Герм (математика)

Класс эквивалентности объектов, разделяющих локальные свойства в точке топологического пространства.

В математике понятие зародыша объекта в/на топологическом пространстве — это класс эквивалентности этого объекта и других объектов того же типа, который фиксирует их общие локальные свойства. В частности, рассматриваемые объекты — это в основном функции (или карты ) и подмножества . В конкретных реализациях этой идеи рассматриваемые функции или подмножества будут обладать некоторым свойством, например быть аналитическими или гладкими, но в целом в этом нет необходимости (рассматриваемые функции даже не обязательно должны быть непрерывными ); однако необходимо, чтобы пространство, в котором определен объект, было топологическим пространством, чтобы слово локальный имело какое-то значение.

Имя

Название происходит от слова «зародыш злака» , являющегося продолжением метафоры снопа , поскольку зародыш является (локально) «сердцем» функции, как и для зерна.

Формальное определение

Основное определение

Учитывая точку x топологического пространства X и две карты (где Y - любое множество ), тогда и определите один и тот же росток в точке x , если существует окрестность U точки x такая , что ограничения U , f и g равны; это означает, что для всех вас в U. ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(u)=g(u)}$

Аналогично, если S и T — любые два подмножества X , то они определяют один и тот же росток в точке x , если снова существует окрестность U точки x такая, что

${\displaystyle S\cap U=T\cap U.}$

Нетрудно видеть, что определение одного и того же ростка в точке x является отношением эквивалентности (будь то на отображениях или множествах), а классы эквивалентности называются ростками (соответственно, ростками-картами или ростками-множествами). Отношение эквивалентности обычно записывают

${\displaystyle f\sim _{x}g\quad {\text{or}}\quad S\sim _{x}T.}$

Если задано отображение f на X , то его росток в точке x обычно обозначается [ f  ] _x . Аналогично, росток в точке x множества S записывается [ S ] _x . Таким образом,

${\displaystyle [f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.}$

Росток отображения в точке x в X , который отображает точку x в X в точку y в Y , обозначается как

${\displaystyle f:(X,x)\to (Y,y).}$

При использовании этого обозначения f подразумевается как целый класс эквивалентности карт, в котором для любой репрезентативной карты используется одна и та же буква f .

Обратите внимание, что два множества росткоэквивалентны в точке x тогда и только тогда, когда их характеристические функции росткоэквивалентны в точке x :

${\displaystyle S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.}$

В более общем смысле

Карты не обязательно должны быть определены на всем X и, в частности, им не обязательно иметь один и тот же домен. Однако, если f имеет область S , а g имеет область T , оба подмножества X , то f и g являются ростково-эквивалентными в точке x в X , если сначала S и T являются ростково-эквивалентными в точке x , скажем , а затем, более того , для некоторой меньшей окрестности V с . Это особенно актуально в двух ситуациях: ${\displaystyle S\cap U=T\cap U\neq \emptyset ,}$ ${\displaystyle f|_{S\cap V}=g|_{T\cap V}}$ ${\displaystyle x\in V\subseteq U}$

1. f определено на подмногообразии V X и
2. f имеет своего рода полюс в точке x , поэтому даже не определена в точке x , как, например, рациональная функция, которая была бы определена на основе подмногообразия.

Основные свойства

Если f и g ростково-эквивалентны в точке x , то они обладают всеми локальными свойствами, такими как непрерывность, дифференцируемость и т. д., поэтому имеет смысл говорить о дифференцируемом или аналитическом ростке и т. д. Аналогично и для подмножеств: если один представитель ростка является аналитическим множеством, то такими же являются все представители, по крайней мере, в некоторой окрестности x .

Алгебраические структуры на целевом Y наследуются набором ростков со значениями в Y . Например, если целевой Y является группой , то имеет смысл умножить ростки: чтобы определить [ f ] _x [ ​​g ] _x , сначала возьмите представителей f и g , определенных в окрестностях U и V соответственно, и определите [ f ] _x [ g ] _x будет ростком в x поточечного произведения отображения fg (которое определено на ). Точно так же, если Y — абелева группа , векторное пространство или кольцо , то и множество ростков тоже. ${\displaystyle U\cap V}$

Множество ростков в точке x отображений из X в Y не имеет полезной топологии , кроме дискретной . Поэтому говорить о конвергентной последовательности микробов практически не имеет смысла. Однако если X и Y являются многообразиями, то пространства струй (ряды Тейлора конечного порядка в точке x отображения (-ростков)) действительно имеют топологии, поскольку их можно отождествить с конечномерными векторными пространствами. ${\displaystyle J_{x}^{k}(X,Y)}$

Связь с пучками

Идея зародышей лежит в основе определения пучков и предпучков. Предпучок абелевых групп в топологическом пространстве X сопоставляет абелеву группу каждому открытому множеству U в X . Типичными примерами абелевых групп здесь являются: вещественнозначные функции на U , дифференциальные формы на U , векторные поля на U , голоморфные функции на U (когда X - комплексное пространство), постоянные функции на U и дифференциальные операторы на U. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

Если то существует карта ограничений, удовлетворяющая определенным условиям совместимости . Для фиксированного x говорят, что элементы и эквивалентны в x, если существует окрестность x с res WU ( f ) ₌ res WV ( _g ) ( оба элемента ). Классы эквивалентности образуют стебель в точке x предпучка . Это отношение эквивалентности представляет собой абстракцию описанной выше ростковой эквивалентности. ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {F}}(V)}$ ${\displaystyle W\subseteq U\cap V}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Интерпретация ростков через пучки также дает общее объяснение наличия алгебраических структур на множествах ростков. Причина в том, что образование стеблей сохраняет конечные пределы. Отсюда следует, что если T — теория Лоувера и пучок F — T -алгебра, то любой слой F _x также является T -алгеброй.

Примеры

Если и имеют дополнительную структуру, можно определить подмножества множества всех отображений от X до Y или, в более общем смысле, подпредпучки данного предпучка и соответствующие ростки: ниже приведены некоторые примечательные примеры . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• Если оба топологических пространства , то подмножество ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle C^{0}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

непрерывных функций определяет ростки непрерывных функций .

• Если оба и допускают дифференцируемую структуру , подмножество ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

из -раз непрерывно дифференцируемых функций подмножество ${\displaystyle k}$

${\displaystyle C^{\infty }(X,Y)=\bigcap \nolimits _{k}C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

гладких функций и подмножества

${\displaystyle C^{\omega }(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

аналитических функций могут быть определены ( здесь ординал для бесконечности; это злоупотребление обозначениями по аналогии с и ), и тогда могут быть построены пространства ростков (конечно) дифференцируемых , гладких , аналитических функций . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

• Если они имеют комплексную структуру (например, являются подмножествами комплексных векторных пространств ), между ними могут быть определены голоморфные функции и, следовательно, могут быть построены пространства ростков голоморфных функций . ${\displaystyle X,Y}$
• Если они имеют алгебраическую структуру , то между ними могут быть определены регулярные (и рациональные ) функции, а также могут быть определены ростки регулярных функций (а также рациональных ). ${\displaystyle X,Y}$
• Росток f  : ℝ →  Y на положительной бесконечности (или просто росток f ) равен . Эти ростки используются в асимптотическом анализе и полях Харди . ${\displaystyle \{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}}$

Обозначения

Стебель пучка на топологическом пространстве в точке обычно обозначается как . Как следствие, ростки, составляющие стебли пучков различного рода функций , заимствуют такую ​​схему обозначений: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}.}$

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{0}}$– пространство ростков непрерывных функций в точке . ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{k}}$для каждого натурального числа есть пространство ростков - раз дифференцируемых функций в точке . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\infty }}$— пространство ростков бесконечно дифференцируемых («гладких») функций при . ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\omega }}$– пространство ростков аналитических функций в . ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$— пространство ростков голоморфных функций (в комплексной геометрии) или пространство ростков регулярных функций (в алгебраической геометрии) в точке . ${\displaystyle x}$

Для зародышей множеств и разновидностей обозначения не так четко установлены: некоторые обозначения, встречающиеся в литературе, включают:

• ${\displaystyle {\mathfrak {V}}_{x}}$– пространство ростков аналитических многообразий в . Когда точка фиксирована и известна (например, когда - топологическое векторное пространство и ), ее можно отбросить в каждом из приведенных выше символов: также, когда можно добавить нижний индекс перед символом. В качестве примера ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \dim X=n}$
• ${\displaystyle {_{n}{\mathcal {C}}^{0}},{_{n}{\mathcal {C}}^{k}},{_{n}{\mathcal {C}}^{\infty }},{_{n}{\mathcal {C}}^{\omega }},{_{n}{\mathcal {O}}},{_{n}{\mathfrak {V}}}}$являются пространствами ростков, показанными выше, когда -мерное векторное пространство и . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x=0}$

Приложения

Ключевое слово в применении ростков — локальность : все локальные свойства функции в точке можно изучить, анализируя ее росток . Они являются обобщением рядов Тейлора , и действительно определен ряд Тейлора ростка (дифференцируемой функции): для вычисления производных вам нужна только локальная информация.

Ростки полезны при определении свойств динамических систем вблизи выбранных точек их фазового пространства : они являются одним из основных инструментов теории особенностей и теории катастроф .

Когда рассматриваемые топологические пространства представляют собой римановы поверхности или, в более общем смысле , комплексно-аналитические многообразия , ростки голоморфных функций на них можно рассматривать как степенные ряды , и, таким образом, набор ростков можно рассматривать как аналитическое продолжение аналитической функции .

