Обратный элемент

В математике понятие обратного элемента обобщает понятия противоположного ( $-x)$ и обратного ( $1/ x$ ) числа.

Если задана операция, обозначенная здесь $*$ , и единичный элемент, обозначенный $e$ , то если $x * y = e$ , то говорят, что $x$ является левым обратным к $y$ , а $y$ является правым обратным к $x$ . (Единичный элемент — это такой элемент, что $x * e = x$ и $e * y = y$ для всех $x$ и $y$ , для которых определены левые части. ^[1] )

Когда операция $*$ является ассоциативной , если элемент $x$ имеет как левый обратный, так и правый обратный, то эти два обратных элемента равны и уникальны; они называются обратным элементом или просто обратным элементом . Часто для указания операции добавляется прилагательное, например, в аддитивной обратной , мультипликативной обратной и функциональной обратной . В этом случае (ассоциативной операции) обратимый элемент — это элемент, имеющий обратный элемент. В кольце обратимый элемент , также называемый единицей , — это элемент, который обратим относительно умножения (это не двусмысленно, так как каждый элемент обратим относительно сложения).

Обратные обычно используются в группах — где каждый элемент обратим, и кольцах — где обратимые элементы также называются единицами . Они также обычно используются для операций, которые не определены для всех возможных операндов, таких как обратные матрицы и обратные функции . Это было обобщено до теории категорий , где, по определению, изоморфизм является обратимым морфизмом .

Слово «обратный» происходит от латинского : inversus , что означает «перевернутый вверх дном», «опрокинутый». Это может происходить из случая дробей , где (мультипликативное) обратное получается путем замены числителя и знаменателя (обратное число равно ). ${\tfrac {x}{y}}$ ${\tfrac {y}{x}}$

Определения и основные свойства

Понятия обратного элемента и обратимого элемента обычно определяются для бинарных операций , которые определены везде (то есть операция определена для любых двух элементов ее области ). Однако эти понятия также обычно используются с частичными операциями , то есть операциями, которые определены не везде. Распространенными примерами являются умножение матриц , композиция функций и композиция морфизмов в категории . Из этого следует, что общие определения ассоциативности и элемента тождества должны быть распространены на частичные операции; это является предметом первых подразделов.

В этом разделе $X$ — это множество (возможно, собственный класс ), на котором определена частичная операция (возможно, полная), которая обозначается как $*.$

Ассоциативность

Частичная операция ассоциативна, если

х*(y*z)=(x*y)*z

для каждого $x, y, z$ из $X,$ для которого определен один из членов равенства; равенство означает, что другой член равенства также должен быть определен.

Примерами неполной ассоциативности являются умножение матриц произвольного размера и композиция функций .

Элементы идентичности

Пусть — возможно частичная ассоциативная операция на множестве $X.$ $*$

Элемент идентичности или просто идентичность — это элемент $e,$ такой что

x*e=x\quad {\text{и}}\quad e*y=y

для любых $x$ и $y,$ для которых определены левые части равенств.

Если $e$ и $f$ — два элемента идентичности, такие, что определено, то (Это следует непосредственно из определения, поскольку ) $e*f$ $e=f.$ $е=е*е=е.$

Из этого следует, что полная операция имеет не более одного элемента тождества, и если $e$ и $f$ являются различными тождествами, то не определено. $e*f$

Например, в случае умножения матриц для каждого положительного целого числа $n$ существует одна единичная матрица размера $n \times n$ , и две единичные матрицы разного размера не могут быть умножены друг на друга.

Аналогично, функции тождественности являются элементами тождественности для композиции функций , а композиция функций тождественности двух различных множеств не определена.

Левая и правая инверсии

Если $e$ — единичный элемент, то говорят, что x $—$ левый обратный элемент к $y$ , а $y$ — правый обратный элемент к $x$ . $x*y=e,$

Левые и правые обратные элементы не всегда существуют, даже когда операция является полной и ассоциативной. Например, сложение является полной ассоциативной операцией над неотрицательными целыми числами , которая имеет $0$ в качестве аддитивной единицы , и $0$ является единственным элементом, который имеет аддитивную обратную . Это отсутствие обратных элементов является основной мотивацией для расширения натуральных чисел до целых чисел.

