Гомологическая алгебра

Отделение математики

Диаграмма, используемая в лемме о змее , основном результате гомологической алгебры.

Гомологическая алгебра — это раздел математики , изучающий гомологии в общей алгебраической ситуации. Это относительно молодая дисциплина, истоки которой можно проследить до исследований комбинаторной топологии (предшественницы алгебраической топологии ) и абстрактной алгебры (теории модулей и сизигий ) в конце 19 века, главным образом Анри Пуанкаре и Давида Гильберта .

Гомологическая алгебра — это изучение гомологических функторов и сложных алгебраических структур, которые они влекут за собой; ее развитие было тесно переплетено с возникновением теории категорий . Центральным понятием является понятие цепных комплексов , которые можно изучать через их гомологии и когомологии .

Гомологическая алгебра предоставляет средства для извлечения информации, содержащейся в этих комплексах , и представления ее в виде гомологических инвариантов колец , модулей, топологических пространств и других «осязаемых» математических объектов. Спектральная последовательность является мощным инструментом для этого.

Он сыграл огромную роль в алгебраической топологии. Его влияние постепенно расширялось и в настоящее время включает коммутативную алгебру , алгебраическую геометрию , теорию алгебраических чисел , теорию представлений , математическую физику , операторные алгебры , комплексный анализ и теорию уравнений в частных производных . K -теория — это независимая дисциплина, опирающаяся на методы гомологической алгебры, как и некоммутативная геометрия Алена Конна .

История

Гомологическая алгебра начала изучаться в своей самой базовой форме в 1800-х годах как раздел топологии, а в 1940-х годах стала самостоятельным предметом с изучением таких объектов, как ext функтор и tor функтор , среди других. ^[1]

Цепные комплексы и гомология

Понятие цепного комплекса является центральным в гомологической алгебре. Абстрактно- цепной комплекс — это последовательность абелевых групп и групповых гомоморфизмов , обладающая тем свойством, что композиция любых двух последовательных отображений равна нулю: ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$

${\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

Элементы Cn называются n - цепями _, а гомоморфизмы dn _{называются} граничными отображениями или дифференциалами . Цепные группы C _n могут быть наделены дополнительной структурой; например, они могут быть векторными пространствами или модулями над фиксированным кольцом R . Дифференциалы должны сохранять дополнительную структуру, если она существует; например, они должны быть линейными отображениями или гомоморфизмами R -модулей. Для удобства обозначений ограничимся рассмотрением абелевых групп (вернее, категории абелевых групп Ab ); Знаменитая теорема Барри Митчелла предполагает, что результаты можно обобщить на любую абелеву категорию . Каждый цепной комплекс определяет еще две последовательности абелевых групп: циклы Z _n =  Ker d _n и границы B _n  = Im d _{n +1} , где Ker  d и Im  d обозначают ядро ​​и образ d . Поскольку композиция двух последовательных карт границ равна нулю, эти группы вкладываются друг в друга как

${\displaystyle B_{n}\subseteq Z_{n}\subseteq C_{n}.}$

Подгруппы абелевых групп автоматически нормальны ; поэтому мы можем определить n- ю группу гомологии H _n ( C ) как фактор-группу n -циклов по n -границам,

${\displaystyle H_{n}(C)=Z_{n}/B_{n}=\operatorname {Ker} \,d_{n}/\operatorname {Im} \,d_{n+1}.}$

Цепной комплекс называется ациклической или точной последовательностью, если все его группы гомологии равны нулю.

Цепные комплексы в изобилии возникают в алгебре и алгебраической топологии . Например, если X — топологическое пространство , то цепи сингулярностей Cn ( X ) _{представляют} собой формальные линейные комбинации непрерывных отображений стандартного n - симплекса в X ; если K — симплициальный комплекс , то симплициальные цепи Cn ₍ K ) являются формальными линейными комбинациями n -симплексов K ; если A  =  F / R — представление абелевой группы A генераторами и отношениями , где F — свободная абелева группа, натянутая на образующие, а R — подгруппа отношений, то полагая C ₁ ( A ) =  R , C ₀ ( A ) =  F и C _n ( A ) = 0 для всех остальных n определяет последовательность абелевых групп. Во всех этих случаях существуют естественные дифференциалы dn _, превращающие Cn в цепной комплекс _, гомологии которого отражают структуру топологического пространства X , симплициального комплекса K или абелевой группы A. В случае топологических пространств мы приходим к понятию сингулярных гомологии , которое играет фундаментальную роль при исследовании свойств таких пространств, например многообразий .

