Голоморфная функция

Комплексно-дифференцируемая (математическая) функция

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформным отображением f (внизу).

В математике голоморфная функция — это комплекснозначная функция одной или нескольких комплексных переменных, которая комплексно дифференцируема в окрестности каждой точки области в комплексном координатном ^{пространстве} Cn . Существование комплексной производной в окрестности является очень сильным условием: из него следует, что голоморфная функция бесконечно дифференцируема и локально равна своему собственному ряду Тейлора ( аналитична ). Голоморфные функции — центральные объекты изучения комплексного анализа .

Хотя термин «аналитическая функция» часто используется как синоним «голоморфной функции», слово «аналитическая» определяется в более широком смысле для обозначения любой функции (действительной, комплексной или более общего типа), которую можно записать в виде сходящегося степенного ряда. в окрестности каждой точки своей области . То, что все голоморфные функции являются комплексными аналитическими функциями, и наоборот, является основной теоремой комплексного анализа . ^[1]

Голоморфные функции также иногда называют регулярными функциями . ^[2] Голоморфная функция, областью определения которой является вся комплексная плоскость, называется целой функцией . Фраза «голоморфный в точке z0 » означает не только дифференцируемый в _точке z0 , но и дифференцируемый всюду в пределах некоторой окрестности точки _{z0 на} комплексной плоскости.

Определение

Функция f ( z ) = z̅ не является комплексно дифференцируемой в нуле, поскольку, как показано выше, значение ( f ( z ) − f (0)) / ( z − 0) меняется в зависимости от направления приближения к нулю. . Вдоль действительной оси f равно функции g ( z ) = z и предел равен 1 , а вдоль мнимой оси f равен h ( z ) = − z и предел равен −1 . Другие направления накладывают еще и другие ограничения.

Учитывая комплексную функцию f одной комплексной переменной, производная f в точке z 0 _в ее области определения определяется как предел ^[3]

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.}$

Это то же определение, что и для производной вещественной функции , за исключением того, что все величины являются комплексными. В частности, предел берется при стремлении комплексного числа z к z0 , а это означает, что одно и то же значение получается для любой последовательности комплексных значений _z , _{стремящейся} к z0 . Если предел существует, то f называется комплексно дифференцируемым в точке z ₀ . Эта концепция комплексной дифференцируемости разделяет несколько свойств с реальной дифференцируемостью : она линейна и подчиняется правилу произведения , правилу фактора и правилу цепочки . ^[4]

Функция голоморфна на открытом множестве U , если она комплексно дифференцируема в каждой точке U . Функция f голоморфна в точке z0 , если она голоморфна _{в некоторой} окрестности точки z0 . ^[5] Функция голоморфна на некотором неоткрытом множестве A , если она голоморфна в каждой точке A .

Функция может быть комплексно дифференцируемой в некоторой точке, но не голоморфной в этой точке. Например, функция комплексно дифференцируема в точке 0 , но не является комплексно дифференцируемой в другом месте (см. уравнения Коши – Римана ниже). Итак, он не голоморфен в точке 0 . ${\displaystyle f(z)=|z|^{2}=z{\overline {z}}}$

Связь между вещественной дифференцируемостью и комплексной дифференцируемостью следующая: если комплексная функция f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) голоморфна, то u и v имеют первые частные производные относительно x и y и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана : ^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$

или, что то же самое, производная Виртингера от f относительно комплексно -сопряженного числа равна нулю: ^[7] ${\displaystyle {\bar {z}},}$ ${\displaystyle z,}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,}$

то есть, грубо говоря, f функционально не зависит от комплексно-сопряженного z . ${\displaystyle {\bar {z}},}$

Если непрерывность не задана, обратное не обязательно верно. Простое обратное состоит в том, что если u и v имеют непрерывные первые частные производные и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f голоморфна. Более удовлетворительным обратным утверждением, которое гораздо труднее доказать, является теорема Лумана–Меншоффа : если f непрерывна, u и v имеют первые частные производные (но не обязательно непрерывны) и удовлетворяют уравнениям Коши–Римана, то f голоморфный. ^[8]