Элемент может иметь несколько левых обратных и несколько правых обратных, даже если операция является полной и ассоциативной. Например, рассмотрим функции от целых чисел до целых чисел. Функция удвоения имеет бесконечно много левых обратных при композиции функций , которые являются функциями, которые делят на два четные числа и дают любое значение нечетным числам. Аналогично, каждая функция, которая отображает $n$ в или является правой обратной функцией функции пола, которая отображает $n$ в или в зависимости от того, является ли $n$ четным или нечетным. $x\mapsto 2x$ $2n$ $2n+1$ ${\textstyle n\mapsto \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$ ${\textstyle {\frac {n}{2}}}$ ${\textstyle {\frac {n-1}{2}},}$

В более общем случае функция имеет левую обратную функцию для композиции функций тогда и только тогда, когда она инъективна , и имеет правую обратную функцию тогда и только тогда, когда она сюръективна .

В теории категорий правые обратные элементы также называются сечениями , а левые обратные элементы называются ретракциями .

Обратные

Элемент обратим относительно операции, если у него есть левый обратный и правый обратный.

В общем случае, когда операция ассоциативна, левое и правое обратное элемента равны и уникальны. Действительно, если $l$ и $r$ являются соответственно левым обратным и правым обратным $x$ , то

л=л*(х*г)=(л*х)*г=г.

Обратным обратимым элементом является его единственный левый или правый обратный элемент.

Если операция обозначается как сложение, то обратная операция или аддитивная обратная операция элемента $x$ обозначается В противном случае обратная операция $x$ обычно обозначается или, в случае коммутативного умножения , когда может возникнуть путаница между несколькими операциями, символ операции может быть добавлен перед показателем степени, например, в Обозначение обычно не используется для композиции функций , поскольку может использоваться для мультипликативной обратной операции . $-x.$ $x^{-1},$ ${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$ $x^{*-1}.$ $f^{\circ -1}$ ${\textstyle {\frac {1}{f}}}$

Если $x$ и $y$ обратимы, а определено, то обратим, а его обратный элемент равен $x*y$ $x*y$ $y^{-1}x^{-1}.$

Обратимый гомоморфизм называется изоморфизмом . В теории категорий обратимый морфизм также называется изоморфизмом .

В группах

Группа — это множество с ассоциативной операцией , имеющее единичный элемент, и для которого каждый элемент имеет обратный.

Таким образом, инверсия — это функция из группы в себя, которую также можно рассматривать как операцию арности 1. Это также инволюция , поскольку инверсия инверсии элемента — это сам элемент.

Группа может действовать на множество как преобразования этого множества. В этом случае инверсия элемента группы определяет преобразование, которое является инверсией преобразования, определенного с помощью то есть, преобразование, которое «отменяет» преобразование, определенное с помощью $g^{-1}$ $g$ $g,$ $g.$

Например, группа кубика Рубика представляет собой конечные последовательности элементарных ходов. Обратную последовательность можно получить, применяя обратный ход каждого хода в обратном порядке.

В моноидах

Моноид — это множество с ассоциативной операцией , имеющее единичный элемент .

Обратимые элементы в моноиде образуют группу под действием моноидной операции.

Кольцо — моноид для кольцевого умножения. В этом случае обратимые элементы также называются единицами и образуют группу единиц кольца.

Если моноид не является коммутативным , могут существовать необратимые элементы, имеющие левый обратный или правый обратный (но не оба, поскольку в противном случае элемент был бы обратимым).

Например, множество функций из множества в себя является моноидом относительно композиции функций . В этом моноиде обратимыми элементами являются биективные функции ; элементы, имеющие левые обратные, являются инъективными функциями , а те, которые имеют правые обратные, являются сюръективными функциями .

