Математическое кольцо, элементами которого являются матрицы.
В абстрактной алгебре кольцо матриц — это набор матриц с элементами в кольце R , образующих кольцо при сложении и умножении матриц . Множество всех матриц размера n × n с элементами из R представляет собой кольцо матриц, обозначаемое M n ( R ) (альтернативные обозначения: Mat n ( R ) и R n × n ). Некоторые наборы бесконечных матриц образуют бесконечные матричные кольца . Подкольцо матричного кольца снова является матричным кольцом. По rng можно формировать матричные rng.
Когда R — коммутативное кольцо, кольцо матриц M n ( R ) является ассоциативной алгеброй над R и может называться матричной алгеброй . В этом случае, если M — матрица, а r находится в R , то матрица rM — это матрица M , каждый из ее элементов которой умножен на r .
Примеры
- Множество всех квадратных матриц размера n × n над R обозначается M n ( R ). Иногда это называют «полным кольцом матриц размера n на n ».
- Множество всех верхнетреугольных матриц над R .
- Набор всех нижних треугольных матриц над R .
- Набор всех диагональных матриц над R . Эта подалгебра в Mn ( R ) изоморфна прямому произведению n копий R. _ _
- Для любого набора индексов I кольцо эндоморфизмов правого R -модуля изоморфно кольцу [ нужна ссылка ] конечных матриц -столбцов , элементы которых индексируются I × I и каждый столбец которого содержит только конечное число ненулевых элементов. Кольцо эндоморфизмов M , рассматриваемое как левый R -модуль, изоморфно кольцу матриц , конечных по строкам .
![{\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Если R — банахова алгебра , то условие конечности строки или столбца в предыдущем пункте можно ослабить. При наличии нормы вместо конечных сумм можно использовать абсолютно сходящиеся ряды . Например, матрицы, суммы столбцов которых представляют собой абсолютно сходящиеся последовательности, образуют кольцо. [ сомнительно – обсудить ] Аналогично, конечно, кольцо образуют и матрицы, суммы строк которых представляют собой абсолютно сходящиеся ряды. [ сомнительно – обсудить ] Эту идею можно использовать, например, для представления операторов в гильбертовых пространствах .
- Пересечение колец матриц, конечных по строкам и столбцам, образует кольцо .
![{\displaystyle \mathbb {RCFM} _{I}(R)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Если R коммутативен , то Mn ( R ) имеет структуру *-алгебры над R , где инволюция * на Mn ( R ) есть транспонирование матрицы .
- Если A — C*-алгебра , то Mn ( A ) — другая C*-алгебра. Если A неединичен, то Mn ( A ) также неединичен. По теореме Гельфанда–Наймарка существуют гильбертово пространство H и изометрический *-изоморфизм из A в нормозамкнутую подалгебру алгебры B ( H ) непрерывных операторов; это отождествляет M n ( A ) с подалгеброй B ( H ⊕ n ). Для простоты, если мы далее предположим, что H сепарабельна и AB ( H ) — C *-алгебра с единицей, мы можем разбить A на кольцо матриц над меньшей C*-алгеброй. Это можно сделать, зафиксировав проекцию p и, следовательно, ее ортогональную проекцию 1 − p ; можно отождествить A с , где умножение матриц работает должным образом из-за ортогональности проекций. Чтобы отождествить A с кольцом матриц над C*-алгеброй, мы требуем, чтобы p и 1 − p имели одинаковый «ранг»; точнее, нам нужно, чтобы p и 1 − p были эквивалентны Мюррею–фон Нейману, т. е. существовала частичная изометрия u такая, что p = uu * и 1 − p = u * u . Это можно легко обобщить на матрицы большего размера.
- Комплексные матричные алгебры Mn ( C ) являются с точностью до изоморфизма единственными конечномерными простыми ассоциативными алгебрами над полем C комплексных чисел . До изобретения матричных алгебр Гамильтон в 1853 году ввел кольцо, элементы которого он назвал бикватернионами [7] , а современные авторы назвали бы тензорами в C ⊗ R H , которое, как позже было показано, изоморфно M 2 ( C ). Один базис M 2 ( C ) состоит из четырех матричных блоков (матрицы с одним 1 и всеми остальными элементами 0); другой базис задается единичной матрицей и тремя матрицами Паули .
- Кольцо матриц над полем — это алгебра Фробениуса с формой Фробениуса, заданной следом произведения: σ ( A , B ) = tr( AB ) .
Состав
- Кольцо матриц Mn ( R ) можно отождествить с кольцом эндоморфизмов свободного правого R -модуля ранга n ; то есть M n ( R ) ≅ End R ( R n ) . Умножение матриц соответствует композиции эндоморфизмов.
- Кольцо Mn ( D ) над телом D — артиново простое кольцо , особый тип полупростого кольца . Кольца и не являются простыми и не артиновыми, если множество I бесконечно, но они все же являются полными линейными кольцами .