Терминология

Термин «голоморфный» был введен в 1875 году Шарлем Брио и Жан-Клодом Буке , двумя учениками Огюстена-Луи Коши , и происходит от греческого ὅλος ( hólos ), означающего «целое», и μορφή ( morphḗ ), означающего «форма» или «форма». «внешний вид» или «тип», в отличие от термина «мероморфный» , происходящего от μέρος ( méros ), означающего «часть». Голоморфная функция напоминает целую функцию («целое») в области комплексной плоскости, тогда как мероморфная функция (определяемая как голоморфная, за исключением определенных изолированных полюсов ) напоминает рациональную дробь («часть») целых функций в области. сложной плоскости. ^[9] Вместо этого Коши использовал термин синектика . ^[10]

Сегодня термин «голоморфная функция» иногда предпочитают термину «аналитическая функция». Важным результатом комплексного анализа является то, что каждая голоморфная функция является комплексно-аналитической, что не следует очевидным образом из определений. Однако термин «аналитический» также широко используется.

Характеристики

Поскольку комплексное дифференцирование линейно и подчиняется правилам произведения, фактора и цепочки, суммы, произведения и композиции голоморфных функций голоморфны, а фактор двух голоморфных функций голоморфен везде, где знаменатель не равен нулю. ^[11] То есть, если функции f и g голоморфны в области U , то голоморфны и f + g , f − g , f  g и f ∘ g . Более того, f / g голоморфна, если g не имеет нулей в U , или мероморфна в противном случае.

Если отождествить C с вещественной плоскостью R ² , то голоморфные функции совпадают с теми функциями двух действительных переменных с непрерывными первыми производными, которые решают уравнения Коши – Римана , набор двух уравнений в частных производных . ^[6]

Каждую голоморфную функцию можно разделить на действительную и мнимую части f ( x + i  y ) = u ( x , y ) + i  v ( x , y ) , и каждая из них является гармонической функцией на R ² (каждая удовлетворяет условию Лапласа уравнение ∇ ²  u = ∇ ²  v = 0 ) , где v — гармоническое сопряжение u . ^[12] И наоборот, каждая гармоническая функция u ( x , y ) в односвязной области Ω ⊂ R ² является вещественной частью голоморфной функции: если v является гармонически сопряженной функцией u , единственной с точностью до константы, то f ( Икс + я y ) знак равно ты ( Икс , y ) + я v ( Икс , y ) голоморфен.  

Из интегральной теоремы Коши следует, что контурный интеграл каждой голоморфной функции вдоль петли равен нулю: ^[13]

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$

Здесь γ — спрямляемый путь в односвязной комплексной области U ⊂ C , начальная точка которого равна его конечной точке, а f  : U → C — голоморфная функция.

Интегральная формула Коши утверждает, что каждая функция, голоморфная внутри диска , полностью определяется своими значениями на границе диска. ^[13] Кроме того: предположим, что U ⊂ C — комплексная область, f  : U → C — голоморфная функция и замкнутый круг D = { z  : | z - z ₀ | ≤ r } полностью содержится в U . Пусть γ — круг, образующий границу D . Тогда для каждого a внутри D :

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz}$

где контурный интеграл берется против часовой стрелки .

Производную f ′ ( a ) можно записать в виде контурного интеграла ^[13] с использованием формулы дифференцирования Коши :

${\displaystyle f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,}$

для любого простого цикла, положительно обвивающегося один раз вокруг a , и

${\displaystyle f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,d{\bar {z}},}$

для бесконечно малых положительных петель γ вокруг a .

В областях, где первая производная не равна нулю, голоморфные функции конформны : они сохраняют углы и форму (но не размер) маленьких фигур. ^[14]

Любая голоморфная функция аналитична . То есть голоморфная функция f имеет производные любого порядка в каждой точке a в своей области определения и совпадает со своим собственным рядом Тейлора в точке a в окрестности a . Фактически, f совпадает со своим рядом Тейлора в точке a в любом круге с центром в этой точке и лежащем в пределах области определения функции.

С алгебраической точки зрения множество голоморфных функций на открытом множестве представляет собой коммутативное кольцо и комплексное векторное пространство . Кроме того, множество голоморфных функций в открытом множестве U является областью целостности тогда и только тогда, когда открытое множество U связно. ^[7] Фактически, это локально выпуклое топологическое векторное пространство с полунормами , являющимися супремумами на компактных подмножествах .

