Фигурное число

Термин фигурное число используется разными авторами для членов различных множеств чисел, обобщая от треугольных чисел до различных форм (многоугольные числа) и различных измерений (многогранные числа). Термин может означать

многоугольное число
число, представленное в виде дискретного $r$ -мерного регулярного геометрического узора из $r$ -мерных шаров, например, многоугольное число (для $r = 2$ ) или многогранное число (для $r = 3$ ).
член подмножества множеств, указанных выше, содержащий только треугольные числа, пирамидальные числа и их аналоги в других измерениях. ^[1]

Терминология

Некоторые виды фигурных чисел обсуждались в XVI и XVII веках под названием «фигурные числа». ^[2]

В исторических трудах по греческой математике предпочтительным термином было число . ^[3]^[4]

В использовании, восходящем к «Искусству предположений » Якоба Бернулли , ^[1] термин фигурное число используется для треугольных чисел, составленных из последовательных целых чисел , тетраэдрических чисел, составленных из последовательных треугольных чисел и т. д. Они оказываются биномиальными коэффициентами . В этом использовании квадратные числа (4, 9, 16, 25, ...) не будут считаться фигурными числами, если рассматривать их как организованные в квадрат.

В ряде других источников термин фигурное число используется как синоним многоугольных чисел , либо только обычного вида, либо и тех, и других, а также центрированных многоугольных чисел . ^[5]

История

Говорят, что математическое изучение фигурных чисел началось с Пифагора , возможно, на основе вавилонских или египетских предшественников. Создание любого класса фигурных чисел, которые изучали пифагорейцы с использованием гномонов, также приписывается Пифагору. К сожалению, нет надежного источника для этих утверждений, потому что все сохранившиеся сочинения о пифагорейцах ^[6] датируются столетиями позже. ^[7] Спевсипп является самым ранним источником, изложившим точку зрения, что десять, как четвертое треугольное число, на самом деле было тетрактисом , который , как предполагалось, имел большое значение для пифагореизма . ^[8] Фигурные числа были предметом беспокойства пифагорейского мировоззрения. Было хорошо известно, что некоторые числа могут иметь множество фигураций, например, 36 является как квадратом, так и треугольником, а также различными прямоугольниками.

Современное изучение фигурных чисел восходит к Пьеру де Ферма , а именно к теореме Ферма о многоугольных числах . Позже это стало важной темой для Эйлера , который дал явную формулу для всех треугольных чисел, которые также являются полными квадратами , среди многих других открытий, связанных с фигурными числами.

Фигурные числа играют важную роль в современной развлекательной математике. ^[9] В исследовательской математике фигурные числа изучаются с помощью полиномов Эрхарта , полиномов , которые подсчитывают количество целых точек в многоугольнике или многограннике, когда он расширяется на заданный коэффициент. ^[10]

Треугольные числа и их аналоги в высших измерениях

Треугольные числа для $n = 1, 2, 3, ...$ являются результатом сопоставления линейных чисел (линейных гномонов) для $n = 1, 2, 3, ...$ :

Это биномиальные коэффициенты . Это случай $r$ $= 2$ того факта, что $r-$ я диагональ треугольника Паскаля при $r$ $\geq 0$ состоит из фигурных чисел для $r$ -мерных аналогов треугольников ( $r$ -мерных симплексов ). $\textstyle {\binom {n+1}{2}}$

Симплициальные многогранные числа для $r = 1, 2, 3, 4, ...$ следующие:

$P_{1}(n)={\frac {n}{1}}={\binom {n+0}{1}}={\binom {n}{1}}$ (линейные числа),
$P_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}={\binom {n+1}{2}}$ ( треугольные числа ),
$P_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\binom {n+2}{3}}$ ( тетраэдрические числа ),
$P_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={\binom {n+3}{4}}$ (пентахорические числа, пентатопические числа , 4-симплексные числа),

$\qquad \vdots$

$P_{r}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1)}{r!}}={\binom {n+(r-1)}{r}}$ ( $r$ - номера тем, $r$ - симплексные номера).

