Правило продукта

Формула производной произведения

Геометрическая иллюстрация доказательства правила произведения

В исчислении правило произведения (или правило Лейбница ^[1] или правило произведения Лейбница ) — это формула, используемая для нахождения производных произведений двух или более функций . Для двух функций это можно записать в обозначениях Лагранжа как

$${\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'}$$

обозначениях Лейбница

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)={\frac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\frac {dv}{dx}}.}$$

Правило может быть расширено или обобщено на продукты с тремя или более функциями, на правило для производных продукта более высокого порядка и на другие контексты.

Открытие

Открытие этого правила приписывается Готфриду Лейбницу , который продемонстрировал его с помощью дифференциалов . ^[2] (Однако Дж. М. Чайлд, переводчик статей Лейбница, ^[3] утверждает, что это принадлежит Исааку Барроу .) Вот аргумент Лейбница: Пусть u ( x ) и v ( x ) — две дифференцируемые функции от x . Тогда дифференциал uv равен

${\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}$

Поскольку член du · dv «незначителен» (по сравнению с du и dv ), Лейбниц пришел к выводу, что

${\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv}$

и это действительно дифференциальная форма правила продукта. Если мы разделим на дифференциал dx , мы получим

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}$

которое также можно записать в обозначениях Лагранжа как

${\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.}$

Примеры

• Предположим, мы хотим дифференцировать. Используя правило произведения, можно получить производную (поскольку производная от is и производная функции синуса является функцией косинуса). ${\displaystyle f(x)=x^{2}{\text{sin}}(x).}$ ${\displaystyle f'(x)=2x\cdot {\text{sin}}(x)+x^{2}{\text{cos}}(x)}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 2x,}$
• Одним из особых случаев правила произведения является правило множественных констант , которое гласит: если c — число и является дифференцируемой функцией, то оно также дифференцируемо, а его производная равна. Это следует из правила произведения, поскольку производная любой константы равна нуль. Это, в сочетании с правилом сумм для производных, показывает, что дифференцирование является линейным . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c\cdot f(x)}$ ${\displaystyle (cf)'(x)=c\cdot f'(x).}$
• Правило интегрирования по частям вытекает из правила произведения, как и (слабая версия) правила фактора . (Это «слабая» версия, поскольку она не доказывает, что частное дифференцируемо, а только говорит, какова его производная, если она дифференцируема.)

Доказательства

Предельное определение производной

Пусть h ( x ) = f ( x ) g ( x ) и предположим, что f и g дифференцируемы в точке x . Мы хотим доказать, что h дифференцируема в точке x и что ее производная h ′ ( x ) дается формулой f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . Для этого к числителю добавляется (который равен нулю и, следовательно, не меняет значение), чтобы разрешить его факторизацию, а затем используются свойства пределов. ${\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \underbrace {\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)} _{\text{See the note below.}}+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}$

Это следует из того, что дифференцируемые функции непрерывны. ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}$

Линейные приближения

По определению, если дифференцируемы при , то мы можем записать линейные аппроксимации : ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h)}$$

$${\displaystyle g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h),}$$

hтакже написано ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{2}(h)}{h}}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\sim o(h)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h-f(x)g(x)+{\text{error terms}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}}$$

${\displaystyle f(x)\varepsilon _{2}(h),f'(x)g'(x)h^{2}}$ ${\displaystyle hf'(x)\varepsilon _{1}(h)}$ ${\displaystyle o(h).}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h\to 0}$

Четверть квадрата

В этом доказательстве используется цепное правило и функция четверти квадрата с производной . У нас есть: ${\displaystyle q(x)={\tfrac {1}{4}}x^{2}}$ ${\displaystyle q'(x)={\tfrac {1}{2}}x}$

${\displaystyle uv=q(u+v)-q(u-v),}$

и дифференцирование обеих сторон дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(u-v)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(u-v)(u'-v')\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}}$

Правило многовариантной цепочки

Правило произведения можно считать частным случаем правила цепочки для нескольких переменных, примененного к функции умножения : ${\displaystyle m(u,v)=uv}$

${\displaystyle {d(uv) \over dx}={\frac {\partial (uv)}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial (uv)}{\partial v}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}.}$

Нестандартный анализ

Пусть u и v — непрерывные функции по x , а dx , du и dv — бесконечно малые в рамках нестандартного анализа , а именно гипердействительные числа . Используя st для обозначения стандартной части функции , которая сопоставляет конечному гипердействительному числу бесконечно близкое к нему действительное число, это дает

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(u{\frac {dv}{dx}}+(v+dv){\frac {du}{dx}}\right)\\&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}.\end{aligned}}}$

По сути, это было доказательство Лейбница , использующее трансцендентный закон однородности (вместо стандартной части, приведенной выше).

