В математике и теоретической физике термин « квантовая группа» обозначает один из нескольких видов некоммутативных алгебр с дополнительной структурой. К ним относятся квантовые группы типа Дринфельда-Джимбо (которые являются квазитреугольными алгебрами Хопфа ), компактные матричные квантовые группы (которые являются структурами на сепарабельных C*-алгебрах с единицей ) и квантовые группы с двойным произведением. Несмотря на свое название, они сами по себе не имеют естественной групповой структуры, хотя в некотором смысле они «близки» к группе.
Термин «квантовая группа» впервые появился в теории квантовых интегрируемых систем , которая затем была формализована Владимиром Дринфельдом и Мичио Джимбо как особый класс алгебры Хопфа . Тот же термин также используется для других алгебр Хопфа, которые деформируют классические группы Ли или алгебры Ли или близки к ним, например, класс квантовых групп «двойного произведения», введенный Шаном Маджидом вскоре после работы Дринфельда и Джимбо.
В подходе Дринфельда квантовые группы возникают как алгебры Хопфа , зависящие от вспомогательного параметра q или h , которые становятся универсальными обертывающими алгебрами некоторой алгебры Ли, часто полупростой или аффинной , когда q = 1 или h = 0. Тесно связаны некоторые двойственные объекты. , также алгебры Хопфа и также называемые квантовыми группами, деформирующие алгебру функций на соответствующей полупростой алгебраической группе или компактной группе Ли .
Открытие квантовых групп было весьма неожиданным, поскольку давно было известно, что компактные группы и полупростые алгебры Ли являются «жесткими» объектами, то есть не могут быть «деформированы». Одна из идей, лежащих в основе квантовых групп, заключается в том, что если мы рассмотрим структуру, которая в некотором смысле эквивалентна, но больше, а именно групповую алгебру или универсальную обертывающую алгебру , то групповая алгебра или обертывающая алгебра могут быть «деформированы», хотя деформация будет больше не остается групповой алгеброй или обертывающей алгеброй. Точнее, деформация может быть осуществлена в категории алгебр Хопфа , от которых не требуется быть ни коммутативными , ни кокоммутативными . Можно думать о деформированном объекте как об алгебре функций в «некоммутативном пространстве» в духе некоммутативной геометрии Алена Конна . Эта интуиция, однако, пришла после того, как отдельные классы квантовых групп уже доказали свою полезность при изучении квантового уравнения Янга-Бакстера и квантового метода обратной задачи рассеяния, разработанного Ленинградской школой ( Людвиг Фаддеев , Леон Тахтажан , Евгений Склянин , Николай Решетихин и Владимир Корепин ) и связанные с ним работы японской школы. [1] Интуиция, лежащая в основе второго класса квантовых групп, бикросс-произведения , была иной и возникла в результате поиска самодуальных объектов как подхода к квантовой гравитации . [2]
Один тип объектов, обычно называемый «квантовой группой», появился в работах Владимира Дринфельда и Мичио Джимбо как деформация универсальной обертывающей алгебры полупростой алгебры Ли или, в более общем смысле, алгебры Каца – Муди , в категории Хопфа. алгебры . Полученная алгебра имеет дополнительную структуру, превращающую ее в квазитреугольную алгебру Хопфа .
Пусть A = ( a ij ) — матрица Картана алгебры Каца–Муди, и пусть q ≠ 0, 1 — комплексное число, тогда квантовая группа U q ( G ), где G — алгебра Ли, матрица Картана которой является A , определяется как ассоциативная алгебра с единицей с генераторами k λ (где λ является элементом решетки весов , т.е. 2(λ, α i )/(α i , α i ) является целым числом для всех i ), и e i и f i (для простых корней α i ), подчиняющихся следующим соотношениям:
А при i ≠ j мы имеем q -отношения Серра, которые являются деформациями отношений Серра :
где q-факториал , q-аналог обычного факториала , определяется рекурсивно с использованием q-числа:
В пределе при q → 1 эти соотношения приближаются к соотношениям для универсальной обертывающей алгебры U ( G ), где
и t λ — элемент подалгебры Картана, удовлетворяющий условию ( t λ , h ) = λ ( h ) для всех h в подалгебре Картана.
