Арифметика

Арифметика – это элементарный раздел математики , изучающий числовые операции, такие как сложение , вычитание , умножение и деление . В более широком смысле сюда также входят возведение в степень , извлечение корней и логарифмирование . Арифметические системы можно различать по типу чисел, с которыми они работают. Целочисленная арифметика ограничивается вычислениями с положительными и отрицательными целыми числами . Арифметика рациональных чисел включает в себя операции с дробями , лежащими между целыми числами. Арифметика действительных чисел включает в себя вычисления как с рациональными , так и с иррациональными числами и охватывает всю числовую строку . Другое различие основано на системе счисления , используемой для выполнения вычислений. Десятичная арифметика является наиболее распространенной. Для выражения чисел используются основные цифры от 0 до 9 и их комбинации . Двоичная арифметика, напротив, используется большинством компьютеров и представляет числа как комбинации основных цифр 0 и 1. Некоторые арифметические системы работают с математическими объектами , отличными от чисел, например интервальная арифметика и матричная арифметика.

Арифметические операции составляют основу многих разделов математики, таких как алгебра , исчисление и статистика . Они играют аналогичную роль в таких науках , как физика и экономика . Арифметика присутствует во многих аспектах повседневной жизни , например, для расчета сдачи во время покупок или для управления личными финансами . Это одна из самых ранних форм математического образования , с которой сталкиваются студенты. Его когнитивные и концептуальные основы изучаются психологией и философией .

Практике арифметики насчитывает по меньшей мере тысячи, а возможно, и десятки тысяч лет. Древние цивилизации , такие как египтяне и шумеры , изобрели системы счисления для решения практических арифметических задач примерно в 3000 году до нашей эры. Начиная с VII и VI веков до нашей эры, древние греки начали более абстрактное изучение чисел и ввели метод строгих математических доказательств . Древние индийцы разработали концепцию нуля и десятичной системы , которую арабские математики в дальнейшем усовершенствовали и распространили на западный мир в средневековый период. Первые механические калькуляторы были изобретены в 17 веке. В XVIII и XIX веках развивается современная теория чисел и формулируются аксиоматические основы арифметики. В 20 веке появление электронных калькуляторов и компьютеров произвело революцию в точности и скорости выполнения арифметических вычислений.

Определение, этимология и смежные области

Арифметика – это фундаментальный раздел математики , изучающий числа и операции с ними. В частности, он занимается численными вычислениями с использованием арифметических операций сложения , вычитания , умножения и деления . ^[1] В более широком смысле сюда также входят возведение в степень , извлечение корней и логарифмирование . ^[2] Корень термина «арифметика» происходит от латинского термина « arithmetica », который происходит от древнегреческих слов ἀριθμός (арифмос), означающих «число», и ἀριθμητική τέχνη (арифметике техне), означающих «искусство счета». . ^[3]

Существуют разногласия относительно его точного определения. Согласно узкой характеристике, арифметика имеет дело только с натуральными числами . ^[4] Однако более распространенная точка зрения состоит в том, чтобы включать в свою область действия операции с целыми , рациональными числами , действительными числами , а иногда и с комплексными числами . ^[5] Некоторые определения ограничивают арифметику областью численных вычислений. ^[6] В более широком смысле оно также включает изучение того, как развивалось понятие чисел , анализ свойств и отношений между числами, а также изучение аксиоматической структуры арифметических операций. ^[7]

Арифметика тесно связана с теорией чисел , и некоторые авторы используют эти термины как синонимы. ^[8] Однако в более конкретном смысле теория чисел ограничивается изучением целых чисел и фокусируется на их свойствах и отношениях, таких как делимость , факторизация и простота . ^[9] Традиционно это известно как высшая арифметика. ^[10]

Арифметика тесно связана со многими разделами математики, которые зависят от числовых операций. Алгебра опирается на арифметические принципы для решения уравнений с использованием переменных. Эти принципы также играют ключевую роль в исчислении в попытках определить скорость изменений и площади под кривыми . Геометрия использует арифметические операции для измерения свойств фигур, а статистика использует их для анализа числовых данных. ^[11]

Числа

Числа — это математические объекты , используемые для подсчета величин и измерения величин. Они являются фундаментальными элементами арифметики, поскольку все арифметические операции выполняются над числами. Существуют разные виды чисел и разные системы счисления для их представления. ^[12]

Виды

Основными видами чисел, используемых в арифметике, являются натуральные числа , целые числа, целые числа , рациональные числа и действительные числа . ^[13] Натуральные числа – это целые числа, начинающиеся с 1 и заканчивающиеся бесконечностью. Они исключают 0 и отрицательные числа. Они также известны как счетные числа и могут быть выражены как {1, 2, 3, 4, ...}. Символ натуральных чисел: Целые числа идентичны натуральным числам с той лишь разницей, что они включают 0. Они могут быть представлены как {0, 1, 2, 3, 4, ...} и имеют символ . ^[14] Некоторые математики не проводят различия между натуральными и целыми числами, включая 0 в набор натуральных чисел. ^[15] Множество целых чисел включает в себя как положительные, так и отрицательные целые числа. Он имеет символ и может быть выражен как {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. ^[16] $\mathbb {N} .$ $\mathbb {N} _{0}$ $\mathbb {Z}$

Число является рациональным, если его можно представить как отношение двух целых чисел. Например, рациональное число образуется путем деления целого числа 1, называемого числителем, на целое число 2, называемое знаменателем. Другими примерами являются и . В набор рациональных чисел входят все целые числа, являющиеся дробями со знаменателем 1. Символ рациональных чисел — . ^[17]Десятичные дроби, такие как 0,3 и 25,12, представляют собой особый тип рациональных чисел, поскольку их знаменатель представляет собой степень 10. Например, 0,3 равно , а 25,12 равно . ^[18] Каждому рациональному числу соответствует конечная или повторяющаяся десятичная дробь . ^[19] ${\tfrac {1}{2}}$ ${\tfrac {3}{4}}$ ${\tfrac {281}{3}}$ $\mathbb {Q}$ ${\tfrac {3}{10}}$ ${\tfrac {2512}{100}}$

