В математике категория Grp ( или Gp [1] ) имеет класс всех групп объектов и групповых гомоморфизмов морфизмов . По существу, это конкретная категория . Исследование этой категории известно как теория групп .
Есть два функтора забывания из Grp , M: Grp → Mon из групп в моноиды и U: Grp → Set из групп в множества . M имеет два сопряженных : один правый, I: Mon → Grp , и один левый, K: Mon → Grp . I: Mon → Grp — функтор , отправляющий каждый моноид в подмоноид обратимых элементов, а K: Mon → Grp — функтор, отправляющий каждый моноид в группу Гротендика этого моноида. Функтор забывания U: Grp → Set имеет левый сопряженный, заданный составным KF: Set → Mon → Grp , где F — свободный функтор ; этот функтор присваивает каждому множеству S свободную группу на S.
Мономорфизмы в Grp — это в точности инъективные гомоморфизмы, эпиморфизмы — это в точности сюръективные гомоморфизмы, а изоморфизмы — это в точности биективные гомоморфизмы.
Категория Grp является одновременно полной и сополной . Теоретико -категорный продукт в Grp — это просто прямой продукт групп , тогда как теоретико-категорный копродукт в Grp — это свободный продукт групп. Нулевые объекты в Grp — это тривиальные группы (состоящие только из единичного элемента).
Каждый морфизм f : G → H в Grp имеет теоретико-категорное ядро (задаваемое обычным ядром алгебры ker f = { x in G | f ( x ) = e }), а также теоретико-категорное коядро (задаваемое формулой фактор - группа H путем нормального замыкания f ( G ) в H ). В отличие от абелевых категорий, неверно, что каждый мономорфизм в Grp является ядром своего коядра.
Категория абелевых групп Ab является полной подкатегорией Grp . Ab — абелева категория , а Grp — нет. Действительно, Grp даже не является аддитивной категорией , поскольку не существует естественного способа определить «сумму» двух групповых гомоморфизмов. Доказательство этого состоит в следующем: множество морфизмов из симметричной группы S 3 порядка третьего в себя имеет десять элементов: элемент z , произведение которого по обе стороны с каждым элементом E равно z (гомоморфизм, переводящий каждый элемент тождественности), три элемента, произведение которых на одной фиксированной стороне всегда есть он сам (проекции на три подгруппы второго порядка), и шесть автоморфизмов. Если бы Grp была аддитивной категорией, то это множество E из десяти элементов было бы кольцом . В любом кольце нулевой элемент выделяется тем свойством, что 0 x = x 0=0 для всех x в кольце, и поэтому z должен быть нулем E . Однако в E не существует двух ненулевых элементов, произведение которых равно z , поэтому это конечное кольцо не будет иметь делителей нуля . Конечное кольцо без делителей нуля является полем по малой теореме Веддерберна , но не существует поля с десятью элементами, поскольку каждое конечное поле имеет своим порядком степень простого числа.
Понятие точной последовательности имеет смысл в Grp , и некоторые результаты теории абелевых категорий, такие как девятая лемма , пятая лемма и их следствия, верны и в Grp . Однако лемма о змее неверна в Grp . [ сомнительно ] [ нужна ссылка ]
Grp — обычная категория .
