В теории категорий , разделе математики , сечение является правым обратным некоторого морфизма . Двойственно , ретракция является левым обратным некоторого морфизма . Другими словами, если и являются морфизмами, композиция которых является тождественным морфизмом на , то является сечением , а является ретракцией . [1]
Каждое сечение является мономорфизмом (каждый морфизм с левым обратным является левосократимым ), а каждая ретракция является эпиморфизмом (каждый морфизм с правым обратным является правосократимым ).
В алгебре сечения также называются расщепляемыми мономорфизмами , а ретракции также называются расщепляемыми эпиморфизмами . В абелевой категории , если — расщепляемый эпиморфизм с расщепляемым мономорфизмом , то изоморфно прямой сумме и ядру . Синоним коретракция для сечения иногда встречается в литературе, хотя редко в недавних работах.
Понятие ретракции в теории категорий происходит из по сути схожего понятия ретракции в топологии : где есть подпространство есть ретракция в топологическом смысле, если это ретракция отображения включения в смысле теории категорий. Понятие в топологии было определено Каролем Борсуком в 1931 году. [2]
Студент Борсука, Сэмюэл Эйленберг , был вместе с Сондерсом Маклейном основателем теории категорий, и (поскольку самые ранние публикации по теории категорий касались различных топологических пространств) можно было бы ожидать, что этот термин изначально будет использоваться. Фактически, в их более ранних публикациях, вплоть до, например, «Гомологии» Маклейна (1963) , использовался термин «правая обратная». Только в 1965 году, когда Эйленберг и Джон Коулмен Мур ввели дуальный термин «коретракция», термин Борсука был поднят до теории категорий в целом. [3] Термин «коретракция» уступил место термину «секция» к концу 1960-х годов.
Оба варианта использования левого/правого обратного и сечения/ретракции широко используются в литературе: первое использование имеет то преимущество, что оно знакомо из теории полугрупп и моноидов ; второе некоторые считают менее запутанным, поскольку не нужно думать о том, «каким образом» должна выполняться композиция, — проблема, которая стала более острой с ростом популярности синонима для . [4]
В категории множеств каждый мономорфизм ( инъективная функция ) с непустой областью определения является сечением, а каждый эпиморфизм ( сюръективная функция ) является ретракцией; последнее утверждение эквивалентно аксиоме выбора .
В категории векторных пространств над полем K каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм расщепляется; это следует из того факта, что линейные отображения могут быть однозначно определены путем указания их значений на базисе .
В категории абелевых групп эпиморфизм Z → Z /2 Z , который переводит каждое целое число в его остаток по модулю 2, не расщепляется; фактически единственный морфизм Z /2 Z → Z — это нулевое отображение . Аналогично, естественный мономорфизм Z /2 Z → Z /4 Z не расщепляется, хотя существует нетривиальный морфизм Z /4 Z → Z /2 Z .
Категориальное понятие сечения важно в гомологической алгебре , а также тесно связано с понятием сечения расслоенного пространства в топологии : в последнем случае сечение расслоенного пространства является сечением проекционного отображения расслоенного пространства.
Для факторпространства с факторотображением сечение называется трансверсалью .
