В математике , точнее в абстрактной алгебре , конечное кольцо — это кольцо , имеющее конечное число элементов. Каждое конечное поле является примером конечного кольца, а аддитивная часть каждого конечного кольца является примером абелевой конечной группы , но концепция конечных колец сама по себе имеет более недавнюю историю.
Хотя кольца имеют большую структуру, чем группы, теория конечных колец проще, чем теория конечных групп. Например, классификация конечных простых групп стала одним из крупнейших прорывов математики 20-го века, ее доказательство заняло тысячи журнальных страниц. С другой стороны, с 1907 года было известно, что любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу – матрицам размера n на n над конечным полем порядка q (как следствие теорем Веддерберна, описанных ниже).
Количество колец с m элементами, где m — натуральное число, указано в разделе OEIS : A027623 в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей .
Теория конечных полей, возможно, является наиболее важным аспектом теории конечных колец из-за ее тесной связи с алгебраической геометрией , теорией Галуа и теорией чисел . Важным, но достаточно старым аспектом теории является классификация конечных полей: [1]
Несмотря на классификацию, конечные поля по-прежнему являются активной областью исследований, включая недавние результаты по гипотезе Какеи и открытые проблемы, касающиеся размера наименьших примитивных корней (в теории чисел).
Конечное поле F можно использовать для построения векторного пространства n-мерностей над F. Кольцо матриц A размером n × n с элементами из F используется в геометрии Галуа , при этом проективная линейная группа служит мультипликативной группой A.
Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что любое конечное тело обязательно коммутативно:
Позже Натан Джейкобсон обнаружил еще одно условие, гарантирующее коммутативность кольца: если для каждого элемента r из R существует целое число n > 1 такое, что r n = r , то R коммутативно. [2] Известны также более общие условия, предполагающие коммутативность кольца. [3]
Следствием еще одной теоремы Веддерберна является результат, демонстрирующий, что теория конечных простых колец относительно проста по своей природе. Более конкретно, любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу матриц размером n на n над конечным полем порядка q . Это следует из двух теорем Джозефа Веддерберна , установленных в 1905 и 1907 годах (одна из которых — малая теорема Веддерберна).
(Предупреждение: перечисления в этом разделе включают кольца, которые не обязательно имеют мультипликативную идентичность, иногда называемые кольцами .) В 1964 году Дэвид Сингмастер предложил в American Mathematical Monthly следующую задачу : «(1) Каков порядок наименьших не -тривиальное кольцо с единицей, не являющееся полем? Найдите два таких кольца такого минимального порядка. Их больше? (2) Сколько существует колец четвертого порядка?" Решение Д.М. Блума можно найти в двухстраничном доказательстве [4] того, что существует одиннадцать колец порядка 4, четыре из которых имеют мультипликативную идентичность. Действительно, четырехэлементные кольца усложняют предмет. Над циклической группой C4 имеется три кольца , а над четырехгруппой Клейна — восемь колец . В конспектах лекций Грегори Дрездена представлена интересная демонстрация инструментов различения ( нильпотенты , делители нуля , идемпотенты , левые и правые тождества). [5]
Возникновение некоммутативности в конечных кольцах было описано в (Элдридж, 1968) в двух теоремах: если порядок m конечного кольца с 1 имеет факторизацию без куба , то оно коммутативно . А если некоммутативное конечное кольцо с 1 имеет порядок простого куба, то кольцо изоморфно верхнетреугольному кольцу матриц 2 × 2 над полем Галуа простого числа. Изучение колец порядка куба простого числа получило дальнейшее развитие в работах (Рагхавендран, 1969) и (Гилмер и Мотт, 1973). Затем Флор и Вессенбауэр (1975) усовершенствовали случай простого куба. Окончательная работа по классам изоморфизма была проведена (Антипкин и Елизаров, 1982), в которой было доказано, что при p > 2 число классов равно 3 p + 50.
Есть более ранние ссылки на тему конечных колец, такие как Роберт Балье [6] и Скорца. [7]
Вот некоторые из известных фактов о количестве конечных колец (не обязательно с единицей) данного порядка (предположим, что p и q представляют собой различные простые числа):
Количество колец с n элементами равно (при a (0) = 1 )
