Теоремы об изоморфизме

Группа математических теорем

В математике , особенно в абстрактной алгебре , теоремы об изоморфизме (также известные как теоремы об изоморфизме Нётер ) — это теоремы , описывающие отношения между факторами , гомоморфизмами и подобъектами . Версии теорем существуют для групп , колец , векторных пространств , модулей , алгебр Ли и различных других алгебраических структур . В универсальной алгебре теоремы об изоморфизме могут быть обобщены на контекст алгебр и сравнений .

История

Теоремы об изоморфизме были сформулированы в некоторой общности для гомоморфизмов модулей Эмми Нётер в ее статье Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in алгебраических Zahl- und Funktionenkörpern , которая была опубликована в 1927 году в Mathematische Annalen . Менее общие версии этих теорем можно найти в работах Рихарда Дедекинда и предыдущих статьях Нётер.

Три года спустя Б.Л. ван дер Варден опубликовал свою влиятельную «Современную алгебру» , первый учебник абстрактной алгебры , в котором к предмету применялся подход « группы - кольца - поля ». В качестве основных источников Ван дер Варден назвал лекции Нётер по теории групп и Эмиля Артина по алгебре, а также семинар, проведенный Артином, Вильгельмом Блашке , Отто Шрайером и самим ван дер Варденом по идеалам . Три теоремы об изоморфизме, называемые теоремой о гомоморфизме , и два закона изоморфизма применительно к группам проявляются явно.

Группы

Сначала мы приведем теоремы об изоморфизме групп .

Теорема А (группы)

Схема основной теоремы о гомоморфизмах

Пусть G и H — группы, и пусть f  :  G  →  H — гомоморфизм . Затем:

1. Ядро f является нормальной подгруппой G , _ _
2. Образ f является подгруппой H и _ _ _
3. Образ f изоморфен факторгруппе G  /ker ( f ) .

В частности, если f сюръективен , то H изоморфен G  /ker( f ).

Эту теорему обычно называют первой теоремой об изоморфизме .

Теорема Б (группы)

Схема к теореме B4. Две факторгруппы (пунктирные) изоморфны.

Пусть будет группа. Пусть – подгруппа , и пусть – нормальная подгруппа . Тогда имеют место следующие положения: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

1. Товар относится к подгруппе , ${\displaystyle SN}$ ${\displaystyle G}$
2. Подгруппа является нормальной подгруппой , ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle SN}$
3. Пересечение является нормальной подгруппой , и ${\displaystyle S\cap N}$ ${\displaystyle S}$
4. Факторгруппы и изоморфны. ${\displaystyle (SN)/N}$ ${\displaystyle S/(S\cap N)}$

Технически нет необходимости быть нормальной подгруппой, если она является подгруппой нормализатора in . В этом случае не является нормальной подгруппой , но все же является нормальной подгруппой произведения . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle SN}$

Эту теорему иногда называют второй теоремой об изоморфизме , ^[1] теоремой о ромбе ^[2] или теоремой о параллелограмме . ^[3]

Применение второй теоремы изоморфизма идентифицирует проективные линейные группы : например, группа на комплексной проективной прямой начинается с установки , группа обратимых комплексных матриц 2 × 2 , подгруппа матриц с определителем 1 и нормальная подгруппа скалярных матрицы , мы имеем , где - единичная матрица , и . Тогда вторая теорема об изоморфизме утверждает, что: ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}$ ${\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Теорема C (группы)

Позвольте быть группой и нормальной подгруппой . Затем ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

1. Если является подгруппой такой, что , то имеет подгруппу, изоморфную . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$
2. Каждая подгруппа имеет вид некоторой подгруппы такой, что . ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$
3. Если является нормальной подгруппой такой, что , то имеет нормальную подгруппу, изоморфную . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$
4. Каждая нормальная подгруппа имеет вид некоторой нормальной подгруппы такой , что . ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$
5. Если нормальная подгруппа такой, что , то факторгруппа изоморфна . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$ ${\displaystyle (G/N)/(K/N)}$ ${\displaystyle G/K}$

Последнее утверждение иногда называют третьей теоремой об изоморфизме . Первые четыре утверждения часто подпадают под приведенную ниже теорему D и называются теоремой о решетке , теоремой о соответствии или четвертой теоремой об изоморфизме .

