозначениях оно гласит, что при данных количествах p , q , r и s p : q > r : s , если существуют целые положительные числа m и n такие, что np > mq и nr ≤ ms .
Как и в случае с определением 3, определение 8 некоторые считают более поздним добавлением редакторов Евклида. Он определяет три термина p , q и r как пропорциональные, когда p : q ∷ q : r . Это распространяется на четыре термина p , q , r и s как p : q ∷ q : r ∷ r : s и так далее. Последовательности, обладающие свойством равенства отношений последовательных членов, называются геометрическими прогрессиями . Определения 9 и 10 применяют это, говоря, что если p , q и r пропорциональны, то p : r - это двойное соотношение p : q , а если p , q , r и s пропорциональны, то p : s - тройное соотношение . п : q . _
В общем, сравнение величин соотношения двух сущностей можно выразить как дробь, полученную из соотношения. Например, в соотношении 2:3 количество, размер, объем или количество первого объекта совпадает с количеством второго объекта.
Если имеется 2 апельсина и 3 яблока, то соотношение апельсинов и яблок составляет 2:3, а соотношение апельсинов к общему количеству кусочков фруктов — 2:5. Эти соотношения можно выразить и в дробной форме: апельсинов в 2/3 меньше, чем яблок, а апельсинов составляет 2/5 частей фруктов. Если концентрат апельсинового сока необходимо разбавить водой в соотношении 1:4, то одну часть концентрата смешивают с четырьмя частями воды, всего получается пять частей; количество концентрата апельсинового сока составляет 1/4 количества воды, а количество концентрата апельсинового сока составляет 1/5 от общего количества жидкости. И в пропорциях, и в дробях важно четко понимать, что с чем сравнивается, и по этой причине новички часто допускают ошибки.
Дроби также можно вывести из отношений, содержащих более двух объектов; однако соотношение, содержащее более двух объектов, не может быть полностью преобразовано в одну дробь, поскольку дробь может сравнивать только две величины. Отдельную дробь можно использовать для сравнения количеств любых двух объектов, охватываемых соотношением: например, из соотношения 2:3:7 мы можем сделать вывод, что количество второго объекта равно количеству третьего объекта.
Если мы умножим все величины, входящие в соотношение, на одно и то же число, соотношение останется действительным. Например, соотношение 3:2 соответствует 12:8. Обычно члены либо приводят к наименьшему общему знаменателю , либо выражают их в сотых частях ( процентах ).
Если в смеси содержатся вещества А, В, С и D в соотношении 5:9:4:2, то на каждые 9 частей В приходится 5 частей А, 4 части С и 2 части D. Так как 5+9 +4+2=20, общая смесь содержит 5/20 A (5 частей из 20), 9/20 B, 4/20 C и 2/20 D. Если разделить все числа на Суммируем и умножаем на 100, мы преобразуем в проценты : 25% A, 45% B, 20% C и 10% D (что эквивалентно записи соотношения как 25:45:20:10).
Если два или более количества соотношения охватывают все количества в конкретной ситуации, говорят, что «целое» содержит сумму частей: например, корзина с фруктами, содержащая два яблока и три апельсина, и никаких других фруктов не получается. из двух частей яблок и трех частей апельсинов. В этом случае, или 40% всего — яблоки и , или 60% — апельсины. Это сравнение определенной величины со «целым» называется пропорцией.
Если соотношение состоит всего из двух значений, его можно представить в виде дроби, в частности десятичной дроби. Например, старые телевизоры имеют соотношение сторон 4:3 , что означает, что ширина составляет 4/3 высоты (это также можно выразить как 1,33:1 или просто 1,33, округленное до двух десятичных знаков). Более поздние широкоэкранные телевизоры имеют соотношение сторон 16:9, или 1,78, округленное до двух десятичных знаков. Один из популярных широкоэкранных форматов фильмов — 2,35:1 или просто 2,35. Представление отношений в виде десятичных дробей упрощает их сравнение. При сравнении 1,33, 1,78 и 2,35 становится очевидно, какой формат обеспечивает более широкое изображение. Такое сравнение работает только тогда, когда сравниваемые значения согласованы, например, всегда выражая ширину по отношению к высоте.
Отношения можно уменьшить (как и дроби), разделив каждую величину на общие коэффициенты всех величин. Что касается дробей, то самой простой формой считается та, в которой числа в пропорции представляют собой наименьшие целые числа.
