Интервал (математика)

Все числа между двумя заданными числами

Сложение x + a на числовой прямой. Все числа больше x и меньше x + a попадают в этот открытый интервал.

В математике ( действительный ) интервал — это набор всех действительных чисел , лежащих между двумя фиксированными конечными точками без «пробелов». Каждая конечная точка представляет собой либо действительное число, либо положительную или отрицательную бесконечность , что указывает на то, что интервал простирается без границ . Интервал не может содержать ни одну конечную точку, ни одну конечную точку или обе конечные точки.

Например, набор действительных чисел, состоящий из 0 , 1 и всех чисел между ними, представляет собой интервал, обозначаемый [0, 1] и называемый единичным интервалом ; множество всех положительных действительных чисел представляет собой интервал, обозначаемый (0, ∞) ; множество всех действительных чисел представляет собой интервал, обозначаемый (−∞, ∞) ; и любое отдельное действительное число a является интервалом, обозначаемым [ a , a ] .

Интервалы повсеместно используются в математическом анализе . Например, они неявно встречаются в эпсилон-дельта-определении непрерывности ; теорема о промежуточном значении утверждает, что образ интервала непрерывной функцией есть интервал; интегралы от действительных функций определяются на интервале; и т. д.

Интервальная арифметика заключается в вычислениях с интервалами вместо действительных чисел для обеспечения гарантированной вложенности результата числового вычисления даже при наличии неопределенностей входных данных и ошибок округления .

Интервалы также определяются на произвольном полностью упорядоченном множестве, таком как целые или рациональные числа . Обозначение целочисленных интервалов рассматривается в специальном разделе ниже.

Определения и терминология

Интервал — это подмножество действительных чисел , содержащее все действительные числа , лежащие между любыми двумя числами этого подмножества.

Конечными точками интервала являются его верхняя и нижняя границы , если они существуют как действительные числа. ^[1] Если нижняя грань не существует, часто говорят, что соответствующая конечная точка равна. Аналогично, если верхняя грань не существует, говорят, что соответствующая конечная точка равна ${\displaystyle -\infty .}$ ${\displaystyle +\infty .}$

Интервалы полностью определяются их конечными точками и тем, принадлежит ли каждая конечная точка интервалу. Это следствие свойства наименьшей верхней границы действительных чисел. Эта характеристика используется для задания интервалов с помощьюинтервальное обозначение , которое описано ниже.

АнОткрытый интервал не включает в себя конечную точку и указывается в скобках.^[2]Например,это интервал всех действительных чисел больше0и меньше1. (Этот интервал также можно обозначить]0, 1[, см. ниже). Открытый интервал(0, +∞)состоит из действительных чисел, больших0, т. е. положительных действительных чисел. Таким образом, открытые интервалы являются одной из форм ${\displaystyle (0,1)=\{x\mid 0<x<1\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\(-\infty ,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid x<b\},\\(a,+\infty )&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\},\\(-\infty ,+\infty )&=\mathbb {R} ,\end{aligned}}}$

где и — действительные числа такие, что Когда в первом случае результирующий интервал представляет собой пустое множество , представляющее собой вырожденный интервал (см. ниже). Открытые интервалы — это те интервалы, которые представляют собой открытые множества для обычной топологии действительных чисел. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq b.}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle (a,a)=\varnothing ,}$

АЗакрытый интервал — это интервал, включающий все свои концы и обозначаемый квадратными скобками.^[2]Например,[0, 1]означает больше или равно0и меньше или равно1. Замкнутые интервалы имеют одну из следующих форм, в которойaиb— действительные числа такие, что ${\displaystyle a\leq b\colon }$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$