Иррациональные числа – это числа, которые невозможно выразить через отношение двух целых чисел. Примерами являются множество квадратных корней , таких как , и числа, такие как π и e (число Эйлера). ^[20] Десятичное представление иррационального числа бесконечно без повторяющихся десятичных знаков. ^[21] Множество рациональных чисел вместе с множеством иррациональных чисел составляют множество действительных чисел. Символ действительных чисел: . ^[22] Еще более широкие классы чисел включают комплексные числа и кватернионы . ^[23] ${\sqrt {2}}$ $\mathbb {R}$

В зависимости от того, как используются числа, их можно разделить на кардинальные и порядковые . Кардинальные числа, такие как один, два и три, — это числа, выражающие количество объектов. Они отвечают на вопрос «сколько?». Порядковые номера, такие как первый, второй и третий, указывают порядок или размещение в серии. Они отвечают на вопрос «какая должность?». ^[24]

Системы счисления

Цифра — это символ, обозначающий число, а системы счисления — это системы представления . ^[25] Обычно они имеют ограниченное количество основных цифр, которые напрямую относятся к определенным числам. Система определяет, как эти основные цифры могут быть объединены для выражения любого числа. ^[26] Системы счисления бывают позиционными и непозиционными. Все ранние системы счисления были непозиционными. ^[27] Для непозиционных систем счисления значение цифры не зависит от ее положения в числительном. ^[28]

В метках и некоторых метках используется непозиционная унарная система счисления .

Простейшей непозиционной системой счисления является унарная система счисления . Он основан на одном символе числа 1. Все более высокие числа записываются путем повторения этого символа. Например, число 7 можно представить, повторив символ 1 семь раз. Эта система затрудняет запись больших чисел, поэтому многие непозиционные системы включают дополнительные символы для непосредственного представления больших чисел. ^[29] Вариации унарной системы счисления используются в счетных палочках с вмятинами и в счетных метках . ^[30]

Египетские иероглифы имели более сложную непозиционную систему счисления . У них есть дополнительные символы для чисел, таких как 10, 100, 1000 и 10 000. Эти символы можно объединить в сумму для более удобного выражения больших чисел. Например, в цифре 10 405 один раз используется символ 10 000, четыре раза — символ 100 и пять раз — символ 1. Похожая известная структура — это римская система счисления . В качестве основных цифр для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются символы I, V, X, L, C, D, M. ^[32]

Система счисления является позиционной, если положение основного числительного в сложном выражении определяет его значение. Позиционные системы счисления имеют систему счисления , которая действует как множимое различных позиций. Для каждой последующей позиции основание системы счисления возводится в более высокую степень. В общей десятичной системе, также называемой индуистско-арабской системой счисления , основание равно 10. Это означает, что первая цифра умножается на , следующая цифра умножается на и так далее. Например, десятичная цифра 532 означает . Из-за влияния положения цифр цифра 532 отличается от цифр 325 и 253, хотя цифры у них одинаковые. ^[33] $10^{0}$ $10^{1}$ $5\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}$

Другая позиционная система счисления, широко используемая в компьютерной арифметике , — это двоичная система с основанием 2. Это означает, что первая цифра умножается на , следующая цифра на и так далее. Например, число 13 в двоичной записи записывается как 1101, что означает . В вычислительной технике каждая цифра в двоичной системе счисления соответствует одному биту . ^[34] Самая ранняя позиционная система была разработана древними вавилонянами и имела систему счисления 60. ^[35] $2^{0}$ $2^{1}$ $1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}$

Арифметические операции

Арифметические операции — это способы объединения, преобразования или манипулирования числами. Это функции , которые имеют числа как на входе, так и на выходе. ^[36] Наиболее важными операциями в арифметике являются сложение , вычитание , умножение и деление . ^[37] Дальнейшие операции включают возведение в степень , извлечение корней и логарифмирование . ^[38] Если эти операции выполняются над переменными, а не над числами, их иногда называют алгебраическими операциями . ^[39]

Двумя важными понятиями, связанными с арифметическими операциями, являются тождественные элементы и обратные элементы. Элемент идентификации или нейтральный элемент операции не вызывает никаких изменений, если он применяется к другому элементу. Например, единичным элементом сложения является 0, поскольку любая сумма числа и 0 дает одно и то же число. Инверсный элемент — это элемент, который в результате объединения с другим элементом образует идентификационный элемент. Например, аддитивное обратное число 6 равно -6, поскольку их сумма равна 0. ^[40]

Существуют не только обратные элементы, но и обратные операции . В неформальном смысле одна операция является обратной другой операции, если она отменяет первую операцию. Например, вычитание является обратным сложению, поскольку число возвращается к исходному значению, если второе число сначала добавляется, а затем вычитается, как в . Более формально, операция " " является обратной операции " ", если она удовлетворяет следующему условию: тогда и только тогда, когда . ^[41] $13+4-4=13$ $\star$ $\circ$ $т\звезда s=r$ ${\ displaystyle r \ circ s = t}$

Коммутативность и ассоциативность — это законы, определяющие порядок выполнения некоторых арифметических операций. Операция является коммутативной, если порядок аргументов можно изменить, не влияя на результат. Например, это касается сложения, то же самое, что и . Ассоциативность — это правило, влияющее на порядок выполнения ряда операций. Операция называется ассоциативной, если в серии из двух операций не имеет значения, какая операция выполняется первой. Это относится, например, к умножению, поскольку это то же самое, что и . ^[42] $7+9$ $9+7$ $(5\times 4)\times 2$ $5\times (4\times 2)$

Сложение и вычитание

Сложение — это арифметическая операция, при которой два числа, называемые слагаемыми, объединяются в одно число, называемое суммой. Символ сложения: . Примеры: и . ^[43] Термин суммирование используется, если несколько сложений выполняются подряд. Счет — это тип повторяющегося сложения, при котором непрерывно прибавляется число 1. ^[44] $+$ $2+2=4$ $6.3+1.26=7.56$

