В абстрактной алгебре конечная группа — это группа , базовое множество которой конечно . Конечные группы часто возникают при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, когда эти объекты допускают лишь конечное число преобразований, сохраняющих структуру. Важные примеры конечных групп включают циклические группы и группы перестановок .
Изучение конечных групп было неотъемлемой частью теории групп с момента ее возникновения в XIX веке. Одной из основных областей исследований была классификация: классификация конечных простых групп (без нетривиальной нормальной подгруппы ) была завершена в 2004 году.
В течение двадцатого века математики очень глубоко исследовали некоторые аспекты теории конечных групп, особенно локальную теорию конечных групп и теорию разрешимых и нильпотентных групп . [1] [2] Как следствие, была достигнута полная классификация конечных простых групп , а это означает, что теперь известны все те простые группы , из которых могут быть построены все конечные группы.
Во второй половине двадцатого века такие математики, как Шевалле и Стейнберг, также расширили наше понимание конечных аналогов классических групп и других родственных групп. Одним из таких семейств групп является семейство общих линейных групп над конечными полями .
Конечные группы часто возникают при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, когда эти объекты допускают лишь конечное число преобразований, сохраняющих структуру. Теория групп Ли , которую можно рассматривать как имеющую дело с « непрерывной симметрией », находится под сильным влиянием связанных с ней групп Вейля . Это конечные группы, порожденные отражениями, действующими в конечномерном евклидовом пространстве . Таким образом, свойства конечных групп могут играть роль в таких предметах, как теоретическая физика и химия . [3]
Симметричная группа S n на конечном наборе из n символов — это группа , элементами которой являются все перестановки n символов, а групповая операция которой представляет собой композицию таких перестановок, которые рассматриваются как биективные функции от набора символов к самому себе. . [4] Поскольку существует n ! ( n факториал ) возможных перестановок набора из n символов, отсюда следует, что порядок (количество элементов) симметрической группы S n равен n !.
Циклическая группа Z n — это группа, все элементы которой являются степенями определенного элемента a , где a n = a 0 = e , тождество. Типичная реализация этой группы - комплексные корни n- й степени из единицы . Отправка a к примитивному корню из единицы дает изоморфизм между ними. Это можно сделать с любой конечной циклической группой.
Абелева группа , называемая также коммутативной группой , — это группа , в которой результат применения групповой операции к двум элементам группы не зависит от их порядка (аксиома коммутативности ) . Они названы в честь Нильса Хенрика Абеля . [5]
Произвольная конечная абелева группа изоморфна прямой сумме конечных циклических групп простого степенного порядка, причем эти порядки определяются однозначно, образуя полную систему инвариантов. Группа автоморфизмов конечной абелевой группы может быть описана непосредственно в терминах этих инвариантов. Теория была впервые развита в статье 1879 года Георга Фробениуса и Людвига Штикельбергера , а затем была упрощена и обобщена на конечно порожденные модули в области главных идеалов, образуя важную главу линейной алгебры .
Группа лиева типа — это группа , тесно связанная с группой G ( k ) рациональных точек редуктивной линейной алгебраической группы G со значениями в поле k . Конечные группы лиева типа дают основную часть неабелевых конечных простых групп . Особые случаи включают классические группы , группы Шевалле , группы Стейнберга и группы Сузуки-Ри.
Конечные группы лиева типа были одними из первых групп, которые рассматривались в математике, после циклических , симметричных и знакопеременных групп, с проективными специальными линейными группами над простыми конечными полями, PSL(2, p ), построенными Эваристом Галуа в 1830-х годах. Систематическое исследование конечных групп лиева типа началось с теоремы Камиллы Жордана о том, что проективная специальная линейная группа PSL(2, q ) проста при q ≠ 2, 3. Эта теорема обобщается на проективные группы более высоких размерностей и дает важное бесконечное семейство PSL( n , q ) конечных простых групп . Другие классические группы изучались Леонардом Диксоном в начале 20 века. В 1950-х годах Клод Шевалле понял, что после соответствующей переформулировки многие теоремы о полупростых группах Ли допускают аналоги для алгебраических групп над произвольным полем k , что привело к построению того, что сейчас называется группами Шевалле . При этом, как и в случае с компактными простыми группами Ли, соответствующие группы оказались почти простыми как абстрактные группы ( теорема Титса о простоте ). Хотя с 19 века было известно, что существуют и другие конечные простые группы (например, группы Матье ), постепенно сформировалось убеждение, что почти все конечные простые группы можно объяснить с помощью соответствующих расширений конструкции Шевалле, а также циклических и знакопеременных групп. Более того, исключения — спорадические группы — обладают многими свойствами, присущими конечным группам лиева типа, и, в частности, могут быть построены и охарактеризованы на основе их геометрии в смысле Титса.
