Спектр C*-алгебры

Математическая концепция

В математике спектр C*-алгебры или двойственной к C*-алгебре A , обозначаемый Â , является множеством унитарных классов эквивалентности неприводимых *-представлений A . *-Представление π алгебры A в гильбертовом пространстве H неприводимо тогда и только тогда, когда не существует замкнутого подпространства K, отличного от H и {0}, которое инвариантно относительно всех операторов π( x ) с x ∈ A . Мы неявно предполагаем, что неприводимое представление означает ненулевое неприводимое представление, тем самым исключая тривиальные (т. е. тождественно 0) представления в одномерных пространствах . Как поясняется ниже, спектр Â также естественным образом является топологическим пространством ; это похоже на понятие спектра кольца .

Одним из наиболее важных приложений этой концепции является предоставление понятия дуального объекта для любой локально компактной группы . Этот дуальный объект подходит для формулировки преобразования Фурье и теоремы Планшереля для унимодулярных отделимых локально компактных групп типа I и теоремы разложения для произвольных представлений отделимых локально компактных групп типа I. Полученная теория двойственности для локально компактных групп, однако, намного слабее, чем теория двойственности Таннаки–Крейна для компактных топологических групп или двойственность Понтрягина для локально компактных абелевых групп, обе из которых являются полными инвариантами. То, что дуальный объект не является полным инвариантом, легко увидеть, поскольку дуальный объект любой конечномерной полной матричной алгебры M _n ( C ) состоит из одной точки.

Первичный спектр

Топология Â может быть определена несколькими эквивалентными способами. Сначала мы определим ее в терминах примитивного спектра .

Примитивный спектр A — это множество примитивных идеалов Prim( A ) для A , где примитивный идеал — это ядро ​​ненулевого неприводимого *-представления. Множество примитивных идеалов — это топологическое пространство с топологией оболочка-ядро (или топологией Джекобсона ). Это определяется следующим образом: если X — множество примитивных идеалов, то его замыкание оболочка-ядро равно

${\displaystyle {\overline {X}}=\left\{\rho \in \operatorname {Prim} (A):\rho \supseteq \bigcap _{\pi \in X}\pi \right\}.}$

Легко показать, что замыкание оболочки и ядра является идемпотентной операцией, то есть

${\displaystyle {\overline {\overline {X}}}={\overline {X}},}$

и можно показать, что он удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского . Как следствие, можно показать, что существует единственная топология τ на Prim( A ) такая, что замыкание множества X относительно τ идентично замыканию оболочки-ядра X .

Поскольку унитарно эквивалентные представления имеют одно и то же ядро, отображение π ↦ ker(π) пропускается через сюръективное отображение

${\displaystyle \operatorname {k} :{\hat {A}}\to \operatorname {Prim} (A).}$

Мы используем карту k для определения топологии на Â следующим образом:

Определение . Открытые множества Â являются прообразами k ⁻¹ ( U ) открытых подмножеств U из Prim( A ). Это действительно топология.

Топология оболочка-ядро является аналогом для некоммутативных колец топологии Зариского для коммутативных колец.

Топология на Â , индуцированная из топологии оболочка-ядро , имеет другие характеристики в терминах состояний A.

Примеры

Коммутативные C*-алгебры

3-мерная коммутативная C*-алгебра и ее идеалы. Каждый из 8 идеалов соответствует замкнутому подмножеству дискретного 3-точечного пространства (или открытому дополнению). Примитивные идеалы соответствуют замкнутым синглтонам . Подробности см. на странице описания изображения.

Спектр коммутативной C*-алгебры A совпадает с двойственным по Гельфанду спектром A (не путать с двойственным A' банахова пространства A ). В частности, предположим, что X — компактное хаусдорфово пространство . Тогда существует естественный гомеоморфизм

${\displaystyle \operatorname {I} :X\cong \operatorname {Prim} (\operatorname {C} (X)).}$

Это отображение определяется

${\displaystyle \operatorname {I} (x)=\{f\in \operatorname {C} (X):f(x)=0\}.}$

I( x ) — замкнутый максимальный идеал в C( X ), поэтому он на самом деле примитивен. Подробности доказательства см. в справочнике Диксмье. Для коммутативной C*-алгебры

${\displaystyle {\hat {A}}\cong \operatorname {Prim} (A).}$

C*-алгебра ограниченных операторов

Пусть H — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство . L ( H ) имеет два замкнутых по норме *-идеала: I ₀  = {0} и идеал K  =  K ( H ) компактных операторов. Таким образом, как множество, Prim( L ( H )) = { I ₀ ,  K }. Теперь

• { K } — замкнутое подмножество Prim( L ( H )).
• Замыкание { I ₀ } равно Prim( L ( H )).

Таким образом, Prim( L ( H )) является нехаусдорфовым пространством.

Спектр L ( H ) с другой стороны гораздо больше. Существует много неэквивалентных неприводимых представлений с ядром K ( H ) или с ядром {0}.

Конечномерные C*-алгебры

Предположим, что A — конечномерная C*-алгебра. Известно, что A изоморфна конечной прямой сумме полных матричных алгебр:

${\displaystyle A\cong \bigoplus _{e\in \operatorname {min} (A)}Ae,}$

где min( A ) — минимальные центральные проекции A . Спектр A канонически изоморфен min( A ) с дискретной топологией . Для конечномерных C*-алгебр мы также имеем изоморфизм

${\displaystyle {\hat {A}}\cong \operatorname {Prim} (A).}$

Другие характеристики спектра

Топологию оболочка-ядро легко описать абстрактно, но на практике для C*-алгебр, связанных с локально компактными топологическими группами , желательны другие характеристики топологии на спектре в терминах положительно определенных функций.

