Лемма Шура

Гомоморфизмы между простыми модулями над одним и тем же кольцом являются изоморфизмами или нулевыми.

В математике лемма Шура ^[1] — элементарное, но чрезвычайно полезное утверждение теории представлений групп и алгебр . В групповом случае говорится, что если M и N — два конечномерных неприводимых представления группы G и φ — линейное отображение из M в N , которое коммутирует с действием группы, то либо φ обратимо , либо φ = 0. Важный частный случай возникает, когда M  =  N , т. е. φ является самоотображением; в частности, любой элемент центра группы должен действовать как скалярный оператор (скаляр, кратный единице ) на M. Лемма названа в честь Иссаи Шура , который использовал ее для доказательства соотношений ортогональности Шура и развития основ теории представлений конечных групп . Лемма Шура допускает обобщения на группы Ли и алгебры Ли , наиболее распространенные из которых принадлежат Жаку Диксмье и Дэниелу Квиллену .

Теория представлений групп

Теория представлений — это изучение гомоморфизмов группы G в общую линейную группу GL ( V ) векторного пространства V ; т . е. в группу автоморфизмов V . (Ограничимся здесь случаем, когда базовым полем V является поле комплексных чисел . ) Такой гомоморфизм называется представлением G на V. Представление на V является частным случаем группового действия на V , но вместо того, чтобы допускать любые произвольные биекции ( перестановки ) основного множества V , мы ограничиваемся обратимыми линейными преобразованиями. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Пусть ρ — представление G на V . Может случиться так, что V имеет подпространство W такое , что для каждого элемента g из G обратимое линейное отображение ρ ( g ) сохраняет или фиксирует W , так что ( ρ ( g ))( w ) находится в W для каждый w в W и ( ρ ( g ))( v ) не находится в W для любого v не из W . Другими словами, каждое линейное отображение ρ ( g ) : V → V также является автоморфизмом W , ρ ( g ): W → W , когда его область определения ограничена W. Мы говорим, что W стабильно относительно G или стабильно под действием G. Ясно, что если мы рассматриваем W как векторное пространство, то существует очевидное представление G на W — представление, которое мы получаем, ограничивая каждое отображение ρ ( g ) на W. Когда W обладает этим свойством , мы называем W с данным представлением подпредставлением V . Каждое представление G имеет себя и нулевое векторное пространство как тривиальные подпредставления. Представление группы G без нетривиальных подпредставлений называется неприводимым представлением . Неприводимые представления – такие как простые числа или простые группы в теории групп – являются строительными блоками теории представлений. Многие из первоначальных вопросов и теорем теории представлений связаны со свойствами неприводимых представлений.

Точно так же , как нас интересуют гомоморфизмы между группами и непрерывные отображения между топологическими пространствами , нас также интересуют некоторые функции между представлениями G. Пусть V и W — векторные пространства, и пусть и — представления G на V и W соответственно. Затем мы определяем G -линейное отображение f из V в W как линейное отображение из V в W , эквивариантное относительно действия G ; то есть для каждого g в G , . Другими словами, мы требуем, чтобы f коммутировало с действием G. G - линейные отображения — это морфизмы в категории представлений G. ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle \rho _{W}}$ ${\displaystyle \rho _{W}(g)\circ f=f\circ \rho _{V}(g)}$

Лемма Шура — это теорема, описывающая, какие G - линейные отображения могут существовать между двумя неприводимыми представлениями G.

Утверждение и доказательство леммы.

Теорема (лемма Шура) : Пусть V и W — векторные пространства; и пусть и — неприводимые представления группы G на V и W соответственно. ^[2] ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle \rho _{W}}$

1. Если и не изоморфны , то между ними нет нетривиальных G -линейных отображений. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$
2. Если конечномерно над алгебраически замкнутым полем (например ); и если , то единственными нетривиальными G -линейными отображениями являются единица и скалярные кратные единицы. (Скалярное кратное тождества иногда называют гомотетией. ) ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho _{V}=\rho _{W}}$

Доказательство: Предположим, что это ненулевое G -линейное отображение из в . Мы докажем, что и изоморфны. Позвольте быть ядром или нулевым пространством in , подпространством всего in, для которого . (Легко проверить, что это подпространство.) По предположению, что G - линейно , для каждого in и выбора in , . Но сказать, что это то же самое, что сказать, что это находится в нулевом пространстве . Так устойчив под действием G ; это субпредставительство. Поскольку по предположению неприводимо, должно быть равно нулю; так что это инъективно . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))=(\rho _{W}(g))(0)=0}$ ${\displaystyle f(\rho _{V}(g)(x))=0}$ ${\displaystyle \rho _{V}(g)(x)}$ ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle f}$

