Нулевой элемент

Обобщения 0 в алгебраических структурах

В математике нулевой элемент — одно из нескольких обобщений числа ноль на другие алгебраические структуры . Эти альтернативные значения могут сводиться или не сводиться к одному и тому же, в зависимости от контекста.

Аддитивные тождества

Аддитивная идентичность — это элемент идентичности в аддитивной группе или моноиде . Она соответствует элементу 0, такому, что для всех x в группе 0 + x = x + 0 = x . Вот некоторые примеры аддитивной идентичности:

• Нулевой вектор при сложении векторов : вектор, все компоненты которого равны 0; в нормированном векторном пространстве его норма (длина) также равна 0. Часто обозначается как или . ^[1] ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\vec {0}}}$
• Нулевая функция или нулевая карта , определяемая z ( x ) = 0 при поточечном сложении ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
• Пустое множество под объединением множеств
• Пустая сумма или пустое копроизведение
• Начальный объект в категории (пустой сопродукт, и, следовательно, тождество в сопродуктах )

Поглощающие элементы

Поглощающий элемент в мультипликативной полугруппе или полукольце обобщает свойство 0 ⋅ x = 0. Примеры включают:

• Пустое множество , которое является поглощающим элементом при декартовом произведении множеств, поскольку { } × S = { }
• Нулевая функция или нулевая карта , определяемая z ( x ) = 0 при поточечном умножении ( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )

Многие поглощающие элементы также являются аддитивными тождествами, включая пустое множество и нулевую функцию. Другим важным примером является выделенный элемент 0 в поле или кольце , который является как аддитивным тождеством, так и мультипликативным поглощающим элементом, и главный идеал которого является наименьшим идеалом.

Ноль объектов

Нулевой объект в категории является как начальным, так и конечным объектом (и, следовательно, тождеством как в копроизведениях , так и в продуктах ). Например, тривиальная структура (содержащая только тождество) является нулевым объектом в категориях, где морфизмы должны отображать тождества в тождества. Конкретные примеры включают:

• Тривиальная группа , содержащая только единицу (нулевой объект в категории групп )
• Нулевой модуль , содержащий только тождество (нулевой объект в категории модулей над кольцом)

Нулевые морфизмы

Нулевой морфизм в категории — это обобщенный поглощающий элемент при композиции функций : любой морфизм, составленный с нулевым морфизмом, дает нулевой морфизм. В частности, если 0 _XY  : X → Y — нулевой морфизм среди морфизмов из X в Y , а f  : A → X и g  : Y → B — произвольные морфизмы, то g ∘ 0 _XY = 0 _XB и 0 _XY ∘ f = 0 _AY .

Если категория имеет нулевой объект 0 , то существуют канонические морфизмы X → 0 и 0 → Y , и их композиция дает нулевой морфизм 0 _XY  : X → Y. В категории групп , например, нулевые морфизмы — это морфизмы, которые всегда возвращают групповые тождества, тем самым обобщая функцию z ( x ) = 0.

Наименьшие элементы

Наименьший элемент в частично упорядоченном множестве или решетке иногда может называться нулевым элементом и обозначаться либо как 0, либо ⊥.

Нулевой модуль

В математике нулевой модуль — это модуль, состоящий только из аддитивного тождества для функции сложения модуля . В целых числах это тождество равно нулю , что и дает название нулевой модуль . То, что нулевой модуль на самом деле является модулем, легко показать; он тривиально замкнут относительно сложения и умножения .

Нулевой идеал

В математике нулевым идеалом в кольце называется идеал, состоящий только из аддитивной единицы (или нулевого элемента). То, что это идеал, следует непосредственно из определения. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Нулевая матрица

В математике , в частности в линейной алгебре , нулевая матрица — это матрица , все элементы которой равны нулю . Она также обозначается символом . ^[2] Вот некоторые примеры нулевых матриц: ${\displaystyle O}$

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ }$

Множество матриц m  ×  n с элементами в кольце K образует модуль . Нулевая матрица в — это матрица со всеми элементами, равными , где — аддитивная единица в K . ${\displaystyle K_{m,n}}$ ${\displaystyle 0_{K_{m,n}}}$ ${\displaystyle K_{m,n}}$ ${\displaystyle 0_{K}}$ ${\displaystyle 0_{K}}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}}$

Нулевая матрица является аддитивным тождеством в . То есть, для всех : ${\displaystyle K_{m,n}}$ ${\displaystyle A\in K_{m,n}}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A}$

Существует ровно одна нулевая матрица любого заданного размера m  ×  n (с записями из заданного кольца), поэтому, когда контекст ясен, часто говорят о нулевой матрице. В матричном кольце нулевая матрица выполняет роль как аддитивной идентичности, так и поглощающего элемента. В общем случае нулевой элемент кольца уникален и обычно обозначается как 0 без какого-либо нижнего индекса, указывающего на родительское кольцо. Следовательно, приведенные выше примеры представляют нулевые матрицы над любым кольцом.

Нулевая матрица также представляет собой линейное преобразование , которое переводит все векторы в нулевой вектор.

Нулевой тензор

В математике нулевой тензор — это тензор любого порядка, все компоненты которого равны нулю . Нулевой тензор порядка 1 иногда называют нулевым вектором.

Взятие тензорного произведения любого тензора с любым нулевым тензором приводит к другому нулевому тензору. Среди тензоров данного типа нулевой тензор этого типа служит аддитивным тождеством среди этих тензоров.

Смотрите также

• Нулевая полугруппа
• Делитель нуля
• Нулевой объект
• Ноль функции
• Ноль — нематематическое использование

Ссылки

1. Наир, М. Тамбан; Сингх, Ариндама (2018). Линейная алгебра. Springer. стр. 3. doi :10.1007/978-981-13-0926-7. ISBN 978-981-13-0925-0.
2. Ланг, Серж (1987). Линейная алгебра. Бакалаврские тексты по математике . Springer. стр. 25. ISBN 9780387964126. У нас есть нулевая матрица, в которой для всех . ... Запишем ее . ${\displaystyle a_{ij}=0}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle O}$