На философском уровне гомологическая алгебра учит нас, что определенные цепные комплексы, связанные с алгебраическими или геометрическими объектами (топологическими пространствами, симплициальными комплексами, R -модулями), содержат о них много ценной алгебраической информации, причем гомология представляет собой лишь наиболее доступную часть. . На техническом уровне гомологическая алгебра предоставляет инструменты для управления комплексами и извлечения этой информации. Вот две общие иллюстрации.

• Два объекта X и Y связаны между собой отображением f . Гомологическая алгебра изучает связь, индуцированную отображением f , между цепными комплексами, связанными с X и Y , и их гомологиями. Это обобщается на случай нескольких объектов и карт, соединяющих их. Выраженная на языке теории категорий , гомологическая алгебра изучает функториальные свойства различных конструкций цепных комплексов и гомологии этих комплексов.
• Объект X допускает множественные описания (например, как топологическое пространство и как симплициальный комплекс) или комплекс строится с использованием некоторого «представления» X , которое предполагает неканонический выбор. Важно знать влияние изменения описания X на цепные комплексы , связанные с X. Обычно комплекс и его гомологии функториальны относительно презентации; и гомология (хотя и не сам комплекс) фактически не зависит от выбранного представления, поэтому она является инвариантом X . ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$

Стандартные инструменты

Точные последовательности

В контексте теории групп последовательность

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}}$

групп и групповых гомоморфизмов называется точным , если образ каждого гомоморфизма равен ядру следующего:

${\displaystyle \mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1}).\!}$

Заметим, что последовательность групп и гомоморфизмов может быть как конечной, так и бесконечной.

Аналогичное определение можно дать и для некоторых других алгебраических структур . Например, можно иметь точную последовательность векторных пространств и линейных отображений или модулей и гомоморфизмов модулей . В более общем смысле понятие точной последовательности имеет смысл в любой категории с ядрами и коядрами .

Короткий

Наиболее распространенным типом точной последовательности является короткая точная последовательность . Это точная последовательность формы

${\displaystyle A\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;B\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;C}$

где ƒ — мономорфизм , а g — эпиморфизм . В этом случае A является подобъектом B , а соответствующий фактор изоморфен C :

${\displaystyle C\cong B/f(A).}$

(где f(A) = im( f )).

Короткую точную последовательность абелевых групп также можно записать как точную последовательность с пятью членами:

${\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;0}$

где 0 представляет нулевой объект , например тривиальную группу или нульмерное векторное пространство. Размещение нулей заставляет ƒ быть мономорфизмом, а g — эпиморфизмом (см. ниже).

Длинный

Длинная точная последовательность — это точная последовательность, индексированная натуральными числами .

Пять лемм

Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму в любой абелевой категории (например, категории абелевых групп или категории векторных пространств над заданным полем ) или в категории групп .

Пять лемм утверждают, что если строки точны , m и p — изоморфизмы , l — эпиморфизм и q — мономорфизм , то n также является изоморфизмом.

Змеиная лемма

В абелевой категории (такой как категория абелевых групп или категория векторных пространств над заданным полем ) рассмотрим коммутативную диаграмму :

где строки представляют собой точные последовательности , а 0 — нулевой объект . Тогда существует точная последовательность, связывающая ядра и коядра a , b и c :

${\displaystyle \ker a\to \ker b\to \ker c{\overset {d}{\to }}\operatorname {coker} a\to \operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c}$

Более того, если морфизм f является мономорфизмом , то таким же является и морфизм ker  a → ker  b , а если g' является эпиморфизмом , то и coker  b → coker  c .

Абелевы категории

В математике абелева категория — это категория , в которую можно добавлять морфизмы и объекты и в которой ядра и коядра существуют и обладают желаемыми свойствами. Мотивирующим примером-прототипом абелевой категории является категория абелевых групп Ab . Теория возникла в предварительной попытке объединить несколько теорий когомологий Александра Гротендика . Абелевы категории являются очень стабильными категориями, например, они регулярны и удовлетворяют лемме о змее . Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категориальных конструкций, например, категория цепных комплексов абелевой категории или категория функторов из малой категории в абелеву категорию также являются абелевыми. Эти свойства стабильности делают их неизбежными в гомологической алгебре и за ее пределами; теория имеет важные приложения в алгебраической геометрии , когомологиях и чистой теории категорий . Абелевы категории названы в честь Нильса Хенрика Абеля .

