Доля

Отношение двух чисел

Торт, у которого удалена одна четверть (одна четверть). Остальные три четверти показаны пунктирными линиями и обозначены дробью1/4

Дробь (от латинского fractus — «сломанный») представляет собой часть целого или, в более общем плане, любое количество равных частей . В повседневном английском языке дробь описывает количество частей определенного размера, например, половина, восемь пятых, три четверти. Обыкновенная , вульгарная или простая дробь (примеры: и ) состоит из целого числителя , отображаемого над линией (или перед косой чертой, например 1 ⁄ 2 ), и ненулевого целочисленного знаменателя , отображаемого ниже (или после) этой строки. . Если эти целые числа положительны, то числитель представляет собой количество равных частей, а знаменатель указывает, сколько из этих частей составляют единицу или целое. Например, в дроби ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {17}{3}}}$3/4, числитель 3 указывает, что дробь представляет собой 3 равные части, а знаменатель 4 указывает, что 4 части составляют целое. На рисунке справа показано3/4торта.

Другое использование дробей — для представления соотношений и деления . ^[1] Таким образом, дробь3/4также может использоваться для обозначения соотношения 3:4 (отношение части к целому) и деления 3 ÷ 4 (три разделить на четыре).

Мы также можем записать отрицательные дроби, которые представляют собой противоположность положительной дроби. Например, если1/2представляет собой прибыль в полдоллара, тогда —1/2представляет собой потерю в полдоллара. Из-за правил деления чисел со знаком (в которых частично говорится, что отрицательное, разделенное на положительное, является отрицательным), —1/2,−1/2и1/−2все представляют одну и ту же дробь – отрицательную половину. И поскольку отрицательное, разделенное на отрицательное, дает положительное,−1/−2представляет собой положительную половину.

В математике совокупность всех чисел, которые можно выразить в видеа/б, где a и b — целые числа, а b не равно нулю, называется множеством рациональных чисел и обозначается символом Q или , который обозначает частное . Число является рациональным числом именно тогда, когда его можно записать в такой форме (т. е. в виде обыкновенной дроби). Однако слово дробь также можно использовать для описания математических выражений, которые не являются рациональными числами. Примеры такого использования включают алгебраические дроби (частные алгебраических выражений) и выражения, содержащие иррациональные числа , такие как (см. квадратный корень из 2 ) и ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$π/4(см. доказательство того, что π иррационально ).

Словарный запас

В дроби количество описываемых равных частей является числителем ( от лат . numerātor , «счетчик» или «числитель»), а тип или разновидность частей — знаменателем ( от лат . dēnōminātor , «вещь, которая называет или обозначает»). ^{[2] [3]} Например, дробь8/5состоит из восьми частей, каждая из которых относится к типу «пятая». С точки зрения деления числитель соответствует делимому , а знаменатель соответствует делителю .

Неофициально числитель и знаменатель можно отличить только по расположению, но в формальном контексте они обычно разделяются чертой дроби . Черта дроби может быть горизонтальной (как в1/3), косой (как 2/5) или диагональной (как 4 ⁄ 9 ). ^[4] Эти знаки соответственно известны как горизонтальная полоса; косая черта, косая черта ( США ) или штрих ( Великобритания ); и черта дроби, солидус, ^[5] или косая черта дроби . ^{[n 1]} В типографике дроби, сложенные вертикально, также известны как « en » или « ореховые дроби», а диагональные — как « em » или «бараньи дроби», в зависимости от того, занимает ли дробь с однозначным числителем и знаменателем пропорция узкого квадрата или более широкого квадрата . ^[4] В традиционном шрифтоделии — фрагмент шрифта, содержащий полную дробь (например,1/2) был известен как «частная дробь», а те, что представляли только часть дроби, назывались «штучными дробями».

Знаменатели английских дробей обычно выражаются в виде порядковых чисел во множественном числе, если числитель не равен 1. (Например,2/5и3/5оба читаются как число «пятых».) Исключения включают знаменатель 2, который всегда читается как «половина» или «половинки», знаменатель 4, который альтернативно может быть выражен как «четверть»/«четверти» или как « четвертая»/«четвертые» и знаменатель 100, который альтернативно может быть выражен как «сотая»/«сотые» или « проценты ».

Когда знаменатель равен 1, его можно выразить в виде «целого числа», но чаще всего его игнорируют, а числитель считывается как целое число. Например,3/1можно описать как «три целых» или просто как «три». Если числитель равен 1, его можно опустить (например, «десятая часть» или «каждая четверть»).

Вся дробь может быть выражена как одна композиция, в этом случае она пишется через дефис, или как количество дробей с числителем, равным единице, в этом случае это не так. (Например, «две пятых» — это дробь2/5а «две пятых» — это та же дробь, понимаемая как 2 экземпляра1/5.) Дроби всегда следует писать через дефис, когда они используются в качестве прилагательных. В качестве альтернативы дробь можно описать, читая ее как числитель «над» знаменателем, при этом знаменатель выражается в виде кардинального числа . (Например,3/1также может быть выражено как «три больше одного».) Термин «более» используется даже в случае дробей солидуса, где числа располагаются слева и справа от косой черты . (Например, 1/2 может читаться как «половина», «половина» или «один больше двух».) Дроби с большими знаменателями, не являющимися степенями десяти, часто изображаются таким образом (например,1/117как «один больше ста семнадцати»), тогда как числа со знаменателем, кратным десяти, обычно читаются в обычном порядковом порядке (например,6/1000000как «шестимиллионные», «шестимиллионные» или «шесть миллионных»).

Формы дробей

Простые, обыкновенные или вульгарные дроби

Простая дробь (также известная как обыкновенная дробь или вульгарная дробь , где вульгарное в переводе с латыни означает «общий») — это рациональное число, записанное как a / b или , где a и b — целые числа . ^[9] Как и в случае с другими дробями, знаменатель ( b ) не может быть равен нулю. Примеры включают , , и . Первоначально этот термин использовался, чтобы отличить этот тип дроби от шестидесятеричной дроби , используемой в астрономии. ^[10] ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {8}{5}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {-8}{5}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {8}{-5}}}$

Простейшие дроби могут быть положительными и отрицательными, а также правильными и неправильными (см. ниже). Сложные дроби, комплексные дроби, смешанные цифры и десятичные дроби (см. ниже) не являются обыкновенными дробями ; хотя, если они не иррациональны, их можно оценить до обыкновенной дроби.

