Кольцевой гомоморфизм

В теории колец , ответвлении абстрактной алгебры , гомоморфизм колец — это функция , сохраняющая структуру между двумя кольцами . Более явно, если R и S — кольца, то гомоморфизм колец — это функция f : R → S такая, что f равна: ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^{[a ]}

дополнение, сохраняющее:

ж ( а + б ) знак равно ж ( а ) + ж ( б ) для всех a и b в R ,

сохранение умножения:

ж ( ab ) знак равно ж ( а ) ж ( б ) для всех a и b в R ,

и единица (мультипликативная идентичность), сохраняющая:

ж (1 _р ) знак равно 1 _S .

Аддитивные инверсии и аддитивное тождество также являются частью структуры, но нет необходимости явно требовать их соблюдения, поскольку эти условия являются следствием трех вышеуказанных условий.

Если, кроме того , f является биекцией , то ее обратная f⁻¹ также является кольцевым гомоморфизмом. В этом случае f называется изоморфизмом колец , а кольца R и S называются изоморфными . С точки зрения теории колец изоморфные кольца различить невозможно.

Если R и S являются rng , то соответствующим понятием является понятие гомоморфизма rng , ^[b] определенного, как указано выше, за исключением третьего условия f (1 _R ) = 1 _S.Гомоморфизм rng между (единичными) кольцами не обязательно должен быть гомоморфизмом колец.

Композиция двух кольцевых гомоморфизмов является кольцевым гомоморфизмом. Отсюда следует, что класс всех колец образует категорию с кольцевыми гомоморфизмами в качестве морфизмов (ср. категорию колец ). В частности, получены понятия эндоморфизма колец, изоморфизма колец и автоморфизма колец.

Характеристики

Пусть f : R → S — кольцевой гомоморфизм. Тогда непосредственно из этих определений можно вывести:

ж (0 _р ) знак равно 0 _S .
ж (- а ) знак равно - ж ( а ) для всех а в R .
Для любого единичного элемента a в R f ( a ) является единичным элементом таким, что f ( a − ¹ ) = f ( a ) ⁻¹ . В частности, f индуцирует групповой гомоморфизм из (мультипликативной) группы единиц R в (мультипликативную) группу единиц S (или im( f )).
Образ f , обозначенный im ( f ) , является подкольцом S.
Ядро f , определенное как ker( f ) = { a in R | ж ( а ) знак равно 0 _S } , является идеалом в R . Таким образом, каждый идеал в кольце R возникает из некоторого гомоморфизма колец.
Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда ker( f ) = {0 _R } .
Характеристика S делит характеристику R. _ _ _ Иногда это можно использовать, чтобы показать, что между некоторыми кольцами R и S не существует гомоморфизма колец R → S.
Если Rp _— наименьшее подкольцо , содержащееся в R , а Sp _— наименьшее подкольцо, содержащееся в S , то каждый гомоморфизм колец f : R → S индуцирует гомоморфизм колец fp _: Rp → _Sp_.
Если R — поле (или, в более общем случае, тело ), а S не является нулевым кольцом , то f инъективно.
Если и R , и S являются полями , то im( f ) является подполем S , поэтому S можно рассматривать как расширение поля R.
Если I — идеал S , то f⁻¹ ( I ) — идеал R.
Если R и S коммутативны и P — простой идеал в S , то f⁻¹ ( P ) — простой идеал в R.
Если R и S коммутативны, M — максимальный идеал S и f сюръективен, то f⁻¹ ( M ) — максимальный идеал R.
Если R и S коммутативны и S — область целостности , то ker( f ) — простой идеал R.
Если R и S коммутативны, S — поле и f сюръективен, то ker( f ) — максимальный идеал R .
Если f сюръективен, P — простой (максимальный) идеал в R и ker( f ) ⊆ P , то f ( P ) — простой (максимальный) идеал в S.

Более того,

Композиция гомоморфизмов колец S → T и R → S является гомоморфизмом колец R → T .
Для каждого кольца R тождественное отображение R → R является гомоморфизмом колец.
Поэтому класс всех колец вместе с кольцевыми гомоморфизмами образует категорию — категорию колец .
Нулевое отображение R → S , которое переводит каждый элемент R в 0, является гомоморфизмом колец, только если S — нулевое кольцо (кольцо, единственный элемент которого равен нулю).
Для каждого кольца R существует единственный гомоморфизм колец Z → R. Это говорит о том, что кольцо целых чисел является исходным объектом в категории колец.
Для каждого кольца R существует единственный гомоморфизм колец из R в нулевое кольцо. Это говорит о том, что нулевое кольцо является терминальным объектом в категории колец.
Поскольку исходный объект не изоморфен терминальному объекту, в категории колец нет нулевого объекта ; в частности, нулевое кольцо не является нулевым объектом в категории колец.