С помощью идентичного рассуждения мы покажем, что оно также сюръективно ; поскольку , можно заключить, что при произвольном выборе изображения , отправляется куда - то еще в изображении ; в частности, он отправляет его на изображение . Таким образом, образ является подпространством стабильного под действием , поэтому он является подпредставлением и должен быть нулевым или сюръективным. По предположению он не равен нулю, поэтому он сюръективен и в этом случае является изоморфизмом. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho _{W}(g)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho _{V}(g)x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$

В том случае, если конечномерны над алгебраически замкнутым полем и имеют одинаковое представление, пусть – собственное значение . (Собственное значение существует для каждого линейного преобразования в конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем.) Пусть . Тогда if – собственный вектор , соответствующий . Ясно, что это G -линейное отображение, поскольку сумма или разность G -линейных отображений также G -линейна . Затем мы возвращаемся к приведенному выше аргументу, где мы использовали тот факт, что отображение было G -линейным , чтобы заключить, что ядро ​​является подпредставлением и, следовательно, либо равно нулю, либо равно всем ; поскольку оно не равно нулю (оно содержит ), оно должно быть целиком из V , и поэтому оно тривиально, поэтому . ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'=f-\lambda I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda ,f'(x)=0}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f=\lambda I}$

Следствие леммы Шура.

Важным следствием леммы Шура является наблюдение, что мы часто можем строить явно -линейные отображения между представлениями путем «усреднения» по действию отдельных элементов группы на некоторый фиксированный линейный оператор. В частности, при любом неприводимом представлении такие объекты будут удовлетворять предположениям леммы Шура и, следовательно, будут скалярными кратными тождеству. Точнее: ${\displaystyle G}$

Следствие : используя те же обозначения из предыдущей теоремы, пусть — линейное отображение V в W и положим ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle h_{0}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g).}$$

1. Если и не изоморфны , то . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle h_{0}=0}$
2. Если конечномерно над алгебраически замкнутым полем (например ); и если , то , где n — размерность V. То есть является гомотетией отношения . ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho _{V}=\rho _{W}}$ ${\displaystyle h_{0}=I\,\mathrm {Tr} [h]/n}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {Tr} [h]/n}$

Доказательство: Сначала покажем, что это G-линейное отображение, т. е. для всех . Действительно, считайте, что ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{W}(g)\circ h_{0}=h_{0}\circ \rho _{V}(g)}$ ${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\rho _{W}(g'))^{-1}h_{0}\rho _{V}(g')&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g'))^{-1}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)\rho _{V}(g')\\&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g\circ g'))^{-1}h\rho _{V}(g\circ g')\\&=h_{0}\end{aligned}}}$

Теперь, применяя предыдущую теорему, для случая 1 следует, что , а для случая 2 следует, что является скалярным кратным единичной матрицы (т. е. ). Чтобы определить скалярное кратное , учтите, что ${\displaystyle h_{0}=0}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{0}=\mu I}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mathrm {Tr} [h_{0}]={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\mathrm {Tr} [(\rho _{V}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)]=\mathrm {Tr} [h]}$

Отсюда следует, что . ${\displaystyle \mu =\mathrm {Tr} [h]/n}$

Этот результат имеет множество приложений. Например, в контексте квантовой информатики он используется для получения результатов о сложных проективных t-проектах . ^[3]

Формулировка на языке модулей

Теорема: Если M и N — два простых модуля над кольцом R , то любой гомоморфизм f : M → N R - модулей либо обратим , либо равен нулю. ^[4] В частности, кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом . ^[5]

Условие того, что f является гомоморфизмом модулей, означает, что

${\displaystyle f(rm)=rf(m){\text{ for all }}m\in M{\text{ and }}r\in R.}$

Доказательство. Достаточно показать, что оно либо равно нулю, либо сюръективно и инъективно. Сначала мы покажем, что оба и являются -модулями. Если у нас есть , следовательно . Аналогично, если , то для всех . Теперь, поскольку и являются подмодулями простых модулей, они либо тривиальны, либо равны соответственно. Если , его ядро ​​не может быть равно и, следовательно, должно быть тривиальным (следовательно, инъективно), а его образ не может быть тривиальным и, следовательно, должен быть равным (следовательно , сюръективен). Тогда является биективным и, следовательно, изоморфизмом. Следовательно, каждый гомоморфизм либо равен нулю, либо обратим, что образует тело. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ker(f)}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m\in \ker(f),r\in R}$ ${\displaystyle f(rm)=rf(m)=0}$ ${\displaystyle rm\in \ker(f)}$ ${\displaystyle n=f(m)\in \operatorname {im} (f)}$ ${\displaystyle rn=rf(m)=f(rm)\in \operatorname {im} (f)}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle \ker(f)\subseteq M}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f)\subseteq N}$ ${\displaystyle M,N}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

Групповая версия является частным случаем модульной версии, поскольку любое представление группы G можно эквивалентно рассматривать как модуль над групповым кольцом G .

Лемма Шура часто применяется в следующем частном случае. Предположим, что R — алгебра над полем k и векторное пространство M = N — простой модуль R . Тогда лемма Шура утверждает, что кольцо эндоморфизмов модуля M является телом над k . Если M конечномерна, то это тело конечномерно. Если k — поле комплексных чисел, единственный вариант — это то, что это алгебра с делением — это комплексные числа. Таким образом, кольцо эндоморфизмов модуля M «наиболее мало». Другими словами, единственные линейные преобразования M , которые коммутируют со всеми преобразованиями, исходящими из R, являются скалярными кратными единицы.

В более общем смысле, если - алгебра над алгебраически замкнутым полем и простой -модуль, удовлетворяющий (мощности ), то . ^[6] Так, в частности, если это алгебра над несчетным алгебраически замкнутым полем и простой модуль, который не более чем счетномерен, единственные линейные преобразования этого коммутируют со всеми преобразованиями, исходящими из него, являются скалярными кратными единицы. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \dim _{k}(M)<\#k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

Когда поле не является алгебраически замкнутым, особый интерес по-прежнему представляет случай, когда кольцо эндоморфизмов минимально возможно. Простой модуль над -алгеброй называется абсолютно простым, если его кольцо эндоморфизмов изоморфно . В общем случае это сильнее, чем неприводимость над полем , и подразумевает , что модуль неприводим даже над алгебраическим замыканием . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Применение к центральным персонажам

Определение: Пусть - -алгебра. Говорят , что -модуль имеет центральный характер ( здесь - центр ), если для каждого существует такой, что , т. е. если каждый является обобщенным собственным вектором с собственным значением . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \chi :Z(R)\to k}$ ${\displaystyle Z(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m\in M,z\in Z(R)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (z-\chi (z))^{n}m=0}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \chi (z)}$

Если , скажем, в случае, описанном выше, каждый элемент действует как -эндоморфизм и, следовательно, как скаляр. Таким образом, существует кольцевой гомоморфизм такой, что для всех . В частности, имеет центральный характер . ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=k}$ ${\displaystyle Z(R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \chi :Z(R)\to k}$ ${\displaystyle (z-\chi (z))m=0}$ ${\displaystyle z\in Z(R),m\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \chi }$

Если — универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли, центральный характер также называется бесконечно малым характером , и предыдущие соображения показывают, что если он конечномерен (то есть счетномерен), то каждый простой -модуль имеет бесконечно малый характер. характер. ${\displaystyle R=U({\mathfrak {g}}),k=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle R=U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

В случае, когда – групповая алгебра конечной группы , следует тот же вывод. Здесь центр состоит из элементов формы где – функция класса , т.е. инвариантная относительно сопряжения. Поскольку набор функций класса охватывается характерами неприводимых представлений , центральный характер определяется тем, во что он отображается (для всех ). Поскольку все они идемпотентны, каждое из них отображается либо в 0, либо в 1, а поскольку для двух разных неприводимых представлений только одно может быть отображено в 1: то, которое соответствует модулю . ${\displaystyle k=\mathbb {C} ,R=\mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sum _{g\in G}a(g)g}$ ${\displaystyle a:G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \chi _{\pi }}$ ${\displaystyle \pi \in {\hat {G}}}$ ${\displaystyle u_{\pi }:={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}\chi _{\pi }(g)g}$ ${\displaystyle \pi \in {\hat {G}}}$ ${\displaystyle u_{\pi }}$ ${\displaystyle u_{\pi }u_{\pi '}=0}$ ${\displaystyle u_{\pi }}$ ${\displaystyle M}$

Представления групп Ли и алгебр Ли

Опишем теперь лемму Шура в том виде, в каком она обычно формулируется в контексте представлений групп Ли и алгебр Ли . Результат состоит из трех частей. ^[7]

Во-первых, предположим, что и являются неприводимыми представлениями группы Ли или алгебры Ли над любым полем и что это переплетающееся отображение . Тогда либо ноль, либо изоморфизм. ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle \phi :V_{1}\rightarrow V_{2}}$ ${\displaystyle \phi }$

Во-вторых, если является неприводимым представлением группы Ли или алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем и является переплетающимся отображением, то является скалярным кратным тождественного отображения. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi :V\rightarrow V}$ ${\displaystyle \phi }$

В-третьих, предположим, что и являются неприводимыми представлениями группы Ли или алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем и являются ненулевыми сплетающимися отображениями . Тогда для некоторого скаляра . ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}:V_{1}\rightarrow V_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{1}=\lambda \phi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Простое следствие второго утверждения состоит в том, что любое комплексное неприводимое представление абелевой группы одномерно.