С геометрической точки зрения функция f голоморфна в точке z ₀ тогда и только тогда, когда ее внешняя производная df в окрестности U точки z ₀ равна f ′ ( z )  dz для некоторой непрерывной функции f ′ . Это следует из

${\displaystyle \textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz}$

что df ′ также пропорциональна dz , а это означает, что производная f ′ сама голоморфна и, следовательно, f бесконечно дифференцируема. Аналогично, d ( f dz ) = f ′ dz ∧ dz = 0 означает, что любая функция f , голоморфная в односвязной области U , также интегрируема на U.

(Для пути γ от z ₀ до z , полностью лежащего в U , определите в свете теоремы о жордановой кривой и обобщенной теоремы Стокса , F _γ ( z ) не зависит от конкретного выбора пути γ , и, таким образом, F ( z ) — корректно определенная функция на U , имеющая F ( z ₀ ) = F ₀ и dF = f dz .) ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$

Примеры

Все полиномиальные функции от z с комплексными коэффициентами являются целыми функциями (голоморфными во всей комплексной плоскости C ), как и показательная функция exp z и тригонометрические функции и (ср. формулу Эйлера ). Главная ветвь комплексного логарифма log z голоморфна в области C ∖ { z ∈ R  : z ≤ 0} . Функция квадратного корня может быть определена как и, следовательно, голоморфна везде, где есть логарифм log z . Обратная функция 1/  z голоморфна на C ∖ {0} . (Обратная функция, как и любая другая рациональная функция , мероморфна на C. ) ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$

Как следствие уравнений Коши-Римана , любая голоморфная функция с действительным знаком должна быть постоянной . Следовательно, абсолютное значение | г  | , аргумент arg( z ) , действительная часть Re( z ) и мнимая часть Im( z ) не голоморфны. Другой типичный пример непрерывной функции, которая не является голоморфной, — это комплексно-сопряженная функция (Комплексно-сопряженная функция антиголоморфна ). ${\displaystyle {\bar {z}}.}$

Несколько переменных

Определение голоморфной функции напрямую обобщается на несколько комплексных переменных. Функция от n комплексных переменных является аналитической в ​​точке p , если существует окрестность точки p , в которой f равно сходящемуся степенному ряду от n комплексных переменных; ^[15] функция f голоморфна в открытом подмножестве U в C ⁿ , если она аналитична в каждой точке из U . Лемма Осгуда показывает (с использованием многомерной интегральной формулы Коши), что для непрерывной функции f это эквивалентно тому, что f голоморфна по каждой переменной отдельно (это означает, что если любые n - 1 координат фиксированы, то ограничение f является голоморфным функция оставшейся координаты). Гораздо более глубокая теорема Хартогса доказывает отсутствие необходимости в предположении непрерывности: f голоморфна тогда и только тогда, когда она голоморфна по каждой переменной в отдельности. ${\displaystyle f:(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}$

В более общем смысле, функция нескольких комплексных переменных, интегрируемая с квадратом по каждому компактному подмножеству своей области определения, является аналитической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана в смысле распределений.

Функции нескольких комплексных переменных в некоторых основных отношениях более сложны, чем функции одной комплексной переменной. Например, область сходимости степенного ряда не обязательно представляет собой открытый шар; эти области представляют собой логарифмически-выпуклые области Рейнхардта , простейшим примером которых является полидиск . Однако они также имеют некоторые фундаментальные ограничения. В отличие от функций одной комплексной переменной, возможные области, в которых существуют голоморфные функции, которые не могут быть расширены на более крупные области, сильно ограничены. Такое множество называется областью голоморфности .

Комплексная дифференциальная ( p , 0) -форма α голоморфна тогда и только тогда, когда ее антиголоморфная производная Дольбо равна нулю: ∂ α = 0 .

Расширение функционального анализа

Понятие голоморфной функции можно распространить на бесконечномерные пространства функционального анализа . Например, производная Фреше или Гато может использоваться для определения понятия голоморфной функции в банаховом пространстве над полем комплексных чисел.