Если задан моноид, можно расширить его, добавив обратные элементы к некоторым элементам. Это, как правило, невозможно для некоммутативных моноидов, но в коммутативном моноиде можно добавлять обратные элементы к элементам, имеющим свойство сокращения (элемент $x$ имеет свойство сокращения, если подразумевает и подразумевает ). Такое расширение моноида допускается конструкцией группы Гротендика . Это метод, который обычно используется для построения целых чисел из натуральных чисел , рациональных чисел из целых чисел и, в более общем смысле, поля дробей области целостности и локализаций коммутативных колец . $xy=xz$ $y=z,$ $yx=zx$ $y=z$

В кольцах

Кольцо — это алгебраическая структура с двумя операциями: сложением и умножением , которые обозначаются как обычные операции над числами.

При сложении кольцо является абелевой группой , что означает, что сложение коммутативно и ассоциативно ; оно имеет тождество, называемое аддитивным тождеством и обозначаемое $0$ ; и каждый элемент $x$ имеет обратный элемент, называемый его аддитивным обратным элементом и обозначаемый $- x$ . Из-за коммутативности понятия левых и правых обратных элементов бессмысленны, поскольку они не отличаются от обратных элементов.

При умножении кольцо является моноидом ; это означает, что умножение ассоциативно и имеет тождество, называемое мультипликативным тождеством и обозначаемое $1.$ Обратимый элемент для умножения называется единицей . Обратный или мультипликативный обратный элемент (для избежания путаницы с аддитивными обратными элементами) единицы $x$ обозначается или, когда умножение коммутативно, $x^{-1},$ ${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$

Аддитивное тождество $0$ никогда не является единицей, за исключением случая, когда кольцо является нулевым кольцом , единственным элементом которого является $0 .$

Если $0$ — единственный элемент, не являющийся единицей, то кольцо является полем , если умножение коммутативно, или кольцом с делением в противном случае.

В некоммутативном кольце (то есть кольце, умножение которого не коммутативно) необратимый элемент может иметь один или несколько левых или правых обратных. Это, например, случай линейных функций из бесконечномерного векторного пространства в себя.

Коммутативное кольцо ( то есть кольцо, умножение которого коммутативно) может быть расширено путем добавления обратных к элементам, которые не являются делителями нуля (то есть их произведение с ненулевым элементом не может быть равно $0$ ). Это процесс локализации , который производит, в частности, поле рациональных чисел из кольца целых чисел и, в более общем смысле, поле дробей области целостности . Локализация также используется с делителями нуля, но в этом случае исходное кольцо не является подкольцом локализации; вместо этого оно отображается неинъективно в локализацию.

Матрицы

Матричное умножение обычно определяется для матриц над полем и напрямую распространяется на матрицы над кольцами , rng и полукольцами . Однако в этом разделе рассматриваются только матрицы над коммутативным кольцом из-за использования концепции ранга и определителя .

Если $A$ — матрица $m \times n$ (то есть матрица с $m$ строками и $n$ столбцами), а $B$ — матрица $p \times q$ , произведение $AB$ определено, если $n = p$ , и только в этом случае. Единичная матрица , то есть единичный элемент для умножения матриц, — это квадратная матрица (одно и то же число для строк и столбцов), все элементы главной диагонали которой равны $1$ , а все остальные элементы равны $0$ .

Обратимая матрица — это обратимый элемент при умножении матриц. Матрица над коммутативным кольцом $R$ обратима тогда и только тогда, когда ее определитель является единицей в $R$ (то есть обратима в $R$ . В этом случае ее обратная матрица может быть вычислена с помощью правила Крамера .

Если $R$ — поле, определитель обратим тогда и только тогда, когда он не равен нулю. Поскольку случай полей более распространен, часто можно увидеть обратимые матрицы, определяемые как матрицы с ненулевым определителем, но это неверно над кольцами.