Приложение к элементу Казимира

Предположим, является алгеброй Ли и является универсальной обертывающей алгеброй . Пусть – неприводимое представление над алгебраически замкнутым полем. Универсальное свойство универсальной обертывающей алгебры гарантирует, что представление распространяется на одно и то же векторное пространство. Из второй части леммы Шура следует, что если принадлежит центру , то должно быть кратно тождественному оператору. В случае, когда — комплексная полупростая алгебра Ли , важным примером предыдущей конструкции является та, в которой есть (квадратичный) элемент Казимира . В этом случае , где – константа, которую можно явно вычислить через старший вес . ^[8] Действие элемента Казимира играет важную роль в доказательстве полной сводимости конечномерных представлений полупростых алгебр Ли. ^[9] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi (C)=\lambda _{\pi }I}$ ${\displaystyle \lambda _{\pi }}$ ${\displaystyle \pi }$

Обобщение на непростые модули

Одномодульная версия леммы Шура допускает обобщения, включающие модули M , которые не обязательно являются простыми. Они выражают связи между теоретико-модульными свойствами M и свойствами кольца эндоморфизмов M .

Модуль называется сильно неразложимым, если его кольцо эндоморфизмов является локальным . Для важного класса модулей конечной длины следующие свойства эквивалентны (Lam 2001, §19):

• Модуль М неразложим ;​
• M сильно неразложимо;
• Любой эндоморфизм M либо нильпотентен, либо обратим.

В общем, лемму Шура нельзя перевернуть: существуют модули, которые не являются простыми, но их алгебра эндоморфизмов является телом . Такие модули обязательно неразложимы и поэтому не могут существовать над полупростыми кольцами, такими как комплексное групповое кольцо конечной группы . Однако даже над кольцом целых чисел модуль рациональных чисел имеет кольцо эндоморфизмов, которое является телом, а именно полем рациональных чисел. Даже для групповых колец имеются примеры, когда характеристика поля делит порядок группы: радикал Джекобсона проективного накрытия одномерного представления знакопеременной группы A ₅ над конечным полем с тремя элементами F ₃ имеет F ₃ как кольцо его эндоморфизмов.

Смотрите также

• дополнение Шура
• Лемма Квиллена

Примечания

1. Шур, Иссаи (1905). «Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere» [Новое основание теории групповых характеров]. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (на немецком языке). Берлин: Preußische Akademie der Wissenschaften: 406–432.
2. Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп. Тексты для аспирантов по математике. Том. 42. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п. 13. дои : 10.1007/978-1-4684-9458-7. ISBN 978-1-4684-9458-7.
3. Скотт, AJ (27 октября 2006 г.). «Точные информационно полные квантовые измерения». Журнал физики A: Математический и общий . 39 (43): 13507–13530. arXiv : Quant-ph/0604049 . Бибкод : 2006JPhA...3913507S. дои : 10.1088/0305-4470/39/43/009. hdl : 10072/22680 . ISSN  0305-4470. S2CID  33144766.
4. Сенгупта 2012, с. 126
5. Лам 2001, с. 33
6. Бурбаки, Николя (2012). «Алгебра: Глава 8». Éléments de mathématique (переработанное и расширенное изд.). Спрингер. п. 43. ИСБН 978-3031192920.
7. Холл, 2015 г., Теорема 4.29.
8. Зал 2015 г., Предложение 10.6.
9. Зал 2015 г., раздел 10.3.

Рекомендации

• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (1999). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. 337. ИСБН 0-471-36857-1.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
• Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95325-0.
• Сенгупта, Амбар (2012). «Индуцированные представления». Представление конечных групп . Нью-Йорк. стр. 235–248. дои : 10.1007/978-1-4614-1231-1_8. ISBN 9781461412311. ОСЛК  769756134.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Штерн, А.И.; Ломоносов, В.И. (2001) [1994], «Лемма Шура», Математическая энциклопедия , EMS Press