Смотрите также

• Первообразная (комплексный анализ)
• Антиголоморфная функция
• Биголоморфия
• Голоморфная разделимость
• Мероморфная функция
• Квадратурные домены
• Гармонические карты
• Гармонические морфизмы
• Производные Виртингера

Рекомендации

1. Аналитические функции одной комплексной переменной , Энциклопедия математики. (Европейское математическое общество при участии Спрингера, 2015 г.)
2. «Аналитическая функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994] , получено 26 февраля 2021 г.
3. Альфорс, Л. , Комплексный анализ, 3-е изд. (МакГроу-Хилл, 1979).
4. Хенричи, П. , Прикладной и вычислительный комплексный анализ (Wiley). [Три тома: 1974, 1977, 1986 гг.]
5. Питер Эбенфельт, Норберт Хунгербюлер, Джозеф Дж. Кон, Нгайминг Мок, Эмиль Дж. Штраубе (2011) Комплексный анализ Springer Science & Business Media
6. Маркушевич, А.И., Теория функций комплексного переменного (Прентис-Холл, 1965). [Три тома.]
7. Ганнинг, Роберт С .; Росси, Хьюго (1965). Аналитические функции нескольких комплексных переменных. Серия Прентис-Холл в современном анализе. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл . стр. xiv+317. ISBN 9780821869536. МР  0180696. Збл  0141.08601.
8. Грей, Джей Ди; Моррис, С.А. (1978), «Когда функция удовлетворяет аналитическим уравнениям Коши-Римана?», The American Mathematical Monthly (опубликовано в апреле 1978 г.), 85 (4): 246–256, doi : 10.2307/2321164, JSTOR  2321164.
9. Оригинальные французские термины были голоморф и мероморф . Брио, Шарль Огюст ; Буке, Жан-Клод (1875). «Голоморфы §15 функций». Теория эллиптических функций (2-е изд.). Готье-Виллар. стр. 14–15. Lorsqu'une fonction est continue, monotrope, et a une dérivée, quand lavariable se meut dans une une partie du plan, nous dirons qu'elle est holomorphe dans cette party du plan. Наши указания по этому названию подобны функциям, которые позволяют вам пользоваться этой собственностью в рамках всего плана. [...] ¶ Une Fractionnelle Admet Comme Pôles les racines du dénominateur; это голоморфная функция на всей вечеринке плана, который содержит все эти полюса. ¶ Функция Lorsqu'une - это голоморф в этой партии плана, за исключением некоторых полюсов, мы говорим, что мы являемся мероморфом в этой партии плана, это очень похоже на дроби rationnelles. [Когда функция непрерывна, монотропна и имеет производную, когда переменная движется в определенной части плоскости, мы говорим, что она голоморфна в этой части плоскости. Под этим названием мы подразумеваем, что оно напоминает целые функции , обладающие этими свойствами во всем объеме плоскости. [...] ¶ Рациональная дробь допускает в качестве полюсов корни знаменателя; это голоморфная функция во всей той части плоскости, которая не содержит полюсов. ¶ Когда функция голоморфна в части плоскости, за исключением определенных полюсов, мы говорим, что она мероморфна в этой части плоскости, то есть она похожа на рациональные дроби.]
   Харкнесс, Джеймс ; Морли, Фрэнк (1893). «5. Интеграция». Трактат по теории функций . Макмиллан. п. 161.
10. синектика Коши ( по-французски синектика ) в первом издании своей книги 1859 года. Брио, Шарль Огюст ; Буке, Жан-Клод (1875). «§10». Теория периодического удвоения функций . Малле-Башелье. п. 11.
11. Хенричи, Питер (1993) [1986], Прикладной и вычислительный комплексный анализ, том 3, Wiley Classics Library (переиздание), Нью-Йорк - Чичестер - Брисбен - Торонто - Сингапур: John Wiley & Sons , стр. X + 637, ISBN 0-471-58986-1, МР  0822470, Збл  1107.30300.
12. Эванс, Лоуренс К. (1998), Уравнения в частных производных , Американское математическое общество.
13. Lang, Серж (2003), Комплексный анализ , Springer Verlag GTM, Springer Verlag
14. Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, МР  0924157
15. Ганнинг и Росси, Аналитические функции нескольких комплексных переменных , с. 2.

дальнейшее чтение

• Блейки, Джозеф (1958). Университетская математика (2-е изд.). Лондон: Блэки и сыновья. ОСЛК  2370110.

Внешние ссылки

• «Аналитическая функция», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]