В случае матриц целых чисел (то есть матриц с целыми элементами) обратимая матрица — это матрица, которая имеет обратную, которая также является матрицей целых чисел. Такая матрица называется унимодулярной матрицей , чтобы отличать ее от матриц, которые обратимы над действительными числами . Квадратная целочисленная матрица унимодулярна тогда и только тогда, когда ее определитель равен $1$ или $-1$ , поскольку эти два числа являются единственными единицами в кольце целых чисел.

Матрица имеет левую обратную матрицу тогда и только тогда, когда ее ранг равен числу ее столбцов. Эта левая обратная матрица не является уникальной, за исключением квадратных матриц, где левая обратная матрица равна обратной матрице. Аналогично, правая обратная матрица существует тогда и только тогда, когда ранг равен числу строк; она не является уникальной в случае прямоугольной матрицы и равна обратной матрице в случае квадратной матрицы.

Функции, гомоморфизмы и морфизмы

Композиция — это частичная операция , которая обобщается на гомоморфизмы алгебраических структур и морфизмы категорий в операции, которые также называются композицией и имеют много общих свойств с композицией функций.

Во всех случаях композиция ассоциативна .

Если и композиция определена тогда и только тогда, когда или, в случаях функции и гомоморфизма, В случаях функции и гомоморфизма это означает, что область значений равна или включена в область значений $g$ . В случае морфизма это означает, что область значений равна области значений $g$ . $f\colon X\to Y$ $g\colon Y'\to Z,$ $g\circ f$ $Y'=Y$ $Y\subset Y'.$ $f$ $f$

Для каждого объекта $X$ ( множества , алгебраической структуры или объекта ) существует тождество , которое в функциональном случае также называется функцией тождества . $\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$

Функция обратима тогда и только тогда, когда она является биекцией . Обратимый гомоморфизм или морфизм называется изоморфизмом. Гомоморфизм алгебраических структур является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он является биекцией. Обратная функция биекции называется обратной функцией . В остальных случаях говорят об обратных изоморфизмах .

Функция имеет левый обратный или правый обратный тогда и только тогда, когда она инъективна или сюръективна соответственно. Гомоморфизм алгебраических структур, имеющий левый обратный или правый обратный, является соответственно инъективным или сюръективным, но обратное неверно в некоторых алгебраических структурах. Например, обратное верно для векторных пространств , но не для модулей над кольцом: гомоморфизм модулей, имеющий левый обратный правого обратного, называется соответственно расщепляющим эпиморфизмом или расщепляющим мономорфизмом . Эта терминология также используется для морфизмов в любой категории.

Обобщения

В единой магме

Пусть будет единичной магмой , то есть множеством с бинарной операцией и единичным элементом . Если для , то называется левым обратным , а называется правым обратным . Если элемент является как левым обратным , так и правым обратным , то называется двусторонним обратным , или просто обратным , . Элемент с двусторонним обратным в называется обратимым в . Элемент с обратным элементом только с одной стороны называется левым обратимым или правым обратимым . $S$ $*$ $e\in S$ $a,b\in S$ $a*b=e$ $a$ $b$ $b$ $a$ $x$ $y$ $x$ $y$ $S$ $S$

Элементы унитальной магмы могут иметь несколько левых, правых или двусторонних инверсий. Например, в магме, заданной таблицей Кэли $(S,*)$

элементы 2 и 3 имеют по два двусторонних обратных элемента.

Унитальная магма, в которой все элементы обратимы, не обязательно должна быть петлей . Например, в магме, заданной таблицей Кэли $(S,*)$

каждый элемент имеет уникальный двусторонний обратный элемент (а именно самого себя), но не является циклом, поскольку таблица Кэли не является латинским квадратом . $(S,*)$

Аналогично, цикл не обязательно должен иметь двусторонние инверсии. Например, в цикле, заданном таблицей Кэли

единственным элементом с двусторонней инверсией является единичный элемент 1.