• Единичная дробь — это обыкновенная дробь с числителем 1 (например, ). Доли единицы также можно выразить с помощью отрицательных показателей степени, например, 2 ^-1 , что представляет собой 1/2, и 2 ^-2 , что представляет собой 1/(2 ² ) или 1/4. ${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}}$
• Двоичная дробь – это обычная дробь, в которой знаменатель равен степени двойки , например . ${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}={\tfrac {1}{2^{3}}}}$

В Юникоде предварительно составленные дробные символы находятся в блоке числовых форм .

Правильные и неправильные дроби

Обыкновенные дроби можно разделить на правильные и неправильные. Если числитель и знаменатель положительны, то дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя, и неправильной в противном случае. ^[11] Концепция «неправильной дроби» возникла поздно, а терминология возникла из того факта, что «дробь» означает «кусок», поэтому правильная дробь должна быть меньше 1. ^[10] Это было объяснено в учебник XVII века «Основы искусств» . ^{[12] [13]}

В общем, обыкновенная дробь называется правильной дробью , если абсолютное значение дроби строго меньше единицы, то есть если дробь больше -1 и меньше 1. ^{[14] [15]} Это называется неправильной дробью или иногда «тяжелой» дробью ^[16] , если абсолютное значение дроби больше или равно 1. Примерами правильных дробей являются 2/3, −3/4 и 4/. 9, тогда как примеры неправильных дробей — 9/4, −4/3 и 3/3.

Взаимные величины и «невидимый знаменатель»

Обратная дробь — это другая дробь , в которой числитель и знаменатель поменяны местами. Обратной величиной , например, является . Произведение дроби и обратной ей дроби равно 1, следовательно, обратная дробь является мультипликативной обратной дробью. Обратная дробь правильной дроби является неправильной, а обратная дробь неправильной, не равная 1 (т. е. числитель и знаменатель не равны), является правильной дробью. ${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {7}{3}}}$

Когда числитель и знаменатель дроби равны (например, ), ее значение равно 1, и, следовательно, дробь неправильная. Его обратное значение идентично и, следовательно, также равно 1 и несобственно. ${\displaystyle {\tfrac {7}{7}}}$

Любое целое число можно записать в виде дроби, где в знаменателе стоит единица. Например, 17 можно записать как , где 1 иногда называют невидимым знаменателем . ^[17] Следовательно, каждая дробь или целое число, кроме нуля, имеет обратную величину. Например. обратное число 17 равно . ${\displaystyle {\tfrac {17}{1}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{17}}}$

Соотношения

Отношение — это отношение между двумя или более числами, которое иногда можно выразить в виде дроби. Обычно несколько элементов группируются и сравниваются в определенном соотношении, численно определяющем взаимосвязь между каждой группой. Соотношения выражаются как «группа 1 к группе 2… к группе n ». Например, если на автостоянке 12 автомобилей, из них

• 2 белых,
• 6 красных, и
• 4 желтые,

тогда соотношение красных, белых и желтых автомобилей составляет 6:2:4. Соотношение желтых автомобилей к белым составляет 4:2 и может быть выражено как 4:2 или 2:1.

Отношение часто преобразуют в дробь, когда оно выражается как отношение к целому числу. В приведенном выше примере соотношение желтых машин ко всем машинам на участке составляет 4:12 или 1:3. Мы можем преобразовать эти отношения в дробь и сказать, что4/12автомобилей или1/3автомобилей на стоянке желтые. Следовательно, если человек случайно выбрал на стоянке одну машину, то вероятность того, что она будет желтой, составляет один из трех .

Десятичные дроби и проценты

Десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой не задан явно, но понимается как целая степень десяти. Десятичные дроби обычно выражаются с использованием десятичной системы счисления, в которой подразумеваемый знаменатель определяется количеством цифр справа от десятичного разделителя , внешний вид которого (например, точка, межпунктовый знак (·), запятая) зависит от локаль (примеры см. в разделе десятичный разделитель ). Таким образом, для 0,75 числитель равен 75, а подразумеваемый знаменатель равен 10 во второй степени, а именно 100, поскольку справа от десятичного разделителя есть две цифры. В десятичных числах больше 1 (например, 3,75) дробная часть числа выражается цифрами справа от десятичной дроби (в данном случае со значением 0,75). 3,75 можно записать либо в виде неправильной дроби 375/100, либо в виде смешанного числа . ${\displaystyle 3{\tfrac {75}{100}}}$

Десятичные дроби также можно выразить с использованием научных обозначений с отрицательными показателями, например:6,023 × 10 ^-7 , что соответствует 0,0000006023. 10 ⁻⁷ представляет собой знаменатель10 ⁷ . Деление на10 ⁷ перемещает десятичную точку на 7 позиций влево.

Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд . Например,1/3= 0,333... представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ....

Другой вид дроби — процентная (от латинского per centum , что означает «на сто», обозначается символом %), в которой подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51% означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311% равно 311/100, а -27% равно -27/100.

Соответствующее понятие промилле или частей на тысячу (ppt) имеет подразумеваемый знаменатель 1000, в то время как более общее обозначение частей на миллион , например, 75 частей на миллион (ppt), означает, что пропорция составляет 75/1 000 000.

Использование обыкновенных или десятичных дробей часто зависит от вкуса и контекста. Обыкновенные дроби используются чаще всего, когда знаменатель относительно мал. При мысленном подсчёте легче умножить 16 на 3/16, чем делать то же самое вычисление, используя десятичный эквивалент дроби (0,1875). И точнее, например , умножить 15 на 1/3, чем умножить 15 на любое десятичное приближение к одной трети. Денежные значения обычно выражаются десятичными дробями со знаменателем 100, т. е. с двумя десятичными знаками, например 3,75 доллара США. Однако, как отмечалось выше, в додесятичной британской валюте шиллингам и пенсам часто придавалась форма (но не значение) дроби, как, например, «3/6» (читай «три и шесть»), означающее 3 шиллинга и 6 пенсов, и не имеющие никакого отношения к дроби 3/6.

Смешанные числа

Смешанное число (также называемое смешанной дробью или смешанным числом ) — это сумма ненулевого целого числа и правильной дроби, традиционно записываемая путем сопоставления (или конкатенации ) двух частей без использования промежуточного плюса (+) или знак минус (-). Когда дробь написана горизонтально, между целым числом и дробью добавляется пробел для их разделения.

