Коммутативная алгебра , впервые известная как теория идеалов , — это раздел алгебры , изучающий коммутативные кольца , их идеалы и модули над такими кольцами. И алгебраическая геометрия , и алгебраическая теория чисел основаны на коммутативной алгебре. Яркие примеры коммутативных колец включают полиномиальные кольца ; кольца целых алгебраических чисел , включая обычные целые числа ; и p -адические целые числа . [1]
Коммутативная алгебра — основной технический инструмент алгебраической геометрии , и многие результаты и понятия коммутативной алгебры тесно связаны с геометрическими понятиями.
Изучение колец, которые не обязательно являются коммутативными, известно как некоммутативная алгебра ; она включает теорию колец , теорию представлений и теорию банаховых алгебр .
Коммутативная алгебра — это, по сути, изучение колец, встречающихся в теории алгебраических чисел и алгебраической геометрии .
Несколько концепций коммутативных алгебр были разработаны в связи с теорией алгебраических чисел, таких как кольца Дедекинда (основной класс коммутативных колец, встречающихся в теории алгебраических чисел), целочисленные расширения , кольца нормирования и целочисленные расширения .
Кольца полиномов от нескольких неопределенных над полем являются примерами коммутативных колец. Поскольку алгебраическая геометрия по своей сути представляет собой изучение общих нулей этих колец, многие результаты и концепции алгебраической геометрии имеют аналоги в коммутативной алгебре, и их названия часто напоминают об их геомерном происхождении; например « Размерность Крулля », « локализация кольца », « локальное кольцо », « регулярное кольцо ».
Аффинное алгебраическое многообразие соответствует простому идеалу в кольце полиномов, а точки такого аффинного многообразия соответствуют максимальным идеалам , содержащим этот простой идеал. Топология Зарисского , первоначально определенная на алгебраическом многообразии, была распространена на множества простых идеалов любого коммутативного кольца; для этой топологии замкнутые множества — это множества простых идеалов, содержащих данный идеал.
Спектр кольца — это окольцованное пространство , образованное простыми идеалами, снабженными топологией Зарисского, и локализациями кольца на открытых множествах базиса этой топологии . Это отправная точка теории схем , обобщения алгебраической геометрии, введенной Гротендиком , которая в значительной степени основана на коммутативной алгебре и, в свою очередь, вызвала множество разработок коммутативной алгебры.
Этот предмет, впервые известный как идеальная теория , начался с работы Рихарда Дедекинда об идеалах , которая сама основана на более ранних работах Эрнста Куммера и Леопольда Кронекера . Позже Дэвид Гильберт ввел термин « кольцо» , чтобы обобщить более ранний термин « кольцо чисел» . Гильберт представил более абстрактный подход, чтобы заменить более конкретные и вычислительно-ориентированные методы, основанные на таких вещах, как комплексный анализ и классическая теория инвариантов . В свою очередь, Гильберт сильно повлиял на Эмми Нётер , которая переформулировала многие более ранние результаты в терминах условия восходящей цепи , теперь известного как условие Нётера. Другой важной вехой стала работа ученика Гильберта Эмануэля Ласкера , который ввёл первичные идеалы и доказал первую версию теоремы Ласкера-Нётер .
Главной фигурой, ответственной за зарождение коммутативной алгебры как зрелого предмета, был Вольфганг Крулль , который ввёл фундаментальные понятия локализации и пополнения кольца, а также правильных локальных колец . Он установил концепцию размерности кольца Крулля , сначала для нётеровых колец , а затем перешел к расширению своей теории, чтобы охватить кольца общей оценки и кольца Крулля . По сей день теорема Крулла о главном идеале широко считается единственной и наиболее важной фундаментальной теоремой коммутативной алгебры. Эти результаты проложили путь к введению коммутативной алгебры в алгебраическую геометрию, идея, которая произвела революцию в последнем предмете.
Большая часть современного развития коммутативной алгебры делает упор на модули . Оба идеала кольца R и R -алгебры являются частными случаями R -модулей, поэтому теория модулей охватывает как теорию идеалов, так и теорию расширений колец . Хотя современный подход к коммутативной алгебре с использованием теории модулей уже зародился в работах Кронекера , его обычно приписывают Круллю и Нётер .
Нётерово кольцо , названное в честь Эмми Нётер , — это кольцо, в котором каждый идеал конечно порождён ; то есть все элементы любого идеала можно записать как линейные комбинации конечного набора элементов с коэффициентами в кольце.
Многие обычно рассматриваемые коммутативные кольца являются нётеровыми, в частности, каждое поле , кольцо целого числа и каждое кольцо многочленов от одного или нескольких неопределённых над ними. Тот факт, что кольца многочленов над полем нётеровы, называется базовой теоремой Гильберта .
Более того, многие кольцевые конструкции сохраняют нётеровость. В частности, если коммутативное кольцо R нётерово, то же самое верно для любого кольца полиномов над ним, а также для каждого факторкольца , локализации или пополнения кольца.
Важность нетеровости свойства заключается в ее повсеместности, а также в том факте, что многие важные теоремы коммутативной алгебры требуют, чтобы задействованные кольца были нетеровыми. Это касается, в частности, теоремы Ласкера-Нётера , теоремы Крулля о пересечении и теоремы Накаямы. лемма .
