Дуальность Таннаки–Крейна

Двойственность между группой и ее представлениями

В математике теория двойственности Таннаки–Крейна касается взаимодействия компактной топологической группы и ее категории линейных представлений . Она является естественным расширением двойственности Понтрягина между компактными и дискретными коммутативными топологическими группами на группы, которые являются компактными, но некоммутативными . Теория названа в честь Тадао Таннаки и Марка Григорьевича Крейна . В отличие от случая коммутативных групп, рассмотренного Львом Понтрягиным , понятие, двойственное к некоммутативной компактной группе , является не группой, а категорией представлений Π( G ) с некоторой дополнительной структурой, образованной конечномерными представлениями G .

Теоремы двойственности Таннаки и Крейна описывают обратный переход от категории Π( G ) обратно к группе G , позволяя восстановить группу из ее категории представлений. Более того, они фактически полностью характеризуют все категории, которые могут возникнуть из группы таким образом. Позднее Александр Гротендик показал, что с помощью аналогичного процесса двойственность Таннаки может быть распространена на случай алгебраических групп через формализм Таннаки . Тем временем исходная теория Таннаки и Крейна продолжала развиваться и совершенствоваться математическими физиками . Обобщение теории Таннаки–Крейна обеспечивает естественную основу для изучения представлений квантовых групп и в настоящее время распространяется на квантовые супергруппы , квантовые группоиды и их двойственные алгеброиды Хопфа .

Идея двойственности Таннаки–Крейна: категория представлений группы

В теории двойственности Понтрягина для локально компактных коммутативных групп дуальным объектом к группе G является ее группа характеров , которая состоит из ее одномерных унитарных представлений . Если мы позволим группе G быть некоммутативной, наиболее прямым аналогом группы характеров является множество классов эквивалентности неприводимых унитарных представлений G. Аналогом произведения характеров является тензорное произведение представлений . Однако неприводимые представления G в общем случае не образуют группу или даже моноид, поскольку тензорное произведение неприводимых представлений не обязательно является неприводимым. Оказывается, нужно рассмотреть множество всех конечномерных представлений и трактовать его как моноидальную категорию , где произведение является обычным тензорным произведением представлений, а дуальный объект задается операцией контрагредиентного представления . ${\displaystyle {\hat {G}},}$ ${\displaystyle \Pi (G)}$

Представление категории — это моноидальное естественное преобразование из тождественного функтора в себя. Другими словами, это ненулевая функция , которая сопоставляет любому эндоморфизм пространства T и удовлетворяет условиям совместимости с тензорными произведениями, и с произвольными сплетающими операторами , а именно, . Совокупность всех представлений категории может быть наделена умножением и топологией , в которой сходимость определяется поточечно , т. е. последовательность сходится к некоторому тогда и только тогда, когда сходится к для всех . Можно показать, что таким образом множество становится компактной (топологической) группой. ${\displaystyle \Pi (G)}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{\Pi (G)}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T\in \operatorname {Ob} \Pi (G)}$ ${\displaystyle \varphi (T\otimes U)=\varphi (T)\otimes \varphi (U)}$ ${\displaystyle f\colon T\to U}$ ${\displaystyle f\circ \varphi (T)=\varphi (U)\circ f}$ ${\displaystyle \Gamma (\Pi (G))}$ ${\displaystyle \Pi (G)}$ ${\displaystyle \varphi \psi (T)=\varphi (T)\psi (T)}$ ${\displaystyle \{\varphi _{a}\}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \{\varphi _{a}(T)\}}$ ${\displaystyle \varphi (T)}$ ${\displaystyle T\in \operatorname {Ob} \Pi (G)}$ ${\displaystyle \Gamma (\Pi (G))}$

Теоремы Таннаки и Крейна

Теорема Таннаки дает способ восстановить компактную группу G из ее категории представлений Π( G ).