Если операция ассоциативна , то если элемент имеет как левый обратный, так и правый обратный, они равны. Другими словами, в моноиде (ассоциативной унитальной магме) каждый элемент имеет не более одного обратного (как определено в этом разделе). В моноиде множество обратимых элементов является группой , называемой группой единиц , и обозначается как или H ₁ . $*$ $S$ $U(S)$

В полугруппе

Определение в предыдущем разделе обобщает понятие инверсии в группе относительно понятия тождества. Также возможно, хотя и менее очевидно, обобщить понятие инверсии, отбросив элемент тождества, но сохранив ассоциативность; то есть в полугруппе .

В полугруппе S элемент x называется (по фон Нейману) регулярным , если существует некоторый элемент z в S такой, что xzx = x ; z иногда называют псевдообратным . Элемент y называется (просто) обратным к x , если xyx = x и y = yxy . Каждый регулярный элемент имеет по крайней мере один обратный: если x = xzx , то легко проверить, что y = zxz является обратным к x , как определено в этом разделе. Другой легко доказуемый факт: если y является обратным к x , то e = xy и f = yx являются идемпотентами , то есть ee = e и ff = f . Таким образом, каждая пара (взаимно) обратных элементов порождает два идемпотента, и ex = xf = x , ye = fy = y , и e действует как левая единица на x , в то время как f действует как правая единица, и левые/правые роли меняются местами для y . Это простое наблюдение можно обобщить, используя соотношения Грина : каждый идемпотент e в произвольной полугруппе является левой единицей для R _e и правой единицей для L _e . ^[2] Интуитивное описание этого факта состоит в том, что каждая пара взаимно обратных элементов производит локальную левую единицу и, соответственно, локальную правую единицу.

В моноиде понятие обратного, как определено в предыдущем разделе, строго уже, чем определение, данное в этом разделе. Только элементы в классе Грина H 1 имеют обратный с точки зрения унитальной магмы, тогда как для любого идемпотента e элементы H _e имеют обратный, как определено в этом разделе. Согласно этому более общему определению, обратные элементы не обязательно должны быть уникальными (или существовать) в произвольной полугруппе или моноиде. Если все элементы регулярны, то полугруппа (или моноид) называется регулярной, и каждый элемент имеет по крайней мере один обратный элемент. Если каждый элемент имеет ровно один обратный элемент, как определено в этом разделе, то полугруппа называется обратной полугруппой . Наконец, обратная полугруппа только с одним идемпотентом является группой. Обратная полугруппа может иметь поглощающий элемент 0, потому что 000 = 0, тогда как группа может не иметь.

За пределами теории полугрупп уникальная обратная матрица, определенная в этом разделе, иногда называется квазиобратной матрицей . Это обычно оправдано, поскольку в большинстве приложений (например, во всех примерах в этой статье) сохраняется ассоциативность, что делает это понятие обобщением левой/правой обратной матрицы относительно тождества (см. Обобщенная обратная матрица ).

У-полугруппы

Естественным обобщением инверсной полугруппы является определение (произвольной) унарной операции ° такой, что ( a °)° = a для всех a из S ; это наделяет S алгеброй типа ⟨2,1⟩. Полугруппа, наделенная такой операцией, называется U -полугруппой . Хотя может показаться, что a ° будет обратной к a , это не обязательно так. Чтобы получить интересное(ые) понятие(я), унарная операция должна каким-то образом взаимодействовать с операцией полугруппы. Были изучены два класса U -полугрупп: ^[3]

I -полугруппы , в которых аксиома взаимодействия имеет вид aa ° a = a
*-полугруппы , в которых аксиома взаимодействия ( ab )° = b ° a °. Такая операция называется инволюцией и обычно обозначается как a *