Теорема D (группы)

Позвольте быть группой и нормальной подгруппой . Канонический гомоморфизм проекций определяет биективное соответствие между множеством подгрупп содержащего и множеством (всех) подгрупп . При этом соответствии нормальные подгруппы соответствуют нормальным подгруппам. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\rightarrow G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

Эту теорему иногда называют теоремой соответствия , теоремой решетки и четвертой теоремой изоморфизма .

Лемму Цассенхауза (также известную как лемма о бабочке) иногда называют четвертой теоремой об изоморфизме. ^[4]

Обсуждение

Первую теорему об изоморфизме можно выразить на языке теории категорий , сказав, что категория групп (нормальная эпи, моно)-факторизуемая; другими словами, нормальные эпиморфизмы и мономорфизмы образуют систему факторизации категории . Это отражено на коммутативной диаграмме на полях, где показаны объекты и морфизмы , существование которых можно вывести из морфизма . Диаграмма показывает, что каждый морфизм в категории групп имеет ядро ​​в теоретико-категориальном смысле; произвольный морфизм f факторизуется в , где ι — мономорфизм, а π — эпиморфизм (в конормальной категории все эпиморфизмы нормальны). На диаграмме это представлено объектом и мономорфизмом (ядра всегда являются мономорфизмами), которые завершают короткую точную последовательность , идущую от нижнего левого угла диаграммы к правому верхнему. Использование соглашения о точной последовательности избавляет нас от необходимости рисовать нулевые морфизмы из to и . ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$ ${\displaystyle \iota \circ \pi }$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle \kappa :\ker f\rightarrow G}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/\ker f}$

Если последовательность расщепляется справа (т. е. существует морфизм σ , который отображается в π -прообраз самой себя), то G является полупрямым произведением нормальной подгруппы и подгруппы . Если это расщепление слева (т. е. существуют такие, что ), то оно также должно быть расщеплено справа и является прямым разложением произведения G . В общем, существование правого раскола не подразумевает существование левого раскола; но в абелевой категории (например, в абелевых группах ) левое и правое расщепления эквивалентны согласно лемме о расщеплении , а правого разделения достаточно, чтобы произвести разложение в прямую сумму . В абелевой категории все мономорфизмы также нормальны, и диаграмму можно расширить второй короткой точной последовательностью . ${\displaystyle G/\operatorname {ker} f}$ ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {im} \sigma }$ ${\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f}$ ${\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }$ ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma }$ ${\displaystyle 0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}$

Во второй теореме об изоморфизме произведение SN является соединением S и N в решетке подгрупп группы G , а пересечение S  ∩  N является пересечением .

Третья теорема об изоморфизме обобщается девятью леммами на абелевы категории и более общие отображения между объектами.

Примечание к номерам и именам

Ниже мы представляем четыре теоремы, обозначенные A, B, C и D. Их часто нумеруют как «Первая теорема об изоморфизме», «Вторая...» и так далее; однако универсального соглашения по нумерации не существует. Здесь мы приведем несколько примеров теорем об изоморфизме групп, встречающихся в литературе. Обратите внимание, что эти теоремы имеют аналоги для колец и модулей.

Реже теорему D, обычно известную как теорема о решетке или теорема соответствия , включают в качестве одной из теорем изоморфизма, но когда она включена, она является последней.

Кольца

Формулировки теорем для колец аналогичны, с заменой понятия нормальной подгруппы понятием идеала .

Теорема А (кольца)

Пусть и — кольца, и пусть — кольцевой гомоморфизм . Затем: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi :R\rightarrow S}$

1. Ядро – это идеал , ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle R}$
2. Образ является подкольцом , и _ _ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle S}$
3. Образ изоморфен фактор - кольцу . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle R/\ker \varphi }$

В частности, если сюръективно, то изоморфно . ^[15] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R/\ker \varphi }$

Теорема Б (кольца)

Пусть R — кольцо. Пусть S — подкольцо кольца R и I — идеал кольца R. Затем:

1. Сумма S  +  I  = { s  +  i  |  s  ∈  S ,  i  ∈  I  } — подкольцо R ,
2. Пересечение S  ∩  I является идеалом S , и
3. Факторкольца ( S  +  I )/  I и S  /( S  ∩  I ) изоморфны.

