Интегральная область

Коммутативное кольцо без делителей нуля, отличных от нуля.

В математике областью целостности называется ненулевое коммутативное кольцо , в котором произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю . ^{[1] [2]} Целочисленные области являются обобщением кольца целых чисел и обеспечивают естественную основу для изучения делимости . В области целостности каждый ненулевой элемент a обладает свойством отмены , то есть, если a ≠ 0 , равенство ab = ac влечет за собой b = c .

«Интегральная область» определяется почти повсеместно, как указано выше, но есть некоторые вариации. Эта статья следует соглашению о том, что кольца имеют мультипликативную идентичность , обычно обозначаемую 1, но некоторые авторы не следуют этому соглашению, не требуя, чтобы целые области имели мультипликативную идентичность. ^{[3] [4]} Иногда допускаются некоммутативные области целостности. ^[5] Эта статья, однако, следует гораздо более обычному соглашению о резервировании термина «область целостности» для коммутативного случая и использовании термина « область » для общего случая, включая некоммутативные кольца.

Некоторые источники, особенно Ланг , используют термин «все кольцо» для обозначения области целостности. ^[6]

Некоторые конкретные виды областей целостности даны со следующей цепочкой включений классов :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ целозамкнутые области ⊃ области НОД ⊃ области уникальной факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Определение

Область целостности — это ненулевое коммутативное кольцо , в котором произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю. Эквивалентно:

• Область целостности — это ненулевое коммутативное кольцо, не имеющее ненулевых делителей нуля .
• Область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым идеалом .
• Область целостности — это ненулевое коммутативное кольцо, для которого каждый ненулевой элемент сокращаем при умножении.
• Область целостности — это кольцо, для которого множество ненулевых элементов является коммутативным моноидом относительно умножения (поскольку моноид должен быть замкнутым относительно умножения).
• Область целостности — это ненулевое коммутативное кольцо, в котором для каждого ненулевого элемента r функция, отображающая каждый элемент x кольца в произведение xr , является инъективной . Элементы r с этим свойством называются регулярными , поэтому это эквивалентно требованию, чтобы каждый ненулевой элемент кольца был регулярным.
• Область целостности — это кольцо , изоморфное подкольцу поля . (Для целочисленной области ее можно встроить в ее поле дробей .)

Примеры

• Типичным примером является кольцо всех целых чисел . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Каждое поле является целостной областью. Например, поле всех действительных чисел является областью целостности. И наоборот, каждая артинова область целостности является полем. В частности, все конечные области целостности являются конечными полями (в более общем смысле, по малой теореме Веддерберна , конечные области целостности являются конечными полями ). Кольцо целых чисел представляет собой пример неартиновой бесконечной области целостности, которая не является полем и обладает бесконечными нисходящими последовательностями идеалов, таких как: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

  ${\displaystyle \mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots }$

• Кольца многочленов являются областью целостности, если коэффициенты происходят из области целостности. Например, кольцо всех многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами является областью целостности; то же самое относится и к кольцу всех многочленов от n -переменных с комплексными коэффициентами. ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$
• Предыдущий пример можно использовать дальше, взяв частное от простых идеалов. Например, кольцо, соответствующее плоской эллиптической кривой , является областью целостности. Целостность можно проверить, показав – неприводимый полином . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$ ${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)}$
• Кольцо является областью целостности для любого неквадратного целого числа . Если , то это кольцо всегда является подкольцом , в противном случае оно является подкольцом кольца . ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• Кольцо p -адических целых чисел является областью целостности. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• Кольцо формальных степенных рядов области целостности является областью целостности.
• Если — связное открытое подмножество комплексной плоскости , то кольцо , состоящее из всех голоморфных функций , является областью целостности. То же справедливо и для колец аналитических функций на связных открытых подмножествах аналитических многообразий . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$
• Регулярное локальное кольцо является областью целостности. По сути, обычное локальное кольцо — это УФД . ^{[7] [8]}

Непримеры

Следующие кольца не являются областью целостности.

• Нулевое кольцо (кольцо, в котором ). ${\displaystyle 0=1}$
• Кольцо частных , когда m — составное число . Действительно, выберите правильную факторизацию (это означает, что и не равны или ). Тогда и , но . ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m=xy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x\not \equiv 0{\bmod {m}}}$ ${\displaystyle y\not \equiv 0{\bmod {m}}}$ ${\displaystyle xy\equiv 0{\bmod {m}}}$
• Произведение двух ненулевых коммутативных колец . В таком продукте есть . ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$
• Факторкольцо для любого . Образы и ненулевые, а их произведение в этом кольце равно 0. ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x+n}$ ${\displaystyle x-n}$
• Кольцо матриц размера n × n над любым ненулевым кольцом при n ≥ 2. Если и являются матрицами такими, что образ содержится в ядре , то . Например, это происходит для . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle MN=0}$ ${\displaystyle M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})}$
• Факторкольцо для любого поля и любых непостоянных многочленов . Образы f и g в этом факторкольце являются ненулевыми элементами, произведение которых равно 0. Этот аргумент, эквивалентно, показывает, что это не простой идеал . Геометрическая интерпретация этого результата состоит в том, что нули fg образуют аффинное алгебраическое множество , которое, вообще говоря, не является неприводимым (т. е. не является алгебраическим многообразием ). Единственный случай, когда этот алгебраический набор может быть неприводимым, - это когда fg является степенью неприводимого многочлена , который определяет тот же алгебраический набор. ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle (fg)}$
• Кольцо непрерывных функций на единичном интервале . Рассмотрим функции

  ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

Ни то , ни другое не везде равно нулю, а есть. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle fg}$

• Тензорное произведение . Это кольцо имеет два нетривиальных идемпотента , и . Они ортогональны, что означает, что , и, следовательно, не является областью. Фактически, существует изоморфизм, определяемый . Его инверсия определяется как . Этот пример показывает, что расслоенное произведение неприводимых аффинных схем не обязательно должно быть неприводимым. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$ ${\displaystyle e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$ ${\displaystyle e_{1}e_{2}=0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle (z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}}$ ${\displaystyle z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})}$

Делимость, простые элементы и неприводимые элементы

В этом разделе R представляет собой область целостности.

Учитывая элементы a и b из R , говорят, что a делит b , или что a является делителем b , или что b кратно a , если существует элемент x в R такой, что ax = b .

Единицы R — это элементы, которые делят 1 ; это именно обратимые элементы в R . Единицы разделяют все остальные элементы.

Если a делит b и b делит a , то a и b являются ассоциированными элементами или ассоциированными элементами . ^[9] Эквивалентно, a и b являются ассоциированными, если a = ub для некоторой единицы u .

Неприводимый элемент — это ненулевая неединица, которую нельзя записать в виде произведения двух неединиц.

Ненулевой неединичный элемент p является простым элементом , если всякий раз, когда p делит произведение ab , тогда p делит a или p делит b . Эквивалентно, элемент p является простым тогда и только тогда, когда главный идеал ( p ) является ненулевым простым идеалом .

Оба понятия неприводимых элементов и простых элементов обобщают обычное определение простых чисел в кольце , если считать простыми отрицательные простые числа. ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$

Каждый простой элемент неприводим. Обратное в целом неверно: например, в квадратичном целочисленном кольце элемент 3 неприводим (если бы он факторизовался нетривиально, каждый фактор должен был бы иметь норму 3, но элементов нормы 3 нет, поскольку не имеет целочисленных решений) , но не простое число (поскольку 3 делит без деления ни одного множителя). В уникальной области факторизации (или, в более общем смысле, области НОД ) неприводимый элемент является простым элементом. ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$ ${\displaystyle a^{2}+5b^{2}=3}$ ${\displaystyle \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)}$

Хотя уникальная факторизация не имеет места , существует уникальная факторизация идеалов . См. теорему Ласкера–Нётер . ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$

Характеристики

• Коммутативное кольцо R является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал (0) кольца R является простым идеалом.
• Если R — коммутативное кольцо и P — идеал в R , то факторкольцо R/P является областью целостности тогда и только тогда, когда P — простой идеал .
• Пусть R — область целостности. Тогда кольца полиномов над R (от любого числа неопределенных) являются областями целостности. Это, в частности, имеет место, если R является полем .
• Свойство отмены справедливо в любой области целостности: для любых a , b и c в области целостности, если a ≠ 0 и ab = ac , то b = c . Другой способ утверждать это состоит в том, что функция x ↦ ax инъективна для любого ненулевого a в области определения.
• Свойство отмены справедливо для идеалов в любой области целостности: если xI = xJ , то либо x равен нулю, либо I = J.
• Область целостности равна пересечению ее локализаций в максимальных идеалах.
• Индуктивный предел областей целостности — это область целостности.
• Если A , B — области целостности над алгебраически замкнутым полем k , то A ⊗ _k B — область целостности. Это следствие nullstellensatz Гильберта , ^[a] и в алгебраической геометрии оно подразумевает утверждение, что координатное кольцо произведения двух аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем снова является областью целостности.

Поле дробей

Поле дробей K области целостности R представляет собой множество дробей a / b с a и b в R и b ≠ 0 по модулю соответствующего отношения эквивалентности, снабженное обычными операциями сложения и умножения. Это «наименьшее поле, содержащее R » в том смысле, что существует инъективный гомоморфизм колец R → K такой, что любой инъективный гомоморфизм колец из R в поле факторизуется через K . Поле дробей кольца целых чисел – это поле рациональных чисел. Поле дробей поля изоморфно самому полю. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Алгебраическая геометрия

Целочисленные области характеризуются тем, что они редуцированы (т. е. из x ² = 0 следует x = 0 ) и неприводимы (т. е. существует только один минимальный простой идеал ). Первое условие гарантирует, что нильрадикал кольца равен нулю, так что пересечение всех минимальных простых чисел кольца равно нулю. Последнее условие состоит в том, что в кольце имеется только одно минимальное простое число. Отсюда следует, что единственный минимальный простой идеал приведенного и неприводимого кольца является нулевым идеалом, поэтому такие кольца являются областью целостности. Обратное очевидно: область целостности не имеет ненулевых нильпотентных элементов, а нулевой идеал является единственным минимальным простым идеалом.

