Спектр кольца

Набор главных идеалов кольца

В коммутативной алгебре простой спектр (или просто спектр ) коммутативного кольца R представляет собой множество всех простых идеалов кольца R и обычно обозначается ; ^[1] в алгебраической геометрии это одновременно топологическое пространство, снабженное пучком колец . ^[2] ${\displaystyle \operatorname {Spec} {R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Топология Зариского

Для любого идеала I из R определите множество простых идеалов, содержащих I. Мы можем создать топологию , определив совокупность замкнутых множеств как ${\displaystyle V_{I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

${\displaystyle \{V_{I}\colon I{\text{ is an ideal of }}R\}.}$

Эта топология называется топологией Зарисского .

Базис топологии Зарисского можно построить следующим образом . Для f ∈ R определим D _f как множество простых идеалов R , не содержащих f . Тогда каждый D _f является открытым подмножеством и является базисом топологии Зарисского. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \{D_{f}:f\in R\}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$— компактное пространство , но почти никогда не Хаусдорф : на самом деле максимальные идеалы в R — это именно замкнутые точки в этой топологии. По тем же соображениям, вообще говоря, не является пространством T 1 . ^[3] Однако всегда является пространством Колмогорова (удовлетворяет аксиоме T ₀ ); это также спектральное пространство . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Пучки и схемы

Для пространства с топологией Зариского структурный пучок определяется на выделенных открытых подмножествах путем задания локализации R степенями f . Можно показать, что это определяет B-пучок и, следовательно, определяет пучок . Более подробно, выделенные открытые подмножества являются базисом топологии Зариского, поэтому для произвольного открытого множества U , записанного как объединение , мы устанавливаем где обозначает предел относительно естественных гомоморфизмов колец . Можно проверить, что этот предпучок пучок, то же самое и пространство с кольцом . Любое кольцевое пространство, изоморфное одной из этих форм, называется аффинной схемой . Общие схемы получаются склейкой аффинных схем. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle \Gamma (D_{f},{\mathcal {O}}_{X})=R_{f},}$ ${\textstyle U=\bigcup _{i\in I}D_{f_{i}}}$ ${\textstyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\varprojlim _{i\in I}R_{f_{i}},}$ ${\displaystyle \varprojlim }$ ${\displaystyle R_{f}\to R_{fg}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Аналогично, для модуля M над кольцом R мы можем определить пучок на . На выделенные открытые подмножества устанавливаются с помощью локализации модуля . Как и выше, эта конструкция распространяется на предпучок на всех открытых подмножествах и удовлетворяет аксиоме склейки . Пучок такого вида называется квазикогерентным . ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \Gamma (D_{f},{\tilde {M}})=M_{f},}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Если P — точка в , то есть простой идеал, то слой структурного пучка в P равен локализации R в идеале P , и это локальное кольцо . Следовательно, — локально окольцованное пространство . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Если R — область целостности с полем частных K , то мы можем описать кольцо более конкретно следующим образом. Мы говорим, что элемент f в K является регулярным в точке P в X , если его можно представить в виде дроби f = a / b , где b не входит в P. Обратите внимание, что это согласуется с понятием регулярной функции в алгебраической геометрии. Используя это определение, мы можем точно описать множество элементов K , которые регулярны в каждой точке P в U . ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$

Функториальная перспектива

Полезно воспользоваться языком теории категорий и заметить, что это функтор . Каждый гомоморфизм колец индуцирует непрерывное отображение (поскольку прообраз любого простого идеала в является простым идеалом в ). Таким образом, его можно рассматривать как контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию топологических пространств. Более того, для любого простого числа гомоморфизм сводится к гомоморфизмам ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (f):\operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f^{-1}({\mathfrak {p}})}\to {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}}$

местных колец. Тем самым даже определяется контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию локально окольцованных пространств . Фактически это универсальный такой функтор, и, следовательно, его можно использовать для определения функтора с точностью до естественного изоморфизма . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

Функтор дает контравариантную эквивалентность между категорией коммутативных колец и категорией аффинных схем ; каждую из этих категорий часто считают категорией, противоположной другой. ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

Мотивация из алгебраической геометрии

Следуя примеру, в алгебраической геометрии изучаются алгебраические множества , т. е. подмножества K ⁿ (где K — алгебраически замкнутое поле ), которые определяются как общие нули набора многочленов от n переменных. Если A такое алгебраическое множество, рассматривается коммутативное кольцо R всех полиномиальных функций A → K . Максимальные идеалы R соответствуют точкам A (поскольку K алгебраически замкнуто), а простые идеалы R соответствуют подмногообразиям A ( алгебраическое множество называется неприводимым или многообразием , если его нельзя записать в виде объединения два собственных алгебраических подмножества).