Вычитание является обратным действием сложения. В нем одно число, называемое вычитаемым, вычитается из другого, называемого вычитаемым. Результат этой операции называется разницей. Символ вычитания — . ^[45] Примерами являются и . Вычитание часто рассматривают как частный случай сложения: вместо вычитания положительного числа можно прибавить и отрицательное число. Например . Это помогает упростить математические вычисления за счет уменьшения количества основных арифметических операций, необходимых для выполнения вычислений. ^[46] $-$ $14-8=6$ $45-1.7=43.3$ $14-8=14+(-8)$

Аддитивный единичный элемент равен 0, а аддитивное обратное число является отрицательным для этого числа. Например, и . Сложение бывает как коммутативным, так и ассоциативным. ^[47] $13+0=13$ $13+(-13)=0$

Умножение и деление

Умножение — это арифметическая операция, при которой два числа, называемые множителем и множимым, объединяются в одно число, называемое произведением. ^[48]^[a] Символами умножения являются , , и *. Примеры: и . Если множимое является натуральным числом, то умножение аналогично повторному сложению, как в . ^[50] $\times$ $\cdot$ $2\times 3=6$ $0.3\cdot 5=1.5$ $2\times 3=2+2+2$

Деление является обратным действием умножения. В нем одно число, известное как делимое, разбивается на несколько равных частей другим числом, называемым делителем. Результат этой операции называется фактором . Символами деления являются и . Примеры: и . ^[51] Деление часто рассматривается как частный случай умножения: вместо деления на число можно также умножить на обратное ему число . Обратное число равно 1, разделенному на это число. Например, . ^[52] $\div$ $/$ $48\div 8=6$ $29.4/1.4=21$ $48\div 8=48\times {\tfrac {1}{8}}$

Мультипликативный единичный элемент равен 1, а мультипликативное обратное число является обратным этому числу. Например, и . Умножение бывает коммутативным и ассоциативным. ^[53] $13\times 1=13$ $13\times {\tfrac {1}{13}}=1$

Возведение в степень и логарифм

Возведение в степень — это арифметическая операция, при которой число, известное как основание, возводится в степень другого числа, известного как показатель степени. Результат этой операции называется мощностью. Возведение в степень иногда выражается с помощью символа ^, но более распространенным способом является запись показателя степени в верхнем индексе сразу после основания. Примеры: и ^ . Если показатель степени является натуральным числом, то возведение в степень аналогично многократному умножению, как в . ^[54] $2^{4}=16$ $3$ $3=27$ $2^{4}=2\times 2\times 2\times 2$

Корни — это особый тип возведения в степень с использованием дробного показателя. Например, квадратный корень из числа — это то же самое, что возведение числа в степень, а кубический корень из числа — это то же самое, что возведение числа в степень . Примеры: и . ^[55] ${\tfrac {1}{2}}$ ${\tfrac {1}{3}}$ ${\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}=2$ ${\sqrt[{3}]{27}}=27^{\frac {1}{3}}=3$

Логарифм является обратным возведению в степень. Логарифм числа по основанию — это показатель степени , до которого необходимо возвести, чтобы получить . Например, поскольку , логарифм по основанию 10 от 1000 равен 3. Логарифм по основанию обозначается как , или без круглых скобок, или даже без явного основания, когда основание можно понять из контекста. Итак, предыдущий пример можно записать . ^[56] $x$ $b$ $b$ $x$ $1000=10^{3}$ $x$ $b$ $\log _{b}(x)$ $\log _{b}x$ $\log x$ $\log _{10}1000=3$

Возведение в степень и логарифм не имеют общих элементов тождества и обратных элементов, таких как сложение и умножение. Нейтральный элемент возведения в степень по отношению к показателю равен 1, как в . Однако возведение в степень не имеет общего единичного элемента, поскольку 1 не является нейтральным элементом для основания. ^[57] Возведение в степень и логарифм не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. ^[58] $14^{1}=14$

Виды арифметики

В научной литературе обсуждаются различные типы арифметических систем. Они отличаются друг от друга в зависимости от того, с каким типом чисел они работают, какую систему счисления они используют для их представления и работают ли они с математическими объектами, отличными от чисел. ^[59]

Целочисленная арифметика

Целочисленная арифметика — это раздел арифметики, который занимается операцией с положительными и отрицательными целыми числами. ^[60] Простые операции с одной цифрой можно выполнять, следуя или запоминая таблицу, в которой представлены результаты всех возможных комбинаций, например таблицу сложения или таблицу умножения . Другими распространенными методами являются устный счет и подсчет пальцев . ^[61]

Для операций с числами, состоящими более чем из одной цифры, можно использовать различные методы для вычисления результата, используя несколько операций с одной цифрой подряд. Например, в методе сложения с переносами два числа пишутся одно над другим. Каждая пара цифр суммируется, начиная с самой правой цифры. Под ними пишется самая правая цифра суммы. Если сумма представляет собой двузначное число, то самая левая цифра, называемая «переносом», добавляется к следующей паре цифр слева. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будут добавлены все цифры. ^[62] Другими методами, используемыми для сложения целых чисел, являются метод числовой прямой , метод частичной суммы и метод компенсации. ^[63] Аналогичный метод используется для вычитания: он также начинается с самой правой цифры и использует «заимствование» или отрицательный перенос для столбца слева, если результат вычитания одной цифры отрицательный. ^[64]

