Джет (математика)

В математике струя — это операция, которая берет дифференцируемую функцию f и создает полином , усеченный полином Тейлора от f , в каждой точке ее области определения. Хотя это определение струи, теория струй рассматривает эти полиномы как абстрактные полиномы , а не как полиномиальные функции.

В этой статье сначала исследуется понятие струи вещественнозначной функции в одной действительной переменной, а затем обсуждаются обобщения на несколько действительных переменных. Затем он дает строгую конструкцию джетов и реактивных пространств между евклидовыми пространствами . Он завершается описанием струй между многообразиями и того, как эти струи могут быть построены изнутри. В этом более общем контексте он суммирует некоторые применения струй в дифференциальной геометрии и теории дифференциальных уравнений .

Струи функций между евклидовыми пространствами

Прежде чем дать строгое определение струи, полезно рассмотреть некоторые частные случаи.

Одномерный случай

Предположим, что это действительная функция, имеющая не менее k  + 1 производных в окрестности U точки . Тогда по теореме Тейлора ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}(x-x_{0})^{k+1}}$

где

${\displaystyle |R_{k+1}(x)|\leq \sup _{x\in U}|f^{(k+1)}(x)|.}$

Тогда k -струя функции f в этой точке определяется как многочлен ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}z^{i}=f(x_{0})+f'(x_{0})z+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}z^{k}.}$

Джеты обычно рассматриваются как абстрактные полиномы от переменной z , а не как реальные полиномиальные функции от этой переменной. Другими словами, z — неопределенная переменная , позволяющая производить различные алгебраические операции над струями. Фактически это базовая точка, от которой струи получают свою функциональную зависимость. Таким образом, изменяя базовую точку, струя в каждой точке дает полином порядка не выше k . Это отмечает важное концептуальное различие между струями и усеченным рядом Тейлора : обычно считается, что ряд Тейлора функционально зависит от своей переменной, а не от своей базовой точки. С другой стороны, струи отделяют алгебраические свойства рядов Тейлора от их функциональных свойств. О причинах и применении этого разделения мы поговорим позже в статье. ${\displaystyle x_{0}}$

Отображения одного евклидова пространства в другое.

Предположим, что это функция из одного евклидова пространства в другое, имеющая не менее ( k  + 1) производных. В этом случае теорема Тейлора утверждает, что ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot (x-x_{0})+{}&{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot (x-x_{0})^{\otimes 2}+\cdots \\[4pt]&\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes (k+1)}.\end{aligned}}}$

Тогда k -струя функции f определяется как многочлен

${\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot z+{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot z^{\otimes 2}+\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot z^{\otimes k}}$

в , где . ${\displaystyle {\mathbb {R} }[z]}$ ${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{n})}$

Алгебраические свойства джетов

Есть две основные алгебраические структуры, которые могут нести самолеты. Первый — это структура продукта, хотя в конечном итоге он оказывается наименее важным. Второе – структура состава струй.

Если это пара вещественных функций, то мы можем определить произведение их струй через ${\displaystyle f,g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle J_{x_{0}}^{k}f\cdot J_{x_{0}}^{k}g=J_{x_{0}}^{k}(f\cdot g).}$

Здесь мы опустили неопределенное значение z , поскольку понятно, что струи являются формальными полиномами. Это произведение представляет собой просто произведение обычных многочленов от z по модулю . Другими словами, это умножение в кольце , где – идеал , порожденный однородными многочленами порядка ≥  k  + 1. ${\displaystyle z^{k+1}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }[z]/(z^{k+1})}$ ${\displaystyle (z^{k+1})}$

Теперь переходим к составу струй. Чтобы избежать ненужных формальностей, мы рассматриваем струи функций, которые отображают начало координат в начало координат. Если и при f (0)=0 и g (0)=0, то . Состав струй определяется формулой . С помощью цепного правила легко проверить , что это представляет собой ассоциативную некоммутативную операцию над пространством струй в начале координат. ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }}$ ${\displaystyle g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle f\circ g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}f\circ J_{0}^{k}g=J_{0}^{k}(f\circ g).}$