В качестве базового примера два целых торта и три четверти другого торта могут быть записаны как торты или пирожные, при этом цифра обозначает целые торты, а дробь представляет дополнительную часть торта, сопоставляемую рядом; это более кратко, чем более явные обозначения тортов. Смешанное число произносится как «две и три четверти», при этом целая и дробная части соединяются словом и . ^[18] Вычитание или отрицание применяется ко всему смешанному числительному, что означает ${\displaystyle 2{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle 2\ \,3/4}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle 2{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle -2{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle -{\bigl (}2+{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.}$

Любое смешанное число можно преобразовать в неправильную дробь , применив правила сложения разнородных величин. Например, и наоборот, неправильную дробь можно преобразовать в смешанное число с помощью деления с остатком , при этом правильная дробь состоит из остатка, разделенного на делитель. Например, поскольку 4 дважды входит в 11, а 3 остается, ${\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {11}{4}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {11}{4}}=2+{\tfrac {3}{4}}.}$

В начальной школе учителя часто настаивают на том, чтобы каждый дробный результат выражался в виде смешанного числа. ^[19] За пределами школы для описания измерений обычно используются смешанные числа, например часы или дюймы , и они по-прежнему широко распространены в повседневной жизни и в профессиях, особенно в регионах, где не используется десятичная метрическая система . Однако в научных измерениях обычно используется метрическая система, основанная на десятичных дробях, и, начиная с уровня средней школы, математическая педагогика единообразно трактует каждую дробь как рациональное число , частное целых чисел, оставляя позади понятия «неправильной дроби». и «смешанное число». ^[20] Студенты колледжей с многолетним математическим образованием иногда сбиваются с толку, встречая смешанные числа, потому что они привыкли к соглашению, что сопоставление в алгебраических выражениях означает умножение. ^[21] ${\displaystyle 2{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 5\ 3/16}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$

Исторические представления

Египетская фракция

Египетская дробь представляет собой сумму различных дробей положительных единиц, например . Это определение вытекает из того факта, что древние египтяне выражали все дроби, кроме , и именно таким образом. Каждое положительное рациональное число можно разложить в египетскую дробь. Например, можно записать как Любое положительное рациональное число можно записать в виде суммы единичных дробей бесконечным множеством способов. Два способа записи : и . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {13}{17}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}}$

Сложные и составные фракции

В сложной дроби либо числитель, либо знаменатель, либо и то, и другое является дробью или смешанным числом, ^{[22] [23]} соответствующим делению дробей. Например, и – сложные дроби. Чтобы свести сложную дробь к простой, рассматривайте самую длинную линию дроби как деление. Например: ${\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}}$ ${\displaystyle {\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}}$

${\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {3}{1}}={\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}=12{\tfrac {3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {12\cdot 4+3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{104}}}$

${\displaystyle {\frac {\tfrac {3}{2}}{5}}={\tfrac {3}{2}}\times {\tfrac {1}{5}}={\tfrac {3}{10}}}$

${\displaystyle {\frac {8}{\tfrac {1}{3}}}=8\times {\tfrac {3}{1}}=24.}$

Если в сложной дроби нет однозначного способа определить, какие строки дроби имеют приоритет, то это выражение формируется неправильно из-за неоднозначности. Таким образом, 5/10/20/40 не является корректным математическим выражением из-за множества возможных интерпретаций, например:

${\displaystyle 5/(10/(20/40))={\frac {5}{10/{\tfrac {20}{40}}}}={\frac {1}{4}}\quad }$или как ${\displaystyle \quad (5/10)/(20/40)={\frac {\tfrac {5}{10}}{\tfrac {20}{40}}}=1}$

Сложная дробь — это часть дроби или любое количество дробей, связанных со словом , [ ^{22] [23]} , соответствующих умножению дробей. Чтобы свести сложную дробь к простой, достаточно выполнить умножение (см. раздел умножение). Например, of — сложная дробь, соответствующая . Термины «сложная дробь» и «комплексная дробь» тесно связаны, и иногда один используется как синоним другого. (Например, сложная дробь эквивалентна сложной дроби .) ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3/4}{7/5}}}$

Тем не менее, «сложная дробь» и «сложная дробь» могут считаться устаревшими ^[24] и в настоящее время не использоваться четко определенным образом, частично даже воспринимаясь как синонимы друг друга ^[25] или для смешанных числительных. ^[26] Они утратили свое значение как технические термины, а атрибуты «сложный» и «составной», как правило, используются в их повседневном значении «состоящий из частей».

Арифметика с дробями

Как и целые числа, дроби подчиняются коммутативным , ассоциативным и распределительным законам, а также правилу против деления на ноль .

Арифметика смешанных чисел может выполняться либо путем преобразования каждого смешанного числа в неправильную дробь, либо путем рассмотрения каждого из них как суммы целых и дробных частей.

Эквивалентные дроби

Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же (ненулевое) число дает дробь, эквивалентную исходной дроби. Это верно, потому что для любого ненулевого числа дробь равна . Следовательно, умножение на — это то же самое, что умножение на единицу, и любое число, умноженное на единицу, имеет то же значение, что и исходное число. В качестве примера начнем с дроби . Когда числитель и знаменатель умножаются на 2, результатом будет , который имеет то же значение (0,5), что и . Чтобы представить это визуально, представьте, что вы разрезаете торт на четыре части; два куска вместе ( ) составляют половину торта ( ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Упрощение (сокращение) дробей

Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число дает эквивалентную дробь: если числитель и знаменатель дроби делятся на число (называемое множителем), большее 1, то дробь можно уменьшить. к эквивалентной дроби с меньшим числителем и меньшим знаменателем. Например, если и числитель, и знаменатель дроби делятся на , то их можно записать как и, а дробь становится , которую можно уменьшить, разделив числитель и знаменатель на, чтобы получить уменьшенную дробь. ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle a=cd}$ ${\displaystyle b=ce,}$ ${\displaystyle {\tfrac {cd}{ce}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\tfrac {d}{e}}.}$

Если взять за c наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получится эквивалентная дробь, числитель и знаменатель которой имеют наименьшие абсолютные значения . Говорят, что дробь сократилась до наименьшего размера .

Если в числителе и знаменателе нет общего делителя, превышающего 1, дробь уже сокращается до наименьших членов, и ее называют несократимой , приведенной или , проще говоря, неприводимой . Например, это не в наименьших выражениях, потому что и 3, и 9 можно точно разделить на 3. Напротив, это в наименьших выражениях: единственное положительное целое число, которое равномерно входит и в 3, и в 8, — это 1. ${\displaystyle {\tfrac {3}{9}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$

Используя эти правила, мы можем , например, показать, что . ${\displaystyle {\tfrac {5}{10}}={\tfrac {1}{2}}={\tfrac {10}{20}}={\tfrac {50}{100}}}$

Другой пример: поскольку наибольший общий делитель чисел 63 и 462 равен 21, дробь можно сократить до наименьших членов, разделив числитель и знаменатель на 21: ${\displaystyle {\tfrac {63}{462}}}$

${\displaystyle {\tfrac {63}{462}}={\tfrac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}}={\tfrac {3}{22}}}$

Алгоритм Евклида дает метод нахождения наибольшего общего делителя любых двух целых чисел.