Таким образом, спектр R состоит из точек A вместе с элементами всех подмногообразий A . Точки A замкнуты в спектре, а элементы, соответствующие подмногообразиям, имеют замыкание, состоящее из всех их точек и подмногообразий. Если рассматривать только точки A , т. е. максимальные идеалы в R , то определенная выше топология Зарисского совпадает с топологией Зарисского, определенной на алгебраических множествах (которая имеет именно алгебраические подмножества как замкнутые множества). В частности, максимальные идеалы в R , т. е . вместе с топологией Зарисского, гомеоморфны A также с топологией Зарисского. ${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} (R)}$

Таким образом, топологическое пространство можно рассматривать как «обогащение» топологического пространства A (топологией Зарисского): для каждого подмногообразия A введена одна дополнительная незамкнутая точка, и эта точка «отслеживает» соответствующее подмногообразие. . Эту точку можно рассматривать как общую точку подмногообразия. Более того, пучок на и пучок полиномиальных функций на A по существу идентичны. Изучая спектры колец полиномов вместо алгебраических множеств с топологией Зарисского, можно обобщить понятия алгебраической геометрии на неалгебраически замкнутые поля и за их пределами, в конечном итоге придя к языку схем . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Примеры

• Спектр целых чисел: Аффинная схема является последним объектом в категории аффинных схем, поскольку является исходным объектом в категории коммутативных колец. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Теоретико-схемный аналог : Аффинная схема . С точки зрения функтора точек точку можно отождествить с оценочным морфизмом . Это фундаментальное наблюдение позволяет нам придать смысл другим аффинным схемам. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow {ev_{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}}}\mathbb {C} }$
• Крест: топологически выглядит как поперечное пересечение двух комплексных плоскостей в точке, хотя обычно это изображается как , поскольку единственными четко определенными морфизмами to являются оценочные морфизмы, связанные с точками . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{(\alpha _{1},0),(0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C} \}}$
• Простой спектр булевого кольца (например, кольца степенных множеств ) представляет собой компактное вполне несвязное хаусдорфово пространство (т. е. пространство Стоуна ). ^[4]
• ( М. Хохстер ) Топологическое пространство гомеоморфно простому спектру коммутативного кольца (т. е. спектральному пространству ) тогда и только тогда, когда оно компактно, квазиотделимо и трезво . ^[5]

Неаффинные примеры

Вот несколько примеров схем, которые не являются аффинными схемами. Они построены путем склеивания аффинных схем.

• Проективное пространство над полем . Это можно легко обобщить на любое базовое кольцо, см. Конструкцию Проя (фактически, мы можем определить проективное пространство для любой базовой схемы). Проективное пространство for не аффинно, как глобальная часть is . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle k}$
• Аффинная плоскость без начала координат. ^[6] Внутри выделяют открытые аффинные подсхемы . Их объединение представляет собой аффинную плоскость с вынесенным началом. Глобальные секции представляют собой пары полиномов на , которые ограничиваются одним и тем же полиномом на , который, как можно показать , является глобальной секцией . не является аффинным, как в . ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}=\operatorname {Spec} \,k[x,y]}$ ${\displaystyle D_{x},D_{y}}$ ${\displaystyle D_{x}\cup D_{y}=U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D_{x},D_{y}}$ ${\displaystyle D_{xy}}$ ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V_{(x)}\cap V_{(y)}=\varnothing }$ ${\displaystyle U}$

Незарисские топологии на простом спектре

Некоторые авторы (особенно М. Хохстер) рассматривают топологии простых спектров, отличные от топологии Зарисского.

Во-первых, существует понятие конструктивной топологии : для данного кольца A подмножества формы удовлетворяют аксиомам для замкнутых множеств в топологическом пространстве. Эта топология называется конструктивной топологией. ^{[7] [8]} ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle \varphi ^{*}(\operatorname {Spec} B),\varphi :A\to B}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$

В Хохстере (1969) Хохстер рассматривает то, что он называет топологией патчей на простом спектре. ^{[9] [10] [11]} По определению, патч-топология — это наименьшая топология, в которой множества форм и замкнуты. ${\displaystyle V(I)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)-V(f)}$

Глобальная или относительная спецификация

Существует относительная версия функтора, называемая глобальным или относительным . Если схема, то относительная обозначается или . Если понятно из контекста, то относительная Spec может обозначаться или . Для схемы и квазикогерентного пучка -алгебр существуют схема и морфизм такие, что для каждого открытого аффина существует изоморфизм , и такие, что для открытых аффинов включение индуцируется отображением ограничения . То есть, поскольку гомоморфизмы колец индуцируют противоположные отображения спектров, карты ограничения пучка алгебр индуцируют карты включения спектров, составляющих Spec пучка . ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}}$ ${\displaystyle \mathbf {Spec} _{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {Spec} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle f:{\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})\to S}$ ${\displaystyle U\subseteq S}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)\cong \operatorname {Spec} ({\mathcal {A}}(U))}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)\to f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)\to {\mathcal {A}}(V)}$