На самом деле топология на Â тесно связана с концепцией слабого включения представлений, как показано в следующем:

Теорема . Пусть S — подмножество Â . Тогда следующие утверждения эквивалентны для неприводимого представления π;

1. Класс эквивалентности π в Â находится в замыкании S
2. Каждое состояние, связанное с π, является одним из видов

${\displaystyle f_{\xi }(x)=\langle \xi \mid \pi (x)\xi \rangle }$

при ||ξ|| = 1, является слабым пределом состояний, связанных с представлениями в S.

Второе условие означает именно то, что π слабо содержится в S.

Конструкция GNS — это рецепт для сопоставления состояний C*-алгебры A представлениям A . Согласно одной из основных теорем, связанных с конструкцией GNS, состояние f является чистым тогда и только тогда, когда ассоциированное представление π _f неприводимо. Более того, отображение κ : PureState( A ) → Â , определенное как f ↦ π _f, является сюръективным отображением.

Из предыдущей теоремы легко доказать следующее:

Теорема Отображение

${\displaystyle \kappa :\operatorname {PureState} (A)\to {\hat {A}}}$

заданная конструкцией ГНС, является непрерывной и открытой.

Пространство Иррн(А)

Существует еще одна характеристика топологии на Â , которая возникает при рассмотрении пространства представлений как топологического пространства с подходящей топологией поточечной сходимости. Точнее, пусть n будет кардинальным числом, а H _n будет каноническим гильбертовым пространством размерности n .

Irr _n ( A ) — пространство неприводимых *-представлений A на H _n с точечно-слабой топологией. В терминах сходимости сетей эта топология определяется соотношением π _i → π; тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \langle \pi _{i}(x)\xi \mid \eta \rangle \to \langle \pi (x)\xi \mid \eta \rangle \quad \forall \xi ,\eta \in H_{n}\ x\in A.}$

Оказывается, эта топология на Irr _n ( A ) совпадает с точечной сильной топологией, т.е. π _i → π тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \pi _{i}(x)\xi \to \pi (x)\xi \quad {\mbox{ normwise }}\forall \xi \in H_{n}\ x\in A.}$

Теорема . Пусть Â _n — подмножество Â , состоящее из классов эквивалентности представлений, базовое гильбертово пространство которых имеет размерность n . Каноническое отображение Irr _n ( A ) → Â _n непрерывно и открыто. В частности, Â _n можно рассматривать как фактор-топологическое пространство Irr _n ( A ) при унитарной эквивалентности.

Замечание . Соединение различных Â _n может быть довольно сложным.

Структура Макки–Бореля

 является топологическим пространством и, таким образом, может также рассматриваться как борелевское пространство . Известная гипотеза Дж. Макки предполагала, что сепарабельная локально компактная группа имеет тип I тогда и только тогда, когда борелевское пространство является стандартным, т.е. изоморфно (в категории борелевских пространств) базовому борелевскому пространству полного сепарабельного метрического пространства . Макки назвал борелевские пространства с этим свойством гладкими . Эта гипотеза была доказана Джеймсом Глиммом для сепарабельных C*-алгебр в статье 1961 года, указанной в ссылках ниже.

Определение . Невырожденное *-представление π сепарабельной C*-алгебры A является факторным представлением тогда и только тогда, когда центр алгебры фон Неймана, порожденной π( A ), одномерен. AC*-алгебра A имеет тип I тогда и только тогда, когда любое сепарабельное факторное представление A является конечным или счетным кратным неприводимого.

Примерами отделимых локально компактных групп G, таких что C*( G ) имеет тип I, являются связные (действительные) нильпотентные группы Ли и связные действительные полупростые группы Ли. Таким образом, все группы Гейзенберга имеют тип I. Компактные и абелевы группы также имеют тип I.

Теорема . Если A сепарабельно, Â является гладким тогда и только тогда, когда A имеет тип I.

Результат подразумевает далеко идущее обобщение структуры представлений отделимых алгебр типа IC* и соответственно отделимых локально компактных групп типа I.

Алгебраические примитивные спектры

Поскольку C*-алгебра A является кольцом , мы также можем рассмотреть множество примитивных идеалов A , где A рассматривается алгебраически. Для кольца идеал примитивен тогда и только тогда, когда он является аннулятором простого модуля . Оказывается, что для C*-алгебры A идеал алгебраически примитивен тогда и только тогда, когда он примитивен в определенном выше смысле.

Теорема . Пусть A — C*-алгебра. Любое алгебраически неприводимое представление A на комплексном векторном пространстве алгебраически эквивалентно топологически неприводимому *-представлению на гильбертовом пространстве. Топологически неприводимые *-представления на гильбертовом пространстве алгебраически изоморфны тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны.

Это следствие теоремы 2.9.5 из книги Диксмье.

Если G — локально компактная группа, то топология на двойственном пространстве групповой C*-алгебры C*( G ) группы G называется топологией Фелла , названной в честь Дж. М. Г. Фелла .

Ссылки

• Дж. Диксмье, C*-Algebras , Северная Голландия, 1977 (перевод Les C*-algèbres et leurs representations )
• Ж. Диксмье, Les C*-алгебры и представления leurs , Готье-Виллар, 1969.
• Дж. Глимм, Тип IC*-алгебры , Анналы математики, т. 73, 1961.
• Г. Макки, Теория групповых представлений , Издательство Чикагского университета, 1955.