Сравнение дробей

Сравнение дробей с одинаковым положительным знаменателем дает тот же результат, что и сравнение числителей:

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}}$потому что 3 > 2 и равные знаменатели положительны. ${\displaystyle 4}$

Если равные знаменатели отрицательны, то для дробей справедлив противоположный результат сравнения числителей:

${\displaystyle {\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ because }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ and }}-3<-2.}$

Если две положительные дроби имеют одинаковый числитель, то большее число будет та дробь, у которой знаменатель меньше. Когда целое разделено на равные части, и если для составления целого необходимо меньшее количество равных частей, то каждая часть должна быть больше. Когда две положительные дроби имеют одинаковый числитель, они представляют одинаковое количество частей, но в дроби с меньшим знаменателем части больше.

Один из способов сравнения дробей с разными числителями и знаменателями — найти общий знаменатель. Для сравнения и они преобразуются в и (где точка означает умножение и является альтернативой символу ×). Тогда bd — общий знаменатель и числители ad и bc можно сравнить. Для сравнения дробей не обязательно определять значение общего знаменателя – можно просто сравнить ad и bc , не вычисляя bd , например, сравнивая  ? дает . ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}}$

Для более трудоемкого вопроса  ? умножьте верхнюю и нижнюю часть каждой дроби на знаменатель другой дроби, чтобы получить общий знаменатель, что даст  ? . Вычислять не обязательно – нужно лишь сравнить числители. Поскольку 5×17 (= 85) больше, чем 4×18 (= 72), результат сравнения равен . ${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{17}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}}$ ${\displaystyle 18\times 17}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}}$

Поскольку каждое отрицательное число, включая отрицательные дроби, меньше нуля, а каждое положительное число, включая положительные дроби, больше нуля, отсюда следует, что любая отрицательная дробь меньше любой положительной дроби. Это позволяет вместе с приведенными выше правилами сравнивать все возможные дроби.

Добавление

Первое правило сложения состоит в том, что можно складывать только одинаковые количества; например, различное количество четвертаков. Отличия от величин, такие как прибавление третей к четвертям, необходимо сначала преобразовать в аналогичные величины, как описано ниже: Представьте себе карман, содержащий две четверти, и другой карман, содержащий три четверти; всего пять кварталов. Поскольку четыре четвертака эквивалентны одному (доллару), это можно представить следующим образом:

${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}}$.

Если к торту нужно добавить торт, кусочки необходимо преобразовать в сопоставимые количества, например, восьмые или четверти торта. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

Добавление разных количеств

Чтобы сложить дроби, содержащие разные величины (например, четверти и трети), необходимо преобразовать все суммы в одинаковые количества. Легко определить выбранный тип дроби для преобразования; просто перемножьте два знаменателя (нижнее число) каждой дроби. В случае целого числа применить невидимый знаменатель ${\displaystyle 1.}$

Для прибавления четвертей к третям оба типа дробей преобразуются в двенадцатые, таким образом:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\ +{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}\ +{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}\ +{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.}$

Рассмотрим добавление следующих двух величин:

${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}}$

Сначала преобразуйте в пятнадцатые числа, умножив числитель и знаменатель на три: . Поскольку равно 1, умножение на не меняет значения дроби. ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}$

Во-вторых, преобразуйте в пятнадцатые числа, умножив числитель и знаменатель на пять: . ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}}$

Теперь видно, что:

${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}}$

эквивалентно:

${\displaystyle {\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}}$

Этот метод можно выразить алгебраически:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}}$

Этот алгебраический метод работает всегда, гарантируя тем самым, что сумма простых дробей снова всегда будет простой дробью. Однако если отдельные знаменатели содержат общий множитель, можно использовать знаменатель, меньший, чем их произведение. Например, при сложении и единичные знаменатели имеют общий множитель и поэтому вместо знаменателя 24 (4×6) можно использовать половинный знаменатель 12, уменьшая не только знаменатель в результате, но и множители в результате. числитель. ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}$ ${\displaystyle 2,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&={\frac {19}{12}}\\&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\frac {10}{12}}&={\frac {19}{12}}\end{aligned}}}$

Наименьший возможный знаменатель определяется наименьшим общим кратным отдельных знаменателей, которое получается в результате деления механического кратного на все общие делители отдельных знаменателей. Это называется наименьшим общим знаменателем.

Вычитание

Процесс вычитания дробей, по сути, такой же, как и процесс их сложения: найдите общий знаменатель и замените каждую дробь эквивалентной дробью с выбранным общим знаменателем. Полученная дробь будет иметь этот знаменатель, а ее числитель будет результатом вычитания числителей исходных дробей. Например,

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}}$

Чтобы вычесть смешанное число, из уменьшаемого можно позаимствовать лишнее, например

${\displaystyle 4-2{\tfrac {3}{4}}=(4-2-1)+{\bigl (}1-{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}=1{\tfrac {1}{4}}.}$

Умножение

Умножение дроби на другую дробь

Чтобы умножить дроби, умножьте числители и умножьте знаменатели. Таким образом:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {6}{12}}}$

Чтобы объяснить этот процесс, рассмотрим одну треть четверти. На примере торта: если три маленьких ломтика одинакового размера составляют четверть, а четыре четверти составляют целое, то двенадцать таких маленьких равных ломтиков составляют целое. Следовательно, треть четверти — это двенадцатая. Теперь рассмотрим числители. Первая фракция, две трети, в два раза больше одной трети. Поскольку одна треть четверти равна одной двенадцатой, две трети четверти равны двум двенадцатым. Вторая дробь, три четверти, в три раза больше одной четверти, поэтому две трети трех четвертей в три раза больше, чем две трети одной четверти. Таким образом, две трети умножить на три четверти — это шесть двенадцатых.

Короткий путь умножения дробей называется «отменой». Фактически ответ сводится к наименьшим членам во время умножения. Например:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {{\cancel {2}}^{~1}}{{\cancel {3}}^{~1}}}\times {\frac {{\cancel {3}}^{~1}}{{\cancel {4}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}$

Двойка является общим делителем как в числителе левой дроби, так и в знаменателе правой, и делится на обе дроби. Три — это общий делитель левого знаменателя и правого числителя, который делится на оба.