Таким образом, соотношение 40:60 по смыслу эквивалентно соотношению 2:3, причем последнее получается из первого путем деления обеих величин на 20. Математически мы пишем 40:60 = 2:3 или, что эквивалентно, 40:60∷. 2:3. Словесный эквивалент: «40 относится к 60, как 2 к 3».
Отношение, которое имеет целые числа для обеих величин и которое не может быть уменьшено дальше (с использованием целых чисел), называется в простейшей форме или в самых низких терминах.
Иногда полезно записать соотношение в форме 1: x или x :1, где x не обязательно является целым числом, чтобы можно было сравнивать различные соотношения. Например, соотношение 4:5 можно записать как 1:1,25 (деление обеих сторон на 4). Альтернативно его можно записать как 0,8:1 (деление обеих сторон на 5).
Если контекст проясняет смысл, отношение в этой форме иногда пишется без 1 и символа отношения (:), хотя математически это делает его коэффициентом или множителем .
Соотношения могут быть установлены также между несоизмеримыми величинами (количествами, отношение которых, как значение дроби, равно иррациональному числу ). Самый ранний обнаруженный пример, найденный пифагорейцами , — это отношение длины диагонали d к длине стороны s квадрата , что формально является квадратным корнем из 2. Другой пример — отношение длины круга . длины окружности до ее диаметра, который называется π и является не просто иррациональным числом , а трансцендентным числом .
Также хорошо известно золотое сечение двух (в основном) длин a и b , которое определяется пропорцией
Если принять отношения как дроби и иметь значение x , получим уравнение
которое имеет положительное, иррациональное решение. Таким образом, по крайней мере одно из a и b должно быть иррациональным, чтобы они находились в золотом сечении. Примером золотого сечения в математике является предельное значение отношения двух последовательных чисел Фибоначчи : хотя все эти отношения являются отношениями двух целых чисел и, следовательно, рациональны, предел последовательности этих рациональных отношений равен иррациональное золотое сечение.
Аналогично, соотношение серебра в a и b определяется пропорцией
Это уравнение имеет положительное иррациональное решение, поэтому по крайней мере одна из двух величин a и b в соотношении серебра должна быть иррациональной.
Шансы (как и в азартных играх) выражаются в виде отношения. Например, коэффициент «7 к 3 против» (7:3) означает, что на каждые три шанса, что событие не произойдет, имеется семь шансов. Вероятность успеха составляет 30%. Ожидается, что в каждых десяти испытаниях будет три победы и семь поражений.
Отношения могут быть безразмерными , так как в этом случае они связывают величины в единицах одной и той же размерности , даже если их единицы измерения изначально различны. Например, соотношение 1 минута: 40 секунд можно уменьшить, изменив первое значение на 60 секунд, таким образом соотношение станет 60 секунд: 40 секунд . Если единицы измерения одинаковы, их можно опустить и уменьшить соотношение до 3:2.
С другой стороны, существуют безразмерные коэффициенты, также известные как ставки (иногда также отношения). [23] [24] В химии соотношения массовых концентраций обычно выражаются в виде массовых/объемных долей. Например, концентрация 3% по массе обычно означает 3 г вещества на каждые 100 мл раствора. Его нельзя преобразовать в безразмерное соотношение, как в долях вес/вес или объем/объем.
Положения точек относительно треугольника с вершинами A , B и C и сторонами AB , BC и CA часто выражаются в расширенной форме отношений как треугольные координаты .
В барицентрических координатах точка с координатами α, β, γ — это точка, на которой невесомый лист металла формы и размера треугольника точно балансировал бы, если бы на вершины были помещены грузы, с соотношением весов в точке А и B представляет собой α : β , соотношение весов в B и C равно β : γ , и, следовательно, соотношение весов в A и C равно α : γ .
В трилинейных координатах точка с координатами x : y : z имеет перпендикулярные расстояния до стороны BC (поперек вершины A ) и стороны CA (поперек вершины B ) в соотношении x : y , расстояния до стороны CA и стороны AB (поперек от C ) в отношении y : z , а значит, и расстояния до сторон BC и AB в отношении x : z .
Поскольку вся информация выражается в виде отношений (отдельные числа, обозначаемые α, β, γ, x, y и z сами по себе не имеют значения), анализ треугольника с использованием барицентрических или трилинейных координат применяется независимо от размера треугольника. .
[003A] также используется для обозначения деления или масштаба; для этого математического использования предпочтительнее 2236 ∶
"Скорость" можно определить как соотношение... "Плотность населения" - это соотношение... "Расход бензина" - это соотношение...
{{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )