Целое число

Число в {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

На доске жирный Z , часто используемый для обозначения набора всех целых чисел.

Целое число — это ноль ( ), положительное натуральное число (1, 2, 3 и т. д.) или отрицательное целое число ( −1 , −2, −3 и т. д.). ^[1] Отрицательные числа являются аддитивными обратными соответствующими положительными числами. ^[2] Множество всех целых чисел часто обозначается жирным шрифтом Z или жирным шрифтом на доске . ^{[3] [4]} ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Набор натуральных чисел является подмножеством , которое, в свою очередь, является подмножеством множества всех рациональных чисел , которое само по себе является подмножеством действительных чисел . ^[a] Как и множество натуральных чисел, множество целых чисел счетно бесконечно . Целое число можно рассматривать как действительное число, которое можно записать без дробной составляющей . Например, 21, 4, 0 и -2048 являются целыми числами, а 9,75, 5 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$+1/2, и  √ 2 нет. ^[8]

Целые числа образуют наименьшую группу и наименьшее кольцо , содержащее натуральные числа . В теории алгебраических чисел целые числа иногда квалифицируются как рациональные целые числа , чтобы отличить их от более общих алгебраических целых чисел . Фактически, (рациональные) целые числа — это целые алгебраические числа, которые также являются рациональными числами .

История

Слово целое происходит от латинского целого числа, означающего «целый» или (буквально) «нетронутый», от in («не») плюс tangere («прикасаться»). Слово «Целое» происходит от того же происхождения, через французское слово entier , которое означает как « целое» , так и «целое» . ^[9] Исторически этот термин использовался для числа , кратного 1, ^{[10] [11]} или целой части смешанного числа . ^{[12] [13]} Рассматривались только положительные целые числа, что делает этот термин синонимом натуральных чисел . Определение целого числа со временем расширилось и теперь включает отрицательные числа , поскольку их полезность была признана. ^[14] Например, Леонард Эйлер в своей книге «Элементы алгебры» 1765 года определил, что целые числа включают как положительные, так и отрицательные числа. ^[15] Однако европейские математики, по большей части, сопротивлялись концепции отрицательных чисел до середины XIX века. ^[14]

Использование буквы Z для обозначения набора целых чисел происходит от немецкого слова Zahlen («числа») ^{[3] [4]} и приписывается Дэвиду Гильберту . ^[16] Самое раннее известное использование обозначений в учебниках встречается в «Алгебре» , написанном коллективом Николя Бурбаки в 1947 году. ^{[3] [17]} Обозначение не было принято сразу, например, в другом учебнике использовалась буква J ^{[18] ]} и в статье 1960 года Z использовалось для обозначения неотрицательных целых чисел. ^[19] Но к 1961 году Z обычно использовалась в современных текстах по алгебре для обозначения положительных и отрицательных целых чисел. ^[20]

Символ часто помечается для обозначения различных наборов, которые разные авторы используют по-разному: или для положительных целых чисел, или для неотрицательных целых чисел, и для ненулевых целых чисел. Некоторые авторы используют его для ненулевых целых чисел, в то время как другие используют его для неотрицательных целых чисел или для {–1, 1} ( группы единиц ) . Кроме того, используется для обозначения либо набора целых чисел по модулю p (т. е. набора классов конгруэнтности целых чисел), либо набора p -адических целых чисел . ^{[21] [22]} ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Целые числа были синонимами целых чисел вплоть до начала 1950-х годов. ^{[23] [24] [25]} В конце 1950-х годов, в рамках движения «Новая математика» , ^[26] американские учителя начальной школы начали учить, что «целые числа» относятся к натуральным числам , исключая отрицательные числа, а «целые числа» включены отрицательные числа. ^{[27] [28]} «Целое число» остается неоднозначным и по сей день. ^[29]

Алгебраические свойства

Целые числа можно рассматривать как дискретные, равноотстоящие друг от друга точки на бесконечно длинной числовой прямой . В приведенном выше примере неотрицательные целые числа показаны синим цветом, а отрицательные целые числа — красным.

Как и натуральные числа , замкнуто относительно операций сложения и умножения , то есть сумма и произведение любых двух целых чисел является целым числом. Однако с включением отрицательных натуральных чисел (и что немаловажно,  ), , в отличие от натуральных чисел, также замкнуто относительно вычитания . ^[30] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Целые числа образуют кольцо с единицей , которое является самым основным в следующем смысле: для любого кольца с единицей существует единственный кольцевой гомоморфизм целых чисел в это кольцо. Это универсальное свойство , а именно быть исходным объектом в категории колец , характеризует кольцо  . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$не является замкнутым при делении , поскольку частное двух целых чисел (например, 1, разделенное на 2) не обязательно должно быть целым числом. Хотя натуральные числа замкнуты при возведении в степень , целые числа — нет (поскольку результат может быть дробью, если показатель степени отрицателен).

В следующей таблице перечислены некоторые основные свойства сложения и умножения любых целых чисел a , b и c :

Первые пять свойств, перечисленных выше для сложения, говорят , что при сложении является абелевой группой . Это также циклическая группа , поскольку каждое ненулевое целое число можно записать в виде конечной суммы 1 + 1 + ... + 1 или (−1) + (−1) + ... + (−1) . Фактически, при сложении находится единственная бесконечная циклическая группа — в том смысле, что любая бесконечная циклическая группа изоморфна . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Первые четыре свойства умножения, перечисленные выше, говорят, что при умножении находится коммутативный моноид . Однако не каждое целое число имеет обратное мультипликативное число (как в случае числа 2), а это означает, что при умножении группа не является группой. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Все правила из приведенной выше таблицы свойств (кроме последнего) в совокупности говорят, что вместе со сложением и умножением получается коммутативное кольцо с единицей . Это прототип всех объектов такой алгебраической структуры . Для всех значений переменных верны  только те равенства выражений , которые верны в любом коммутативном кольце с единицей. Некоторые ненулевые целые числа отображаются в ноль в определенных кольцах. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Отсутствие делителей нуля в целых числах (последнее свойство в таблице) означает, что коммутативное кольцо  является областью целостности . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Отсутствие мультипликативных обратных, что равносильно тому, что оно не замкнуто при делении, означает, что это не поле . Наименьшее поле, содержащее целые числа в виде подкольца , — это поле рациональных чисел . Процесс построения рациональных чисел из целых чисел можно имитировать, чтобы сформировать поле дробей любой целой области. И обратно, начиная с поля алгебраических чисел (расширения рациональных чисел), можно извлечь его кольцо целых чисел , которое включает в себя в качестве его подкольца . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Хотя обычное деление на них не определено , на них определено деление «с остатком». Оно называется евклидовым делением и обладает следующим важным свойством: для двух целых чисел a и b с b ≠ 0 существуют уникальные целые числа q и r такие, что a = q × b + r и 0 ≤ r < | б | , где | б | обозначает абсолютное значение b . Целое число q называется частным , а r — остатком от деления a на b . Алгоритм Евклида для вычисления наибольших общих делителей работает с помощью последовательности евклидовых делений. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Вышеупомянутое говорит, что это евклидова область . Это означает, что это область главных идеалов , и любое положительное целое число может быть записано как произведение простых чисел по существу уникальным способом. ^[31] Это основная теорема арифметики . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Теоретико-порядковые свойства

${\displaystyle \mathbb {Z} }$представляет собой полностью упорядоченное множество без верхней и нижней границы . Порядок определяется следующим образом: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ... Целое число является положительным , если оно больше нуля , и отрицательным, если оно меньше нуля. . Ноль не определяется как ни отрицательный, ни положительный. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Упорядочение целых чисел совместимо с алгебраическими операциями следующим образом:

1. если a < b и c < d , то a + c < b + d
2. если a < b и 0 < c , то ac < bc .

Отсюда следует, что вместе с указанным выше порядком получается упорядоченное кольцо . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Целые числа — единственная нетривиальная полностью упорядоченная абелева группа , положительные элементы которой хорошо упорядочены . ^[32] Это эквивалентно утверждению, что любое нетерово нормированное кольцо является либо полем , либо кольцом дискретного нормирования .

Строительство

Традиционное развитие

В преподавании в начальной школе целые числа часто интуитивно определяются как объединение (положительных) натуральных чисел, нуля и отрицаний натуральных чисел. Это можно формализовать следующим образом. ^[33] Сначала постройте набор натуральных чисел в соответствии с аксиомами Пеано , назовите это . Затем постройте набор , который не пересекается с функцией и находится во взаимно однозначном соответствии с ней . Например, в качестве упорядоченных пар примем отображение . Наконец, пусть 0 будет каким-то объектом, не входящим в или , например, упорядоченной парой . Тогда целые числа определяются как объединение . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle (1,n)}$ ${\displaystyle \psi =n\mapsto (1,n)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P\cup P^{-}\cup \{0\}}$

Традиционные арифметические операции затем могут быть определены над целыми числами кусочно , для каждого из положительных чисел, отрицательных чисел и нуля. Например, отрицание определяется следующим образом:

$${\displaystyle -x={\begin{cases}\psi (x),&{\text{if }}x\in P\\\psi ^{-1}(x),&{\text{if }}x\in P^{-}\\0,&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

Традиционный стиль определения приводит к множеству различных случаев (каждая арифметическая операция должна быть определена для каждой комбинации типов целых чисел) и делает утомительным доказательство того, что целые числа подчиняются различным законам арифметики. ^[34]

Классы эквивалентности упорядоченных пар

Красные точки представляют упорядоченные пары натуральных чисел . Связанные красные точки — это классы эквивалентности, представляющие синие целые числа в конце строки.

В современной теоретико-множественной математике вместо этого часто используется более абстрактная конструкция ^{[35] [36]} , позволяющая определять арифметические операции без различия регистров. ^[37] Таким образом, целые числа могут быть формально построены как классы эквивалентности упорядоченных пар натуральных чисел ( a , b ) . ^[38]

Интуитивно понятно, что ( a , b ) означает результат вычитания b из a . ^[38] Чтобы подтвердить наше ожидание, что 1 - 2 и 4 - 5 обозначают одно и то же число, мы определяем отношение эквивалентности ~ на этих парах с помощью следующего правила:

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$

именно тогда, когда

${\displaystyle a+d=b+c.}$

Сложение и умножение целых чисел можно определить с помощью эквивалентных операций над натуральными числами; ^[38] используя [( a , b )] для обозначения класса эквивалентности, имеющего ( a , b ) в качестве члена, имеем:

${\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].}$

${\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].}$

Отрицание (или аддитивное обратное) целого числа получается изменением порядка пары:

${\displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)].}$

Следовательно, вычитание можно определить как сложение аддитивной обратной:

${\displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].}$

Стандартный порядок целых чисел определяется следующим образом:

${\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]}$ если и только если ${\displaystyle a+d<b+c.}$

Легко проверяется, что эти определения не зависят от выбора представителей классов эквивалентности.

Каждый класс эквивалентности имеет уникальный член вида ( n ,0) или (0, n ) (или оба сразу). Натуральное число n отождествляется с классом [( n ,0)] (т. е. натуральные числа встраиваются в целые числа путем отображения n в [( n ,0)] ), а также с классом [(0, n ) ] обозначается - n (это охватывает все оставшиеся классы и дает класс [(0,0)] второй раз, поскольку -0 = 0.

Таким образом, [( a , b )] обозначается через

${\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b.\end{cases}}}$

Если натуральные числа отождествляются с соответствующими целыми числами (с использованием упомянутого выше встраивания), это соглашение не создает двусмысленности.

Эта запись восстанавливает знакомое представление целых чисел как {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} .

Некоторые примеры:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}}$

Другие подходы

В теоретической информатике другие подходы к построению целых чисел используются автоматическими средствами доказательства теорем и механизмами перезаписи терминов . Целые числа представлены как алгебраические термины , построенные с использованием нескольких основных операций (например, ноль , succ , pred ) и, возможно, с использованием натуральных чисел , которые считаются уже построенными (с использованием, скажем, подхода Пеано ).

Существует не менее десяти таких конструкций целых чисел со знаком. ^[39] Эти конструкции различаются по нескольким признакам: количеству основных операций, используемых для построения, количеству (обычно от 0 до 2) и типам аргументов, принимаемых этими операциями; наличие или отсутствие натуральных чисел в качестве аргументов некоторых из этих операций, а также тот факт, являются ли эти операции свободными конструкторами или нет, т. е. что одно и то же целое число может быть представлено с использованием только одного или нескольких алгебраических терминов.

Техника построения целых чисел, представленная в предыдущем разделе, соответствует частному случаю, когда существует одна базовая пара операций , которая принимает в качестве аргументов два натуральных числа и и возвращает целое число (равное ). Эта операция не бесплатна, поскольку целое число 0 может быть записано как пара (0,0), или пара (1,1), или пара (2,2) и т. д. Этот метод построения используется помощником по доказательству Изабель ; однако многие другие инструменты используют альтернативные методы построения, особенно те, которые основаны на свободных конструкторах, которые проще и могут быть более эффективно реализованы на компьютерах. ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x-y}$

Информатика

Целое число часто является примитивным типом данных в компьютерных языках . Однако целочисленные типы данных могут представлять только подмножество всех целых чисел, поскольку практические компьютеры имеют ограниченную мощность. Кроме того, в обычном представлении дополнения до двух внутреннее определение знака различает «отрицательный» и «неотрицательный», а не «отрицательный, положительный и 0». (Однако компьютер, безусловно, может определить, является ли целочисленное значение действительно положительным.) Типы данных аппроксимации целых чисел фиксированной длины (или подмножества) обозначаются int или Integer в нескольких языках программирования (таких как Algol68 , C , Java , Дельфи и др.).

Представления целых чисел переменной длины, такие как bignums , могут хранить любое целое число, которое помещается в памяти компьютера. Другие целочисленные типы данных реализуются с фиксированным размером, обычно числом битов, равным степени 2 (4, 8, 16 и т. д.) или запоминающимся количеством десятичных цифр (например, 9 или 10).

Мощность

Множество целых чисел счетно бесконечно , что означает, что можно сопоставить каждое целое число с уникальным натуральным числом. Примером такого сочетания является

(0, 1), (1, 2), (−1, 3), (2, 4), (−2, 5), (3, 6), . . . , (1 -  k , 2 k  - 1), ( k , 2 k  ), . . .

Говоря более технически, мощность числа равна ℵ ₀ ( алеф-ноль ). Спаривание между элементами и называется биекцией . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Смотрите также

• Математический портал

• Каноническая факторизация целого положительного числа
• Гиперцелое число
• Целочисленная сложность
• Целочисленная решетка
• Целая часть
• Целочисленная последовательность
• Целочисленная функция
• Математические символы
• Паритет (математика)
• Проконечное целое число

Сноски

1. Точнее, каждая система встроена в следующую, изоморфно отображаемую в подмножество. ^[5] Обычно предполагаемое теоретико-множественное включение может быть получено путем построения действительных чисел, отбрасывая любые предыдущие конструкции и определяя другие множества как подмножества вещественных чисел. ^[6] Такая конвенция является «вопросом выбора», но это не так. ^[7]

Рекомендации

1. Энциклопедия науки и технологий. Издательство Чикагского университета. Сентябрь 2000. с. 280. ИСБН 978-0-226-74267-0.
2. «Целые числа: Введение в концепцию, с действиями по сравнению температуры и денег. | Блок 1» . ОЭР Commons .
3. Миллер, Джефф (29 августа 2010 г.). «Самое раннее использование символов теории чисел». Архивировано из оригинала 31 января 2010 года . Проверено 20 сентября 2010 г.
4. Питер Джефсон Кэмерон (1998). Введение в алгебру. Издательство Оксфордского университета. п. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Архивировано из оригинала 8 декабря 2016 года . Проверено 15 февраля 2016 г.
5. Парти, Барбара Х.; Мейлен, Алиса тер; Уолл, Роберт Э. (30 апреля 1990 г.). Математические методы в лингвистике. Springer Science & Business Media. стр. 78–82. ISBN 978-90-277-2245-4. Натуральные числа сами по себе не являются подмножеством этого теоретико-множественного представления целых чисел. Скорее, набор всех целых чисел содержит подмножество, состоящее из натуральных чисел и нуля, которое изоморфно множеству натуральных чисел.
6. Вольгемут, Эндрю (10 июня 2014 г.). Введение в доказательство в абстрактной математике. Курьерская корпорация. п. 237. ИСБН 978-0-486-14168-8.
7. Полкингхорн, Джон (19 мая 2011 г.). Значение в математике. ОУП Оксфорд. п. 68. ИСБН 978-0-19-162189-5.
8. Подготовка к тесту Каплана (4 июня 2019 г.). GMAT Complete 2020: лучшее в комплексном самообучении GMAT. Саймон и Шустер. ISBN 978-1-5062-4844-8.
9. Эванс, Ник (1995). «A-Кванторы и область применения». У Баха, Эммон В. (ред.). Количественная оценка на естественных языках. Дордрехт, Нидерланды; Бостон, Массачусетс: Издательство Kluwer Academic Publishers. п. 262. ИСБН 978-0-7923-3352-4.
10. Смедли, Эдвард; Роуз, Хью Джеймс; Роуз, Генри Джон (1845). Энциклопедия Метрополитана. Б. Феллоуз. п. 537. Целое число кратно единице.
11. Британская энциклопедия 1771, стр. 367
12. Пизано, Леонардо ; Бонкомпаньи, Бальдасарре (транслитерация) (1202 г.). Incipit liber Abbaci compositus to Lionardo filio Bonaccii Pisano в год Mccij [ Книга вычислений ] (Рукопись) (на латыни). Перевод Сиглера, Лоуренса Э. Мусео Галилея. п. 30. Nam rupti uel fracti semper ponendi sunt post integra, quamuis prius integra quam rupti pronuntiari debeant. [А дроби всегда ставятся после целого, таким образом сначала пишется целое число, а потом дробь]
13. Британская энциклопедия 1771, стр. 83
14. Мартинес, Альберто (2014). Негативная математика . Издательство Принстонского университета. стр. 80–109.
15. Эйлер, Леонард (1771). Vollstandige Anleitung Zur Algebra [ Полное введение в алгебру ] (на немецком языке). Том. 1. п. 10. Alle diese Zahlen, так что как позитивные, так и негативные, führen den bekannten Nahmen der Gantzen Zahlen, также Entweder größer oder kleiner sind als nichts. Man nennt Dieselbe Gantze Zahlen, um sie von den gebrochenen, und noch vielerley andern Zahlen, wovon unten gehandelt werden wird, zu unterscheiden. [Все эти числа, как положительные, так и отрицательные, называются целыми числами, которые либо больше, либо меньше нуля. Мы называем их целыми числами, чтобы отличить их от дробей и от некоторых других видов чисел, о которых мы будем говорить в дальнейшем.]
16. Обзор Университета Лидса. Том. 31–32. Университет Лидса. 1989. с. 46. ​​Между прочим, Z происходит от «Заля»: обозначение было создано Гильбертом.
17. Бурбаки, Николя (1951). Алгебра, глава 1 (на французском языке) (2-е изд.). Париж: Германн. п. 27. Le symétrisé de N se note Z ; ses éléments sont appelés entiers rationnels. [Группа разностей N обозначается Z ; его элементы называются целыми рациональными числами.]
18. Биркгоф, Гаррет (1948). Теория решеток (пересмотренная ред.). Американское математическое общество. п. 63. множество J всех целых чисел
19. Общество, Канадское математическое общество (1960). Канадский математический журнал. Канадское математическое общество. п. 374. Рассмотрим множество Z целых неотрицательных чисел.
20. Безушка, Стэнли (1961). Современный прогресс в математике: Приложение для преподавателей [к] части 1 и части 2. Бостонский колледж. п. 69. В современных текстах по алгебре множество целых чисел обычно обозначается заглавной буквой Z.
21. Кейт Пледжер и Дэйв Уилкинс, «Edexcel AS и модульная математика уровня A: основная математика 1» Pearson 2008
22. Л.К. Тернер, Ф.Дж. Бадден, Д. Найтон, «Высшая математика», Книга 2, Лонгман, 1975.
23. Мэтьюз, Джордж Баллард (1892). Теория чисел. Дейтон, Белл и компания. п. 2.
24. Бетц, Уильям (1934). Младшая математика сегодня. Джинн. Целые числа, или целые числа, расположенные в естественном порядке, например 1, 2, 3, называются последовательными целыми числами.
25. Пек, Лайман К. (1950). Элементы алгебры. МакГроу-Хилл. п. 3. Возникающие таким образом числа называются положительными целыми числами, или целыми положительными числами.
26. Хайден, Роберт (1981). История движения «новой математики» в США (доктор философии). Университет штата Айова. п. 145. дои : 10.31274/rtd-180813-5631 . Гораздо более влиятельной силой, доносившей новости о «новой математике» до учителей и администраторов средних школ, был Национальный совет учителей математики (NCTM).
27. Рост математических идей, классы K-12: 24-й ежегодник. Национальный совет учителей математики. 1959. с. 14. ISBN 9780608166186.
28. Динс, Эдвина (1963). Математика начальной школы: новые направления. Министерство здравоохранения, образования и социального обеспечения США, Управление образования. п. 42.
29. «запись: целое число». Словарь американского наследия . ХарперКоллинз.
30. «Целое число | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 11 августа 2020 г. .
31. Ланг, Серж (1993). Алгебра (3-е изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
32. Уорнер, Сет (2012). Современная алгебра. Дуврские книги по математике. Курьерская корпорация. Теорема 20.14, с. 185. ИСБН 978-0-486-13709-4. Архивировано из оригинала 6 сентября 2015 года . Проверено 29 апреля 2015 г..
33. Мендельсон, Эллиотт (1985). Системы счисления и основы анализа. Малабар, Флорида: Паб RE Krieger. Компания р. 153. ИСБН 978-0-89874-818-5.
34. Мендельсон, Эллиотт (2008). Системы счисления и основы анализа. Дуврские книги по математике. Публикации Courier Dover. п. 86. ИСБН 978-0-486-45792-5. Архивировано из оригинала 8 декабря 2016 года . Проверено 15 февраля 2016 г..
35. Иворра Кастильо: Алгебра
36. Крамер, Юрг; фон Пиппих, Анна-Мария (2017). От натуральных чисел к кватернионам (1-е изд.). Швейцария: Springer Cham. стр. 78–81. дои : 10.1007/978-3-319-69429-0. ISBN 978-3-319-69427-6.
37. Фробишер, Лен (1999). Учимся учить цифрам: Пособие для учащихся и учителей начальной школы. Серия Стэнли Торнса «Преподавание начальной математики». Нельсон Торнс. п. 126. ИСБН 978-0-7487-3515-0. Архивировано из оригинала 8 декабря 2016 года . Проверено 15 февраля 2016 г..
38. Кэмпбелл, Ховард Э. (1970). Структура арифметики . Эпплтон-Сентьюри-Крофтс. п. 83. ИСБН 978-0-390-16895-5.
39. Гаравел, Хьюберт (2017). О наиболее подходящей аксиоматизации целых чисел со знаком. Пост-материалы 23-го Международного семинара по методам алгебраической разработки (WADT'2016). Конспекты лекций по информатике. Том. 10644. Спрингер. стр. 120–134. дои : 10.1007/978-3-319-72044-9_9. ISBN 978-3-319-72043-2. Архивировано из оригинала 26 января 2018 года . Проверено 25 января 2018 г.

Источники

• Белл, ET (1986). Мужчины математики . Нью-Йорк: Саймон и Шустер. ISBN 0-671-46400-0.)
• Херштейн, Индиана (1975). Темы алгебры (2-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-01090-1.
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1646-2.
• Общество джентльменов в Шотландии (1771 г.). Британская энциклопедия. Эдинбург.

Внешние ссылки

• «Целое число», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Положительные целые числа — таблицы делителей и инструменты представления чисел.
• Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей ОЭИС
• Вайсштейн, Эрик В. «Целое число». Математический мир .

Эта статья включает в себя материал из Integer на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .