Гомоморфизм модулей

Линейная карта над кольцом

В алгебре гомоморфизм модулей — это функция между модулями , которая сохраняет структуру модуля. Явно, если M и N — левые модули над кольцом R , то функция называется R - гомоморфизмом модулей или R - линейным отображением, если для любых x , y в M и r в R ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$

${\displaystyle f(rx)=rf(x).}$

Другими словами, f — групповой гомоморфизм (для основных аддитивных групп), который коммутирует со скалярным умножением. Если M , N — правые R -модули, то второе условие заменяется на

${\displaystyle f(xr)=f(x)r.}$

Прообраз нулевого элемента под f называется ядром f . Множество всех гомоморфизмов модулей от M до N обозначается . Это абелева группа (при поточечном сложении), но она не обязательно является модулем, если только R не коммутативен . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

Композиция гомоморфизмов модулей снова является гомоморфизмом модулей, а тождественное отображение модуля является гомоморфизмом модулей. Таким образом, все модули (скажем, левые) вместе со всеми гомоморфизмами модулей между ними образуют категорию модулей .

Терминология

Гомоморфизм модулей называется изоморфизмом модулей , если он допускает обратный гомоморфизм; в частности, это биекция . И наоборот, можно показать, что гомоморфизм биективного модуля является изоморфизмом; т. е. обратный является гомоморфизмом модулей. В частности, гомоморфизм модулей является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он является изоморфизмом между лежащими в основе абелевыми группами.

Теоремы об изоморфизме справедливы для гомоморфизмов модулей.

Гомоморфизм модулей модуля М в себя называется эндоморфизмом , а изоморфизм модуля М в себя — автоморфизмом . Пишется для множества всех эндоморфизмов модуля M . Это не только абелева группа , но также кольцо с умножением, заданным композицией функций, называемое кольцом эндоморфизмов M . Группа единиц этого кольца является группой автоморфизмов M . ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)}$

Лемма Шура гласит, что гомоморфизм между простыми модулями (модулями без нетривиальных подмодулей ) должен быть либо нулем, либо изоморфизмом. В частности, кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом .

На языке теории категорий инъективный гомоморфизм называется также мономорфизмом , а сюръективный гомоморфизм — эпиморфизмом .

Примеры

• Нулевая карта M → N , которая отображает каждый элемент в ноль.
• Линейное преобразование между векторными пространствами .
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)}$.
• Для коммутативного кольца R и идеалов I , J существует каноническое отождествление

  ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J}$

предоставлено . В частности , является аннигилятором I . ${\displaystyle f\mapsto f(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)}$

• Даны кольцо R и элемент r . Обозначим левое умножение на r . Тогда для любых s , t в R , ${\displaystyle l_{r}:R\to R}$

  ${\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t}$.

То есть правильно R - линейно . ${\displaystyle l_{r}}$

• Для любого кольца R
  • ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R}$как кольца, когда R рассматривается как правый модуль над собой. Явно этот изоморфизм задается левым регулярным представлением . ${\displaystyle R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}}$
  • Аналогично, как кольца, когда R рассматривается как левый модуль над самим собой. В учебниках или других справочниках обычно указывается, какое соглашение используется. ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M}$через для любого левого модуля M . ^[1] (Структура модуля на Hom здесь происходит от правого R -действия на R ; см. #Структуры модуля на Hom ниже.) ${\displaystyle f\mapsto f(1)}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$называется двойственным модулем к M ; это левый (соответственно правый) модуль, если M является правым (соответственно левым) модулем над R со структурой модуля, полученной в результате R -действия на R . Это обозначается . ${\displaystyle M^{*}}$
• Учитывая кольцевой гомоморфизм R → S коммутативных колец и S -модуль M , R -линейное отображение θ: S → M называется дифференцированием, если для любых f , g в S θ( fg ) = f θ( g ) + θ( ж ) г .
• Если S , T — ассоциативные алгебры с единицей над кольцом R , то гомоморфизм алгебры из S в T является гомоморфизмом колец , который также является гомоморфизмом R -модуля.

Структуры модулей на Hom

Короче говоря, Hom наследует кольцевое действие, которое не было использовано для формирования Hom. Точнее, пусть M , N — левые R -модули. Предположим, что M имеет правое действие кольца S , коммутирующее с R -действием; т. е. M является ( R , S )-модулем. Затем

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

имеет структуру левого S -модуля, определяемую: для s в S и x в M ,

${\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs).}$

Оно корректно определено (т. е. является R -линейным), поскольку ${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),}$

и является кольцевым действием, поскольку ${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)}$.

Примечание: приведенная выше проверка не удалась бы, если бы вместо правого S -действия использовалось левое R -действие . В этом смысле часто говорят, что Хом «израсходовал» R -действие.

Аналогично, если M — левый R -модуль, а N — ( R , S )-модуль, то является правым S -модулем по . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$ ${\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s}$

Матричное представление

Связь между матрицами и линейными преобразованиями в линейной алгебре естественным образом обобщается на гомоморфизмы модулей между свободными модулями. А именно, для правого R -модуля U существует канонический изоморфизм абелевых групп

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto [f_{ij}]}{\underset {\sim }{\to }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U))}$

полученный путем просмотра состоящего из векторов-столбцов и последующего записи f в виде матрицы размера m × n . В частности, рассматривая R как правый R -модуль и используя , имеем ${\displaystyle U^{\oplus n}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\simeq R}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)}$,

который оказывается кольцевым изоморфизмом (поскольку композиция соответствует умножению матриц ).

Обратите внимание, что приведенный выше изоморфизм является каноническим; никакого выбора не происходит. С другой стороны, если дан модульный гомоморфизм между свободными модулями конечного ранга , то выбор упорядоченного базиса соответствует выбору изоморфизма . Затем описанная выше процедура дает матричное представление относительно такого выбора оснований. Для более общих модулей матричные представления могут либо не иметь уникальности, либо вообще не существовать. ${\displaystyle F\simeq R^{n}}$

Определение

На практике гомоморфизм модулей часто определяют путем указания его значений в порождающем наборе . Точнее, пусть M и N — левые R -модули. Предположим, подмножество S порождает M ; т. е. существует сюръекция со свободным модулем F с базисом, индексированным S , и ядром K (т. е. имеется свободное представление ). Тогда задать гомоморфизм модулей — значит задать гомоморфизм модулей , который убивает K (т. е. отображает K в ноль). ${\displaystyle F\to M}$ ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle F\to N}$

Операции

Если и являются гомоморфизмами модулей, то их прямая сумма равна ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle g:M'\to N'}$

${\displaystyle f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))}$

и их тензорное произведение

${\displaystyle f\otimes g:M\otimes M'\to N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).}$

Пусть – модульный гомоморфизм между левыми модулями. Граф Γ _f функции f является подмодулем M ⊕ N , заданным формулой ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}}$,

который является образом гомоморфизма модуля M → M ⊕ N , x → ( x , f ( x )), называемого морфизмом графа .

Транспонирование f _ _ _

${\displaystyle f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.}$

Если f является изоморфизмом, то транспонирование обратного f называется контрагредиентом f .

Точные последовательности

Рассмотрим последовательность гомоморфизмов модулей

${\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}$

Такая последовательность называется цепным комплексом (или часто просто комплексом), если каждая композиция равна нулю; т.е. или, что то же самое, образ содержится в ядре . (Если числа увеличиваются, а не уменьшаются, то он называется коцепным комплексом; например, комплексом де Рама .) Цепной комплекс называется точной последовательностью, если . Частным случаем точной последовательности является короткая точная последовательность: ${\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0}$ ${\displaystyle f_{i+1}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})}$

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {g}{\to }}C\to 0}$

где инъективно, ядро ​​есть образ и сюръективно. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Любой гомоморфизм модулей определяет точную последовательность ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle 0\to K\to M{\overset {f}{\to }}N\to C\to 0,}$

где - ядро ​​, а - коядро, то есть частное по образу . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$

В случае модулей над коммутативным кольцом последовательность точна тогда и только тогда, когда она точна во всех максимальных идеалах ; это все последовательности

${\displaystyle 0\to A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{\to }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{\to }}C_{\mathfrak {m}}\to 0}$

точны, где нижний индекс означает локализацию в максимальном идеале . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Если это гомоморфизмы модулей, то говорят, что они образуют расслоенный квадрат (или квадрат обратного образа ), обозначаемый M × _B N , если он вписывается в ${\displaystyle f:M\to B,g:N\to B}$

${\displaystyle 0\to M\times _{B}N\to M\times N{\overset {\phi }{\to }}B\to 0}$

где . ${\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x)}$

Пример: пусть — коммутативные кольца, и пусть I — аннулятор фактор -модуля A / B ( который является идеалом A ). Тогда канонические отображения образуют расслоенный квадрат с ${\displaystyle B\subset A}$ ${\displaystyle A\to A/I,B/I\to A/I}$ ${\displaystyle B=A\times _{A/I}B/I.}$

Эндоморфизмы конечно порожденных модулей

Пусть – эндоморфизм между конечно порожденными R -модулями коммутативного кольца R . Затем ${\displaystyle \phi :M\to M}$

• ${\displaystyle \phi }$убит своим характеристическим полиномом относительно генераторов M ; см. лемму Накаямы#Доказательство .
• Если сюръективно, то оно инъективно. ^[2] ${\displaystyle \phi }$

См. также: Фактор Эрбрана (который можно определить для любого эндоморфизма с некоторыми условиями конечности.)

Вариант: аддитивные отношения

Аддитивное отношение модуля M к модулю N является подмодулем из ^[3] . Другими словами, это « многозначный » гомоморфизм, определенный на некотором подмодуле модуля M. Обратным к f является подмодуль . Любое аддитивное отношение f определяет гомоморфизм подмодуля M в фактор N ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle M\oplus N.}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\}}$

${\displaystyle D(f)\to N/\{y|(0,y)\in f\}}$

где состоит из всех элементов x в M таких, что ( x , y ) принадлежит f для некоторого y из N. ${\displaystyle D(f)}$

Трансгрессия , возникающая из спектральной последовательности , является примером аддитивного отношения.

Смотрите также

• Отображающий конус (гомологическая алгебра)
• Смит, нормальная форма
• Цепной комплекс
• Сопряжение

Примечания

1. Бурбаки, Ч. II, § 1.14, замечание 2.
2. Мацумура, Теорема 2.4.
3. Маклейн, Сондерс (6 декабря 2012 г.). Гомология. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642620294.

Рекомендации

• Бурбаки, «Глава II», Алгебра.^{[ нужна полная цитата ]}
• С. Маклейн, Гомология ^{[ нужна полная цитата ]}
• Мацумура, Х., Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 8, Перевод с японского М. Рида (второе изд.)