Умножение дроби на целое число

Поскольку целое число можно переписать, разделив его на 1, можно применить обычные правила умножения дробей.

${\displaystyle 6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}}$

Этот метод работает, поскольку дробь 6/1 означает шесть равных частей, каждая из которых является целым.

Умножение смешанных чисел

При умножении смешанных чисел считается предпочтительным преобразовать смешанное число в неправильную дробь. ^[27] Например:

${\displaystyle 3\times 2{\frac {3}{4}}=3\times \left({\frac {8}{4}}+{\frac {3}{4}}\right)=3\times {\frac {11}{4}}={\frac {33}{4}}={\frac {32}{4}}+{\frac {1}{4}}=8{\frac {1}{4}}}$

С другой стороны, смешанные числа можно умножать, применяя распределительное свойство. В этом примере

${\displaystyle 3\times 2{\frac {3}{4}}=3\times 2+3\times {\frac {3}{4}}=6+{\frac {9}{4}}=6+2{\frac {1}{4}}=8{\frac {1}{4}}.}$

Разделение

Чтобы разделить дробь на целое число, можно либо разделить числитель на число, если оно входит в числитель равномерно, либо умножить знаменатель на число. Например, равно , а также равно , что сводится к . Чтобы разделить число на дробь, умножьте это число на обратную величину этой дроби. Таким образом, . ${\displaystyle {\tfrac {10}{3}}\div 5}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}}$

Преобразование десятичных дробей в дроби

Чтобы превратить обыкновенную дробь в десятичную, выполните длинное деление десятичных представлений числителя на знаменатель (это идиоматически также формулируется как «разделить знаменатель на числитель») и округлите ответ до желаемой точности. Например, изменить1/4до десятичной дроби, разделить1.00 от4 ("4 в1,00 »), чтобы получить0,25 . Изменить1/3до десятичной дроби, разделить1.000... по3 ("3 в1.000... ») и остановиться, когда будет достигнута желаемая точность, например, при4 десятичных знака с0,3333 . Фракция1/4можно записать ровно с двумя десятичными цифрами, а дробь1/3не может быть записано в точном виде десятичной дроби с конечным числом цифр. Чтобы превратить десятичную дробь в дробь, в знаменателе запишите а.1 , за которым следует столько нулей, сколько цифр справа от десятичной точки, и запишите в числителе все цифры исходной десятичной дроби, опуская десятичную точку. Таким образом ${\displaystyle 12.3456={\tfrac {123456}{10000}}.}$

Преобразование повторяющихся десятичных дробей в дроби

Десятичные числа, хотя, возможно, и более полезны для работы при выполнении вычислений, иногда им не хватает точности, которую имеют обыкновенные дроби. Иногда для достижения той же точности требуется бесконечное повторяющееся десятичное число . Таким образом, часто бывает полезно преобразовать повторяющиеся десятичные дроби в дроби.

Обычный способ указать повторяющуюся десятичную дробь — поместить черту (известную как винкулум ) над повторяющимися цифрами, например 0. 789 = 0,789789789... Для повторяющихся шаблонов, которые начинаются сразу после десятичной точки, результат преобразование — это дробь с образцом в числителе и одинаковым количеством девяток в знаменателе. Например:

0,5 = 5/9

0,62 = 62/99

0. 264 = 264/999

0. 6291 = 6291/9999

Если перед шаблоном стоят ведущие нули , к девяткам добавляется такое же количество конечных нулей :

0,0 5 = 5/90

0,000 392 = 392/999000

0,00 12 = 12/9900

Если шаблону предшествует неповторяющийся набор десятичных знаков (например, 0,1523 987 ), можно записать число как сумму неповторяющейся и повторяющейся частей соответственно:

0,1523 + 0,0000 987

Затем преобразуйте обе части в дроби и сложите их описанными выше методами:

1523/10000 + 987/9990000 = 1522464/9990000

В качестве альтернативы можно использовать алгебру, как показано ниже:

1. Пусть x = повторяющаяся десятичная дробь:

   х = 0,1523 987

2. Умножьте обе части на степень 10, достаточную (в данном случае 10 ⁴ ), чтобы переместить десятичную точку непосредственно перед повторяющейся частью десятичного числа:

   10 000 х = 1523. 987

3. Умножьте обе части на степень 10 (в данном случае 10 ³ ), которая равна количеству повторяющихся мест:

   10 000 000 х = 1 523 987. 987

4. Вычтите два уравнения друг из друга (если a = b и c = d , то a - c = b - d ):

   10 000 000 х − 10 000 х = 1 523 987. 987 − 1523. 987

5. Продолжите операцию вычитания, чтобы очистить повторяющуюся десятичную дробь:

   9 990 000 х = 1 523 987 − 1 523

   9 990 000 х = 1 522 464

6. Разделите обе части на 9 990 000, чтобы представить x как дробь.

   х =1522464/9990000

Дроби в абстрактной математике

Помимо большого практического значения, дроби также изучаются математиками, которые проверяют, что приведенные выше правила для дробей непротиворечивы и надежны . Математики определяют дробь как упорядоченную пару целых чисел , для которой операции сложения , вычитания , умножения и деления определяются следующим образом: ^[28] ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b\neq 0,}$

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,}$

${\displaystyle (a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,}$

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)}$

${\displaystyle (a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{with, additionally, }}c\neq 0)}$

Эти определения во всех случаях согласуются с определениями, данными выше; только обозначения другие. В качестве альтернативы, вместо определения вычитания и деления как операций, «обратные» дроби по отношению к сложению и умножению можно определить как:

${\displaystyle {\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additive inverse fractions,}}\\&&&{\text{with }}(0,b){\text{ as additive unities, and}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{multiplicative inverse fractions, for }}a\neq 0,\\&&&{\text{with }}(b,b){\text{ as multiplicative unities}}.\end{aligned}}}$

Кроме того, отношение , заданное как

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,}$

является отношением эквивалентности дробей. Каждую дробь одного класса эквивалентности можно рассматривать как представителя всего класса, а каждый целый класс можно рассматривать как одну абстрактную дробь. Эта эквивалентность сохраняется за счет определенных выше операций, т. е. результаты действий над дробями не зависят от выбора представителей из их класса эквивалентности. Формально для сложения дробей

${\displaystyle (a,b)\sim (a',b')\quad }$и подразумевать ${\displaystyle \quad (c,d)\sim (c',d')\quad }$

${\displaystyle ((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))}$

и аналогично для остальных операций.