Более конкретно, категория является абелевой, если

• у него есть нулевой объект ,
• у него есть все бинарные продукты и бинарные копродукции , и
• у него есть все ядра и коядра .
• все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны . _

Производный функтор

Предположим, нам дан ковариантный левый точный функтор F  : A → B между двумя абелевыми категориями A и B . Если 0 → A → B → C → 0 — короткая точная последовательность в A , то применение F дает точную последовательность 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ), и можно задаться вопросом, как продолжить эту последовательность. вправо, образуя длинную точную последовательность. Строго говоря, этот вопрос некорректен, поскольку всегда существует множество различных способов продолжить данную точную последовательность вправо. Но оказывается, что (если A достаточно «приятен») существует один канонический способ сделать это, заданный правыми производными функторами F . Для каждого i ≥1 существует функтор R ⁱ F : A → B , и приведенная выше последовательность продолжается следующим образом: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R ¹ F ( A ) → р ¹ F ( B ) → р ¹ F ( C ) → р ² F ( А ) → р ² F ( B ) → ... . Отсюда мы видим, что F — точный функтор тогда и только тогда, когда R ¹ F = 0; поэтому в некотором смысле правые производные функторы F измеряют, «насколько далеко» F от точности.

Внешний функтор

Пусть R — кольцо и Mod _R — категория модулей над R. _ Пусть B находится в Mod _R и установите T ( B ) = Hom _R ( A,B ) для фиксированного A в Mod _R . Это левый точный функтор , поэтому он имеет правые производные функторы R ⁿ T . Функтор Ext определяется формулой

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B).}$

Это можно вычислить, взяв любое инъективное разрешение

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,}$

и вычисления

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\rightarrow \cdots .}$

Тогда ( Rn T )( B ) — когомологии этого комплекса ^. Обратите внимание, что Hom _R ( A,B ) исключен из комплекса.

Альтернативное определение дается с использованием функтора G ( A )=Hom _R ( A,B ). Для фиксированного модуля B это контравариантный левый точный функтор , и, таким образом, мы также имеем правые производные функторы R ⁿ G и можем определить

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A).}$

Это можно вычислить, выбрав любое проективное разрешение.

${\displaystyle \dots \rightarrow P^{1}\rightarrow P^{0}\rightarrow A\rightarrow 0,}$

и действуя двойственно, вычислив

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{0},B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{1},B)\rightarrow \cdots .}$

Тогда ( ^RnG ) ( A ) — когомологии этого комплекса. Еще раз обратите внимание, что Hom _R ( A,B ) исключен.

Эти две конструкции дают изоморфные результаты, поэтому обе могут использоваться для вычисления функтора Ext.

Функтор Тора

Предположим , что R — кольцо и обозначено через R - Mod категорию левых R - модулей и через Mod - R категорию правых R -модулей (если R коммутативен , эти две категории совпадают). Исправьте модуль B в R - Mod . Для A в Mod - R установите T ( A ) = A ⊗ _R B. Тогда T — точный справа функтор из Mod — R в категорию абелевых групп Ab (в случае, когда R коммутативен, это точный правый функтор из Mod — R в Mod — R ) и его левые производные функторы L _n T определены. Мы устанавливаем

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(A,B)=(L_{n}T)(A)}$

т. е. мы принимаем проективное разрешение

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}$

затем удалите член A и тензоризируйте проективное разрешение с помощью B , чтобы получить комплекс

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\otimes _{R}B\rightarrow P_{1}\otimes _{R}B\rightarrow P_{0}\otimes _{R}B\rightarrow 0}$

(обратите внимание, что A ⊗ _R B не появляется и последняя стрелка — это просто отображение нулей) и возьмем гомологии этого комплекса.