Замкнутые интервалы — это интервалы, которые представляют собой замкнутые множества для обычной топологии действительных чисел. Пустое множество и являются единственными интервалами, которые являются одновременно открытыми и закрытыми. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Аполуоткрытый интервал имеет два конца и включает только один из них. Говорят, что оноткрыт слеваилиоткрыт справав зависимости от того, находится ли исключенная конечная точка слева или справа. Эти интервалы обозначаются смешанными обозначениями открытых и закрытых интервалов.^[3]Например,(0, 1)означает больше0и меньше или равно1, а[0, 1)означает больше или равно0и меньше1. Полуоткрытые интервалы имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\\left[a,b\right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\\left[a,+\infty \right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\},\\\left(-\infty ,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq b\}.\end{aligned}}}$

Каждый закрытый интервал представляет собой замкнутое множество действительной прямой , но интервал, являющийся замкнутым множеством, не обязательно должен быть замкнутым интервалом. Например, интервалы и также являются замкнутыми множествами в реальной прямой. Интервалы и не являются ни открытым, ни закрытым множеством. Если разрешить, чтобы конечная точка на закрытой стороне была бесконечностью (например, (0,+∞] ) , результатом не будет интервал, поскольку он даже не является подмножеством действительных чисел. Вместо этого результат можно увидеть как интервал в расширенной действительной линии , который встречается , например, в теории меры . ${\displaystyle (-\infty ,b]}$ ${\displaystyle [a,+\infty )}$ ${\displaystyle (a,b]}$ ${\displaystyle [a,b)}$

Таким образом, набор действительных чисел является интервалом тогда и только тогда, когда это открытый интервал, закрытый интервал или полуоткрытый интервал. ^{[4] [5]}

Авырожденный интервал — это любойнабор, состоящий из одного действительного числа(т. е. интервал формы[ a , a ]).^[6]Некоторые авторы включают в это определение пустое множество. Действительный интервал, который не является ни пустым, ни вырожденным, называетсясобственными имеет бесконечное число элементов.

Интервал называется ограниченным слева или справа , если существует некоторое действительное число, которое соответственно меньше или больше всех его элементов. Интервал называется ограниченным , если он ограничен как слева, так и справа; и в противном случае говорят, что он неограничен . Интервалы, ограниченные только с одного конца, называются полуограниченными . Пустое множество ограничено, а множество всех действительных чисел — единственный интервал, неограниченный на обоих концах. Ограниченные интервалы также широко известны как конечные интервалы .

Ограниченные интервалы — это ограниченные множества в том смысле, что их диаметр (который равен абсолютной разности между конечными точками) конечен. Диаметр можно назвать длиной , шириной , мерой , диапазоном или размером интервала. Размер неограниченных интервалов обычно определяется как +∞ , а размер пустого интервала может быть определен как 0 (или оставлен неопределенным).

Центр ( середина ) ограниченного интервала с концами a и b равен ( a +  b  ) /2 , а его радиус — полудлина | а  -  б |/2 . Эти понятия не определены для пустых или неограниченных интервалов.

Говорят, что интервал открыт слева тогда и только тогда, когда он не содержит минимума (элемент, который меньше всех других элементов); открыть вправо, если он не содержит максимума ; и открыть, если он не содержит ни того, ни другого. Интервал [0, 1) = { x | 0 ≤ x < 1} , например, закрыто слева и открыто справа. Пустое множество и множество всех действительных чисел являются как открытыми, так и закрытыми интервалами, тогда как множество неотрицательных действительных чисел представляет собой закрытый интервал, открытый справа, но не открытый слева. Открытые интервалы представляют собой открытые множества реальной линии в ее стандартной топологии и образуют основу открытых множеств.

Интервал называется замкнутым слева, если он имеет минимальный элемент или неограничен слева, и замкнутым справа, если он имеет максимум или неограничен справа; он просто закрыт , если он закрыт одновременно слева и справа. Итак, замкнутые интервалы совпадают с замкнутыми множествами в этой топологии.

Внутренняя часть интервала I — это самый большой открытый интервал, содержащийся в I ; это также набор точек в I , которые не являются конечными точками I. Замыкание I — это наименьший закрытый интервал, содержащий I ; которое также является множеством, которое я дополнил конечными концами.

Для любого набора X действительных чисел интервал интервала или интервал интервала X — это уникальный интервал, содержащий X , и не содержит должным образом какой-либо другой интервал, который также содержит X.

Интервал I является подинтервалом интервала J , если I является подмножеством J . Интервал I является собственным подинтервалом J , если I является собственным подмножеством J .

Однако существует противоречивая терминология для терминов « сегмент» и «интервал» , которые используются в литературе двумя принципиально противоположными способами, что приводит к двусмысленности при использовании этих терминов. Энциклопедия математики ^[7] определяет интервал (без квалификатора), исключающий обе конечные точки (т. е. открытый интервал), и сегмент , включающий обе конечные точки (т. е. закрытый интервал), тогда как в « Принципах математического анализа » Рудина ^[8] называются множества образуют [ a , b ] интервалы и множества отрезков формы ( a , b ) повсюду. Эти термины, как правило, появляются в старых работах; в современных текстах все чаще отдается предпочтение термину « интервал» (определяемому словами « открытый », «закрытый » или « полуоткрытый» ), независимо от того, включены ли конечные точки.

Обозначения интервалов

Интервал чисел между a и b , включая a и b , часто обозначается [ a ,  b ] . Эти два числа называются конечными точками интервала. В странах, где числа записываются через десятичную запятую , во избежание двусмысленности в качестве разделителя можно использовать точку с запятой.

Включение или исключение конечных точек

Чтобы указать, что одну из конечных точек следует исключить из набора, соответствующую квадратную скобку можно либо заменить круглой скобкой, либо перевернуть. Оба обозначения описаны в международном стандарте ISO 31-11 . Таким образом, в обозначениях построителя множеств ,

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\[5mu][a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\[5mu](a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\[5mu][a,b]={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}}$

Каждый интервал ( a ,  a ) , [ a ,  a ) и ( a ,  a ] представляет пустое множество , тогда как [ a ,  a ] обозначает единичный набор  { a } . Когда a > b , обычно принимаются все четыре обозначения для представления пустого множества.

Оба обозначения могут пересекаться с другими видами использования круглых и квадратных скобок в математике. Например, обозначение ( a , b ) часто используется для обозначения упорядоченной пары в теории множеств, координат точки или вектора в аналитической геометрии и линейной алгебре или (иногда) комплексного числа в алгебре . Именно поэтому Бурбаки ввел обозначения ] a , b [ для обозначения открытого интервала. ^[9] Обозначение [ a , b ] также иногда используется для упорядоченных пар, особенно в информатике .

Некоторые авторы, такие как Ив Тилле, используют ] a , b [ для обозначения дополнения интервала  ( a ,  b ) ; а именно, набор всех действительных чисел, которые либо меньше или равны a , либо больше или равны b .

Бесконечные конечные точки

В некоторых контекстах интервал может быть определен как подмножество расширенных действительных чисел , набор всех действительных чисел, дополненных -∞ и +∞ .

В этой интерпретации обозначения [−∞,  b ]  , (−∞,  b ]  , [ a , +∞]  и [ a , +∞) осмысленны и различны. В частности, (−∞, +∞) обозначает множество всех обычных действительных чисел, а [−∞, +∞] обозначает расширенные действительные числа.

Даже в контексте обычных реалов можно использовать бесконечную конечную точку, чтобы указать, что в этом направлении нет границы. Например, (0, +∞) — это набор положительных действительных чисел , также записываемый как Контекст влияет на некоторые из приведенных выше определений и терминологии. Например, интервал (−∞, +∞)  =  замкнут в области обычных действительных чисел, но не в области расширенных действительных чисел. ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Целочисленные интервалы

Когда a и b являются целыми числами , обозначения ⟦ a, b ⟧ или [ a .. b ] или { a .. b } или просто a .. b иногда используются для обозначения интервала всех целых чисел между a и b . включено. Обозначение [ a..b ] используется в некоторых языках программирования ; в Паскале , например, он используется для формального определения типа поддиапазона, чаще всего используется для указания нижней и верхней границ допустимых индексов массива .

Другой способ интерпретации целочисленных интервалов — это наборы, определенные перечислением , с использованием записи с многоточием .

Целочисленный интервал, имеющий конечную нижнюю или верхнюю конечную точку, всегда включает эту конечную точку. Следовательно, исключение конечных точек можно явно обозначить, написав a .. b  − 1  , a  + 1 .. b  или a  + 1 .. b  − 1 . Обозначения в альтернативных скобках, такие как [ a .. b ) или [ a .. b [ , редко используются для целочисленных интервалов. ^{[ нужна цитата ]}

Характеристики

Интервалы представляют собой в точности связные подмножества. Отсюда следует, что образ интервала любой непрерывной функцией от до также является интервалом. Это одна из формулировок теоремы о промежуточном значении . ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Интервалы также являются выпуклыми подмножествами . Интервальная оболочка подмножества также является выпуклой оболочкой множества. ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$

Замыкание интервала представляет собой объединение интервала и множества его конечных точек и, следовательно, также является интервалом . (Последнее также следует из того, что замыкание всякого связного подмножества топологического пространства является связным подмножеством.) Другими словами, мы имеем ^[10]

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b],}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty ),}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a],}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty ).}$

Пересечение любого набора интервалов всегда является интервалом. Объединение двух интервалов является интервалом тогда и только тогда, когда они имеют непустое пересечение или открытый конец одного интервала является замкнутым концом другого, например ${\displaystyle (a,b)\cup [b,c]=(a,c].}$

Если рассматривать пространство как метрическое , то его открытые шары представляют собой открытые ограниченные интервалы  ( c  +  r ,  c  −  r ) , а его закрытые шары — это закрытые ограниченные интервалы  [ c  +  r ,  c  −  r ] . В частности, метрическая и порядковая топологии в реальной линии совпадают, что является стандартной топологией реальной линии. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Любой элемент  x интервала  I определяет разбиение  I на три непересекающихся интервала I ₁ ,  I ₂ ,  I ₃ : соответственно, элементы  I , которые меньше  x , одиночный элемент  и элементы, которые больше  x . Части I ₁ и I ₃ непусты (и имеют непустую внутреннюю часть), тогда и только тогда, когда x находится внутри  I . Это интервальная версия принципа трихотомии . ${\displaystyle [x,x]=\{x\},}$

Диадические интервалы

Диадический интервал — это ограниченный вещественный интервал, конечными точками которого являются целые числа . В зависимости от контекста любая конечная точка может быть включена или не включена в интервал. ${\displaystyle {\tfrac {j}{2^{n}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {j+1}{2^{n}}},}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$

Диадические интервалы обладают следующими свойствами:

• Длина двоичного интервала всегда равна целой степени двойки.
• Каждый двоичный интервал содержится ровно в одном двоичном интервале двойной длины.
• Каждый диадический интервал состоит из двух диадических интервалов половинной длины.
• Если два открытых диадических интервала перекрываются, то один из них является подмножеством другого.

Следовательно, диадические интервалы имеют структуру, отражающую структуру бесконечного двоичного дерева .

Диадические интервалы актуальны для нескольких областей численного анализа, включая адаптивное уточнение сетки , многосеточные методы и вейвлет-анализ . Другой способ представления такой структуры — p-адический анализ (при p = 2 ). ^[11]

Обобщения

Мячи

Открытый конечный интервал — это одномерный открытый шар с центром и радиусом . Замкнутый конечный интервал — это соответствующий замкнутый шар, а две конечные точки интервала образуют 0-мерную сферу . В обобщенном виде на трехмерное евклидово пространство шар — это совокупность точек, расстояние от центра которых меньше радиуса. В двумерном случае шар называется диском . ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b-a).}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle n}$

Если полупространство рассматривается как своего рода вырожденный шар (без четко определенного центра или радиуса), полупространство можно рассматривать как аналог полуограниченного интервала с его граничной плоскостью в качестве (вырожденной) сферы. соответствующий конечной конечной точке.

Многомерные интервалы

Конечный интервал — это (внутренность) одномерного гиперпрямоугольника . Обобщенный на реальное координатное пространство, гиперпрямоугольник (или прямоугольник), ориентированный по оси , представляет собой декартово произведение конечных интервалов. Ибо это прямоугольник ; ибо это прямоугольный кубоид (также называемый « коробкой »). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$

Учитывая сочетание открытых, закрытых и бесконечных конечных точек, декартово произведение любых интервалов иногда называют -мерным интервалом . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Фасета такого интервала является результатом замены любого невырожденного фактора интервала вырожденным интервалом, состоящим из конечной конечной точки. Грани включают себя и все грани его фасет. Углы — это грани, состоящие ^{из одной точки} . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle I_{k}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Выпуклые многогранники

Любой конечный интервал может быть построен как пересечение полуограниченных интервалов (при этом пустое пересечение означает всю действительную линию), а пересечение любого количества полуограниченных интервалов является (возможно, пустым) интервалом. В обобщенном виде на -мерное аффинное пространство пересечение полупространств (произвольной ориентации) является (внутренностью) выпуклым многогранником или, в двумерном случае, выпуклым многоугольником . ${\displaystyle n}$

Домены

Открытый интервал — это связное открытое множество действительных чисел. Обобщая топологические пространства в целом, непустое связное открытое множество называется областью .

Сложные интервалы

Интервалы комплексных чисел можно определить как области комплексной плоскости , прямоугольные или круглые . ^[12]

Интервалы в частично упорядоченных наборах и предварительно упорядоченных наборах

Определения

Понятие интервалов может быть определено в произвольных частично упорядоченных множествах или, в более общем смысле, в произвольных предварительно упорядоченных множествах . Для предупорядоченного множества и двух элементов аналогично определяются интервалы ^{[13] : 11, определение 11.} ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$

${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\mid a<x<b\},}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in X\mid a\lesssim x\lesssim b\},}$

${\displaystyle (a,b]=\{x\in X\mid a<x\lesssim b\},}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in X\mid a\lesssim x<b\},}$

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\mid a<x\},}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\mid a\lesssim x\},}$

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\mid x<b\},}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\mid x\lesssim b\},}$

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=X,}$

где означает : Фактически интервалы с одной конечной точкой или без нее такие же, как интервалы с двумя конечными точками в большем предварительно упорядоченном наборе. ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x\lesssim y\not \lesssim x.}$

${\displaystyle {\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$

${\displaystyle -\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)}$

определяется путем добавления новых наименьших и наибольших элементов (даже если они были), которые являются подмножествами. В случае одного можно принять за расширенную вещественную линию . ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$

Выпуклые множества и выпуклые компоненты в теории порядка

Подмножество предварительно упорядоченного набора является (порядково)выпуклым, если для каждого и каждого мы имеем В отличие от случая с реальной линией, выпуклое множество предварительно упорядоченного набора не обязательно должно быть интервалом. Например, в полностью упорядоченном множестве рациональных чисел множество ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ ${\displaystyle x,y\in A}$ ${\displaystyle x\lesssim z\lesssim y}$ ${\displaystyle z\in A.}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leq )}$

${\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}}$

является выпуклым, но не является интервалом, поскольку в нем нет квадратного корня из двух. ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Пусть - предупорядоченное множество , и пусть Выпуклые множества, содержащиеся в, образуют частично упорядоченное множество при включении. Максимальный элемент этого частично упорядоченного множества называется выпуклой компонентой из ^{[14] : Определение 5.1  [15] : 727.} По лемме Цорна любое выпуклое множество, содержащееся в, содержится в некоторой выпуклой компоненте из , но такие компоненты не обязательно должны быть уникальными. В полностью упорядоченном множестве такая компонента всегда уникальна. То есть выпуклые компоненты подмножества полностью упорядоченного множества образуют разбиение . ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ ${\displaystyle Y\subseteq X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y,}$