![{\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(D)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(D)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Теорема Артина-Веддерберна утверждает, что каждое полупростое кольцо изоморфно конечному прямому произведению для некоторого неотрицательного целого числа r , положительных целых чисел n i и тел D i .
![{\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Когда мы рассматриваем Mn ( C ) как кольцо линейных эндоморфизмов Cn , те матрицы, которые обращаются в нуль в данном подпространстве V , образуют левый идеал . И наоборот, для данного левого идеала I в M n ( C ) пересечение нулевых пространств всех матриц в I дает подпространство C n . Согласно этой конструкции левые идеалы M n ( C ) находятся в биекции с подпространствами C n .
- Существует биекция между двусторонними идеалами Mn ( R ) и двусторонними идеалами R. А именно, для каждого идеала I из R множество всех матриц размера n × n с элементами в I является идеалом из M n ( R ), и каждый идеал из M n ( R ) возникает таким образом. Отсюда следует, что Mn ( R ) прост тогда и только тогда, когда R прост. При n ≥ 2 не каждый левый или правый идеал в Mn ( R ) возникает в соответствии с предыдущей конструкцией из левого или правого идеала в R. Например, набор матриц, чьи столбцы с индексами от 2 до n равны нулю, образует левый идеал в M n ( R ).
- Предыдущее идеальное соответствие на самом деле возникает из-за того, что кольца R и Mn ( R ) Морита -эквивалентны . Грубо говоря, это означает, что категория левых R -модулей и категория левых Mn ( R ) -модулей очень похожи. Благодаря этому существует естественное биективное соответствие между классами изоморфизма левых R -модулей и левыми Mn ( R ) -модулями, а также между классами изоморфизма левых идеалов R и левых идеалов Mn ( R ) . Идентичные утверждения справедливы для правых модулей и правых идеалов. Благодаря эквивалентности Морита, Mn ( R ) наследует любые Морита-инвариантные свойства R , такие как простота , артиновость , нётеровость , простота .
Характеристики
- Если S — подкольцо R , то Mn ( S ) — подкольцо Mn ( R ) . Например, M n ( Z ) является подкольцом M n ( Q ).
- Кольцо матриц Mn ( R ) коммутативно тогда и только тогда, когда n = 0 , R = 0 или R коммутативно и n = 1 . Фактически это справедливо и для подкольца верхнетреугольных матриц. Вот пример, показывающий две верхние треугольные матрицы 2 × 2 , которые не коммутируют, предполагая, что 1 ≠ 0 в R :
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- и
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix }}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- При n ≥ 2 кольцо матриц Mn ( R ) над ненулевым кольцом имеет делители нуля и нильпотентные элементы ; то же самое справедливо и для кольца верхнетреугольных матриц. Примером в матрицах 2 × 2 может быть:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix }}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Центр Mn ( R ) состоит из скалярных кратных единичной матрицы In , в которой скаляр принадлежит центру R.
- Единичная группа M n ( R ), состоящая из обратимых при умножении матриц, обозначается GL n ( R ).
- Если F — поле, то для любых двух матриц A и B из Mn ( F ) из равенства AB = In следует BA = In . Однако это верно не для каждого кольца R. Кольцо R , все матричные кольца которого обладают указанным свойством, известно как стабильно конечное кольцо (Lam 1999, стр. 5).
Матричное полукольцо
Фактически, чтобы Mn ( R ) было определено, R должно быть всего лишь полукольцом . В этом случае Mn ( R ) представляет собой полукольцо, называемое матричным полукольцом . Аналогично, если R — коммутативное полукольцо, то Mn ( R ) —матричная полуалгебра .
Например, если R — булево полукольцо ( двухэлементная булева алгебра R = {0, 1} с 1 + 1 = 1 ), то M n ( R ) — полукольцо бинарных отношений на n - Набор элементов с объединением в качестве сложения, композицией отношений в качестве умножения, пустым отношением ( нулевой матрицей ) в качестве нуля и тождественным отношением ( тождественной матрицей ) в качестве единицы .
Смотрите также
Цитаты
- ^ Лекция VII сэра Уильяма Роуэна Гамильтона (1853 г.) Лекции по кватернионам , Ходжесу и Смиту
Рекомендации
- Артин (2018), Алгебра , Пирсон
- Дросте, М.; Куич, В. (2009), «Полукольца и формальные степенные ряды», Справочник по взвешенным автоматам , Монографии по теоретической информатике. Серия EATCS, стр. 3–28, номер документа : 10.1007/978-3-642-01492-5_1, ISBN. 978-3-642-01491-8
- Лам, Тай (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5
- Лам (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам (2-е изд.), Springer
- Ланг (2005), Бакалавриат по алгебре , Спрингер
- Серр (1979), Местные поля , Спрингер
- Серр (2006), Алгебры Ли и группы Ли (2-е изд.), Springer, исправлено 5-е издание