Несократимая дробь
Натуральное число
Половина ( мн.: половины ) — это несократимая дробь, полученная в результате деления одного ( 1 ) на два ( 2 ), или дробь, полученная в результате деления любого числа на его двойное число.
Оно часто появляется в математических уравнениях , рецептах , измерениях и т. д.
Как слово Половина — одна из немногих дробей, которые в естественных языках обычно выражаются путем дополнения , а не обычного образования. В английском языке , например, сравните сложное слово «одна половина» с другими правильными формами, такими как «одна шестая».
Можно также сказать, что половина — это одна часть чего-то, разделенная на две равные части . Допустимо писать половину слова через дефис , one-half .
Математика Одна половина — это уникальное рациональное число , находящееся посередине между нулем и единицей ( которые являются элементарными аддитивными и мультипликативными тождествами ) как частное первых двух ненулевых целых чисел . Он имеет два различных десятичных представления в десятичной системе счисления , знакомое и повторяющееся , с аналогичной парой расширений в любой четной базе ; в то время как в нечетных основаниях одна половина не имеет завершающего представления, она имеет только одно представление с повторяющимся дробным компонентом (например, в троичной и пятеричной системе ). 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} 0,5 {\displaystyle 0,5} 0,4 9 ¯ {\displaystyle 0.4{\overline {9}}} 0. 1 ¯ {\displaystyle 0.{\overline {1}}} 0. 2 ¯ {\displaystyle 0.{\overline {2}}}
Умножение на половину эквивалентно делению на два или «уполовинению»; и наоборот, деление на половину эквивалентно умножению на два или «удвоению».
Квадрат со стороной один , здесь разделенный на прямоугольники , площади которых равны последовательным степеням половины . Число , возведенное в половинную степень , равно квадратному корню из , n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
n 1 2 = n . {\displaystyle n^{\tfrac {1}{2}}={\sqrt {n}}.} Характеристики Полусовершенное число — это целое положительное число с полуцелым индексом изобилия :
σ ( n ) n = k 2 , {\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}={\frac {k}{2}},} где – нечетное , – функция суммы делителей . Первые три полусовершенных числа — 2 , 24 и 4320. [1] k {\displaystyle k} σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)}
Площадь треугольника с основанием и высотой вычисляется как : T {\displaystyle T} b {\displaystyle b} h {\displaystyle h}
T = b 2 × h . {\displaystyle T={\frac {b}{2}}\times h.} Эд Пегг-младший заметил, что длина , равная почти целому числу , примерно 7,0000000857. [2] [3] d {\displaystyle d} 1 2 1 30 ( 61421 − 23 5831385 ) {\textstyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{30}}(61421-23{\sqrt {5831385}})}}} Половины цифры в формуле расчета фигурных чисел , например --го треугольного числа : n {\displaystyle n}
P 2 ( n ) = n ( n + 1 ) 2 ; {\displaystyle P_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}};} а в формуле вычисления магических констант для магических квадратов
M 2 ( n ) = n 2 ( n 2 + 1 ) . {\displaystyle M_{2}(n)={\frac {n}{2}}\left(n^{2}+1\right).} Последовательные натуральные числа дают -е металлическое среднее по уравнению: n {\displaystyle n} M {\displaystyle M}
M ( n ) = n + n 2 + 4 2 . {\displaystyle M_{(n)}={\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}.} При изучении конечных групп знакопеременные группы имеют порядок
n ! 2 . {\displaystyle {\frac {n!}{2}}.} По Эйлеру , классической формуле, включающей число pi и дающей простое выражение: [4]
π 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) ε ( n ) n = 1 + 1 2 − 1 3 + 1 4 + 1 5 − 1 6 − 1 7 + ⋯ , {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\varepsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ,{\text{ }}} где – количество простых делителей вида (см. модульная арифметика ). ε ( n ) {\displaystyle \varepsilon (n)} p ≡ 3 ( m o d 4 ) {\displaystyle p\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)} n {\displaystyle n}