Базовый метод целочисленного умножения предполагает многократное сложение . Например, произведение 3 × 4 можно вычислить как 3 + 3 + 3 + 3. ^[65] Распространенный метод умножения больших чисел называется длинным умножением . Этот метод начинается с записи множителя над множимым. Расчет начинается с умножения множителя только на самую правую цифру множимого и записи результата ниже, начиная с крайнего правого столбца. То же самое проделывается с каждой цифрой множимого и результат в каждом случае сдвигается на одну позицию влево. На последнем этапе все отдельные продукты складываются, чтобы получить общий продукт двух многозначных чисел. ^[66] Другими методами, используемыми для умножения, являются метод сетки и метод решетки . ^[67] Информатика заинтересована в алгоритмах умножения с низкой вычислительной сложностью , позволяющих эффективно умножать очень большие целые числа, таких как алгоритм Карацубы , алгоритм Шёнхаге-Штрассена и алгоритм Тума-Кука . ^[68] Распространенный метод деления называется длинным делением . Другие методы включают короткое деление и фрагментирование . ^[69]

Целочисленная арифметика не является замкнутой при делении. Это означает, что при делении одного целого числа на другое результат не всегда является целым числом. Например, 7 разделить на 2 — это не целое число, а 3,5. ^[70] Одним из способов гарантировать, что результат является целым числом, является округление результата до целого числа. Однако этот метод приводит к неточностям, поскольку исходное значение изменяется. ^[71] Другой метод состоит в том, чтобы выполнить деление только частично и сохранить остаток . Например, 7 разделить на 2 — это 3 с остатком 1. Этих трудностей можно избежать с помощью арифметики рациональных чисел, которая позволяет точно представлять дроби. ^[72]

Простой метод вычисления возведения в степень — многократное умножение. Например, возведение в степень $34$ можно вычислить как 3 × 3 × 3 × 3. ^[73] Более эффективный метод, используемый для больших показателей, — это возведение в степень возведением в квадрат . Он разбивает вычисление на ряд операций возведения в квадрат. Например, возведение в степень $365$ можно записать как $(((((3 2) 2) 2) 2) 2) 2 \times 3$ . Используя преимущества повторяющихся операций возведения в квадрат, потребуется всего 7 отдельных операций, а не 64 операции, необходимые для обычного повторного умножения. ^[74] Методы вычисления логарифмов включают ряд Тейлора и цепные дроби . ^[75] Целочисленная арифметика не замкнута относительно логарифма и возведения в степень с отрицательными показателями, а это означает, что результат этих операций не всегда является целым числом. ^[76]

Теория чисел

Теория чисел изучает структуру и свойства целых чисел, а также отношения и законы между ними. ^[77] Некоторые из основных разделов современной теории чисел включают элементарную теорию чисел , аналитическую теорию чисел , алгебраическую теорию чисел и геометрическую теорию чисел . ^[78] Элементарная теория чисел изучает аспекты целых чисел, которые можно исследовать с помощью элементарных методов. В связи с этим исключается использование методов анализа и исчисления . Его темы включают делимость , факторизацию и простоту . ^[79] Аналитическая теория чисел, напротив, опирается на методы анализа и исчисления. В нем рассматриваются такие проблемы, как распределение простых чисел и утверждение, что каждое четное число является суммой двух простых чисел . ^[80] Алгебраическая теория чисел использует алгебраические структуры для анализа свойств и отношений между числами. Примерами являются использование полей и колец , например, в полях алгебраических чисел, таких как кольцо целых чисел . Теория геометрических чисел использует понятия геометрии для изучения чисел. Например, он исследует, как точки решетки с целочисленными координатами ведут себя на плоскости. ^[81] Дальнейшими разделами теории чисел являются вероятностная теория чисел , комбинаторная теория чисел , вычислительная теория чисел и прикладная теория чисел. ^[82]

Влиятельные теоремы в теории чисел включают фундаментальную теорему арифметики , теорему Евклида и последнюю теорему Ферма . ^[83] Согласно фундаментальной теореме арифметики, каждое целое число больше 1 является либо простым числом, либо может быть представлено как уникальное произведение простых чисел. Например, число 18 не является простым числом и может быть представлено как , все из которых являются простыми числами. Число 19 , напротив, является простым числом, не имеющим другой простой факторизации. ^[84] Теорема Евклида утверждает, что существует бесконечно много простых чисел. ^[85] Последняя теорема Ферма — это утверждение, что для решения уравнения не могут быть найдены положительные целые значения для , и , если оно больше . ^[86] $2\times 3\times 3$ $a$ $b$ $c$ $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ $n$ $2$

Арифметика рациональных чисел

Арифметика рациональных чисел — это раздел арифметики, который занимается манипулированием числами, которые можно выразить как отношение двух целых чисел. ^[87] Большинство арифметических операций над рациональными числами можно вычислить, выполнив серию целочисленных арифметических операций над числителями и знаменателями задействованных чисел. Если два рациональных числа имеют одинаковый знаменатель, то их можно сложить, сложив числители и сохранив общий знаменатель. Например, . Аналогичная процедура используется и для вычитания. Если у двух чисел разные знаменатели, их необходимо преобразовать, чтобы найти общий знаменатель. Этого можно достичь путем масштабирования первого числа со знаменателем второго числа и масштабирования второго числа со знаменателем первого числа. Например, . ^[88] ${\tfrac {2}{7}}+{\tfrac {3}{7}}={\tfrac {5}{7}}$ ${\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{6}}+{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {5}{6}}$

Два рациональных числа умножаются путем умножения их числителей и знаменателей соответственно, как в . Разделить одно рациональное число на другое можно, умножив первое число на обратное второму числу. Это означает, что числитель и знаменатель второго числа меняют положение. Например, . ^[89] В отличие от целочисленной арифметики, арифметика рациональных чисел замкнута относительно деления до тех пор, пока делитель не равен 0. ^[90] ${\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {2}{5}}={\tfrac {2\cdot 2}{3\cdot 5}}={\tfrac {4}{15}}$ ${\tfrac {3}{5}}:{\tfrac {2}{7}}={\tfrac {3}{5}}\cdot {\tfrac {7}{2}}={\tfrac {21}{10}}$