Глобальная спецификация имеет универсальное свойство, аналогичное универсальному свойству обычной спецификации. Точнее, так же, как Spec и функтор глобального сечения являются контравариантными правыми сопряженными между категорией коммутативных колец и схем, глобальный Spec и функтор прямого образа для структурного отображения являются контравариантными правыми сопряженными между категорией коммутативных -алгебр и схем над . ^{[ сомнительно ]} В формулах ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{S}{\text{-alg}}}({\mathcal {A}},\pi _{*}{\mathcal {O}}_{X})\cong \operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/S}(X,\mathbf {Spec} ({\mathcal {A}})),}$

где – морфизм схем. ${\displaystyle \pi \colon X\to S}$

Пример относительной спецификации

Относительная спецификация — правильный инструмент для параметризации семейства прямых через начало над. Рассмотрим пучок алгебр и пусть — пучок идеалов. Тогда относительная спецификация параметризует искомое семейство. Фактически, волокно над — это линия, проходящая через начало координат, содержащая точку. Предполагая, что волокно можно вычислить, глядя на композицию обратных диаграмм. ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a,b}^{1}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x,y],}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}=(ay-bx)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})\to \mathbb {P} _{a,b}^{1}}$ ${\displaystyle [\alpha :\beta ]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta ).}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{\left(y-{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)}}\right)&\to &\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right][x,y]}{\left(y-{\frac {b}{a}}x\right)}}\right)&\to &{\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[x,y]}{\left(ay-bx\right)}}\right)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )&\to &\operatorname {Spec} \left(\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right]\right)=U_{a}&\to &\mathbb {P} _{a,b}^{1}\end{matrix}}}$

где состав нижних стрелок

${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ){\xrightarrow {[\alpha :\beta ]}}\mathbb {P} _{a,b}^{1}}$

дает линию, содержащую точку и начало координат. Этот пример можно обобщить, чтобы параметризовать семейство линий через начало координат over , разрешив и ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n+1}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a_{0},...,a_{n}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{0},...,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\left(2\times 2{\text{ minors of }}{\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots &a_{n}\\x_{0}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\right).}$

Перспектива теории представлений

С точки зрения теории представлений , простой идеал I соответствует модулю R / I , а спектр кольца соответствует неприводимым циклическим представлениям R , тогда как более общие подмногообразия соответствуют возможно приводимым представлениям, которые не обязательно должны быть циклическими. Напомним, что абстрактно теория представлений группы — это исследование модулей над ее групповой алгеброй .

Связь с теорией представлений становится более ясной , если рассматривать кольцо многочленов или , без базиса . векторное пространство. Тогда идеал I или, что то же самое, модуль является циклическим представлением R (циклическое значение, порожденное одним элементом в качестве R -модуля; это обобщает одномерные представления). ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle R=K[V].}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle R/I,}$

В случае, когда поле алгебраически замкнуто (скажем, комплексные числа), каждый максимальный идеал соответствует точке в n -пространстве по Nullstellensatz (максимальный идеал, порожденный , соответствует точке ). Эти представления затем параметризуются дуальным пространством, ковектор задается путем отправки каждого в соответствующий . Таким образом, представление ( K -линейных карт ) задается набором из n чисел или, что то же самое, ковектором. ${\displaystyle (x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),\ldots ,(x_{n}-a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle K[V]}$ ${\displaystyle V^{*},}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle K^{n}\to K}$ ${\displaystyle K^{n}\to K.}$

Таким образом, точки в n -пространстве, рассматриваемые как максимальная спецификация, соответствуют в точности одномерным представлениям R , тогда как конечные множества точек соответствуют конечномерным представлениям (которые приводимы, геометрически соответствуют объединению и алгебраически соответствуют не быть главным идеалом). Тогда немаксимальные идеалы соответствуют бесконечномерным представлениям. ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}],}$

Перспектива функционального анализа

Термин «спектр» происходит от использования в теории операторов . Учитывая линейный оператор T в конечномерном векторном пространстве V , можно рассматривать векторное пространство с оператором как модуль над кольцом многочленов от одной переменной R = K [ T ], как в структурной теореме для конечно порожденных модулей над область главного идеала . Тогда спектр K [ T ] (как кольца) равен спектру T (как оператора).