В случае дробей целых чисел дробиа/бс a и b взаимно простыми и b > 0 часто считаются однозначно определенными представителями их эквивалентных дробей, которые считаются одним и тем же рациональным числом. Таким образом, дроби целых чисел составляют поле рациональных чисел.

В более общем смысле a и b могут быть элементами любой области целостности R , и в этом случае дробь является элементом поля дробей R. Например, многочлены от одной неопределенной, с коэффициентами из некоторой области целостности D , сами являются областью целостности, назовем ее P. Таким образом, для элементов a и b из P сгенерированное поле дробей является полем рациональных дробей (также известным как поле рациональных функций ).

Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь — это указанное частное двух алгебраических выражений . Как и в случае с целыми дробями, знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю. Двумя примерами алгебраических дробей являются и . Алгебраические дроби подчиняются тем же свойствам поля , что и арифметические дроби. ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

Если числитель и знаменатель являются полиномами , как в , алгебраическая дробь называется рациональной дробью (или рациональным выражением ). Иррациональная дробь — это дробь, которая не является рациональной, как, например, та, которая содержит переменную под дробным показателем или корнем, как в . ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

Терминология, используемая для описания алгебраических дробей, аналогична терминологии, используемой для описания обыкновенных дробей. Например, алгебраическая дробь является наименьшей, если единственные множители, общие для числителя и знаменателя, - это 1 и -1. Алгебраическая дробь, числитель или знаменатель которого (или оба) содержат дробь, например , называется комплексной дробью . ${\displaystyle {\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}}$

Поле рациональных чисел — это поле дробных целых чисел, а сами целые числа — это не поле, а область целого числа . Аналогично, рациональные дроби с коэффициентами в поле образуют поле дробей многочленов с коэффициентами в этом поле. Рассматривая рациональные дроби с действительными коэффициентами, радикальные выражения , представляющие числа, такие как также являются рациональными дробями, как и трансцендентные числа , такие как все из и являются действительными числами , и, таким образом, считаются коэффициентами. Однако эти же числа не являются рациональными дробями с целыми коэффициентами. ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}/2,}$ ${\textstyle \pi /2,}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},\pi ,}$ ${\displaystyle 2}$

Термин «частная дробь» используется при разложении рациональных дробей на суммы более простых дробей. Например, рациональную дробь можно разложить как сумму двух дробей: это полезно для вычисления первообразных рациональных функций ( подробнее см. Разложение частичных дробей ). ${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}.}$

Радикальные выражения

Дробь также может содержать радикалы в числителе или знаменателе. Если знаменатель содержит радикалы, может быть полезно его рационализировать (сравнить Упрощенную форму радикального выражения ), особенно если необходимо выполнить дальнейшие операции, такие как добавление или сравнение этой дроби с другой. Также удобнее, если деление будет производиться вручную. Когда знаменатель представляет собой одночленный квадратный корень, его можно рационализировать, умножив верхнюю и нижнюю часть дроби на знаменатель:

${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}}$

Процесс рационализации биномиальных знаменателей включает в себя умножение верхней и нижней части дроби на сопряженное знаменателю так, чтобы знаменатель стал рациональным числом. Например:

${\displaystyle {\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}}}$

${\displaystyle {\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}}$

Даже если этот процесс приводит к тому, что числитель становится иррациональным, как в примерах выше, этот процесс все равно может облегчить последующие манипуляции за счет уменьшения количества иррациональных чисел, с которыми приходится работать в знаменателе.

Типографские вариации

В компьютерных дисплеях и типографике простые дроби иногда печатаются как один символ, например ½ ( половина ). Дополнительную информацию о том, как сделать это в Юникоде, см. в статье « Числовые формы» .

В научных публикациях выделяются четыре способа задания дробей вместе с рекомендациями по их использованию: ^[29]

• Специальные дроби : дроби, которые представлены в виде одного символа с наклонной полосой, примерно той же высоты и ширины, что и другие символы в тексте. Обычно используется для простых дробей, таких как: ½, ⅓, ⅔, ¼ и ¾. Поскольку цифры меньше, читаемость может быть проблемой, особенно для шрифтов небольшого размера. Они используются не в современных математических обозначениях, а в других контекстах.
• Дроби регистра : подобно специальным дробям, они отображаются как один типографский символ, но с горизонтальной полосой, что делает их вертикальными . Примером может быть , но отображаемый с той же высотой, что и другие символы. Некоторые источники включают все дроби в виде регистровых дробей , если они занимают только одно типографское пространство, независимо от направления полосы. ^[30] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
• Дроби шиллинга или солидуса : 1/2, названные так потому, что это обозначение использовалось для обозначения британской валюты до десятичной дроби ( фунтов стерлингов ), например, «2/6» для половины кроны , что означает два шиллинга и шесть пенсов. Хотя обозначение «два шиллинга и шесть пенсов» не обозначало дробь, косая черта теперь используется в дробях, особенно для дробей, встроенных в прозу (а не отображаемых), чтобы избежать неровных строк. Он также используется для дробей внутри дробей (сложных дробей) или внутри показателей для повышения разборчивости. Дроби, написанные таким образом, также известные как штучные дроби , ^[31] пишутся все на одной типографской строке, но занимают 3 или более типографских пробела.
• Застроенные дроби : . В этой нотации используются две или более строки обычного текста, что приводит к изменению интервала между строками при включении в другой текст. Несмотря на то, что они большие и разборчивые, они могут мешать работе, особенно для простых дробей или внутри сложных дробей. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

История

Самые ранние дроби были обратными целым числам : древние символы, обозначающие одну часть двух, одну часть трех, одну часть четырех и так далее. ^[32] Египтяне использовали египетские дроби c.  1000  г. до н.э. Около 4000 лет назад египтяне делили дроби немного другими методами. Они использовали наименьшие общие кратные с единичными дробями . Их методы дали тот же ответ, что и современные методы. ^[33] У египтян также были другие обозначения двоичных дробей в « Деревянной табличке Ахмима» и в нескольких задачах «Математического папируса Ринда» . ^{[ нужна цитата ]}

Греки использовали единичные дроби и (позже) непрерывные дроби . Последователи греческого философа Пифагора ( ок.  530 г. до н .  э.) обнаружили, что квадратный корень из двух не может быть выражен в виде дроби целого числа . (Это обычно, хотя, вероятно, ошибочно, приписывают Гиппасу из Метапонта , который, как говорят, был казнен за раскрытие этого факта.) В 150 г. до н.э. джайнские математики в Индии написали « Стананга-сутру », содержащую работы по теории чисел, операции и операции с дробями.