Пусть G — компактная группа, и пусть F: Π( G ) → Vect _C — забывающий функтор из конечномерных комплексных представлений G в комплексные конечномерные векторные пространства . На естественные преобразования τ: F → F накладывается топология , устанавливая ее как максимально грубую топологию, такую, что каждая из проекций End( F ) → End( V ), заданная как (принимая естественное преобразование к своему компоненту в ), является непрерывной функцией . Мы говорим, что естественное преобразование сохраняет тензор, если оно является тождественным отображением на тривиальном представлении G , и если оно сохраняет тензорные произведения в том смысле, что . Мы также говорим, что τ является самосопряженным , если где черта обозначает комплексное сопряжение. Тогда множество всех сохраняющих тензор самосопряженных естественных преобразований F является замкнутым подмножеством End( F ), которое на самом деле является (компактной) группой, если G является (компактной) группой. Каждый элемент x из G порождает сохраняющее тензор самосопряженное естественное преобразование посредством умножения на x на каждом представлении, и, следовательно, мы имеем отображение . Теорема Таннаки тогда утверждает, что это отображение является изоморфизмом. ${\displaystyle \tau \mapsto \tau _{V}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{V}}$ ${\displaystyle V\in \Pi (G)}$ ${\displaystyle \tau _{V\otimes W}=\tau _{V}\otimes \tau _{W}}$ ${\displaystyle {\overline {\tau }}=\tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$ ${\displaystyle G\to {\mathcal {T}}(G)}$

Теорема Крейна отвечает на следующий вопрос: какие категории могут возникнуть как двойственный объект к компактной группе?

Пусть Π — категория конечномерных векторных пространств, наделенная операциями тензорного произведения и инволюции. Следующие условия необходимы и достаточны для того, чтобы Π была дуальным объектом к компактной группе G.

1. Существует объект со свойством, что для всех объектов A из Π (который обязательно будет единственным с точностью до изоморфизма). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\otimes A\approx A}$

2. Каждый объект A из Π можно разложить на сумму минимальных объектов.

3. Если A и B — два минимальных объекта, то пространство гомоморфизмов Hom _Π ( A , B ) либо одномерно (когда они изоморфны), либо равно нулю.

Если все эти условия выполнены, то категория Π = Π( G ), где G — группа представлений Π.

Обобщение

Интерес к теории дуальности Таннаки–Крейна вновь пробудился в 1980-х годах с открытием квантовых групп в работе Дринфельда и Джимбо . Один из основных подходов к изучению квантовой группы осуществляется через ее конечномерные представления, которые образуют категорию, родственную симметричным моноидальным категориям Π( G ), но более общего типа, сплетенную моноидальную категорию . Оказалось, что хорошая теория дуальности типа Таннаки–Крейна существует и в этом случае и играет важную роль в теории квантовых групп, предоставляя естественную обстановку, в которой могут изучаться как квантовые группы, так и их представления. Вскоре после этого в рациональной конформной теории поля были найдены различные примеры сплетенных моноидальных категорий . Философия Таннаки–Крейна предполагает, что сплетенные моноидальные категории, возникающие из конформной теории поля, также могут быть получены из квантовых групп, и в серии статей Каждан и Люстиг доказали, что это действительно так. С другой стороны, сплетенные моноидальные категории, возникающие из некоторых квантовых групп, были применены Решетихиным и Тураевым для построения новых инвариантов узлов.

Теорема Допликера–Робертса

Теорема Допликера –Робертса (созданная Серджио Допликером и Джоном Э. Робертсом) характеризует Rep( G ) в терминах теории категорий как тип подкатегории категории гильбертовых пространств . ^[1] Такими подкатегориями компактных групповых унитарных представлений в гильбертовых пространствах являются:

1. строгая симметричная моноидальная C*-категория с сопряженными элементами
2. подкатегория, имеющая подобъекты и прямые суммы , такие, что C*-алгебра эндоморфизмов моноидальной единицы содержит только скаляры.

Смотрите также

• Теорема Гельфанда–Наймарка

Примечания

1. Доплихер, С.; Робертс, Дж. (1989). «Новая теория двойственности для компактных групп». Inventiones Mathematicae . 98 (1): 157–218. Bibcode : 1989InMat..98..157D. doi : 10.1007/BF01388849.

Внешние ссылки

• Durkdević, Mićok (декабрь 1996 г.). "Квантовые главные расслоения и теория дуальности Таннаки-Крейна". Reports on Mathematical Physics . 38 (3): 313–324. arXiv : q-alg/9507018 . Bibcode :1996RpMP...38..313K. CiteSeerX  10.1.1.269.3027 . doi :10.1016/S0034-4877(97)84884-7.
• Van Daele, Alfons (2000). «Квантовые группы с инвариантными интегралами». Труды Национальной академии наук . 97 (2): 541–6. Bibcode :2000PNAS...97..541V. doi : 10.1073/pnas.97.2.541 . JSTOR  121658. PMC  33963 . PMID  10639115.
• Джоял, А.; Стрит, Р. (1991), "Введение в дуальность Таннака и квантовые группы" (PDF) , Теория категорий , Lecture Notes in Mathematics, т. 1488, Springer, doi :10.1007/BFb0084235, ISBN 978-3-540-46435-8