Теорема C (кольца)

Пусть R — кольцо, а I — идеал кольца R. Затем

1. Если является подкольцом такого, что , то является подкольцом . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle R/I}$
2. Каждое подкольцо имеет вид некоторого подкольца такого, что . ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$
3. Если является идеалом такого, что , то является идеалом . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$ ${\displaystyle J/I}$ ${\displaystyle R/I}$
4. Каждый идеал имеет вид некоторого идеала такого , что . ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle J/I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$
5. Если является идеалом такого, что , то факторкольцо изоморфно . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$ ${\displaystyle (R/I)/(J/I)}$ ${\displaystyle R/J}$

Теорема D (кольца)

Пусть – идеал . Соответствие представляет собой сохраняющую включение биекцию между множеством подколец , содержащих , и множеством подколец . Кроме того, (подкольцо, содержащее ) является идеалом тогда и только тогда, когда является идеалом . ^[16] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\leftrightarrow A/I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle R/I}$

Модули

Формулировки теорем изоморфизма модулей особенно просты, так как из любого подмодуля можно образовать фактормодуль . Теоремы об изоморфизме векторных пространств (модулей над полем ) и абелевых групп (модулей над полем ) являются их частными случаями. Для конечномерных векторных пространств все эти теоремы следуют из теоремы о ранге-нулевости . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

В дальнейшем «модуль» будет означать « R -модуль» для некоторого фиксированного кольца R.

Теорема А (модули)

Пусть M и N — модули, и пусть φ  :  M  →  N — гомоморфизм модулей . Затем:

1. Ядро φ является подмодулем M , _
2. Образ φ является подмодулем N и _
3. Образ φ изоморфен фактормодулю M /  ker( φ ) .

В частности, если φ сюръективен, то N изоморфен M  /ker( φ ).

Теорема Б (модули)

Пусть M — модуль, а S и T — подмодули M . Затем:

1. Сумма S  +  T  = { s  +  t  |  s  ∈  S ,  t  ∈  T } — подмодуль M ,
2. Пересечение S  ∩  T является подмодулем M и
3. Фактормодули ( S  +  T )/  T и S  /( S  ∩  T ) изоморфны.

Теорема C (модули)

Пусть M — модуль, T — подмодуль M .

1. Если является подмодулем такого, что , то является подмодулем . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$ ${\displaystyle S/T}$ ${\displaystyle M/T}$
2. Каждый подмодуль имеет вид некоторого подмодуля такого, что . ${\displaystyle M/T}$ ${\displaystyle S/T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$
3. Если является подмодулем такого, что , то фактор-модуль изоморфен . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$ ${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$ ${\displaystyle M/S}$

Теорема D (модули)

Позвольте быть модулем, подмодулем . Существует биекция между подмодулями, содержащими , и подмодулями . Переписка предоставлена ​​для всех . Это соответствие коммутирует с процессами взятия сумм и пересечений (т. е. является решеточным изоморфизмом между решеткой подмодулей и решеткой подмодулей, содержащих ) . ^[17] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle A\leftrightarrow A/N}$ ${\displaystyle A\supseteq N}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Универсальная алгебра

Чтобы обобщить это на универсальную алгебру , нормальные подгруппы необходимо заменить отношениями конгруэнтности .

Конгруэнция на алгебре — это отношение эквивалентности , образующее подалгебру рассматриваемой алгебры с покомпонентными операциями. Можно превратить набор классов эквивалентности в алгебру того же типа, определив операции через представителей; это будет четко определено, поскольку является подалгеброй . Полученная структура является факторалгеброй . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi \subseteq A\times A}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle A/\Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A\times A}$

Теорема А (универсальная алгебра)

Пусть – гомоморфизм алгебры . Тогда образ является подалгеброй , соотношение (т. е. ядро ​​) является конгруэнцией на , а алгебры и изоморфны . (Обратите внимание, что в случае группы тогда и только тогда , поэтому восстанавливается понятие ядра, используемое в теории групп в этом случае.) ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/\Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {im} f}$ ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle f(xy^{-1})=1}$

Теорема B (универсальная алгебра)