Спектральная последовательность

Зафиксируйте абелеву категорию , например категорию модулей над кольцом. Спектральная последовательность — это выбор неотрицательного целого числа r ₀ и набора из трёх последовательностей:

1. Для всех целых чисел r ≥ r ₀ объект E _r , называемый листом (как лист бумаги ), а иногда и страницей или термином ,
2. Эндоморфизмы d _r  : E _r → E _r, удовлетворяющие d _r o d _r = 0, называемые граничными отображениями или дифференциалами ,
3. Изоморфизмы Er ₊₁ с H ( E r ₎ , гомологии Er относительно d _{r .}

Лист E ₂ когомологической спектральной последовательности

Спектральная последовательность с двойной градацией содержит огромное количество данных, которые необходимо отслеживать, но существует общий метод визуализации, который делает структуру спектральной последовательности более ясной. У нас есть три индекса: r , p и q . Представьте, что для каждого r у нас есть лист миллиметровой бумаги. На этом листе мы возьмем p за горизонтальное направление, а q за вертикальное направление. В каждой точке решетки у нас есть объект . ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$

Очень часто n = p + q является еще одним натуральным индексом в спектральной последовательности. n проходит по диагонали, с северо-запада на юго-восток, через каждый лист. В гомологическом случае дифференциалы имеют бистепень (− r ,  r  − 1), поэтому они уменьшают n на единицу. В когомологическом случае n увеличивается на единицу. Когда r равно нулю, дифференциал перемещает объекты на одну позицию вниз или вверх. Это похоже на дифференциал на цепном комплексе. Когда r равен единице, дифференциал перемещает объекты на одну позицию влево или вправо. Когда r равно двум, дифференциал перемещает объекты точно так же, как ход коня в шахматах . При более высоких r дифференциал действует как обобщенный ход коня.

Функциональность

Непрерывное отображение топологических пространств порождает гомоморфизм между их n- ми группами гомологии для всех n . Этот основной факт алгебраической топологии находит естественное объяснение в некоторых свойствах цепных комплексов. Поскольку одновременное изучение нескольких топологических пространств очень распространено, в гомологической алгебре приходится одновременно рассматривать кратные цепные комплексы.

Морфизм между двумя цепными комплексами - это семейство гомоморфизмов абелевых групп , которые коммутируют с дифференциалами в том смысле, что для всех n . Морфизм цепных комплексов индуцирует морфизм их групп гомологий, состоящий из гомоморфизмов для всех n . Морфизм F называется квазиизоморфизмом , если он индуцирует изоморфизм в n- х гомологиях для всех n . ${\displaystyle F:C_{\bullet }\to D_{\bullet },}$ ${\displaystyle F_{n}:C_{n}\to D_{n}}$ ${\displaystyle F_{n-1}\circ d_{n}^{C}=d_{n}^{D}\circ F_{n}}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(F)}$ ${\displaystyle H_{n}(F):H_{n}(C)\to H_{n}(D)}$

Многие конструкции цепных комплексов, возникающие в алгебре и геометрии, в том числе сингулярные гомологии , обладают следующим свойством функториальности : если два объекта X и Y соединены отображением f , то ассоциированные цепные комплексы связаны морфизмом и, более того, композицией карты f :  X  →  Y и g :  Y  →  Z индуцируют морфизм , который совпадает с композицией . Отсюда следует, что группы гомологии также функториальны, так что морфизмы между алгебраическими или топологическими объектами приводят к совместимым отображениям между их гомологиями. ${\displaystyle F=C(f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Y),}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle C(g\circ f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Z)}$ ${\displaystyle C(g)\circ C(f).}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$

Следующее определение вытекает из типичной ситуации в алгебре и топологии. Тройка, состоящая из трех цепных комплексов и двух морфизмов между ними, называется точной тройкой или короткой точной последовательностью комплексов и записывается как ${\displaystyle L_{\bullet },M_{\bullet },N_{\bullet }}$ ${\displaystyle f:L_{\bullet }\to M_{\bullet },g:M_{\bullet }\to N_{\bullet },}$

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{\bullet }{\overset {f}{\longrightarrow }}M_{\bullet }{\overset {g}{\longrightarrow }}N_{\bullet }\longrightarrow 0,}$

если для любого n последовательность

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{n}{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}M_{n}{\overset {g_{n}}{\longrightarrow }}N_{n}\longrightarrow 0}$

представляет собой короткую точную последовательность абелевых групп. По определению это означает, что f _n — инъекция , g _n — сюръекция и Im f _n  = Ker g _n . Одна из самых основных теорем гомологической алгебры, иногда известная как лемма о зигзаге , утверждает, что в этом случае существует длинная точная последовательность в гомологиях.