Очевидно, что группа является как I -полугруппой, так и *-полугруппой. Класс полугрупп, важный в теории полугрупп, — это полностью регулярные полугруппы ; это I -полугруппы, в которых дополнительно aa ° = a ° a ; другими словами, каждый элемент имеет коммутирующий псевдообратный a °. Однако существует несколько конкретных примеров таких полугрупп; большинство из них являются полностью простыми полугруппами . Напротив, подкласс *-полугрупп, *-регулярные полугруппы (в смысле Дразина), дают один из самых известных примеров (уникального) псевдообратного, обратного Мура–Пенроуза . Однако в этом случае инволюция a * не является псевдообратным. Скорее, псевдообратный элемент x — это уникальный элемент y такой, что xyx = x , yxy = y , ( xy )* = xy , ( yx )* = yx . Поскольку *-регулярные полугруппы обобщают обратные полугруппы, то единственный элемент, определенный таким образом в *-регулярной полугруппе, называется обобщенным обратным элементом или обратным элементом Мура–Пенроуза .

Полукольца

Примеры

Все примеры в этом разделе включают ассоциативные операторы.

Связи Галуа

Нижние и верхние сопряженные элементы в (монотонной) связности Галуа , L и G, являются квазиобратными друг другу; то есть, LGL = L и GLG = G , и один однозначно определяет другой. Однако они не являются левыми или правыми обратными друг другу.

Обобщенные обратные матрицы

Квадратная матрица с элементами в поле обратима (в множестве всех квадратных матриц того же размера, при умножении матриц ) тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Если определитель равен нулю, то для нее невозможно иметь одностороннюю обратную; поэтому левая обратная или правая обратная подразумевает существование другой. Подробнее см. в разделе обратимая матрица . $M$ $K$ $M$

В более общем случае квадратная матрица над коммутативным кольцом обратима тогда и только тогда, когда ее определитель обратим в . $R$ $R$

Неквадратные матрицы полного ранга имеют несколько односторонних обратных: ^[4]

Ибо мы оставили обратные; например, $A:m\times n\mid m>n$ $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$
Ведь у нас есть правильные обратные; например, $A:m\times n\mid m<n$ $A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}$

Левую обратную функцию можно использовать для определения решения с наименьшей нормой , что также является формулой наименьших квадратов для регрессии и определяется как $Ax=b$ $x=\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}b.$

Ни одна матрица с дефицитом ранга не имеет (даже односторонней) обратной матрицы. Однако обратная матрица Мура–Пенроуза существует для всех матриц и совпадает с левой или правой (или истинной) обратной матрицей, когда она существует.

В качестве примера обратных матриц рассмотрим:

A:2\times 3={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}

Итак, поскольку m < n , у нас есть правый обратный элемент. По компонентам он вычисляется как $A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.$

{\begin{aligned}AA^{\text{T}}&={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}\\[3pt]\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}\\[3pt]A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{\text{right}}^{-1}\end{aligned}}

Левой инверсии не существует, потому что

A^{\text{T}}A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}

которая является вырожденной матрицей и не может быть обращена.

Смотрите также

Примечания

^ Обычное определение элемента идентичности было обобщено для включения функций идентичности в качестве элементов идентичности для композиции функций и матриц идентичности в качестве элементов идентичности для умножения матриц .
^ Хауи, предложение 2.3.3, стр. 51
^ Хауи стр. 102
^ «Лекция профессора Массачусетского технологического института Гилберта Стрэнга по линейной алгебре № 33 – Левые и правые обратные элементы; Псевдообратные элементы».

Ссылки

M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoids, Acts and Categorys with Applications to Wreath Product and Graphs , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 , стр. 15 (определение в унитальной магме) и стр. 33 (определение в полугруппе)
Хауи, Джон М. (1995). Основы теории полугрупп . Clarendon Press . ISBN 0-19-851194-9.содержит весь материал по полугруппам, за исключением *-регулярных полугрупп.
Дразин, М. П., Регулярные полугруппы с инволюцией , Труды Симп. по регулярным полугруппам (ДеКалб, 1979), 29–46
Миюки Ямада, P-системы в регулярных полугруппах , Semigroup Forum , 24(1), декабрь 1982 г., стр. 173–187
Нордаль Т.Е. и Х.Е. Шейблих, Регулярные * полугруппы, Semigroup Forum , 16 (1978), 369–377.