На самом деле композиция k -струй есть не что иное, как композиция многочленов по модулю идеала многочленов, однородных порядка . ${\displaystyle >k}$

Примеры:

• Пусть в одном измерении и . Затем ${\displaystyle f(x)=\log(1-x)}$ ${\displaystyle g(x)=\sin \,x}$

${\displaystyle (J_{0}^{3}f)(x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}}$

${\displaystyle (J_{0}^{3}g)(x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}&(J_{0}^{3}f)\circ (J_{0}^{3}g)=-\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{2}-{\frac {1}{3}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{3}{\pmod {x^{4}}}\\[4pt]={}&-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

Джеты в точке евклидова пространства: строгие определения

Аналитическое определение

В следующем определении используются идеи математического анализа для определения струй и пространств струй. Его можно обобщить для сглаживания функций между банаховыми пространствами , аналитических функций между действительными или комплексными областями , для p-адического анализа и для других областей анализа.

Пусть – векторное пространство гладких функций . Пусть k — неотрицательное целое число, и пусть p — точка . Мы определяем отношение эквивалентности в этом пространстве, заявляя, что две функции f и g эквивалентны порядку k , если f и g имеют одинаковое значение в точке p , и все их частные производные согласуются в точке p вплоть до (включительно) их k - производные th-го порядка. Короче говоря, тогда и только тогда , когда до k -го порядка. ${\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle f\sim g\,\!}$ ${\displaystyle f-g=0}$

Пространство струй k -го порядка в точке p определяется как множество классов эквивалентности и обозначается . ${\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$

Струя k -го порядка в точке p гладкой функции определяется как класс эквивалентности f в . ${\displaystyle f\in C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$

Алгебро-геометрическое определение

В следующем определении используются идеи алгебраической геометрии и коммутативной алгебры для установления понятия струи и пространства струи. Хотя это определение само по себе не особенно подходит для использования в алгебраической геометрии, поскольку оно относится к гладкой категории, его можно легко адаптировать для таких целей.

Пусть – векторное пространство ростков гладких функций в точке p в . Пусть – идеал, состоящий из ростков функций, обращающихся в нуль в точке p . (Это максимальный идеал локального кольца .) Тогда идеал состоит из всех функциональных ростков, которые обращаются в нуль до порядка k в точке p . Теперь мы можем определить пространство струи в точке p как ${\displaystyle C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$

${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})=C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$

Если — гладкая функция, мы можем определить k -струю функции f в точке p как элемент функции, установив ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$

${\displaystyle J_{p}^{k}f=f{\pmod {{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}}}$

Это более общая конструкция. Для -пространства пусть – стебель структурного пучка at , а – максимальный идеал локального кольца . Пространство k-й струи at определяется как кольцо ( произведение идеалов ). ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}(M)={\mathcal {F}}_{p}/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$

Теорема Тейлора

Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм векторных пространств между и . Таким образом, в евклидовом контексте струи обычно отождествляются со своими полиномиальными представителями при этом изоморфизме. ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{m}[z_{1},\dotsc ,z_{n}]/(z_{1},\dotsc ,z_{n})^{k+1}}$

Реактивные пространства из точки в точку

Мы определили пространство струй в точке . Его подпространство, состоящее из струй функций f таких, что f ( p ) =  q , обозначается через ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle p\in {\mathbb {R} }^{n}}$

${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})_{q}=\left\{J^{k}f\in J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})\mid f(p)=q\right\}}$

Струи функций между двумя многообразиями

Если M и N — два гладких многообразия , как определить струю функции ? Возможно , мы могли бы попытаться определить такую ​​струю, используя локальные координаты M и N. Недостаток этого подхода заключается в том, что струи не могут быть определены инвариантным образом. Джеты не преобразуются как тензоры . Вместо этого струи функций между двумя многообразиями принадлежат расслоению струй . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$