${\displaystyle \cdots \longrightarrow H_{n}(L){\overset {H_{n}(f)}{\longrightarrow }}H_{n}(M){\overset {H_{n}(g)}{\longrightarrow }}H_{n}(N){\overset {\delta _{n}}{\longrightarrow }}H_{n-1}(L){\overset {H_{n-1}(f)}{\longrightarrow }}H_{n-1}(M)\longrightarrow \cdots ,}$

где группы гомологий L , M и N циклически следуют друг за другом, а δ _n — некоторые гомоморфизмы, определяемые f и g , называемые соединительными гомоморфизмами . Топологические проявления этой теоремы включают последовательность Майера-Виеториса и длинную точную последовательность относительной гомологии .

Основополагающие аспекты

Теории когомологий были определены для многих различных объектов, таких как топологические пространства , пучки , группы , кольца , алгебры Ли и C*-алгебры . Изучение современной алгебраической геометрии было бы почти немыслимо без когомологий пучков .

Центральным в гомологической алгебре является понятие точной последовательности ; их можно использовать для выполнения реальных расчетов. Классическим инструментом гомологической алгебры является производный функтор ; самыми простыми примерами являются функторы Ext и Tor .

Имея в виду разнообразный набор приложений, было естественно попытаться поставить весь предмет на единую основу. Было несколько попыток, прежде чем тема утихла. Приблизительно историю можно изложить следующим образом:

• Картан - Эйленберг : В своей книге 1956 года «Гомологическая алгебра» эти авторы использовали резольвенты проективных и инъективных модулей .
• «Тохоку»: подход, описанный в знаменитой статье Александра Гротендика , опубликованной во второй серии « Математического журнала Тохоку» в 1957 году, использующий концепцию абелевых категорий (включающую пучки абелевых групп).
• Производная категория Гротендика и Вердье . _ Производные категории восходят к диссертации Вердье 1967 года. Они являются примерами триангулированных категорий , используемых в ряде современных теорий.

Они переходят от вычислимости к общности.

Вычислительной кувалдой по преимуществу является спектральная последовательность ; они необходимы в подходах Картана-Эйленберга и Тохоку, где они необходимы, например, для вычисления производных функторов композиции двух функторов. Спектральные последовательности менее важны в подходе производных категорий, но все же играют роль всякий раз, когда необходимы конкретные вычисления.

Были попытки создания «некоммутативных» теорий, расширяющих первые когомологии до торсоров (что важно для когомологий Галуа ).

Смотрите также

• Абстрактная чепуха — термин, обозначающий гомологическую алгебру и теорию категорий.
• Дериватор
• Гомотопическая алгебра
• Список тем гомологической алгебры

Рекомендации

1. Вейбель, Чарльз А. (1999). «История гомологической алгебры». История топологии . стр. 797–836. дои : 10.1016/b978-044482375-5/50029-8. ISBN 9780444823755.

• Анри Картан , Сэмюэль Эйленберг , Гомологическая алгебра . С приложением Дэвида А. Буксбаума. Перепечатка оригинала 1956 года. Принстонские ориентиры в математике. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1999. xvi + 390 стр. ISBN 0-691-04991-2 
• Гротендик, Александр (1957). «Sur quelques point d'algèbre homologique, I». Математический журнал Тохоку . 9 (2): 119–221. дои : 10.2748/tmj/1178244839 .
• Сондерс Мак Лейн , Гомология . Перепечатка издания 1975 года. Классика по математике. Springer-Verlag, Берлин, 1995. x + 422 стр. ISBN 3-540-58662-8. 
• Питер Хилтон ; Штамбах У. Курс гомологической алгебры . Второе издание. Тексты для выпускников по математике, 4. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1997. xii + 364 стр. ISBN 0-387-94823-6. 
• Гельфанд, Сергей И.; Юрий Манин , Методы гомологической алгебры . Перевод с русского издания 1988 года. Второе издание. Монографии Спрингера по математике. Springer-Verlag, Берлин, 2003. xx+372 стр. ISBN 3-540-43583-2 
• Гельфанд, Сергей И.; Юрий Манин, Гомологическая алгебра . Переведено авторами с русского оригинала 1989 года. Перепечатка оригинального английского издания из серии «Энциклопедия математических наук» ( Algebra , V, Encyclepaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994). Springer-Verlag, Берлин, 1999. iv+222 стр. ISBN 3-540-65378-3 
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. МР  1269324. OCLC  36131259.