Характеристики

Далее следует обобщение характеристик действительных интервалов. Для непустого подмножества линейного континуума следующие условия эквивалентны. ^{[16] : 153, Теорема 24.1.} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (L,\leq ),}$

• Набор представляет собой интервал. ${\displaystyle I}$
• Множество порядково-выпуклое. ${\displaystyle I}$
• Множество является связным подмножеством, если оно наделено порядковой топологией . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L}$

Для подмножества решетки следующие условия эквивалентны . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L,}$

• Множество представляет собой подрешетку и (порядково)выпуклое множество. ${\displaystyle S}$
• Существует идеал и фильтр такие, что ${\displaystyle I\subseteq L}$ ${\displaystyle F\subseteq L}$ ${\displaystyle S=I\cap F.}$

Приложения

В общей топологии

Любое тихоновское пространство вложимо в произведение замкнутых единичных интервалов. На самом деле любое тихоновское пространство, имеющее базу мощности , вложима в произведение копий интервалов. ^{[17] : с. 83, Теорема 2.3.23} ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle [0,1]^{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$

Понятия выпуклых множеств и выпуклых компонент используются при доказательстве того, что всякое вполне упорядоченное множество, наделенное порядковой топологией , вполне нормально ^[15] или, более того, монотонно нормально . ^[14]

Топологическая алгебра

Интервалы могут быть связаны с точками плоскости, и, следовательно, области интервалов могут быть связаны с областями плоскости. Обычно интервал в математике соответствует упорядоченной паре ( x , y ) , полученной из прямого произведения действительных чисел на самого себя, где часто предполагается, что y > x . Для целей математической структуры это ограничение отбрасывается ^[18] и допускаются «перевернутые интервалы», где y − x < 0 . Тогда совокупность всех интервалов [ x , y ] можно отождествить с топологическим кольцом , образованным прямой суммой самого себя, где сложение и умножение определяются покомпонентно. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Алгебра прямой суммы имеет два идеала : {[ x ,0]: x ∈ R} и {[0, y ]: y ∈ R}. Единичным элементом этой алгебры является сокращенный интервал [1, 1] . Если интервал [ x , y ] не принадлежит ни одному из идеалов, то он имеет мультипликативную обратную [1/ x , 1/ y ] . Алгебра интервалов, наделенная обычной топологией , образует топологическое кольцо . Группа единиц этого кольца состоит из четырех квадрантов , определяемых осями, в данном случае идеалами. Единичным компонентом этой группы является квадрант I. ${\displaystyle (\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,+,\times )}$

Каждый интервал можно рассматривать как симметричный интервал вокруг его середины . В реконфигурации, опубликованной в 1956 году М. Вармусом, ось «сбалансированных интервалов» [ x , − x ] используется вместе с осью интервалов [ x , x ] , которые сводятся к точке. Вместо прямой суммы кольцо интервалов было отождествлено ^[19] с гиперболическими числами М. Вармуса и Д. Х. Лемера посредством отождествления ${\displaystyle R\oplus R,}$

${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}(x+y)+{\tfrac {1}{2}}(x-y)j,}$

где ${\displaystyle j^{2}=1.}$

Это линейное отображение плоскости, которое представляет собой кольцевой изоморфизм , придает плоскости мультипликативную структуру, имеющую некоторые аналогии с обычной комплексной арифметикой, такой как полярное разложение .

