Нулевая матрица

Матрица, все элементы которой равны 0

В математике , в частности в линейной алгебре , нулевая матрица или нулевая матрица — это матрица, все элементы которой равны нулю . Она также служит аддитивным идентификатором аддитивной группы матриц и обозначается символом или сопровождается нижними индексами, соответствующими размерности матрицы, как это следует из контекста. ^{[1] [2] [3]} Вот некоторые примеры нулевых матриц: ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\ }$

Характеристики

Множество матриц с элементами в кольце K образует кольцо . Нулевая матрица в — это матрица со всеми элементами, равными , где — аддитивное тождество в K. ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle K_{m,n}}$ ${\displaystyle 0_{K_{m,n}}\,}$ ${\displaystyle K_{m,n}\,}$ ${\displaystyle 0_{K}\,}$ ${\displaystyle 0_{K}}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}}$

Нулевая матрица является аддитивным тождеством в . ^[4] То есть, для всех она удовлетворяет уравнению ${\displaystyle K_{m,n}\,}$ ${\displaystyle A\in K_{m,n}\,}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A.}$

Существует ровно одна нулевая матрица любого заданного размера m × n (с записями из заданного кольца), поэтому, когда контекст ясен, часто говорят о нулевой матрице. В общем, нулевой элемент кольца уникален и обычно обозначается как 0 без какого-либо нижнего индекса, указывающего на родительское кольцо. Поэтому приведенные выше примеры представляют нулевые матрицы над любым кольцом.

Нулевая матрица также представляет собой линейное преобразование , которое переводит все векторы в нулевой вектор . ^[5] Она идемпотентна , что означает, что при умножении ее на саму себя результат равен ей самой.

Нулевая матрица — единственная матрица, ранг которой равен 0.

Происшествия

В обычной регрессии наименьших квадратов , если данные идеально соответствуют друг другу, матрица-аннигилятор является нулевой матрицей.

Смотрите также

• Матрица тождественности , мультипликативная тождественность для матриц
• Матрица единиц , матрица, где все элементы равны единице.
• Нильпотентная матрица
• Одноэлементная матрица , матрица, в которой все элементы, кроме одного, равны нулю.

Ссылки

1. Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра, Бакалаврские тексты по математике , Springer, стр. 25, ISBN 9780387964126, У нас есть нулевая матрица, в которой a _ij  = 0 для всех i ,  j . ... Запишем ее  O .
2. "Введение в нулевые матрицы (статья) | Матрицы". Khan Academy . Получено 2020-08-13 .
3. Weisstein, Eric W. "Zero Matrix". mathworld.wolfram.com . Получено 13 августа 2020 г.
4. Уорнер, Сет (1990), Современная алгебра, Courier Dover Publications, стр. 291, ISBN 9780486663418Нейтральный элемент для сложения называется нулевой матрицей, поскольку все ее элементы равны нулю.
5. Бронсон, Ричард; Коста, Габриэль Б. (2007), Линейная алгебра: Введение, Academic Press, стр. 377, ISBN 9780120887842Нулевая матрица представляет собой нулевое преобразование 0 , имеющее свойство 0 ( v ) =  0 для каждого вектора v  ∈  V .