Фундаментальная область модулярного j-инварианта верхней полуплоскости серым цветом ) с модульным дискриминантом и , где | τ | ≥ 1 {\displaystyle |\tau |\geq 1} − 1 2 < R ( τ ) ≤ 1 2 {\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}} − 1 2 < R ( τ ) < 0 ⇒ | τ | > 1. {\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1.} Для гамма-функции нецелый аргумент , равный половине, дает:
Γ ( 1 2 ) = π ; {\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}})={\sqrt {\pi }};} в то время как внутри константы Апери , которая представляет собой сумму обратных величин всех положительных кубов , существует [5] [6]
ζ ( 3 ) = − 1 2 Γ ‴ ( 1 ) + 3 2 Γ ′ ( 1 ) Γ ″ ( 1 ) − ( Γ ′ ( 1 ) ) 3 = − 1 2 ψ ( 2 ) ( 1 ) ; {\displaystyle \zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big (}\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\psi ^{(2)}(1);{\text{ }}} с полигамма -функцией порядка комплексных чисел . ψ ( m ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)} m {\displaystyle m} C {\displaystyle \mathbb {C} }
Верхняя полуплоскость представляет собой набор точек декартовой плоскости с . В контексте комплексных чисел верхняя полуплоскость определяется как H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} y > 0 {\displaystyle y>0}
H := { x + i y ∣ y > 0 ; x , y ∈ R } . {\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}.} В дифференциальной геометрии это универсальное накрывающее пространство поверхностей с постоянной отрицательной гауссовой кривизной по теореме униформизации .
При равенстве числа Бернулли имеют значение . В гипотезе Римана каждый нетривиальный комплексный корень дзета -функции Римана имеет действительную часть, равную . n {\displaystyle n} 1 {\displaystyle 1} B n {\displaystyle B_{n}} ± 1 2 {\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
Компьютерные персонажи В некоторых ранних расширениях ASCII половина имеет свой собственный код под номером 171 (AB 16 ). В Unicode он имеет собственную кодовую единицу U+00BD (десятичное число 189) в блоке C1 Controls и Latin-1 Supplement, а также перекрестную ссылку в блоке Number Forms , отображаемую как ½ . [7] HTML - объект — , [8] и его запись ПК — + . [9] Число с плавающей запятой одинарной точности для ½ равно 3F000000 16 .½Alt 0 1 8 9
В пишущих машинках половина — одна из немногих дробей, обычно имеющих собственную клавишу (см. дроби ).
Смотрите также Почтовая марка, Ирландия, 1940 год: оплата за пересылку в полпенни. Рекомендации ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A159907 (Числа n с полуцелым индексом изобилия, сигма (n)/n равно k + 1/2 с целым числом k.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 июля 2023 г.^ Эд Пегг-младший (июль 2000 г.). «Комментарий к еженедельным головоломкам». Математическая головоломка . Проверено 17 августа 2023 г. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Почти целое число». MathWorld — ресурс WolframAlpha . Проверено 17 августа 2023 г. ^ Эйлер, Леонард (1748). Introductio in analysin infinitorum (на латыни). Том. 1. apud Маркум-Михаэлем Буске и социос. п. 244. ^ Евграфов, М.А.; Бежанов К.А.; Сидоров Ю.В.; Федорюк, М.В.; Шабунин, М.И. (1972). Сборник задач по теории аналитических функций (на русском языке). Москва: Наука . п. 263 (Исх. 30.10.1). ^ Блох, Спенсер; Маша, Власенко. «Гамма-функции, монодромия и константы Апери» (PDF) . Чикагский университет (статья). стр. 1–34. S2CID 126076513. ^ «Дополнение Latin-1». СИМВОЛ . Проверено 18 июля 2023 г. ^ «Ссылки на символьные объекты HTML» . СИМВОЛ . Проверено 18 июля 2023 г. ^ «Альтернативные коды». Альтернативные коды . Проверено 18 июля 2023 г.