Смотрите также

• Дуга (геометрия)
• Неравенство
• Интервальный график
• Интервальный конечный элемент
• Интервал (статистика)
• Отрезок
• Разделение интервала
• Единичный интервал

Рекомендации

1. Берцекас, Дмитрий П. (1998). Оптимизация сети: непрерывные и дискретные методы. Афина Сайентифик. п. 409. ИСБН 1-886529-02-7.
2. Стрихарц, Роберт С. (2000). Путь анализа. Издательство Джонс и Бартлетт. п. 86. ИСБН 0-7637-1497-6.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Интервал». mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 г.
4. «Интервал и сегмент», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
5. Тао, Теренс (2016). Анализ I. Тексты и материалы по математике. Том. 37 (3-е изд.). Сингапур: Спрингер. п. 212. дои : 10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN  2366-8725. LCCN  2016940817.См. определение 9.1.1.
6. Крамер, Харальд (1999). Математические методы статистики. Издательство Принстонского университета. п. 11. ISBN 0691005478.
7. «Интервал и отрезок - Математическая энциклопедия». энциклопедияofmath.org . Архивировано из оригинала 26 декабря 2014 г. Проверено 12 ноября 2016 г.
8. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 31. ISBN 0-07-054235-Х.
9. «Почему американские и французские обозначения открытых интервалов (x, y) отличаются от ]x, y[?». hsm.stackexchange.com . Проверено 28 апреля 2018 г.
10. Тао (2016), с. 214, см. лемму 9.1.12.
11. Козырев, Сергей (2002). «Теория вейвлетов как p-адический спектральный анализ». Известия РАН. Сер. Мат. 66 (2): 149–158. arXiv : math-ph/0012019 . Бибкод :2002ИзМат..66..367К. doi : 10.1070/IM2002v066n02ABEH000381. S2CID  16796699 . Проверено 5 апреля 2012 г.
12. Комплексная интервальная арифметика и ее приложения, Миодраг Петкович, Лиляна Петкович, Wiley-VCH, 1998, ISBN 978-3-527-40134-5 
13. Винд, Карл (2003). Независимость, аддитивность, неопределенность . Исследования по экономической теории. Том. 14. Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-540-24757-9. ISBN 978-3-540-41683-8. Збл  1080.91001.
14. Хит, RW; Лютцер, Дэвид Дж.; Зенор, Польша (1973). «Монотонно нормальные пространства». Труды Американского математического общества . 178 : 481–493. дои : 10.2307/1996713 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1996713. МР  0372826. Збл  0269.54009.
15. Стин, Линн А. (1970). «Прямое доказательство того, что линейно упорядоченное пространство наследственно нормально по совокупности». Труды Американского математического общества . 24 (4): 727–728. дои : 10.2307/2037311 . ISSN  0002-9939. JSTOR  2037311. МР  0257985. Збл  0189.53103.
16. Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-181629-9. МР  0464128. Збл  0951.54001.
17. Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Ряд сигм в чистой математике. Том. 6 (Переработанное и дополненное изд.). Берлин: Хелдерманн Верлаг. ISBN 3-88538-006-4. МР  1039321. Збл  0684.54001.
18. Кай Мэдсен (1979) Обзор «Интервального анализа в расширенном интервальном пространстве» Эдгара Каучера ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} из Mathematical Reviews
19. Д. Х. Лемер (1956) Обзор «Исчисления аппроксимаций» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} из Mathematical Reviews

Библиография

• Т. Сунага, «Теория интервальной алгебры и ее применение к численному анализу». Архивировано 9 марта 2012 г. в Wayback Machine , В: Мемуары Исследовательской ассоциации прикладной геометрии (RAAG), Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Токио, Япония, 1958 г., Том. 2, стр. 29–46 (547–564); перепечатано в Японском журнале промышленной и прикладной математики, 2009 г., Vol. 26, № 2–3, стр. 126–143.

Внешние ссылки

• «Интервал осознания » Брайана Хейса: статья American Scientist представляет собой введение.
• Веб-сайт интервальных вычислений. Архивировано 2 марта 2006 г. на Wayback Machine.
• Исследовательские центры интервальных вычислений. Архивировано 3 февраля 2007 г. в Wayback Machine.
• Интервальная нотация Джорджа Бека, Демонстрационный проект Wolfram .
• Вайсштейн, Эрик В. «Интервал». Математический мир .