Современное выражение дробей, известное как бхиннараси , ^по -видимому, зародилось в Индии в работах ^{Арьябхатты} ( ок .  500 г. н. э. ) , ^{Брахмагупты} ( ок.  628 г. ) и Бхаскары ( ок.  1150 г. ). ^[34] Их работы образуют дроби, помещая числители ( санскрит : амса ) над знаменателями ( чеда ), но без перемычки между ними. ^[34] В санскритской литературе дроби всегда выражались как прибавление к целому числу или вычитание из него. ^{[ нужна цитация ]} Целое число было записано в одной строке, а дробь, состоящая из двух частей, в следующей строке. Если дробь отмечена маленьким кружком ⟨०⟩ или крестиком ⟨+⟩ , она вычитается из целого числа; если такой знак не появляется, считается, что он добавлен. Например, Бхаскара I пишет: ^[35]

६ १ २

१ १ १ _०

४ ५ ९

что эквивалентно

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

и будет записано в современных обозначениях как 61/4, 11/5, и 2 — 1/9(т.е. 18/9).

Горизонтальная дробная черта впервые засвидетельствована в работе Аль-Хассара ( эт.  1200 ), ^[34] мусульманского математика из Феса , Марокко , который специализировался на исламской юриспруденции наследования . В своем рассуждении он пишет: «Например, если вам велят написать три пятых и треть пятой, напишите так ». ^[36] То же самое дробное обозначение — с дробью, указанной перед целым числом ^[34] — появляется вскоре после этого в работах Леонардо Фибоначчи в 13 веке. ^[37] ${\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}$

Обсуждая происхождение десятичных дробей , Дирк Ян Струик утверждает: ^[38]

Введение десятичных дробей как общепринятой вычислительной практики можно отнести к фламандской брошюре De Thiende , опубликованной в Лейдене в 1585 году вместе с французским переводом La Disme фламандского математика Саймона Стевина (1548–1620), тогда оседлого в Северных Нидерландах . Это правда, что десятичные дроби использовались китайцами за много веков до Стевина, и что персидский астроном Аль-Каши с большой легкостью использовал как десятичные, так и шестидесятеричные дроби в своем «Ключе к арифметике» ( Самарканд , начало пятнадцатого века). ^[39]

В то время как персидский математик Джамшид аль-Каши утверждал, что сам открыл десятичные дроби в 15 веке, Дж. Леннарт Берггрен отмечает, что он ошибался, поскольку десятичные дроби были впервые использованы за пять столетий до него багдадским математиком Абуль -Хасаном аль-Каши. -Уклидиси еще в 10 веке. ^{[40] [n 2]}

Неформальное обучение

Педагогические инструменты

В начальных школах дроби демонстрировались с помощью стержней Куизенера , брусков дроби, полосок дробей, кругов дробей, бумаги (для складывания или вырезания), блоков с узорами , кусочков в форме пирога, пластиковых прямоугольников, сетки, бумаги для точек, геобордов , счетчиков и компьютерное программное обеспечение.

Документы для учителей

Несколько штатов США приняли траектории обучения из рекомендаций Common Core State Standards Initiative для математического образования. Помимо последовательности изучения дробей и операций с дробями, в документе дается следующее определение дроби: «Число, выражаемое в виде ${\displaystyle a}$/ ${\displaystyle b}$где – целое число, а – положительное целое число. (Слово дробь в этих стандартах всегда относится к неотрицательному числу.)» ^[42] В самом документе также упоминаются отрицательные дроби. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Смотрите также

• Перекрестное умножение
• 0,999...
• Несколько
• ФРАКТРАН

Примечания

1. Некоторые типографы, такие как Брингхерст, ошибочно различают косую черту ⟨ / ⟩ как косую черту , а дробную косую черту ⟨ ⁄ ⟩ как солидус , ^[6] хотя на самом деле обе они являются синонимами стандартной косой черты. ^{[7] [8]}
2. Хотя среди ученых-математиков существуют некоторые разногласия относительно первичности вклада аль-Уклидиси, нет никаких сомнений относительно его основного вклада в концепцию десятичных дробей. ^[41]

Рекомендации

Вайсштейн, Эрик (2003). «Краткая математическая энциклопедия CRC, второе издание». CRC Краткая математическая энциклопедия . Чепмен и Холл/CRC. п. 1925. ISBN 1-58488-347-2.