Струи функций от вещественной прямой к многообразию

Предположим, что M — гладкое многообразие, содержащее точку p . Определим струи кривых через p , под которыми в дальнейшем будем понимать гладкие функции такие, что f (0) =  p . Определим отношение эквивалентности следующим образом. Пусть f и g — пара кривых, проходящих через p . Тогда мы будем говорить, что f и g эквивалентны порядку k в точке p , если существует некоторая окрестность U точки p такая, что для любой гладкой функции . Обратите внимание, что эти струи четко определены, поскольку являются составными функциями и представляют собой просто отображения реальной линии в себя. Это отношение эквивалентности иногда называют отношением контакта k -го порядка между кривыми в точке p . ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow M}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}(\varphi \circ f)=J_{0}^{k}(\varphi \circ g)}$ ${\displaystyle \varphi \circ f}$ ${\displaystyle \varphi \circ g}$

Теперь мы определяем k -струю кривой f через p как класс эквивалентности f при , обозначаемый или . Тогда пространство струй k -го порядка представляет собой множество k -струй в точке p . ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J^{k}\!f\,}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}f}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$

Поскольку p меняется над M , образует расслоение над M : касательное расслоение k -го порядка , часто обозначаемое в литературе T ^k M (хотя это обозначение иногда может привести к путанице). В случае k =1 касательное расслоение первого порядка является обычным касательным расслоением: T ¹ M  =  TM . ${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$

Чтобы доказать, что T ^k M на самом деле является расслоением, поучительно изучить свойства в локальных координатах. Пусть ( x ⁱ ) = ( x ¹ ,..., x ⁿ ) — локальная система координат для M в окрестности U точки p . Немного злоупотребляя обозначениями , мы можем рассматривать ( xi ⁾ как локальный диффеоморфизм . ${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$ ${\displaystyle (x^{i}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

Требовать. Две кривые f и g, проходящие через p , эквивалентны по модулю тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ f\right)=J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ g\right)}$

Действительно, единственная часть ясна, поскольку каждая из n функций x ¹ ,..., x ⁿ является гладкой функцией из M в . Итак, по определению отношения эквивалентности две эквивалентные кривые должны иметь . ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}(x^{i}\circ f)=J_{0}^{k}(x^{i}\circ g)}$

Обратно, предположим, что ; — гладкая вещественная функция на M в окрестности точки p . Поскольку каждая гладкая функция имеет выражение в локальной координате, мы можем выразить ; как функция в координатах. В частности, если q — точка M вблизи p , то ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (q)=\psi (x^{1}(q),\dots ,x^{n}(q))}$

для некоторой гладкой вещественной функции ψ от n вещественных переменных. Следовательно, для двух кривых f и g через p имеем

${\displaystyle \varphi \circ f=\psi (x^{1}\circ f,\dots ,x^{n}\circ f)}$

${\displaystyle \varphi \circ g=\psi (x^{1}\circ g,\dots ,x^{n}\circ g)}$

Цепное правило теперь устанавливает часть утверждения if . Например, если f и g являются функциями действительной переменной t , то

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\left(\varphi \circ f\right)(t)\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {d}{dt}}(x^{i}\circ f)(t)\right|_{t=0}\ (D_{i}\psi )\circ f(0)}$

которое равно тому же выражению при вычислении относительно g вместо f , напоминая, что f (0)= g (0)=p и f и g находятся в контакте k -го порядка в системе координат ( x ⁱ ).

^{Следовательно ,} мнимое расслоение Tk M допускает локальную тривиализацию в каждой координатной окрестности. На этом этапе, чтобы доказать, что это мнимое расслоение на самом деле является расслоением, достаточно установить, что оно имеет неособые функции перехода при замене координат. Пусть – другая система координат и пусть – связанный с ней диффеоморфизм координат евклидова пространства на себя. С помощью аффинного преобразования можно без ограничения общности считать , что ρ(0)=0. При таком предположении достаточно доказать, что это обратимое преобразование при составе струи. (См. также струйные группы .) Но поскольку ρ — диффеоморфизм, оно также является гладким отображением. Следовательно, ${\displaystyle (y^{i}):M\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle \rho =(x^{i})\circ (y^{i})^{-1}:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}\rho :J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})\rightarrow J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})}$ ${\displaystyle \rho ^{-1}}$