Более того, если кольцо нётерово, то оно удовлетворяет условию нисходящей цепи на простых идеалах , из которого следует, что каждое нётерово локальное кольцо имеет конечную размерность Крулля .
Идеал Q кольца называется примарным , если Q собственный и всякий раз, когда xy ∈ Q , либо x ∈ Q , либо yn ∈ Q для некоторого натурального числа n . В Z первичные идеалы — это в точности идеалы формы ( pe ) , где p — простое число, а e — целое положительное число. Таким образом, первичное разложение ( n ) соответствует представлению ( n ) как пересечения конечного числа первичных идеалов.
Приведенную здесь теорему Ласкера –Нётер можно рассматривать как определенное обобщение основной теоремы арифметики:
Теорема Ласкера-Нётера . Пусть R — коммутативное нётерово кольцо, а I — идеал кольца R. Тогда меня можно записать как пересечение конечного числа первичных идеалов с различными радикалами ; то есть:
с Q i первичным для всех i и Rad( Q i ) ≠ Rad( Q j ) для i ≠ j . Кроме того, если:
является разложением I с Rad( P i ) ≠ Rad( P j ) для i ≠ j , и оба разложения I неизбыточны (это означает, что нет правильного подмножества ни { Q 1 , ..., Q t } , ни { P 1 , ..., P k } дает пересечение, равное I ), t = k и (после возможного изменения нумерации Q i ) Rad( Q i ) = Rad( P i ) для всех i .
Для любого первичного разложения I набор всех радикалов, то есть набор {Rad( Q 1 ), ..., Rad( Q t )}, остается прежним по теореме Ласкера – Нётер. На самом деле оказывается, что (для нётерова кольца) множество является именно убийцей модуля R / I ; то есть набор всех аннуляторов R / I (рассматриваемых как модуль над R ) , которые являются простыми.
Локализация — это формальный способ ввести «знаменатели» данного кольца или модуля. То есть вводит новое кольцо/модуль из существующего так, чтобы оно состояло из дробей
где знаменатели s располагаются в заданном подмножестве S R . Типичным примером является построение кольца Q рациональных чисел из кольца Z целых чисел.
Пополнение — это любой из нескольких связанных функторов на кольцах и модулях , которые приводят к полным топологическим кольцам и модулям. Завершение похоже на локализацию , и вместе они являются одними из самых основных инструментов анализа коммутативных колец . Полные коммутативные кольца имеют более простое строение, чем общие, и к ним применима лемма Гензеля .
Топология Зарисского определяет топологию на спектре кольца (множества простых идеалов). [2] В этой формулировке под множествами, замкнутыми по Зарискому, понимаются множества
где A — фиксированное коммутативное кольцо, а I — идеал. Это определяется по аналогии с классической топологией Зариского, где замкнутые множества в аффинном пространстве определяются полиномиальными уравнениями. Чтобы увидеть связь с классической картиной, заметим, что для любого множества S полиномов (над алгебраически замкнутым полем) из Nullstellensatz Гильберта следует , что точки V ( S ) (в старом смысле) являются в точности кортежами ( a 1 , ..., an ) такой , что идеал ( x1 - a1 , ..., xn - an ) содержит S ; более того, это максимальные идеалы, и согласно «слабому» Nullstellensatz идеал любого аффинного координатного кольца является максимальным тогда и только тогда, когда он имеет этот вид. Таким образом, V ( S ) «то же самое, что» максимальные идеалы, содержащие S. Новаторство Гротендика в определении Spec заключалось в замене максимальных идеалов всеми простыми идеалами; в этой формулировке это наблюдение естественно просто обобщить на определение замкнутого множества в спектре кольца.
Коммутативная алгебра (в виде колец многочленов и их частных, используемых при определении алгебраических многообразий ) всегда была частью алгебраической геометрии . Однако в конце 1950-х годов алгебраические многообразия были включены в концепцию схемы Александра Гротендика . Их локальными объектами являются аффинные схемы или простые спектры, которые представляют собой локально окольцованные пространства, образующие категорию, антиэквивалентную (двойственную) категории коммутативных колец с единицей, расширяющую двойственность между категорией аффинных алгебраических многообразий над полем k и категория конечно порожденных приведенных k -алгебр. Склейка осуществляется по топологии Зарисского; можно склеить внутри категории локально окольцованных пространств, но также, используя вложение Йонеды, в более абстрактную категорию предпучков множеств над категорией аффинных схем. Топология Зарисского в теоретико-множественном смысле тогда заменяется топологией Зариского в смысле топологии Гротендика . Гротендик представил топологии Гротендика, имея в виду более экзотические, но геометрически более тонкие и более чувствительные примеры, чем грубая топология Зарисского, а именно этальная топология , и две плоские топологии Гротендика: fppf и fpqc. В настоящее время стали известны некоторые другие примеры, в том числе топология Нисневича . Кроме того, пучки могут быть обобщены на стопки в смысле Гротендика, обычно с некоторыми дополнительными условиями представимости, что приводит к стопкам Артина и, что еще лучше, стопкам Делиня-Мамфорда , которые часто называют алгебраическими стопками.
