Вектор, касательный к кривой или поверхности в данной точке
В математике касательный вектор — это вектор , касающийся кривой или поверхности в данной точке . Касательные векторы описываются в дифференциальной геометрии кривых в контексте кривых в R n . В более общем смысле, касательные векторы — это элементы касательного пространства дифференцируемого многообразия . Касательные векторы также можно описать в терминах ростков . Формально касательный вектор в точке представляет собой линейное дифференцирование алгебры, определяемой множеством ростков в точке .
Мотивация
Прежде чем перейти к общему определению касательного вектора, мы обсудим его использование в исчислении и его тензорные свойства.
Исчисление
Пусть – параметрическая гладкая кривая . Касательный вектор задается выражением «при условии, что он существует и при условии» , где мы использовали штрих вместо обычной точки, чтобы указать дифференцирование по параметру t . [1] Единичный касательный вектор определяется выражением
Пример
Учитывая кривую
Контравариантность
If задан параметрически в n -мерной системе координат x i (здесь мы использовали верхние индексы в качестве индекса вместо обычного нижнего индекса) с помощью или
u i соглашение Эйнштейна о суммированииконтравариантный тензор первого порядка. [2]Определение
Пусть – дифференцируемая функция и пусть – вектор из . Определим производную по направлению в точке по формуле
[3]Характеристики
Пусть – дифференцируемые функции, пусть – касательные векторы в at и пусть . Затем
Касательный вектор на многообразиях
Пусть – дифференцируемое многообразие и пусть – алгебра вещественнозначных дифференцируемых функций на . Тогда касательный вектор к в точке многообразия задается выводом, который должен быть линейным, т. е. для любого и мы имеем
Обратите внимание, что вывод по определению будет обладать свойством Лейбница.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Дж. Стюарт (2001)
- ^ Д. Кей (1988)
- ^ А. Грей (1993)
Библиография
- Грей, Альфред (1993), Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Бока-Ратон: CRC Press.
- Стюарт, Джеймс (2001), Исчисление: концепции и контексты , Австралия: Томсон/Брукс/Коул.
- Кей, Дэвид (1988), Очерк теории и проблем тензорного исчисления Шаумса , Нью-Йорк: McGraw-Hill.