Билинейная карта

Функция двух векторов линейная по каждому аргументу

В математике билинейная карта — это функция, объединяющая элементы двух векторных пространств для получения элемента третьего векторного пространства, и линейная по каждому из своих аргументов. Примером может служить умножение матриц .

Билинейную карту можно определить и для модулей . Для этого см. статью pairing .

Определение

Векторные пространства

Пусть и будут тремя векторными пространствами над одним и тем же базовым полем . Билинейная карта — это функция , такая что для всех карта является линейной картой из в и для всех карта является линейной картой из в Другими словами, когда мы фиксируем первый элемент билинейной карты, позволяя второму элементу изменяться, результатом является линейный оператор, и аналогично для случая, когда мы фиксируем второй элемент. ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle B:V\times W\to X}$$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle B_{w}}$ $${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle B_{v}}$ $${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$

Такая карта удовлетворяет следующим свойствам. ${\displaystyle B}$

• Для любого , ${\displaystyle \lambda \in F}$ ${\displaystyle B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).}$
• Карта аддитивна в обоих компонентах: если и то и ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W,}$ ${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$ ${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).}$

Если и мы имеем B ( v , w ) = B ( w , v ) для всех , то мы говорим, что B симметрично . Если X — это базовое поле F , то отображение называется билинейной формой , которые хорошо изучены (например: скалярное произведение , скалярное произведение и квадратичная форма ). ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle v,w\in V,}$

Модули

Определение работает без каких-либо изменений, если вместо векторных пространств над полем F использовать модули над коммутативным кольцом R. Оно обобщается на n -арные функции, где собственный член — полилинейный .

Для некоммутативных колец R и S , левого R -модуля M и правого S -модуля N билинейным отображением является отображение B  : M × N → T , где T - ( R , S ) -бимодуль , и для которого любой n из N , m ↦ B ( m , n ) является гомоморфизмом R -модулей, а для любого m из M , n ↦ B ( m , n ) является гомоморфизмом S -модулей. Это удовлетворяет

В ( г ⋅ м , н ) = г ⋅ В ( м , н )

B ( м , н ⋅ с ) = B ( м , н ) ⋅ с

для всех m в M , n в N , r в R и s в S , а также B, являющегося аддитивным в каждом аргументе.

Характеристики

Непосредственным следствием определения является то, что B ( v , w ) = 0 _X всякий раз, когда v = 0 _V или w = 0 _W . Это можно увидеть, записав нулевой вектор 0 _V как 0 ⋅ 0 _V (и аналогично для 0 _W ) и переместив скаляр 0 «снаружи», перед B , по линейности.

Множество L ( V , W ; X ) всех билинейных отображений является линейным подпространством пространства ( а именно векторного пространства , модуля ) всех отображений из V × W в X .

Если V , W , X конечномерны , то таково же и L ( V , W ; X ) . Для то есть билинейных форм размерность этого пространства равна dim V × dim W (в то время как пространство L ( V × W ; F ) линейных форм имеет размерность dim V + dim W ). Чтобы увидеть это, выберем базис для V и W ; тогда каждое билинейное отображение может быть однозначно представлено матрицей B ( e _i , f _j ) , и наоборот. Теперь, если X является пространством более высокой размерности, мы, очевидно, имеем dim L ( V , W ; X ) = dim V × dim W × dim X . ${\displaystyle X=F,}$

Примеры

• Умножение матриц представляет собой билинейное отображение M( m , n ) × M( n , p ) → M( m , p ) .
• Если векторное пространство V над действительными числами несет скалярное произведение , то скалярное произведение является билинейным отображением ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V\times V\to \mathbb {R} .}$
• В общем случае для векторного пространства V над полем F билинейная форма на V совпадает с билинейным отображением V × V → F .
• Если V — векторное пространство с дуальным пространством V ^∗ , то каноническое оценочное отображение b ( f , v ) = f ( v ) — это билинейное отображение из V ^∗ × V в базовое поле.
• Пусть V и W — векторные пространства над одним и тем же базовым полем F. Если f — элемент V ^∗ , а g — элемент W ^∗ , то b ( v , w ) = f ( v ) g ( w ) определяет билинейное отображение V × W → F .
• Векторным произведением в является билинейное отображение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}.}$
• Пусть — билинейное отображение, а — линейное отображение , тогда ( v , u ) ↦ B ( v , Lu ) — билинейное отображение на V × U . ${\displaystyle B:V\times W\to X}$ ${\displaystyle L:U\to W}$

Непрерывность и раздельная непрерывность

Предположим, что и являются топологическими векторными пространствами , а — билинейное отображение. Тогда говорят, что b является ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$отдельно непрерывным, если выполняются следующие два условия:

1. для всех заданных отображений является непрерывным; ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle Y\to Z}$ ${\displaystyle y\mapsto b(x,y)}$
2. для всех заданных отображений является непрерывным. ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle X\to Z}$ ${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$

Многие отдельно непрерывные билинейные отображения, которые не являются непрерывными, удовлетворяют дополнительному свойству: гипонепрерывности . ^[1] Все непрерывные билинейные отображения являются гипонепрерывными.

Достаточные условия непрерывности

Многие билинейные отображения, которые встречаются на практике, являются раздельно непрерывными, но не все они непрерывны. Мы перечислим здесь достаточные условия для того, чтобы раздельно непрерывное билинейное отображение было непрерывным.

• Если X — пространство Бэра , а Y метризуемо , то каждое отдельно непрерывное билинейное отображение непрерывно. ^[1] ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• Если являются сильными сопряженными пространствами Фреше , то каждое отдельно непрерывное билинейное отображение непрерывно. ^[1] ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$
• Если билинейное отображение непрерывно в точке (0, 0), то оно непрерывно всюду. ^[2]

Состав карты

Пусть будут локально выпуклыми хаусдорфовыми пространствами и пусть будет композиционным отображением, определяемым формулой В общем случае билинейное отображение не является непрерывным (независимо от того, какие топологии заданы для пространств линейных отображений). Однако мы имеем следующие результаты: ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)}$ ${\displaystyle C(u,v):=v\circ u.}$ ${\displaystyle C}$

Придайте всем трем пространствам линейных отображений одну из следующих топологий:

1. дать всем троим топологию ограниченной сходимости;
2. дать всем трём топологию компактной сходимости ;
3. дайте всем троим топологию поточечной сходимости .

• Если является равностепенно непрерывным подмножеством , то ограничение непрерывно для всех трех топологий. ^[1] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L(Y;Z)}$ ${\displaystyle C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)}$
• Если — бочкообразное пространство , то для каждой последовательности, сходящейся к в , и каждой последовательности, сходящейся к в , последовательность сходится к в ^[1] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L(Y;Z),}$ ${\displaystyle \left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle v\circ u}$ ${\displaystyle L(Y;Z).}$

Смотрите также

• Тензорное произведение  – Математическая операция над векторными пространствами
• Полуторалинейная форма  – Обобщение билинейной формы
• Билинейная фильтрация  – метод интерполяции функций на двумерной сеткеPages displaying short descriptions of redirect targets
• Мультилинейная карта  – векторнозначная функция нескольких векторов, линейная по каждому аргументу

Ссылки

1. Treves 2006, стр. 424–426.
2. Шефер и Вольф 1999, стр. 118.

Библиография

• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

Внешние ссылки

• «Билинейное отображение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]