Даны алгебра , подалгебра и сравнение на , пусть — след in и совокупность классов эквивалентности, которые пересекаются . Затем ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}$ ${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle \Phi _{B}}$является сравнением на , ${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle \ [B]^{\Phi }}$является подалгеброй , и ${\displaystyle A/\Phi }$
3. алгебра изоморфна алгебре . ${\displaystyle [B]^{\Phi }}$ ${\displaystyle B/\Phi _{B}}$

Теорема C (универсальная алгебра)

Пусть – алгебра и два отношения сравнения на таких, что . Тогда является конгруэнцией на , и изоморфно ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi ,\Psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }$ ${\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}}$ ${\displaystyle A/\Psi }$ ${\displaystyle A/\Phi }$ ${\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}$

Теорема D (универсальная алгебра)

Пусть – алгебра и обозначает множество всех сравнений на . Множество представляет собой полную решетку, упорядоченную по включению. ^[18] Если — сравнение и мы обозначаем множеством всех конгруэнций, которые содержат (т. е. является главным фильтром в , более того, это подрешетка), то отображение является решеточным изоморфизмом. ^{[19] [20]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \alpha :\left[\Phi ,A\times A\right]\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi }$

Примечания

1. Милн (2013), гл. 1 сек. Теоремы о гомоморфизмах
2. I. Мартин Айзекс (1994). Алгебра: Высший курс . Американское математическое соц. п. 33. ISBN 978-0-8218-4799-2.
3. Пол Мориц Кон (2000). Классическая алгебра . Уайли. п. 245. ИСБН 978-0-471-87731-8.
4. Уилсон, Роберт А. (2009). Конечные простые группы . Тексты для аспирантов по математике 251. Том. 251. Спрингер-Верлаг Лондон. п. 7. дои : 10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-4471-2527-3.
5. Джейкобсон (2009), раздел 1.10
6. ван дер Варден, Алгебра (1994).
7. Дурбин (2009), сек. 54
8. [имена] по сути такие же, как [ван дер Варден 1994] ^[7]
9. Кнапп (2016), раздел IV 2
10. Грилье (2007), сек. я 5
11. Ротман (2003), сек. 2.6
12. Фрэли (2003), Глава. 14, 34
13. Черт возьми, Дэвид Стивен (2004). Абстрактная алгебра. Ричард М. Фут (Третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси. стр. 97–98. ISBN 0-471-43334-9. ОСЛК  52559229.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
14. Скотт (1964), разделы 2.2 и 2.3.
15. Мой, Сэмюэл (2022). «Введение в теорию расширения полей» (PDF) . Чикагский математический факультет . Проверено 20 декабря 2022 г.
16. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 246. ИСБН 978-0-471-43334-7.
17. Даммит и Фут (2004), с. 349
18. Беррис и Санкаппанавар (2012), с. 37
19. Беррис и Санкаппанавар (2012), с. 49
20. Сан, Уильям. «Существует ли общая форма теоремы о соответствии?». Математический StackExchange . Проверено 20 июля 2019 г.

Рекомендации

• Нётер, Эмми , Abstrakter Aufbau der Idealtheorie в алгебраическом Zahl- und Funktionenkörpern , Mathematische Annalen 96 (1927), стр. 26–61.
• Макларти, Колин, «Теоретико-множественная топология Эмми Нётер: от Дедекинда к появлению функторов». Архитектура современной математики: Очерки истории и философии (под редакцией Джереми Грея и Хосе Феррейроса), Oxford University Press (2006), стр. 211–35.
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN 9780486471891
• Кон, Пол М., Универсальная алгебра , Глава II.3, с. 57
• Милн, Джеймс С. (2013), Теория групп, 3.13
• ван дер Варден, BI (1994), Алгебра , вып. 1 (9-е изд.), Springer-Verlag
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Беррис, Стэнли; Санкаппанавар, HP (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
• Скотт, WR (1964), Теория групп , Прентис Холл
• Дурбин, Джон Р. (2009). Современная алгебра: Введение (6-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-470-38443-5.
• Кнапп, Энтони В. (2016), Основная алгебра (второе цифровое издание)
• Грилье, Пьер Антуан (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer
• Ротман, Джозеф Дж. (2003), Advanced Modern Algebra (2-е изд.), Prentice Hall, ISBN 0130878685
• Хангерфорд, Томас В. (1980), Алгебра (Тексты для выпускников по математике, 73) , Springer, ISBN 0387905189