Кроме того, геометрическая структура спектра кольца (эквивалентно алгебраической структуре модуля) отражает поведение спектра оператора, такое как алгебраическая кратность и геометрическая кратность. Например, для единичной матрицы 2×2 имеется соответствующий модуль:

${\displaystyle K[T]/(T-1)\oplus K[T]/(T-1)}$

нулевая матрица 2×2 имеет модуль

${\displaystyle K[T]/(T-0)\oplus K[T]/(T-0),}$

показывая геометрическую кратность 2 для нулевого собственного значения , в то время как нетривиальная нильпотентная матрица 2 × 2 имеет модуль

${\displaystyle K[T]/T^{2},}$

показывающий алгебраическую кратность 2, но геометрическую кратность 1.

Более детально:

• собственные значения (с геометрической кратностью) оператора соответствуют (приведенным) точкам многообразия с кратностью;
• первичное разложение модуля соответствует нередуцированным точкам многообразия;
• приведенному многообразию соответствует диагонализуемый (полупростой) оператор;
• циклический модуль (один генератор) соответствует оператору, имеющему циклический вектор (вектор, орбита которого под T охватывает пространство);
• последний инвариантный множитель модуля равен минимальному многочлену оператора, а произведение инвариантных множителей равно характеристическому многочлену .

Обобщения

Спектр можно обобщить с колец на C*-алгебры в теории операторов , что дает понятие спектра C*-алгебры . Примечательно, что для хаусдорфова пространства алгебра скаляров (ограниченные непрерывные функции в пространстве аналогичны регулярным функциям) является коммутативной C *-алгеброй, причем пространство восстанавливается как топологическое пространство из алгебры скаляров, действительно, функториально так; это содержание теоремы Банаха–Стоуна . Действительно, любая коммутативная С*-алгебра может быть реализована таким образом как алгебра скаляров хаусдорфова пространства, давая то же соответствие, что и между кольцом и его спектром. Обобщение на некоммутативные C*-алгебры дает некоммутативную топологию . ${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} }$

Смотрите также

• Схема (математика)
• Проективная схема
• Спектр матрицы
• Теорема Серра об аффинности
• Этальный спектр
• Спектр Циглера
• Примитивный спектр

Цитаты

1. Шарп (2001), с. 44, Деф. 3.26
2. Хартсхорн (1977), с. 70, Определение
3. Архангельский и Понтрягин (1990), пример 21, раздел 2.6.
4. Атья и Макдональд (1969), гл. 1. Упражнение 23. (iv)
5. Хохстер (1969)
6. Вакиль (nd), Глава 4, пример 4.4.1
7. Атья и Макдональд (1969), гл. 5, Упражнение 27
8. Таризаде (2019)
9. Кок (2007)
10. Фонтана и Лопер (2008)
11. Брэндал (1979)

Рекомендации

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-40751-8.
• Архангельский, А.В. ; Понтрягин Л.С. , ред. (1990). Общая топология I. Энциклопедия математических наук. Том. 17. дои : 10.1007/978-3-642-61265-7. ISBN 978-3-642-64767-3.
• Брандал, Вилли (1979). Коммутативные кольца, конечно порожденные модули которых распадаются . Конспект лекций по математике. Том. 723. дои : 10.1007/BFb0069021. ISBN 978-3-540-09507-1.
• Кокс, Дэвид ; О'Ши, Донал; Литтл, Джон (1997), Идеалы, разновидности и алгоритмы , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94680-1
• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (2000), Геометрия схем , Тексты для выпускников по математике, том. 197, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-98637-1, МР  1730819
• Фонтана, Марко; Лопер, К. Алан (2008). «Патч-топология и топология ультрафильтра на простом спектре коммутативного кольца». Связь в алгебре . 36 (8): 2917–2922. arXiv : 0707.1525 . дои : 10.1080/00927870802110326. S2CID  17045655.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Хохстер, М. (1969). «Первичная идеальная структура в коммутативных кольцах». Труды Американского математического общества . 142 : 43–60. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251026-X . JSTOR  1995344.
• Шарп, Родни Ю. (2001). Шаги в коммутативной алгебре (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-511-62368-4.
• Таризаде, Абольфазл (2019). «Плоская топология и ее двойственные аспекты». Связь в алгебре . 47 : 195–205. arXiv : 1503.04299 . дои : 10.1080/00927872.2018.1469637. S2CID  119574163.

Внешние ссылки

• Кевин Р. Кумбс: Спектр кольца
• Кок, Иоахим (2007). «Замечания о спектрах, носителях и двойственности Хохстера» (PDF) . S2CID  54501563.
• Авторы проекта Stacks. «27.3 Относительный спектр посредством склейки».
• Вакил, Рави (н. д.). «Основы алгебраической геометрии». math.stanford.edu .{{cite web}}: CS1 maint: ref duplicates default (link)