Математическая функция между группами, сохраняющая структуру умножения
В математике для данных двух групп ( G ,∗) и ( H , ·) групповой гомоморфизм из ( G ,∗) в ( H , ·) представляет собой функцию h : G → H такую, что для всех u и v в G, утверждается, что
где групповая операция в левой части уравнения — это операция G , а в правой части — операция H.
Из этого свойства можно сделать вывод, что h отображает единичный элемент e G группы G в единичный элемент e H группы H ,
и он также отображает обратные значения в обратные в том смысле, что
Следовательно, можно сказать, что h «совместим со структурой группы».
В областях математики, где рассматриваются группы, наделенные дополнительной структурой, гомоморфизм иногда означает отображение, которое учитывает не только структуру группы (как указано выше), но и дополнительную структуру. Например, часто требуется, чтобы гомоморфизм топологических групп был непрерывным.
Интуиция
Целью определения группового гомоморфизма является создание функций, сохраняющих алгебраическую структуру. Эквивалентное определение группового гомоморфизма: Функция h : G → H является групповым гомоморфизмом, если всякий раз, когда
а * б знак равно c у нас есть час ( а ) ⋅ час ( б ) знак равно час ( c ).
Другими словами, группа H в некотором смысле имеет аналогичную алгебраическую структуру, что и G , и гомоморфизм h сохраняет ее.
Групповой гомоморфизм, который является биективным ; т. е. инъективный и сюръективный. Его обратный также является групповым гомоморфизмом. В этом случае группы G и H называются изоморфными ; они различаются только обозначениями своих элементов (кроме идентификационного элемента) и идентичны для всех практических целей. Т.е. мы перемаркируем все элементы кроме тождественности.
Групповой эндоморфизм, который является биективным и, следовательно, изоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G с функциональной композицией в качестве операции само образует группу, группу автоморфизмов G . Он обозначается Aut( G ). Например, группа автоморфизмов ( Z , +) содержит только два элемента: тождественное преобразование и умножение на −1; он изоморфен ( Z /2Z , +).
Образ и ядро
Мы определяем ядро h как набор элементов в G , которые отображаются в единицу в H
Ядро и образ гомоморфизма можно интерпретировать как меру того, насколько он близок к изоморфизму. Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ группового гомоморфизма h ( G ) изоморфен фактор-группе G /ker h .
Гомоморфизм h является групповым мономорфизмом; т. е. h инъективен (взаимно однозначен) тогда и только тогда, когда ker( h ) = { e G }. Инъекция напрямую дает, что в ядре есть уникальный элемент, и, наоборот, уникальный элемент в ядре дает инъекцию:
Примеры
Рассмотрим циклическую группу Z 3 = ( Z /3 Z , +) = ({0, 1, 2}, +) и группу целых чисел ( Z , +). Отображение h : Z → Z /3 Z с h ( u ) = u mod 3 является гомоморфизмом группы. Он сюръективен , и его ядро состоит из всех целых чисел, кратных 3.
Набор
образует группу при матричном умножении. Для любого комплексного числа u функция f u : G → C * определяется формулой
является групповым гомоморфизмом.
Рассмотрим мультипликативную группу положительных действительных чисел ( R + , ⋅ ) для любого комплексного числа u, функцию f u : R + → C , определенную формулой
является групповым гомоморфизмом.
Экспоненциальное отображение дает групповой гомоморфизм из группы действительных чисел R с добавлением к группе ненулевых действительных чисел R * с умножением. Ядро — {0}, а изображение состоит из положительных действительных чисел.
Экспоненциальное отображение также дает групповой гомоморфизм из группы комплексных чисел C с добавлением к группе ненулевых комплексных чисел C * с умножением. Это отображение сюръективно и имеет ядро {2π ki : k ∈ Z }, как видно из формулы Эйлера . Поля типа R и C , которые имеют гомоморфизмы из своей аддитивной группы в свою мультипликативную группу, называются экспоненциальными полями .
Функция , определенная, является гомоморфизмом.
Категория групп
Если h : G → H и k : H → K являются групповыми гомоморфизмами, то гомоморфизмами являются и k ∘ h : G → K . Это показывает, что класс всех групп вместе с групповыми гомоморфизмами как морфизмами образует категорию .
Гомоморфизмы абелевых групп
Если G и H — абелевы (т. е. коммутативные) группы, то множество Hom( G , H ) всех гомоморфизмов групп из G в H само по себе является абелевой группой: сумма h + k двух гомоморфизмов определяется формулой
( час + k )( ты ) знак равно час ( ты ) + k ( ты ) для всех ты в G .
Коммутативность H необходима, чтобы доказать, что h + k снова является гомоморфизмом группы.
Добавление гомоморфизмов совместимо с композицией гомоморфизмов в следующем смысле: если f находится в Hom( K , G ) , h , k — элементы Hom( G , H ) , а g находится в Hom( H , L ) , затем
( час + k ) ∘ ж знак равно ( час ∘ ж ) + ( k ∘ ж ) и грамм ∘ ( час + k ) знак равно ( грамм ∘ час ) + ( грамм ∘ k ) .
Поскольку композиция ассоциативна , это показывает, что множество End( G ) всех эндоморфизмов абелевой группы образует кольцо , кольцо эндоморфизмов группы G. Например, кольцо эндоморфизмов абелевой группы, состоящее из прямой суммы m копий Z / n Z , изоморфно кольцу m - m матриц с элементами из Z / n Z . Вышеупомянутая совместимость также показывает, что категория всех абелевых групп с групповыми гомоморфизмами образует преаддитивную категорию ; существование прямых сумм и ядер с хорошим поведением делает эту категорию типичным примером абелевой категории .