Гладкий бесконечно малый анализ

В контексте подхода Ловера к бесконечно малым числам пусть будет бесконечно малым ниль-квадрат. Тогда и , так что ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle du=u'\ dx}$ ${\displaystyle dv=v'\ dx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\,\!\end{aligned}}}$

так как деление на то дает или . ${\displaystyle du\,dv=u'v'(dx)^{2}=0.}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle {\frac {d(uv)}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}}$ ${\displaystyle (uv)'=u\cdot v'+v\cdot u'}$

Логарифмическое дифференцирование

Позволять . Взяв абсолютное значение каждой функции и натуральный логарифм обеих частей уравнения, ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$

${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)g(x)|}$

Применяя свойства абсолютной величины и логарифмов,

${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)|+\ln |g(x)|}$

Берём логарифмическую производную от обеих частей и затем решаем : ${\displaystyle h'(x)}$

${\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}}$

Решение и замена дает : ${\displaystyle h'(x)}$ ${\displaystyle f(x)g(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f(x)g(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}$

Примечание. Взятие абсолютного значения функций необходимо для логарифмического дифференцирования функций, которые могут иметь отрицательные значения, поскольку логарифмы имеют действительные значения только для положительных аргументов. Это работает, поскольку , что оправдывает принятие абсолютного значения функций для логарифмического дифференцирования. ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}}$

Обобщения

Произведение более двух факторов

Правило продукта можно обобщить на произведение более чем двух факторов. Например, для трех факторов имеем

${\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.}$

Для набора функций мы имеем ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}$

Логарифмическая производная обеспечивает более простое выражение последней формы, а также прямое доказательство, не требующее какой-либо рекурсии . Логарифмическая производная функции f , обозначенная здесь Logder( f ) , является производной логарифма функции . Следует, что

${\displaystyle \operatorname {Logder} (f)={\frac {f'}{f}}.}$

Используя тот факт, что логарифм произведения представляет собой сумму логарифмов множителей, правило сумм для производных сразу дает

${\displaystyle \operatorname {Logder} (f_{1}\cdots f_{k})=\sum _{i=1}^{k}\operatorname {Logder} (f_{i}).}$

Последнее приведенное выше выражение производной произведения получается путем умножения обоих членов этого уравнения на произведение ${\displaystyle f_{i}.}$

Высшие производные

Его также можно обобщить до общего правила Лейбница для n -й производной произведения двух факторов путем символического разложения в соответствии с биномиальной теоремой :

${\displaystyle d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).}$

Применительно к конкретной точке x приведенная выше формула дает:

${\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}$

Кроме того, для n- й производной произвольного числа факторов существует аналогичная формула с полиномиальными коэффициентами :

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{\!\!(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.}$

Высшие частные производные

Для частных производных имеем ^[4]

${\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}$

где индекс S проходит через все 2 n ^{подмножеств} { 1, ..., n } и | С | — мощность S . _ Например, когда n = 3 ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[6pt]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[6pt]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\end{aligned}}}$

Банахово пространство

Предположим, что X , Y и Z — банаховы пространства (включая евклидово пространство ), а B  : X × Y → Z — непрерывный билинейный оператор . Тогда B дифференцируемо, а его производная в точке ( x , y ) в X × Y является линейным отображением D _{( x , y )} B  : X × Y → Z , заданным формулой

${\displaystyle (D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y.}$

Этот результат можно распространить ^[5] на более общие топологические векторные пространства.