${\displaystyle I=J_{0}^{k}I=J_{0}^{k}(\rho \circ \rho ^{-1})=J_{0}^{k}(\rho )\circ J_{0}^{k}(\rho ^{-1})}$

что доказывает, что оно неособо. Более того, оно гладкое, хотя мы здесь этого не доказываем. ${\displaystyle J_{0}^{k}\rho }$

Интуитивно это означает, что мы можем выразить струю кривой через p через ее ряд Тейлора в локальных координатах на M .

Примеры в местных координатах:

• Как указывалось ранее, 1-струя кривой, проходящей через p, является касательным вектором. Касательный вектор в точке p — это дифференциальный оператор первого порядка , действующий на гладкие вещественные функции в точке p . В локальных координатах каждый касательный вектор имеет вид

${\displaystyle v=\sum _{i}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

Учитывая такой касательный вектор v , пусть f будет кривой, заданной в системе ^{координат} xi как . Если φ — гладкая функция в окрестности p с φ ( p ) = 0, то ${\displaystyle x^{i}\circ f(t)=tv^{i}}$

${\displaystyle \varphi \circ f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}$

представляет собой гладкую вещественную функцию одной переменной, чья 1-струя определяется выражением

${\displaystyle J_{0}^{1}(\varphi \circ f)(t)=\sum _{i}tv^{i}{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}(p).}$

что доказывает, что можно естественным образом отождествить касательные векторы в точке с 1-струями кривых, проходящих через эту точку.

• Пространство двух струй кривых, проходящих через точку.

В локальной системе координат xi ^с центром в точке p мы можем выразить полином Тейлора второго порядка кривой f ( t ) через p следующим образом :

${\displaystyle J_{0}^{2}(x^{i}(f))(t)=t{\frac {dx^{i}(f)}{dt}}(0)+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}x^{i}(f)}{dt^{2}}}(0).}$

Таким образом, в системе координат x 2-струя кривой, проходящей через p , отождествляется со списком действительных чисел . Как и касательные векторы (1-струи кривых) в точке, 2-струи кривых подчиняются закону преобразования при применении функций координатного перехода. ${\displaystyle ({\dot {x}}^{i},{\ddot {x}}^{i})}$

Пусть ( y ⁱ ) будет другой системой координат. По правилу цепочки,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t))\\[5pt]{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{k}(f(t))+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x^{j}(f(t))\end{aligned}}}$

Следовательно, закон преобразования задается путем вычисления этих двух выражений при t  = 0.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {y}}^{i}=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\dot {x}}^{j}\\[5pt]&{\ddot {y}}^{i}=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(0){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\ddot {x}}^{j}.\end{aligned}}}$

Отметим, что закон преобразования для 2-струй имеет второй порядок по функциям перехода координат.

Струи функций от многообразия к многообразию

Теперь мы готовы определить струю функции из многообразия в многообразие.

Предположим, что M и N — два гладких многообразия. Пусть p — точка M. Рассмотрим пространство , состоящее из гладких отображений , определенных в некоторой окрестности точки p . Определим отношение эквивалентности на следующим образом. Два отображения f и g называются эквивалентными, если для каждой кривой γ через p (напомним, что по нашим соглашениям это отображение такое, что ) мы имеем в некоторой окрестности 0 . ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$ ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$ ${\displaystyle \gamma :{\mathbb {R} }\rightarrow M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}(f\circ \gamma )=J_{0}^{k}(g\circ \gamma )}$

Пространство струи затем определяется как набор классов эквивалентности по модулю отношения эквивалентности . Обратите внимание: поскольку целевое пространство N не обязательно должно обладать какой-либо алгебраической структурой, оно также не обязательно должно иметь такую ​​структуру. На самом деле это резко контрастирует со случаем евклидовых пространств. ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}$ ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}$

Если - гладкая функция, определенная вблизи p , то мы определяем k -струю f в точке p , , как класс эквивалентности f по модулю . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}f}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$

Мультиджеты

Джон Мэзер ввел понятие многоструйного самолета . Грубо говоря, мультиструя — это конечный список джетов над разными базовыми точками. Мэзер доказал теорему о многоструйной трансверсальности , которую он использовал в своем исследовании стабильных отображений.