1. Х. Ву, «Неправильное образование учителей математики», Уведомления Американского математического общества , том 58, выпуск 03 (март 2011 г.), стр. 374. Архивировано 20 августа 2017 г. в Wayback Machine .
2. Шварцман, Стивен (1994). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке . Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-511-9.
3. «Дроби». www.mathsisfun.com . Проверено 27 августа 2020 г.
4. Амброуз, Гэвин; и другие. (2006). Основы типографики (2-е изд.). Лозанна: Издательство AVA. п. 74. ИСБН 978-2-940411-76-4. Архивировано из оригинала 4 марта 2016 г. Проверено 20 февраля 2016 г..
5. Каджори (1928), «275. Солид», стр. 312–314.
6. Брингхерст, Роберт (2002). «5.2.5: Используйте Вергулу со словами и датами, Солидус с дробями разделенного уровня». Элементы типографского стиля (3-е изд.). Пойнт Робертс : Хартли и Маркс. стр. 81–82. ISBN 978-0-88179-206-5.
7. "virgule, н. " Оксфордский словарь английского языка (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. 1917.
8. "солидус, п. ¹ ". Оксфордский словарь английского языка (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. 1913.
9. Пасхальный день, Кеннет Э. (зима 1982 г.). «Сто пятьдесят лет пошлых дробей». Современное образование . 53 (2): 83–88. ПроКвест  1291644250.
10. Дэвид Э. Смит (1 июня 1958 г.). История математики. Курьерская корпорация. п. 219. ИСБН 978-0-486-20430-7.
11. Перри, Оуэн; Перри, Джойс (1981). «Глава 2: Обыкновенные дроби». Математика И. Пэлгрейв Макмиллан, Великобритания. стр. 13–25. дои : 10.1007/978-1-349-05230-1_2.
12. Джек Уильямс (19 ноября 2011 г.). Роберт Рекорд: Тюдорский эрудит, толкователь и практик вычислений. Springer Science & Business Media. стр. 87–. ISBN 978-0-85729-862-1.
13. Запись, Роберт (1654). Арифметика Рекорда: Или Основа искусств: Обучение безупречной работе и практике арифметики... Сделано г-ном Робертом Рекордом... Впоследствии дополнено г-ном Джоном Ди. И поскольку дополнено третьей частью Правил практики... Джона Меллиса. А теперь прилежно прочитано, исправлено... и увеличено; с приложением образных чисел... с таблицами мер досок и лесоматериалов... первое рассчитано РЦ, но исправлено, а последнее... рассчитано Ро. Хартвелл... Джеймс Флешер, и их должен продать Эдвард Дод. стр. 266–.
14. Лорел (31 марта 2004 г.). «Математический форум - спросите доктора математики: могут ли отрицательные дроби быть правильными или неправильными?». Архивировано из оригинала 9 ноября 2014 года . Проверено 30 октября 2014 г.
15. "Компактные математические ресурсы Новой Англии" . Архивировано из оригинала 15 апреля 2012 г. Проверено 31 декабря 2011 г.
16. Грир, А. (1986). Новая комплексная математика для уровня «О» (2-е изд., переиздание). Челтнем: Торнс. п. 5. ISBN 978-0-85950-159-0. Архивировано из оригинала 19 января 2019 г. Проверено 29 июля 2014 г.
17. Келли, В. Майкл (2004). Полное руководство идиота по алгебре. Пингвин. п. 25. ISBN 9781592571611.
18. Вингард-Нельсон, Ребекка (2014). Готов к дробям и десятичным знакам . Энслоу. п. 14. ISBN 978-0-7660-4247-6. Когда вы читаете вслух смешанное число, вы произносите целое число, слово и затем дробь. Смешанное число читается как два и одна четвертая . ${\displaystyle 2{\tfrac {1}{4}}}$
19. Ву, Хун-Си (2011). Понимание чисел в математике начальной школы . Американское математическое общество. §14.3 Смешанные числа, стр. 225–227. ISBN 978-0-8218-5260-6.
20. Гардинер, Тони (2016). Преподавание математики в средней школе . Серия ОБП по математике. Открытое книжное издательство. п. 89. дои : 10.11647/ОБП.0071 . ISBN 9781783741373.
21. Ли, Мэри А; Месснер, Шелли Дж. (2000). «Анализ конкатенаций и порядка операций в письменной математике». Школьная наука и математика . 100 (4): 173–180. doi :10.1111/j.1949-8594.2000.tb17254.x. ProQuest  195210281. Студенты колледжа имеют многолетний опыт обучения в средней школе и, возможно, в колледже, в котором умножение было подразумеваемой операцией при конкатенации, например, с небольшим опытом работы в классе со смешанными числами, так что к ним, возвращаясь к формам смешанных чисел, они применяются их недавние знания об умножении как подразумеваемой операции конкатенации в «новой» ситуации смешанных чисел. ${\displaystyle 4x,}$
22. Троттер, Джеймс (1853). Полная система арифметики. п. 65.
23. Барлоу, Питер (1814). Новый математическо-философский словарь.
24. «сложная дробь». Словарь английского языка Коллинза . Архивировано из оригинала 1 декабря 2017 г. Проверено 29 августа 2022 г.
25. «Определение и значение сложной дроби» . Словарь английского языка Коллинза . 09.03.2018. Архивировано из оригинала 1 декабря 2017 г. Проверено 13 марта 2018 г.
26. «Сложные дроби». Сосмат.com. 5 февраля 1996 г. Архивировано из оригинала 14 марта 2018 г. Проверено 13 марта 2018 г.
27. Шенборн, Барри; Симкинс, Брэдли (2010). «8. Веселье с дробями». Техническая математика для чайников . Хобокен: Wiley Publishing Inc., с. 120. ИСБН 978-0-470-59874-0. OCLC  719886424 . Проверено 28 сентября 2020 г.
28. «Фракция». Энциклопедия математики. 06 апреля 2012 г. Архивировано из оригинала 21 октября 2014 г. Проверено 15 августа 2012 г.
29. Гален, Лесли Блэквелл (март 2004 г.). «Расстановка дробей на свои места» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 111 (3): 238–242. дои : 10.2307/4145131. JSTOR  4145131. Архивировано (PDF) из оригинала 13 июля 2011 г. Проверено 27 января 2010 г.
30. "построенная фракция" . глоссарий allbusiness.com. Архивировано из оригинала 26 мая 2013 г. Проверено 18 июня 2013 г.
31. "штучная дробь" . глоссарий allbusiness.com. Архивировано из оригинала 21 мая 2013 г. Проверено 18 июня 2013 г.
32. Ивс, Ховард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Филадельфия: Паб Saunders College. ISBN 978-0-03-029558-4.
33. Винклер, Питер (2004). «Использование предохранителей». Математические головоломки: Сборник знатоков . АК Петерс. стр. 2, 6. ISBN 1-56881-201-9.
34. Миллер, Джефф (22 декабря 2014 г.). «Самые ранние варианты использования различных математических символов». Архивировано из оригинала 20 февраля 2016 года . Проверено 15 февраля 2016 г.
35. Филлиоза, Пьер-Сильвен (2004). «Древняя санскритская математика: устная традиция и письменная литература». В Чемле, Карин ; Коэн, Роберт С.; Ренн, Юрген; и другие. (ред.). История науки, История текста . Бостонская серия по философии науки. Том. 238. Дордрехт: Springer Нидерланды . п. 152. дои : 10.1007/1-4020-2321-9_7. ISBN 978-1-4020-2320-0.
36. Каджори, Флориан (1928). История математических обозначений. Том. 1. Ла Саль, Иллинойс: Издательство Open Court. п. 269. Архивировано из оригинала 14 апреля 2014 г. Проверено 30 августа 2017 г.
37. Каджори (1928), с. 89
38. Справочник по математике 1200–1800 гг . Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. 1986. ISBN 978-0-691-02397-7.
39. Die Rechenkunst bei Ğamsīd b. Масуд аль-Каши . Висбаден: Штайнер. 1951.
40. Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Издательство Принстонского университета. п. 518. ИСБН 978-0-691-11485-9.
41. "Биография аль-Уклидиси МакТьютора" . Архивировано 15 ноября 2011 г. в Wayback Machine . Проверено 22 ноября 2011 г.
42. «Общие основные государственные стандарты по математике» (PDF) . Инициатива по общим основным государственным стандартам. 2010. с. 85. Архивировано (PDF) из оригинала 19 октября 2013 г. Проверено 10 октября 2013 г.

Внешние ссылки

• «Дробь арифметическая». Интернет-энциклопедия математики .
• "Доля". Британская энциклопедия . 5 января 2024 г.