И целочисленная арифметика, и арифметика рациональных чисел не замкнуты при возведении в степень и логарифме. ^[91] Одним из способов вычисления возведения в степень с дробным показателем является выполнение двух отдельных вычислений: одно возведение в степень с использованием числителя показателя степени, за которым следует извлечение корня n-й степени из результата на основе знаменателя показателя степени. Например, . Первую операцию можно выполнить, используя такие методы, как повторное умножение или возведение в степень возведением в квадрат. Один из способов получить приблизительный результат для второй операции — использовать метод Ньютона , который использует ряд шагов для постепенного уточнения первоначального предположения, пока оно не достигнет желаемого уровня точности. ^[92] Ряд Тейлора или метод цепной дроби можно использовать для вычисления логарифмов. ^[93] $5^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{5^{2}}}$

Обозначение десятичной дроби — это особый способ представления рациональных чисел, знаменатель которых равен степени 10. Например, рациональные числа , и записываются как 0,1, 3,71 и 0,0044 в записи десятичной дроби. ^[94] Модифицированные версии методов вычисления целых чисел, такие как сложение с переносом и длинное умножение, могут применяться к вычислениям с десятичными дробями. ^[95] Не все рациональные числа имеют конечное представление в десятичной системе счисления. Например, рациональное число соответствует 0,333... с бесконечным числом троек. Сокращенное обозначение этого типа повторяющейся десятичной дроби — 0.3 . ^[96] Каждая повторяющаяся десятичная дробь выражает рациональное число. ^[19] ${\tfrac {1}{10}}$ ${\tfrac {371}{100}}$ ${\tfrac {44}{10000}}$ ${\tfrac {1}{3}}$

Арифметика действительных чисел

Арифметика действительных чисел — это раздел арифметики, который занимается манипулированием как рациональными, так и иррациональными числами. Иррациональные числа — это числа, которые нельзя выразить через дроби или повторяющиеся десятичные дроби, например, корень из 2 и π . ^[97] В отличие от арифметики рациональных чисел, арифметика действительных чисел замкнута при возведении в степень, если в качестве основы используется положительное число. То же самое верно и для логарифма положительных действительных чисел, если основание логарифма положительно, а не 1. ^[98]

Иррациональные числа представляют собой бесконечный неповторяющийся ряд десятичных цифр. Из-за этого часто не существует простого и точного способа выразить результаты арифметических операций, таких как или . ^[99] В тех случаях, когда абсолютная точность не требуется, проблема вычисления арифметических операций над действительными числами обычно решается путем усечения или округления. При усечении сохраняется определенное количество значащих цифр слева, а дополнительные цифры справа от последней значащей цифры удаляются. Например, число $π$ имеет бесконечное количество цифр, начиная с 3,14159... . Если это число сократить до 4 значащих цифр, результат будет 3,141. Округление — это аналогичный процесс, при котором последняя значащая цифра увеличивается на единицу, если следующая цифра равна 5 или больше. Если следующая цифра меньше 5, последняя цифра остается прежней. Например, если число $π$ округлить до 4 значащих цифр, результат будет 3,142, поскольку следующая цифра равна 5. ^[100] Эти методы необходимы для того, чтобы компьютеры могли эффективно выполнять вычисления с действительными числами. ^[101] ${\sqrt {2}}+\pi$ $e\cdot {\sqrt {3}}$

Очень большие и очень маленькие действительные числа часто выражаются с использованием нормализованной научной записи . В нем числа представлены с помощью так называемой мантиссы , умноженной на степень 10. Мантисса представляет собой цифру, за которой следует десятичная точка и последовательность цифр. Например, нормализованное экспоненциальное обозначение числа 8276000 равно, а число 0,00735 имеет нормализованное экспоненциальное обозначение . ^[102] $8.276\times 10^{6}$ $7.35\times 10^{-3}$

Распространенный метод, используемый компьютерами для аппроксимации арифметики действительных чисел, называется арифметикой с плавающей запятой . Он представляет действительные числа, аналогичные научным обозначениям, через три числа: мантиссу, основание и показатель степени. ^[103] Точность мантиссы ограничена количеством битов, выделенных для ее представления. Если в результате арифметической операции получается число, для которого требуется больше бит, чем доступно, компьютер округляет результат до ближайшего представимого числа. Это приводит к ошибкам округления . ^[104] Следствием такого поведения является то, что некоторые законы арифметики нарушаются арифметикой с плавающей запятой. Например, сложение чисел с плавающей запятой не является ассоциативным, поскольку вносимые ошибки округления могут зависеть от порядка сложения. Это означает, что результат иногда отличается от результата . ^[105] Самый распространенный технический стандарт, используемый для арифметики с плавающей запятой, называется IEEE 754 . Помимо прочего, он определяет, как представляются числа, как выполняются арифметические операции и округления, а также как обрабатываются ошибки и исключения. ^[106] В случаях, когда скорость вычислений не является ограничивающим фактором, можно использовать арифметику произвольной точности , для которой точность вычислений ограничивается только памятью компьютера. ^[107] $(a+b)+c$ $a+(b+c)$

Использование инструмента

Формы арифметики также можно отличить по инструментам, используемым для выполнения вычислений, и включают в себя множество подходов, помимо регулярного использования ручки и бумаги. Ментальная арифметика опирается исключительно на разум без внешних инструментов. Вместо этого он использует визуализацию, запоминание и определенные методы вычислений для решения арифметических задач. ^[108] Одним из таких методов является метод компенсации, который заключается в изменении чисел, чтобы облегчить расчет, а затем в последующей корректировке результата. Например, вместо того, чтобы вычислять , вычисляют , что проще, поскольку используется круглое число. На следующем этапе к результату добавляются, чтобы компенсировать предыдущую настройку. ^[109] Ментальную арифметику часто преподают в начальной школе для тренировки числовых способностей учащихся. ^[110] $85-47$ $85-50$ $3$

Человеческое тело также можно использовать в качестве арифметического инструмента. Маленьких детей часто знакомят с использованием рук при счете пальцев , чтобы научить их цифрам и простым вычислениям. В самой базовой форме количество вытянутых пальцев соответствует представленному количеству, а арифметические операции, такие как сложение и вычитание, выполняются путем вытягивания или втягивания пальцев. Эта система ограничена небольшими числами, в то время как более продвинутые системы используют другие подходы и для представления больших количеств. ^[111] Человеческий голос используется в качестве арифметического средства при устном счете. ^[112]

Фото китайских счетов — Счеты – это инструменты для выполнения арифметических операций путем перемещения бусинок.

Метки представляют собой простую систему, основанную на внешних инструментах, отличных от тела. Он основан на штрихах, нарисованных на поверхности, или насечках на деревянной палочке, чтобы отслеживать количество. В некоторых формах меток штрихи располагаются группами по пять, чтобы их было легче читать. ^[113] Счеты — более совершенный инструмент для представления чисел и выполнения вычислений. Счеты обычно состоят из ряда стержней, на каждой из которых находится несколько бусин . Каждая бусина представляет собой количество, которое засчитывается, если бусину переместить от одного конца стержня к другому. Расчеты происходят путем изменения положения бусинок до тех пор, пока окончательный рисунок бусинок не покажет результат. ^[114]

Механические калькуляторы автоматизируют этот процесс. Они предоставляют пользователю некое устройство ввода для ввода чисел, поворачивая циферблаты или нажимая клавиши. Они включают в себя внутренний механизм, обычно состоящий из шестерен , рычагов и колес для выполнения вычислений и отображения результатов. ^[115] Для электронных калькуляторов и компьютеров эта процедура дополнительно уточняется путем замены механических компонентов электронными схемами , такими как процессоры , которые объединяют и преобразуют электрические сигналы для выполнения вычислений. ^[116]

Другие

Есть много других видов арифметики. Модульная арифметика оперирует конечным набором чисел. Если в результате операции получается число, выходящее за пределы этого конечного набора, то это число возвращается обратно в набор, подобно тому, как стрелки часов снова начинают сначала после завершения одного цикла. Число, при котором происходит эта регулировка, называется модулем. Например, обычные часы имеют модуль 12. В случае прибавления 4 к 9 это означает, что результатом будет не 13, а 1. Тот же принцип применим и к другим операциям, таким как вычитание, умножение и деление. ^[117]

Некоторые формы арифметики связаны с операциями, выполняемыми над математическими объектами, отличными от чисел. Интервальная арифметика описывает операции с интервалами . Интервалы можно использовать для представления диапазона значений, если точная величина неизвестна, например, из-за ошибок измерения . Интервальная арифметика включает в себя такие операции, как сложение и умножение интервалов, например и . ^[118] Она тесно связана с аффинной арифметикой , целью которой является получение более точных результатов путем выполнения вычислений над аффинными формами, а не над интервалами. Аффинная форма — это число вместе с погрешностями, которые описывают, как число может отклоняться от фактической величины. ^[119] Векторная арифметика и матричная арифметика описывают арифметические операции над векторами и матрицами , такие как сложение векторов и умножение матриц . ^[120] $[1,2]+[3,4]=[4,6]$ $[1,2]\times [3,4]=[3,8]$

Арифметические системы можно классифицировать в зависимости от системы счисления, на которой они основаны. Например, десятичная арифметика описывает арифметические операции в десятичной системе. Другими примерами являются двоичная арифметика, восьмеричная арифметика и шестнадцатеричная арифметика. ^[121]

Арифметика составных единиц описывает арифметические операции, выполняемые над величинами с составными единицами. Он включает в себя дополнительные операции для управления преобразованием между количествами отдельных единиц и составных единиц. Например, операция редукции используется для преобразования составного количества 1 час 90 минут в единичное количество 150 минут. ^[122]

Недиофантова арифметика — это арифметические системы, которые нарушают традиционную арифметическую интуицию и включают такие уравнения, как и . ^[123] Их можно использовать для представления некоторых реальных ситуаций в современной физике и повседневной жизни. Например, уравнение можно использовать для описания наблюдения: если одна капля дождя добавляется к другой капле дождя, они не остаются двумя отдельными объектами, а становятся одним целым. ^[124] $1+1=1$ $2+2=5$ $1+1=1$

Аксиоматические основы

Аксиоматические основы арифметики пытаются предоставить небольшой набор законов, так называемых аксиом , из которых могут быть выведены все фундаментальные свойства чисел и операции над числами. Они представляют собой логически последовательные и систематические основы, которые можно использовать для строгой формулировки математических доказательств . Двумя хорошо известными подходами являются аксиомы Дедекинда – Пеано и теоретико-множественные конструкции. ^[125]

Аксиомы Дедекинда – Пеано обеспечивают аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Их основные принципы были впервые сформулированы Рихардом Дедекиндом , а позднее уточнены Джузеппе Пеано . Они полагаются лишь на небольшое количество примитивных математических понятий, таких как 0, натуральное число и преемник . ^[б] Аксиомы Пеано определяют, как эти понятия связаны друг с другом. Все остальные арифметические понятия затем могут быть определены в терминах этих примитивных понятий. ^[126]

0 – натуральное число.
У каждого натурального числа есть преемник, который также является натуральным числом.
Последователи двух разных натуральных чисел никогда не бывают идентичными.
0 не является преемником натурального числа.
Если набор содержит 0 и всех его преемников, то он содержит все натуральные числа. ^[127]^[с]

Числа больше 0 выражаются повторным применением функции-преемника . Например, есть и есть . Арифметические операции можно определить как механизмы, влияющие на применение функции-преемника. Например, добавление к любому числу равнозначно применению функции-преемника два раза к этому числу. ^[128] $s$ $1$ $s(0)$ $3$ $s(s(s(0)))$ $2$

Различные аксиоматизации арифметики опираются на теорию множеств. Они охватывают натуральные числа, но также могут быть распространены на целые, рациональные и действительные числа. Каждое натуральное число представлено уникальным набором. 0 обычно определяется как пустое множество . Каждое последующее число можно определить как объединение предыдущего числа с множеством, содержащим предыдущее число. Например, , и . ^[129] Целые числа можно определить как упорядоченные пары натуральных чисел, где второе число вычитается из первого. Например, пара (9, 0) представляет число 9, а пара (0, 9) представляет число -9. ^[130] Рациональные числа определяются как пары целых чисел, где первое число представляет собой числитель, а второе число представляет собой знаменатель. Например, пара (3, 7) представляет рациональное число . ^[131] Один из способов построения действительных чисел основан на концепции дедекиндовых разрезов . Согласно этому подходу, каждое действительное число представляется разделением всех рациональных чисел на два набора: один для всех чисел ниже представленного действительного числа, а другой для остальных. ^[132] Арифметические операции определяются как функции, которые выполняют различные теоретико-множественные преобразования над множествами, представляющими входные числа, для получения набора, представляющего результат. ^[133] $\varnothing$ $1=0\cup \{0\}=\{0\}$ $2=1\cup \{1\}=\{0,1\}$ $3=2\cup \{2\}=\{0,1,2\}$ ${\tfrac {3}{7}}$

История

Самые ранние формы арифметики иногда восходят к счету и счетным меткам , используемым для учета количества. Некоторые историки предполагают, что кость Лебомбо (датированная примерно 43 000 лет назад) и кость Ишанго (датированная примерно 22 000–30 000 лет назад) являются древнейшими арифметическими артефактами, но эта интерпретация оспаривается. ^[134] Однако базовое чувство числа могло предшествовать этим открытиям и могло даже существовать до развития языка. ^[135]

Лишь с появлением древних цивилизаций , начиная примерно с 3000 г. до н.э., начал развиваться более сложный и структурированный подход к арифметике. Это стало необходимым из-за возросшей необходимости отслеживать хранящиеся предметы, управлять землевладением и организовывать обмены. ^[136] Все основные древние цивилизации разработали непозиционные системы счисления для облегчения представления чисел. У них также были символы для таких операций, как сложение и вычитание, и они знали дроби. Примерами являются египетские иероглифы , а также системы счисления, изобретенные в Шумере , Китае и Индии . ^[137] Первая позиционная система счисления была разработана вавилонянами примерно в 1800 году до нашей эры. Это было значительным улучшением по сравнению с более ранними системами счисления, поскольку делало представление больших чисел и вычисления над ними более эффективными. ^[138] Счеты использовались в качестве ручных вычислительных инструментов с древних времен как эффективное средство для выполнения сложных вычислений. ^[139]

Ранние цивилизации в основном использовали числа для конкретных практических целей и не имели абстрактной концепции самого числа. ^[140] Ситуация изменилась с приходом древнегреческих математиков , которые начали исследовать абстрактную природу чисел, а не изучать, как они применяются к конкретным задачам. ^[141] Еще одной новой особенностью было использование доказательств для установления математических истин и проверки теорий. ^[142] Еще одним вкладом стало их различие различных классов чисел, таких как четные числа , нечетные числа и простые числа . ^[143] Это включало открытие того, что числа для определенных геометрических длин иррациональны и поэтому не могут быть выражены в виде дроби. ^[144] Работы Фалеса Милетского и Пифагора в VII и VI веках до нашей эры часто считаются началом греческой математики. ^[145] Диофант был влиятельной фигурой в греческой арифметике в III веке до нашей эры благодаря его многочисленным вкладам в теорию чисел и исследованию применения арифметических операций к алгебраическим уравнениям . ^[146]

Древние индийцы были первыми, кто разработал концепцию нуля как числа, используемого в вычислениях. Точные правила его работы были записаны Брахмагуптой примерно в 628 году нашей эры. ^[147] Понятие «ноль или ничего» существовало задолго до этого, но оно не считалось объектом арифметических операций. ^[148] Брахмагупта далее подробно обсудил вычисления с отрицательными числами и их применение к таким проблемам, как кредит и долг. ^[149] Сама концепция отрицательных чисел значительно старше и впервые была исследована в китайской математике в первом тысячелетии до нашей эры. ^[150]

Индийские математики также разработали позиционную десятичную систему, используемую сегодня, в частности концепцию нулевой цифры вместо пустых/отсутствующих позиций. Например, подробное описание его деятельности было предоставлено Арьябхатой примерно на рубеже VI века нашей эры. ^[151] Индийская десятичная система была дополнительно усовершенствована и расширена до нецелых чисел во время Золотого века ислама арабскими математиками, такими как Аль-Хорезми . Его работа оказала влияние на внедрение десятичной системы счисления в западный мир, который в то время опирался на римскую систему счисления . ^[152] Там она была популяризирована такими математиками, как Леонардо Фибоначчи , который жил в 12 и 13 веках и также разработал последовательность Фибоначчи . ^[153] В средние века и эпоху Возрождения было опубликовано множество популярных учебников, посвященных практическим расчетам в торговле. В этот период также стало широко распространено использование счетов. ^[154] В 16 веке математик Джероламо Кардано задумал концепцию комплексных чисел как способ решения кубических уравнений . ^[155]

Первые механические калькуляторы были разработаны в 17 веке и значительно облегчили сложные математические вычисления, такие как калькулятор Блеза Паскаля и ступенчатый счётчик Готфрида Вильгельма Лейбница . ^{[157] В 17 веке}Джон Нэпьер также открыл логарифм . ^[158]

В XVIII и XIX веках такие математики, как Леонард Эйлер и Карл Фридрих Гаусс, заложили основы современной теории чисел. ^[159] Еще одно событие этого периода касалось работ по формализации и основам арифметики, таких как теория множеств Георга Кантора и аксиомы Дедекинда-Пеано , используемые в качестве аксиоматизации арифметики натуральных чисел. ^[160]Компьютеры и электронные калькуляторы были впервые разработаны в 20 веке. Их широкое использование произвело революцию как в точности, так и в скорости, с которой могут быть выполнены даже сложные арифметические вычисления. ^[161]