Существуют различные коассоциативные копроизведения, при которых эти алгебры являются алгебрами Хопфа, например,
где набор генераторов был расширен, если необходимо, чтобы включить k λ для λ , который выражается как сумма элемента решетки весов и половины элемента решетки корней .
Кроме того, любая алгебра Хопфа приводит к другой с обратным копроизведением T o ∆, где T задается формулой T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x , что дает еще три возможных версии.
Единица на U q ( A ) одинакова для всех этих копроизведений: ε ( k λ ) = 1, ε ( e i ) = ε ( f i ) = 0, а соответствующие антиподы для вышеуказанных копроизведений определяются выражением
Альтернативно, квантовую группу U q ( G ) можно рассматривать как алгебру над полем C ( q ), полем всех рациональных функций неопределенного q над C.
Аналогично, квантовую группу U q ( G ) можно рассматривать как алгебру над полем Q ( q ), полем всех рациональных функций неопределенного q над Q (см. ниже в разделе о квантовых группах при q = 0). . Центр квантовой группы можно описать квантовым определителем.
Точно так же, как существует множество различных типов представлений алгебр Каца–Муди и их универсальных обертывающих алгебр, так и существует множество различных типов представлений квантовых групп.
Как и все алгебры Хопфа, U q ( G ) имеет присоединенное к себе представление в виде модуля, причем действие задается формулой
где
Одним из важных типов представления является весовое представление, и соответствующий модуль называется весовым модулем. Весовой модуль — это модуль с базой из весовых векторов. Весовой вектор — это ненулевой вектор v такой, что k λ · v = d λ v для всех λ , где d λ — комплексные числа для всех весов λ такие, что
Весовой модуль называется интегрируемым, если действия e i и fi локально нильпотентны (т. е. для любого вектора v в модуле существует целое положительное число k , возможно, зависящее от v , такое, что для всех i ). В случае интегрируемых модулей комплексные числа d λ , связанные с весовым вектором, удовлетворяют условиям , [ нужна ссылка ] где ν — элемент весовой решетки, а c λ — комплексные числа такие, что
Особый интерес представляют представления с наивысшим весом и соответствующие им модули с наибольшим весом. Модуль с наибольшим весом — это модуль, порожденный весовым вектором v , при условии k λ · v = d λ v для всех весов µ и e i · v = 0 для всех i . Аналогично, квантовая группа может иметь представление с наименьшим весом и модуль с наименьшим весом, т. е. модуль, порожденный весовым вектором v , при условии, что k λ · v = d λ v для всех весов λ и f i · v = 0 для всех я .
Определим вектор v как имеющий вес ν , если для всех λ в решетке весов.
Если G — алгебра Каца–Муди, то в любом неприводимом представлении U q ( G ) со старшим весом ν кратности весов равны их кратностям в неприводимом представлении U ( G ) с равным старшим масса. Если старший вес является доминантным и целым (вес µ является доминантным и целым, если µ удовлетворяет условию, что оно является неотрицательным целым числом для всех i ), то весовой спектр неприводимого представления инвариантен относительно группы Вейля для G , и представление интегрируемо.
И наоборот, если модуль старшего веса интегрируем, то его вектор старшего веса v удовлетворяет условию , где c λ · v = d λ v — комплексные числа такие, что
и ν является доминирующим и интегральным.
Как и во всех алгебрах Хопфа, тензорное произведение двух модулей является другим модулем. Для элемента x из U q (G) и для векторов v и w в соответствующих модулях x ⋅ ( v ⊗ w ) = Δ( x ) ⋅ ( v ⊗ w ), так что и в случае копроизведения Δ 1 и _
Описанный выше интегрируемый модуль старшего веса представляет собой тензорное произведение одномерного модуля (на котором k λ = c λ для всех λ и e i = fi = 0 для всех i ) и модуля старшего веса, порожденного ненулевым вектор v 0 , подчиняющийся всем весам λ и всем i .