Эта вера теперь превратилась в теорему – классификацию конечных простых групп . Проверка списка конечных простых групп показывает, что группы лиева типа над конечным полем включают все конечные простые группы, кроме циклических групп, знакопеременных групп, группы Титса и 26 спорадических простых групп .
Для любой конечной группы G порядок (число элементов) каждой подгруппы H группы G делит порядок G . Теорема названа в честь Жозефа-Луи Лагранжа .
Это обеспечивает частичное обращение к теореме Лагранжа, давая информацию о том, сколько подгрупп данного порядка содержится в G .
Теорема Кэли , названная в честь Артура Кэли , утверждает, что каждая группа G изоморфна подгруппе симметрической группы , действующей на G. [6] Это можно понимать как пример группового действия G на элементы G . [7]
Теорема Бернсайда в теории групп утверждает, что если G — конечная группа порядка p a q b , где p и q — простые числа , а a и b — неотрицательные целые числа , то G разрешима . Следовательно, каждая неабелева конечная простая группа имеет порядок, кратный по крайней мере трем различным простым числам.
Теорема Фейта-Томпсона , или теорема о нечетном порядке , утверждает, что каждая конечная группа нечетного порядка разрешима . Это доказали Уолтер Фейт и Джон Григгс Томпсон (1962, 1963).
Классификация конечных простых групп — это теорема, утверждающая, что каждая конечная простая группа принадлежит одному из следующих семейств:
Конечные простые группы можно рассматривать как основные строительные блоки всех конечных групп, что напоминает то, как простые числа являются основными строительными блоками натуральных чисел . Теорема Йордана –Гёльдера — более точный способ сформулировать этот факт о конечных группах. Однако существенное отличие от случая целочисленной факторизации состоит в том, что такие «строительные блоки» не обязательно однозначно определяют группу, поскольку может существовать много неизоморфных групп с одним и тем же композиционным рядом или, другими словами, Задача расширения не имеет однозначного решения.
Доказательство теоремы занимает десятки тысяч страниц в нескольких сотнях журнальных статей, написанных около 100 авторами и опубликованных в основном в период с 1955 по 2004 год. Горенштейн (ум. 1992) , Лайонс и Соломон постепенно публикуют упрощенную и переработанную версию теоремы. доказательство.
Учитывая положительное целое число n , определить, сколько типов изоморфизма существует у групп порядка n, совсем не является рутинной задачей. Каждая группа простого порядка является циклической , поскольку из теоремы Лагранжа следует, что циклическая подгруппа, порожденная любым из ее неединичных элементов, является всей группой. Если n — квадрат простого числа, то существует ровно два возможных типа изоморфизма группы порядка n , оба из которых абелевы. Если n — высшая степень простого числа, то результаты Грэма Хигмана и Чарльза Симса дают асимптотически правильные оценки количества типов изоморфизма групп порядка n , и это число очень быстро растет с увеличением степени.
В зависимости от простой факторизации n на структуру групп порядка n могут быть наложены некоторые ограничения , как следствие, например, таких результатов, как теоремы Силова . Например, каждая группа порядка pq является циклической, если q < p — простые числа, причем p − 1 не делится на q . Необходимое и достаточное условие см. в циклическом числе .
Если n бесквадратно , то любая группа порядка n разрешима. Теорема Бернсайда , доказанная с использованием групповых символов , утверждает, что каждая группа порядка n разрешима, когда n делится менее чем на три различных простых числа, т. е. если n = p a q b , где p и q — простые числа, а a и b — неотрицательные целые числа. По теореме Фейта–Томпсона , которая имеет длинное и сложное доказательство, каждая группа порядка n разрешима, когда n нечетно.
Для каждого натурального числа n большинство групп порядка n разрешимы . Убедиться в этом для любого конкретного порядка обычно нетрудно (например, существует с точностью до изоморфизма одна неразрешимая группа и 12 разрешимых групп порядка 60), но доказательство этого для всех порядков использует классификацию конечных простых групп. . Для любого натурального числа n существует не более двух простых групп порядка n , и существует бесконечно много натуральных чисел n , для которых существуют две неизоморфные простые группы порядка n .