В векторном исчислении

Правило произведения распространяется на различные операции произведения векторных функций на : ^[6] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Для скалярного умножения :
  $${\displaystyle (f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '}$$
• Для скалярного произведения :
  $${\displaystyle (\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '}$$
• Для векторного произведения векторных функций на : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
  $${\displaystyle (\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '}$$

Также существуют аналоги для других аналогов производной: если f и g — скалярные поля, то существует правило произведения с градиентом :

$${\displaystyle \nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g}$$

Такое правило будет справедливым для любой непрерывной билинейной операции произведения. Пусть B  : X × Y → Z — непрерывное билинейное отображение между векторными пространствами, и пусть f и g — дифференцируемые функции в X и Y соответственно. Единственное свойство умножения, используемое в доказательстве с использованием предельного определения производной, - это то, что умножение непрерывно и билинейно. Итак, для любой непрерывной билинейной операции

$${\displaystyle H(f,g)'=H(f',g)+H(f,g').}$$

Выводы в абстрактной алгебре и дифференциальной геометрии

В абстрактной алгебре правило произведения является определяющим свойством вывода . В этой терминологии правило произведения гласит, что оператор производной является производным функции.

В дифференциальной геометрии касательный вектор к многообразию M в точке p может быть определен абстрактно как оператор вещественнозначных функций, который ведет себя как производная по направлению в точке p : то есть линейный функционал v , который является дифференцированием,

${\displaystyle v(fg)=v(f)\,g(p)+f(p)\,v(g).}$

Обобщая (и дуализируя) формулы векторного исчисления на n -мерное многообразие M, можно взять дифференциальные формы степеней k и l , обозначаемые , с операцией клина или внешнего произведения , а также внешней производной . Тогда действует градуированное правило Лейбница : ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\beta \in \Omega ^{\ell }(M)}$ ${\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+\ell }(M)}$ ${\displaystyle d:\Omega ^{m}(M)\to \Omega ^{m+1}(M)}$

${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}$

Приложения

Среди применений правила произведения есть доказательство того, что

${\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}}$

когда n — целое положительное число (это правило верно, даже если n не является положительным или не является целым числом, но доказательство этого должно опираться на другие методы). Доказательство проводится методом математической индукции по показателю степени n . Если n  = 0, то x ⁿ является константой и nx ^{n  − 1} = 0. В этом случае правило выполняется, поскольку производная постоянной функции равна 0. Если правило выполняется для любого конкретного показателя n , то для следующего значения n  +1, у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{n+1}&{}={d \over dx}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[12pt]&{}=x{d \over dx}x^{n}+x^{n}{d \over dx}x\qquad {\mbox{(the product rule is used here)}}\\[12pt]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1\qquad {\mbox{(the induction hypothesis is used here)}}\\[12pt]&{}=(n+1)x^{n}.\end{aligned}}}$

Следовательно, если предложение верно для n , оно верно и для  n  + 1, а значит, и для всех натуральных n .

Смотрите также

• Дифференцирование интегралов  — Задача по математике
• Дифференцирование тригонометрических функций  - Математический процесс нахождения производной тригонометрической функции.
• Правила дифференцирования  - Правила вычисления производных функций.
• Распределение (математика)  - термин математического анализа, аналогичный обобщенной функции.
• Общее правило Лейбница  - Обобщение правила произведения в исчислении.
• Интегрирование по частям  - Математический метод в исчислении
• Обратные функции и дифференцирование  - тождество исчисленияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Линейность дифференцирования  – свойство исчисления
• Правило степени  - метод дифференцирования одночленных полиномов
• Правило частного  – формула для производной отношения функций.
• Таблица производных  – Правила вычисления производных функцийPages displaying short descriptions of redirect targets
• Тождества векторного исчисления  - Математические тождества

Рекомендации

1. «Правило Лейбница - Математическая энциклопедия».
2. Мишель Чирилло (август 2007 г.). «Гуманизация исчисления» . Учитель математики . 101 (1): 23–27. дои : 10.5951/MT.101.1.0023.
3. Лейбниц, GW (2005) [1920], Ранние математические рукописи Лейбница (PDF) , перевод Дж. М. Чайлда, Дувр, стр. 28, сноска 58, ISBN 978-0-486-44596-0
4. Майкл Харди (январь 2006 г.). «Комбинаторика частных производных» (PDF) . Электронный журнал комбинаторики . 13 . arXiv : math/0601149 . Бибкод : 2006math......1149H.
5. Крейгль, Андреас; Михор, Питер (1997). Удобная настройка глобального анализа (PDF) . Американское математическое общество. п. 59. ИСБН 0-8218-0780-3.
6. Стюарт, Джеймс (2016), Исчисление (8-е изд.), Cengage, раздел 13.2.