В частном случае, когда G — конечномерная алгебра Ли (как частный случай алгебры Каца–Муди), неприводимые представления с доминирующими целочисленными старшими весами также являются конечномерными.
В случае тензорного произведения модулей старшего веса его разложение на подмодули такое же, как и для тензорного произведения соответствующих модулей алгебры Каца–Муди (старшие веса одинаковы, как и их кратности).
Строго говоря, квантовая группа U q ( G ) не является квазитреугольной, но ее можно рассматривать как «почти квазитреугольную», поскольку существует бесконечная формальная сумма, которая играет роль R -матрицы . Эта бесконечная формальная сумма выражается через генераторы e i и fi и генераторы Картана t λ , где k λ формально отождествляется с q t λ . Бесконечная формальная сумма является произведением двух факторов .
и бесконечная формальная сумма, где λ j — базис пространства, двойственного к подалгебре Картана, µ j — двойственный базис и η = ±1.
Формальная бесконечная сумма, играющая роль R -матрицы , оказывает вполне определенное действие на тензорное произведение двух неприводимых модулей старшего веса, а также на тензорное произведение двух модулей младшего веса. В частности, если v имеет вес α , а w имеет вес β , то
а тот факт, что оба модуля являются модулями со старшим весом или оба модуля с наименьшим весом, сводит действие другого множителя на v ⊗ W к конечной сумме.
В частности, если V — модуль со старшим весом, то формальная бесконечная сумма R имеет четко определенное и обратимое действие на V ⊗ V , и это значение R (как элемента End( V ⊗ V )) удовлетворяет уравнению Янга–Бакстера и, следовательно, позволяет нам определить представление группы кос и определить квазиинварианты для узлов , связей и кос .
Масаки Кашивара исследовал предельное поведение квантовых групп при q → 0 и обнаружил особенно хорошо ведущее себя основание, называемое кристаллическим основанием .
Был достигнут значительный прогресс в описании конечных факторов квантовых групп, таких как указанная выше U q ( g ) для q n = 1; обычно рассматривают класс точечных алгебр Хопфа , что означает, что все простые левые или правые комодулы одномерны и, таким образом, сумма всех его простых подкоалгебр образует групповую алгебру, называемую корадикалом :
С. Л. Воронович ввел компактные матричные квантовые группы. Компактные матричные квантовые группы представляют собой абстрактные структуры, «непрерывные функции» которых задаются элементами C*-алгебры . Геометрия компактной матричной квантовой группы является частным случаем некоммутативной геометрии .
Непрерывные комплекснозначные функции на компактном топологическом пространстве Хаусдорфа образуют коммутативную С*-алгебру. По теореме Гельфанда коммутативная С*-алгебра изоморфна С*-алгебре непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве, причем топологическое пространство однозначно определяется С*-алгеброй с точностью до гомеоморфизма .
Для компактной топологической группы G существует гомоморфизм C*-алгебры ∆: C ( G ) → C ( G ) ⊗ C ( G ) (где C ( G ) ⊗ C ( G ) — тензор C*-алгебры произведение — пополнение алгебраического тензорного произведения C ( G ) и C ( G )), такое что ∆( f )( x , y ) = f ( xy ) для всех f ∈ C ( G ), и для всех x , y ∈ G (где ( f ⊗ g )( x , y ) знак равно f ( x ) g ( y ) для всех f , g ∈ C ( G ) и всех x , y ∈ G ). Также существует линейное мультипликативное отображение κ : C ( G ) → C ( G ) , такое что κ ( f )( x ) = f ( x −1 ) для всех f ∈ C ( G ) и всех x ∈ G. Строго говоря, это не делает C ( G ) алгеброй Хопфа, если только G не конечна. С другой стороны, конечномерное представление G можно использовать для создания *-подалгебры C ( G ) , которая также является *-алгеброй Хопфа. В частности, если это n -мерное представление G , то для всех i , j u ij ∈ C ( G ) и
Отсюда следует, что *-алгебра, порожденная u ij для всех i, j и κ ( u ij ) для всех i, j, является *-алгеброй Хопфа: единица определяется соотношением ε( u ij ) = δ ij для всех i , j (где δ ij — дельта Кронекера ), антипод — κ , а единица измерения —
В качестве обобщения компактная матричная квантовая группа определяется как пара ( C , u ), где C — C*-алгебра и — матрица с элементами из C такая, что
где I — единичный элемент C. Поскольку κ антимультипликативен, то κ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) для всех v , w в C0 .