В алгебраической геометрии это означает, что координатное кольцо аффинного алгебраического множества является областью целостности тогда и только тогда, когда алгебраическое множество является алгебраическим многообразием .

В более общем смысле, коммутативное кольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда его спектр является целочисленной аффинной схемой .

Характеристика и гомоморфизмы

Характеристикой области целостности является либо 0, либо простое число .

Если R — область целостности простой характеристики p , то эндоморфизм Фробениуса x ↦ x ^p инъективен .

Смотрите также

• Норма Дедекинда – Хассе - дополнительная структура, необходимая для того, чтобы область целостности была главной.
• Свойство нулевого продукта

Примечания

1. Доказательство: сначала предположим, что A конечно порождена как k -алгебра, и выберите k -базис B . Предположим (только конечное число из них отличны от нуля). Для каждого максимального идеала A рассмотрим гомоморфизм колец . Тогда образ и, следовательно, либо или и, в силу линейной независимости, для всех или для всех . Поскольку оно произвольно, мы имеем пересечение всех максимальных идеалов , где последнее равенство соответствует Nullstellensatz. Поскольку это простой идеал, это означает либо нулевой идеал, либо ; т. е. либо все равны нулю, либо все равны нулю. Наконец, A является индуктивным пределом конечно порожденных k -алгебр, которые являются областью целостности и, следовательно, с учетом предыдущего свойства, являются областью целостности. ${\displaystyle g_{i}}$ ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ ${\displaystyle f_{i},h_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B}$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\displaystyle {\overline {f_{i}}}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\overline {h_{i}}}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ ${\displaystyle =(0)}$ ${\displaystyle (0)}$ ${\textstyle \sum f_{i}A}$ ${\textstyle \sum h_{i}A}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B}$ ${\displaystyle \square }$

Цитаты

1. Бурбаки 1998, с. 116
2. Даммит и Фут 2004, стр. 228
3. ван дер Варден 1966, с. 36
4. Херштейн 1964, стр. 88–90.
5. МакКоннелл и Робсон
6. Ланг 1993, стр. 91–92.
7. Ауслендер и Бухсбаум, 1959 г.
8. Нагата 1958
9. Дурбин 1993, с. 224: «Элементы a и b [области целостности] называются ассоциированными, если a | b и b | a ».

Рекомендации

• Адамсон, Иэн Т. (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. ISBN 0-05-002192-3.
• Бурбаки, Николя (1998). Алгебра, главы 1–3 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-64243-5.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк: Уайли . ISBN 978-0-471-43334-7.
• Дурбин, Джон Р. (1993). Современная алгебра: Введение (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-51001-7.
• Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Лондон: издательство Blaisdell Publishing Company.
• Хангерфорд, Томас В. (2013). Абстрактная алгебра: Введение (3-е изд.). Cengage Обучение. ISBN 978-1-111-56962-4.
• Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-55540-0, Збл  0848.13001
• Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том. 211. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95385-4. МР  1878556.
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1967). Алгебра . Нью-Йорк: ISBN Macmillan Co. 1-56881-068-7. МР  0214415.
• МакКоннелл, Джей Си; Робсон, Дж. К., Некоммутативные нётеровы кольца , Аспирантура по математике , вып. 30, АМС
• Милиес, Сезар Польчино; Сегал, Сударшан К. (2002). Знакомство с групповыми кольцами . Спрингер. ISBN 1-4020-0238-6.
• Лански, Чарльз (2005). Понятия абстрактной алгебры . Книжный магазин АМС. ISBN 0-534-42323-Х.
• Роуэн, Луи Галле (1994). Алгебра: группы, кольца и поля . АК Петерс . ISBN 1-56881-028-8.
• Шарп, Дэвид (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-33718-6.
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (1966), Алгебра , том. 1, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag
• Ауслендер, М; Бухсбаум, Д.А. (1959). «Уникальная факторизация в регулярных локальных кольцах». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки (опубликованы в мае 1959 г.). 45 (5): 733–4. Бибкод : 1959PNAS...45..733A. дои : 10.1073/PNAS.45.5.733. ISSN  0027-8424. ПМК  222624 . PMID  16590434. Збл  0084.26504. Викиданные  Q24655880.
• Нагата, Масаеши (1958). «Общая теория алгебраической геометрии над дедекиндовыми областями, II: раздельно порожденные расширения и регулярные локальные кольца». Американский журнал математики (опубликован в апреле 1958 г.). 80 (2): 382. дои : 10.2307/2372791. ISSN  0002-9327. JSTOR  2372791. Збл  0089.26501. Викиданные  Q56049883.

Внешние ссылки

• «Откуда взялся термин «интегральная область»?».