Ростки также можно использовать при определении касательных векторов в дифференциальной геометрии. Касательный вектор можно рассматривать как точечное дифференцирование алгебры ростков в этой точке. ^[1]

Алгебраические свойства

Как отмечалось ранее, множества ростков могут иметь алгебраические структуры, например кольца. Во многих ситуациях кольца ростков не являются произвольными кольцами, а обладают вполне специфическими свойствами.

Предположим, что X — некоторое пространство. Часто бывает, что в каждом x ∈ X кольцо ростков функций в x является локальным кольцом . Так обстоит дело, например, с непрерывными функциями в топологическом пространстве; для k -кратно дифференцируемых, гладких или аналитических функций на вещественном многообразии (когда такие функции определены); для голоморфных функций на комплексном многообразии; и для регулярных функций на алгебраическом многообразии. Свойство, что кольца ростков являются локальными кольцами, аксиоматизируется теорией локально окольцованных пространств .

Однако типы возникающих локальных колец во многом зависят от рассматриваемой теории. Из подготовительной теоремы Вейерштрасса следует , что кольца ростков голоморфных функций являются нетеровыми кольцами . Можно также показать, что это правильные кольца . С другой стороны, пусть – кольцо ростков в начале гладких функций на R . Это кольцо местное, но не нетеровское. Чтобы понять почему, заметим, что максимальный идеал m этого кольца состоит из всех ростков, обращающихся в нуль в начале координат, а степень m ^k состоит из тех ростков, у которых обращаются в нуль первые k − 1 производные. Если бы это кольцо было нетеровым, то из теоремы Крулла о пересечении следовало бы, что гладкая функция, ряд Тейлора которой обращается в нуль, будет нулевой функцией. Но это неверно, в чем можно убедиться, рассмотрев ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}},&x\neq 0,\\0,&x=0.\end{cases}}}$

Это кольцо также не является уникальной областью факторизации . Это связано с тем, что все УФД удовлетворяют условию возрастающей цепочки главных идеалов , но существует бесконечная возрастающая цепочка главных идеалов.

${\displaystyle \cdots \subsetneq (x^{-j+1}f(x))\subsetneq (x^{-j}f(x))\subsetneq (x^{-j-1}f(x))\subsetneq \cdots .}$

Включения строгие, поскольку x находится в максимальном идеале m .

Кольцо ростков в начале непрерывных функций на R даже обладает тем свойством, что его максимальный идеал m удовлетворяет условию m ² = m . Любой росток f ∈ m можно записать как ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle f=|f|^{1/2}\cdot {\big (}\operatorname {sgn} (f)|f|^{1/2}{\big )},}$

где sn — знаковая функция. Поскольку | ж | исчезает в начале координат, это выражает f как произведение двух функций от m , откуда и делается вывод. Это связано с созданием теории почти колец .

Смотрите также

• Аналитический сорт
• Теория катастроф
• Аксиома склеивания
• Риманова поверхность
• Пучок
• Стебель

Рекомендации

1. Ту, LW (2007). Введение в многообразия. Нью-Йорк: Спрингер. п. 11.

• Николя Бурбаки (1989). Общая топология. Главы 1–4 (изд. в мягкой обложке). Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-64241-2., глава I, пункт 6, подпункт 10 « Микробы в точке ».
• Рагхаван Нарасимхан (1973). Анализ действительных и комплексных многообразий (2-е изд.). Северо-Голландский Эльзевир. ISBN 0-7204-2501-8., глава 2, пункт 2.1, « Основные определения ».
• Роберт К. Ганнинг и Хьюго Росси (1965). Аналитические функции нескольких комплексных переменных . Прентис-Холл ., глава 2 « Локальные кольца голоморфных функций », особенно параграф А « Элементарные свойства локальных колец » и параграф Е « Зародыши многообразий ».
• Ян Р. Портеус (2001) Геометрическое дифференцирование , стр. 71, ISBN издательства Кембриджского университета 0-521-00264-8 . 
• Джузеппе Таллини (1973). Varietà Differentziabili e coomologia di De Rham (Дифференцируемые многообразия и когомологии Де Рама) . Эдизиони Кремонезе. ISBN 88-7083-413-1., параграф 31, « Germi di funzioni Differentziabili in un punto di (Зародыши дифференцируемых функций в точке ) » ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V_{n}}$ (на итальянском языке).

Внешние ссылки

• Чирка, Евгений Михайлович (2001) [1994], «Зародыш», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Зародыш гладких функций в PlanetMath .
• Мозырская, Дорота; Бартосевич, Збигнев (2006). «Системы ростков и теоремы о нулях в бесконечномерных пространствах». arXiv : math/0612355 . Бибкод : 2006math.....12355M. {{cite journal}}: Цитировать журналу требуется |journal=( помощь ) исследовательский препринт, посвященный росткам аналитических многообразий в бесконечномерной среде.