Термины квадратное число и кубическое число происходят от их геометрического представления в виде квадрата или куба . Разность двух положительных треугольных чисел является трапециевидным числом .

Гномон

Гномон — это деталь , добавляемая к фигурному числу для преобразования его в следующее большее число.

Например, гномоном квадратного числа является нечетное число , общего вида $2 n + 1$ , $n = 0, 1, 2, 3, ...$ . Квадрат размером 8, составленный из гномонов, выглядит так:

{\begin{matrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\2&2&3&4&5&6&7&8\\3&3&3&4&5&6&7&8\\4&4&4&4&5&6&7&8\\5&5&5&5&5&6&7&8\\6&6&6&6&6&6&7&8\\7&7&7&7&7&7&7&7&8\\8&8&8&8&8&8&8&8\end{matrix}}

Для преобразования $n$ -квадрата (квадрата размера $n$ ) в $(n + 1)$ -квадрат, нужно присоединить $2 n + 1$ элемента: по одному в конец каждой строки ( $n$ элементов), по одному в конец каждого столбца ( $n$ элементов) и один в угол. Например, при преобразовании 7-квадрата в 8-квадрат мы добавляем 15 элементов; эти присоединения — восьмерки на рисунке выше.

Этот гномонический метод также дает математическое доказательство того, что сумма первых $n$ нечетных чисел равна $n 2$ ; рисунок иллюстрирует 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8 ² .

Существует похожий гномон с расположенными по центру шестиугольными числами, которые в сумме образуют кубы каждого целого числа.

Примечания

^ ab Dickson, LE (1919). История теории чисел . Т. 2. С. 3. ISBN 978-0-8284-0086-2. Получено 15.08.2021 .
^ Симпсон, JA; Вайнер, ESC, ред. (1992). «Фигурное число». Компактный Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Оксфорд, Англия: Clarendon Press. стр. 587.
↑ Хит, сэр Томас (1921). История греческой математики . Том 1. Оксфорд, Clarendon Press.
^ Maziarz, Edward A.; Greenwood, Thomas (1968). Греческая математическая философия . Barnes & Noble Books. ISBN 978-1-56619-954-4.
^ "Фигурные числа". Mathigon . Получено 2021-08-15 .
^ Тейлор, Томас (2006). Теоретическая арифметика пифагорейцев . Prometheus Trust. ISBN 978-1-898910-29-9.
^ Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики (Второе изд.). С. 48.
^ Жмуд, Леонид (2019): От числового символизма к арифмологии . В: Л. Шиммельпфенниг (ред.): Системы чисел и букв на службе религиозного образования . Тюбинген: Серафим, 2019. стр. 25-45
^ Крайчик, Морис (2006). Математические развлечения (2-е исправленное издание). Dover Books . ISBN 978-0-486-45358-3.
^ Бек, М.; Де Лоера, JA ; Девелин, М.; Пфейфл, Дж.; Стэнли, RP (2005). «Коэффициенты и корни многочленов Эрхарта». Целочисленные точки в многогранниках — геометрия, теория чисел, алгебра, оптимизация . Contemp. Math. Vol. 374. Providence, RI: Amer. Math. Soc. pp. 15–36. MR 2134759.

Ссылки

Газале, Мидхат Дж. (1999), «Гномон: от фараонов до фракталов», Европейский журнал физики , 20 (6), Princeton University Press : 523, Bibcode : 1999EJPh...20..523G, doi : 10.1088/0143-0807/20/6/501, ISBN 978-0-691-00514-0
Деза, Елена ; Деза, Мишель Мари (2012), Фигурные числа, первое издание , World Scientific , ISBN 978-981-4355-48-3
Хит, Томас Литтл (2000), История греческой математики: Том 1. От Фалеса до Евклида , Adamant Media Corporation, ISBN 978-0-543-97448-8
Хит, Томас Литтл (2000), История греческой математики: Том 2. От Аристарха до Диофанта , Adamant Media Corporation, ISBN 978-0-543-96877-7
Диксон, Леонард Юджин (1923), История теории чисел , Chelsea Publishing Co, ASIN B000OKO3TK
Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К., История математики (2-е изд.)