В различных областях

Образование

Обучение арифметике является частью начального образования . Это одна из первых форм математического образования , с которой сталкиваются дети. Цель элементарной арифметики — дать учащимся базовое представление о числах и познакомить их с фундаментальными числовыми операциями, такими как сложение, вычитание, умножение и деление. ^[162] Обычно его вводят в отношении конкретных сценариев, таких как подсчет бусин , разделение класса на группы детей одинакового размера и расчет сдачи при покупке товаров. Обычными инструментами раннего обучения арифметике являются числовые линии , таблицы сложения и умножения, а также счетные блоки . ^[163]

На более поздних стадиях основное внимание уделяется более абстрактному пониманию. Они знакомят учащихся с различными типами чисел, такими как отрицательные числа, дроби, действительные числа и комплексные числа. Кроме того, они охватывают более сложные числовые операции, такие как возведение в степень, извлечение корней и логарифм. ^[164] Они также показывают, как арифметические операции используются в других разделах математики, например, их применение для описания геометрических фигур и использование переменных в алгебре. Другой аспект — научить учащихся использовать алгоритмы и калькуляторы для решения сложных арифметических задач. ^[165]

Психология

Психология арифметики интересуется тем, как люди и животные изучают числа, представляют их и используют для вычислений . Он исследует, как понимаются и решаются математические задачи и как арифметические способности связаны с восприятием , памятью , суждением и принятием решений . ^[166] Например, он исследует, как наборы конкретных предметов впервые встречаются в восприятии и впоследствии ассоциируются с числами. ^[167] Еще одна область исследований касается связи между численными расчетами и использованием языка для формирования представлений. ^[168] Психология также исследует биологическое происхождение арифметики как врожденной способности. Это касается довербальных и досимволических когнитивных процессов, реализующих арифметические операции, необходимые для успешного представления мира и выполнения таких задач, как пространственная навигация. ^[169]

Одним из понятий, изучаемых психологией, является умение считать , то есть способность понимать числовые понятия, применять их к конкретным ситуациям и рассуждать с их помощью. Оно включает в себя фундаментальное чувство чисел, а также способность оценивать и сравнивать количества. Кроме того, он включает в себя способности символически представлять числа в системах счисления, интерпретировать числовые данные и оценивать арифметические вычисления. ^[170] Умение считать является ключевым навыком во многих академических областях. Отсутствие навыков счета может препятствовать успеху в учебе и привести к принятию плохих экономических решений в повседневной жизни, например, из-за неправильного понимания планов ипотеки и страховых полисов . ^[171]

Философия

Философия арифметики изучает фундаментальные концепции и принципы, лежащие в основе чисел и арифметических операций. Он исследует природу и онтологический статус чисел, связь арифметики с языком и логикой , а также способы приобретения арифметических знаний . ^[172]

Согласно платонизму , числа существуют независимо от разума: они существуют как абстрактные объекты вне пространства-времени и без причинных сил. ^[173] Эта точка зрения отвергается интуиционистами , которые утверждают, что математические объекты являются мысленными конструкциями. ^[174] Дальнейшими теориями являются логицизм , который утверждает, что математические истины сводятся к логическим истинам , ^[175] и формализм , который утверждает, что математические принципы являются правилами того, как манипулируют символами, не утверждая, что они соответствуют сущностям вне деятельности, управляемой правилами. . ^[176]

Традиционно доминирующая точка зрения в эпистемологии арифметики состоит в том, что арифметические истины познаваемы априорно . Это означает, что их можно познать только путем мышления, без необходимости полагаться на чувственный опыт . ^[177] Некоторые сторонники этой точки зрения заявляют, что арифметические знания являются врожденными, в то время как другие утверждают, что существует некая форма рациональной интуиции , с помощью которой могут быть постигнуты математические истины. ^[178] Более поздняя альтернативная точка зрения была предложена философами- натуралистами , такими как Уиллард Ван Орман Куайн , которые утверждают, что математические принципы являются обобщениями высокого уровня, которые в конечном итоге основаны на чувственном мире, описанном эмпирическими науками. ^[179]

Другие

Арифметика актуальна для многих областей. В повседневной жизни требуется рассчитывать сдачу при покупках, управлять личными финансами , корректировать рецепт приготовления на разное количество порций. Предприятия используют арифметику для расчета прибылей и убытков и анализа рыночных тенденций . В области машиностроения его используют для измерения величин, расчета нагрузок и сил, а также проектирования конструкций. ^[180] Криптография опирается на арифметические операции для защиты конфиденциальной информации путем шифрования данных и сообщений. ^[181]

Арифметические операции лежат в основе многих разделов математики, таких как алгебра , исчисление и статистика . Через них влияние арифметики распространяется на большинство наук, таких как физика , информатика и экономика . Эти операции используются в расчетах, решении проблем , анализе данных и алгоритмах, что делает их неотъемлемой частью научных исследований, технологических разработок и экономического моделирования. ^[182]

Смотрите также

Внешние ссылки

Поищите арифметику в Викисловаре, бесплатном словаре.

В Wikibooks есть дополнительная информация по теме: Арифметика.

Викискладе есть медиафайлы по теме арифметики .

В Wikiquote есть цитаты, связанные с арифметикой .

Статья MathWorld об арифметике
Справочник нового студента/Арифметика (исторический)
Вейде, П. Х. Вандер (1879). «Арифметика» . Американская Циклопедия .

Арифметика

Определение, этимология и смежные области

Числа

Виды

Системы счисления

Арифметические операции

Сложение и вычитание

Умножение и деление

Возведение в степень и логарифм

Виды арифметики

Целочисленная арифметика

Теория чисел

Арифметика рациональных чисел

Арифметика действительных чисел

Использование инструмента

Другие

Аксиоматические основы

История

В различных областях

Образование

Психология

Философия

Другие

Смотрите также

Рекомендации

Примечания

Цитаты

Источники

Внешние ссылки