Примеры

Функция f : Z → Z / n Z , определенная формулой f ( a ) = [ a ] _n = a mod n, является сюръективным кольцевым гомоморфизмом с ядром n Z (см. модульную арифметику ).
Комплексное сопряжение C → C является кольцевым гомоморфизмом (это пример кольцевого автоморфизма).
Для кольца R простой характеристики p R → R , x → x ^p — это кольцевой эндоморфизм, называемый эндоморфизмом Фробениуса .
Если R и S — кольца, нулевая функция из R в S является кольцевым гомоморфизмом тогда и только тогда, когда S — нулевое кольцо (в противном случае невозможно отобразить 1 _R в 1 _S ). С другой стороны, нулевая функция всегда является гомоморфизмом rng.
Если R [ X ] обозначает кольцо всех многочленов от переменной X с коэффициентами в действительных числах R , а C обозначает комплексные числа , то функция f : R [ X ] → C определяется формулой f ( p ) = p ( i ) (замените мнимую единицу i на переменную X в многочлене p ) является сюръективным гомоморфизмом колец. Ядро f состоит из всех многочленов из R [ X ], которые делятся на X2⁺ 1 .
Если f : R → S — кольцевой гомоморфизм между кольцами R и S , то f индуцирует кольцевой гомоморфизм между матричными кольцами Mn ( _R ) → _Mn ( S ) .
Пусть V — векторное пространство над полем k . Тогда отображение ρ : k → End( V ), заданное формулой ρ ( a ) v = av , является кольцевым гомоморфизмом. В более общем смысле, для абелевой группы M модульная структура на M над кольцом R эквивалентна заданию гомоморфизма колец R → End( M ) .
Гомоморфизм алгебры с единицей между ассоциативными алгебрами с единицей над коммутативным кольцом R — это гомоморфизм колец, который также является R -линейным .

Непримеры

Функция f : Z /6 Z → Z /6 Z , определенная формулой f ([ a ] ₆ ) = [4 a ] ₆ , является гомоморфизмом rng (и эндоморфизмом rng) с ядром 3 Z /6 Z и образом 2 Z / 6 Z (изоморфен Z /3 Z ).
Не существует гомоморфизма колец Z / n Z → Z для любого n ≥ 1 .
Если R и S — кольца, то включение R → R × S , которое переводит каждое r в ( r ,0), является гомоморфизмом rng, но не гомоморфизмом колец (если S не является нулевым кольцом), поскольку оно не отображает мультипликативное тождество 1 R к мультипликативному тождеству (1,1) R × S .

Категория колец

Эндоморфизмы, изоморфизмы и автоморфизмы

Кольцевой эндоморфизм — это кольцевой гомоморфизм кольца в себя.
Кольцевой изоморфизм — это кольцевой гомоморфизм, имеющий двусторонний обратный, который также является кольцевым гомоморфизмом. Можно доказать, что гомоморфизм колец является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен как функция на основных множествах. Если между двумя кольцами R и S существует кольцевой изоморфизм , то R и S называются изоморфными . Изоморфные кольца отличаются только перемаркировкой элементов. Пример: с точностью до изоморфизма существуют четыре кольца порядка 4. (Это означает, что существуют четыре попарно неизоморфных кольца порядка 4 такие, что каждое другое кольцо порядка 4 изоморфно одному из них.) С другой стороны, с точностью до изоморфизма имеется одиннадцать цепочек четвертого порядка.
Кольцевой автоморфизм — это кольцевой изоморфизм кольца в себя.

Мономорфизмы и эпиморфизмы

Инъективные гомоморфизмы колец идентичны мономорфизмам в категории колец: Если f : R → S — мономорфизм, который не является инъективным, то он переводит некоторые r ₁ и r ₂ в один и тот же элемент из S . Рассмотрим два отображения g1 и g2 из Z _[x ] в R _,_{которые} отображают x в r1 _иr2 соответственно ; f ∘ g ₁ и f ∘ g ₂ идентичны, но поскольку f — мономорфизм, это невозможно.

Однако сюръективные гомоморфизмы колец сильно отличаются от эпиморфизмов в категории колец. Например, включение Z ⊆ Q является кольцевым эпиморфизмом, но не сюръекцией. Однако они точно такие же, как и сильные эпиморфизмы .

Смотрите также

Смена колец

Примечания

↑ Хазевинкель изначально определяет «кольцо» без требования 1, но очень скоро заявляет, что отныне все кольца будут иметь 1.
^ Некоторые авторы используют термин «кольцо» для обозначения структур, которые не требуют мультипликативной идентичности; вместо «rng», «кольцо» и «гомоморфизм rng» они используют термины «кольцо», «кольцо с единицей» и «кольцевой гомоморфизм» соответственно. По этой причине некоторые другие авторы, чтобы избежать двусмысленности, явно указывают, что кольца унитальны и что гомоморфизмы сохраняют тождество.

Цитаты

^ Артин 1991, с. 353
^ Атья и Макдональд 1969, стр. 2
^ Бурбаки 1998, с. 102
^ Эйзенбуд 1995, с. 12
^ Джейкобсон 1985, с. 103
^ Ланг 2002, с. 88
^ Хазевинкель 2004, с. 3