Вследствие непрерывности коумножение на C коассоциативно.
В общем случае C не является биалгеброй и C0 является *-алгеброй Хопфа.
Неформально C можно рассматривать как *-алгебру непрерывных комплекснозначных функций над компактной матричной квантовой группой, а u можно рассматривать как конечномерное представление компактной матричной квантовой группы.
Представление компактной матричной квантовой группы задается ко-представлением * -алгебры Хопфа (ко-представлением коассоциативной коассоциативной коалгебры A является квадратная матрица с элементами из A (поэтому v принадлежит M( n , A )) такая, что
для всех i , j и ε ( v ij ) = δ ij для всех i, j ). Более того, представление v называется унитарным, если матрица для v унитарна (или, что то же самое, если κ( v ij ) = v* ij для всех i , j ).
Примером компактной матричной квантовой группы является SU µ (2), где параметр µ является положительным действительным числом. Итак, SU µ (2) = (C(SU µ (2)), u ), где C(SU µ (2)) — C*-алгебра, порожденная α и γ, с учетом
и
так что коумножение определяется соотношением ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*, ∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α*, а коинверсия определяется соотношением κ(α) = α*, κ (γ) = −μ −1 γ, κ(γ*) = −μγ*, κ(α*) = α. Обратите внимание, что u — представление, но не унитарное представление. u эквивалентно унитарному представлению
Эквивалентно, SU µ (2) = (C(SU µ (2)), w ), где C(SU µ (2)) — C*-алгебра, порожденная α и β, с учетом
и
так что коумножение определяется соотношением ∆(α) = α ⊗ α − µβ ⊗ β*, Δ(β) = α ⊗ β + β ⊗ α*, а коинверсия определяется соотношением κ(α) = α*, κ (β) = −μ −1 β, κ(β*) = —μβ*, κ(α*) = α. Обратите внимание, что w — унитарное представление. Реализации можно идентифицировать, приравнивая .
Когда µ = 1, то SU µ (2) равна алгебре C (SU(2)) функций на конкретной компактной группе SU(2).
В то время как компактные матричные псевдогруппы обычно представляют собой версии квантовых групп Дринфельда-Джимбо в формулировке алгебры двойственных функций с дополнительной структурой, псевдогруппы с двойным произведением представляют собой отдельное второе семейство квантовых групп, значение которых возрастает как деформации разрешимых, а не полупростых групп Ли. Они связаны с лиевыми расщеплениями алгебр Ли или локальными факторизациями групп Ли и могут рассматриваться как векторное произведение или квантование Макки одного из факторов, действующих на другой для алгебры, и аналогичная история для копроизведения Δ со вторым множителем. действуя в ответ на первое.
Самый простой нетривиальный пример соответствует двум копиям R , локально действующим друг на друга, и приводит к квантовой группе (данной здесь в алгебраической форме) с генераторами p , K , K −1 , скажем, и копроизведением
где h – параметр деформации.
Эта квантовая группа была связана с игрушечной моделью физики в масштабе Планка, реализующей борновскую взаимность, если рассматривать ее как деформацию алгебры Гейзенберга квантовой механики. Кроме того, начиная с любой компактной вещественной формы полупростой алгебры Ли g, ее комплексификация в качестве вещественной алгебры Ли удвоенной размерности распадается на g и некоторую разрешимую алгебру Ли ( разложение Ивасавы ), и это дает каноническую квантовую группу с двойным произведением, связанную с г . Для su (2) получается квантовая групповая деформация евклидовой группы E(3) движений в трёх измерениях.