Форсунки секций

Предположим, что E — конечномерное гладкое векторное расслоение над многообразием M с проекцией . Тогда сечения E являются гладкими функциями, такими , что это тождественный автоморфизм M . Струя сечения s над окрестностью точки p — это не что иное, как струя этой гладкой функции из M в E в точке p . ${\displaystyle \pi :E\rightarrow M}$ ${\displaystyle s:M\rightarrow E}$ ${\displaystyle \pi \circ s}$

Пространство струй сечений в точке p обозначается . Хотя это обозначение может привести к путанице с более общими пространствами струй функций между двумя многообразиями, контекст обычно устраняет любую подобную двусмысленность. ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}$

В отличие от струй функций из одного многообразия в другое, пространство струй сечений в точке p несет в себе структуру векторного пространства, унаследованную от структуры векторного пространства на самих сечениях. Поскольку p изменяется над M , пространства струй образуют векторное расслоение над M , расслоение струй k -го порядка для E , обозначаемое Jk ⁽ E ). ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}$

• Пример: реактивное расслоение первого порядка касательного расслоения.

Мы работаем в локальных координатах точки и используем обозначения Эйнштейна . Рассмотрим векторное поле

${\displaystyle v=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i}}$

в окрестности точки p в M . 1-струя v получается путем взятия полинома Тейлора первого порядка от коэффициентов векторного поля:

${\displaystyle J_{0}^{1}v^{i}(x)=v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}(0)=v^{i}+v_{j}^{i}x^{j}.}$

В координатах x 1-струю в точке можно идентифицировать списком действительных чисел . Точно так же, как касательный вектор в точке можно отождествить со списком ( vi ⁾ при условии соблюдения определенного закона преобразования при переходах координат, мы должны знать, как переход влияет на список. ${\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}$ ${\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}$

Итак, рассмотрим закон преобразования при переходе в другую систему координат y ⁱ . Пусть w ^k — коэффициенты векторного поля v в координатах y . Тогда в координатах y 1-струя v представляет собой новый список действительных чисел . С ${\displaystyle (w^{i},w_{j}^{i})}$

${\displaystyle v=w^{k}(y)\partial /\partial y^{k}=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i},}$

следует, что

${\displaystyle w^{k}(y)=v^{i}(x){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x).}$

Так

${\displaystyle w^{k}(0)+y^{j}{\frac {\partial w^{k}}{\partial y^{j}}}(0)=\left(v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}\right){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x)}$

Разложив в ряд Тейлора, имеем

${\displaystyle w^{k}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(0)v^{i}}$

${\displaystyle w_{j}^{k}=v^{i}{\frac {\partial ^{2}y^{k}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+v_{j}^{i}{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}.}$

Отметим, что закон преобразования имеет второй порядок по функциям перехода координат.

Дифференциальные операторы между векторными расслоениями

Смотрите также

• Реактивная группа
• Реактивный комплект
• Лагранжева система

Рекомендации

• Красильщик И.С., Виноградов А.М. [и др.], Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики , Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 1999, ISBN  0-8218-0958-X .
• Коларж И., Михор П., Словак Й. Естественные операции в дифференциальной геометрии. Springer-Verlag: Берлин, Гейдельберг, 1993. ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .  
• Сондерс, ди-джей, Геометрия пучков струй , издательство Кембриджского университета, 1989, ISBN 0-521-36948-7 
• Олвер, П.Дж. , Эквивалентность, инварианты и симметрия , издательство Кембриджского университета, 1995, ISBN 0-521-47811-1 
• Сарданашвили, Г. , Расширенная дифференциальная геометрия для теоретиков: расслоения, струйные многообразия и теория Лагранжа , Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886