Группа Гротендика

Абелева группа, расширяющая коммутативный моноид

В математике группа Гротендика , или группа разностей , ^[1] коммутативного моноида M является некоторой абелевой группой . Эта абелева группа строится из M наиболее универсальным образом в том смысле, что любая абелева группа, содержащая гомоморфный образ M , будет также содержать гомоморфный образ группы Гротендика M . Конструкция группы Гротендика получила свое название от конкретного случая в теории категорий , введенного Александром Гротендиком в его доказательстве теоремы Гротендика-Римана-Роха , которое привело к развитию K-теории . Этот частный случай представляет собой моноид классов изоморфизма объектов абелевой категории с прямой суммой в качестве его операции.

Группа Гротендика коммутативного моноида

Мотивация

Для коммутативного моноида M «наиболее общая» абелева группа K , возникающая из M , должна быть построена путем введения обратных элементов ко всем элементам M . Такая абелева группа K всегда существует; она называется группой Гротендика группы M . Оно характеризуется некоторым универсальным свойством и может быть также конкретно построено из М.

Если M не обладает свойством сокращения (т. е. существуют a , b и c в M такие, что и ), то группа Гротендика K не может содержать M . В частности, в случае моноидной операции, обозначенной мультипликативно, которая имеет нулевой элемент, удовлетворяющий для каждой группы Гротендика, должна быть тривиальной группой ( группой только с одним элементом), поскольку необходимо иметь ${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle ac=bc}$ ${\displaystyle 0.x=0}$ ${\displaystyle x\in M,}$

${\displaystyle x=1.x=(0^{-1}.0).x=0^{-1}.(0.x)=0^{-1}.(0.0)=(0^{-1}.0).0=1.0=0}$

для каждого х .

Универсальная собственность

Пусть M — коммутативный моноид. Ее группа Гротендика является абелевой группой K с моноидным гомоморфизмом , удовлетворяющим следующему универсальному свойству: для любого моноидного гомоморфизма из M в абелеву группу A существует единственный гомоморфизм группы такой, что ${\displaystyle i\colon M\to K}$ ${\displaystyle f\colon M\to A}$ ${\displaystyle g\colon K\to A}$ ${\displaystyle f=g\circ i.}$

Это выражает тот факт, что любая абелева группа A , содержащая гомоморфный образ M , будет также содержать гомоморфный образ K , причем K — «наиболее общая» абелева группа, содержащая гомоморфный образ M.

Явные конструкции

Чтобы построить группу Гротендика K коммутативного моноида M , нужно сформировать декартово произведение . Две координаты предназначены для представления положительной части и отрицательной части, что соответствует в K . ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle m_{1}-m_{2}}$

Сложение определяется по координатам: ${\displaystyle M\times M}$

${\displaystyle (m_{1},m_{2})+(n_{1},n_{2})=(m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2})}$.

Далее определяется отношение эквивалентности на , такое, что это эквивалентно тому , что если для некоторого элемента k из M , m ₁ + n ₂ + k = m ₂ + n ₁ + k (элемент k необходим, поскольку закон сокращения не выполняется во всех моноидах). Класс эквивалентности элемента ( m ₁ , m ₂ ) обозначается [( m ₁ , m ₂ )]. Определим K как множество классов эквивалентности. Поскольку операция сложения на M × M совместима с нашим отношением эквивалентности, получается сложение на K , и K становится абелевой группой. Единичным элементом K является [(0, 0)], а обратным элементу [( m ₁ , m ₂ )] является [( m ₂ , m ₁ )]. Гомоморфизм переводит элемент m в [( m , 0)]. ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle (n_{1},n_{2})}$ ${\displaystyle i:M\to K}$

Альтернативно , группа Гротендика K группы M также может быть построена с использованием генераторов и отношений : обозначая свободной абелевой группой , порожденной набором M , группа Гротендика K является фактором по подгруппе , порожденной . (Здесь +′ и −′ обозначают сложение и вычитание в свободной абелевой группе, а + обозначает сложение в моноиде M .) Эта конструкция имеет то преимущество, что ее можно выполнить для любой полугруппы M и дает группу, которая удовлетворяет соответствующему равенству универсальные свойства полугрупп, т. е. «наиболее общая и наименьшая группа, содержащая гомоморфный образ М  ». Это известно как «групповое пополнение полугруппы» или «группа дробей полугруппы». ${\displaystyle (Z(M),+')}$ ${\displaystyle Z(M)}$ ${\displaystyle \{(x+'y)-'(x+y)\mid x,y\in M\}}$ ${\displaystyle Z(M)}$

Характеристики

На языке теории категорий любая универсальная конструкция порождает функтор ; таким образом, получается функтор из категории коммутативных моноидов в категорию абелевых групп , который переводит коммутативный моноид M в его группу Гротендика K . Этот функтор слева сопряжен с функтором забвения из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.

Для коммутативного моноида M отображение i  :  M → K инъективно тогда и только тогда, когда M обладает свойством сокращения, и биективно тогда и только тогда, когда M уже является группой.

Пример: целые числа

Самый простой пример группы Гротендика — построение целых чисел из (аддитивных) натуральных чисел . Во-первых, можно заметить, что натуральные числа (включая 0) вместе с обычным сложением действительно образуют коммутативный моноид. Теперь, когда используется конструкция группы Гротендика, мы получаем формальные различия между натуральными числами как элементами n - m и имеем отношение эквивалентности ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+).}$

${\displaystyle n-m\sim n'-m'\iff n+m'+k=n'+m+k}$для некоторых . ${\displaystyle k\iff n+m'=n'+m}$

Теперь определите

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\qquad {\begin{cases}n:=[n-0]\\-n:=[0-n]\end{cases}}}$

Это определяет целые числа . Действительно, это обычная конструкция для получения целых чисел из натуральных чисел. См. «Строительство» в разделе «Целые числа» для более подробного объяснения. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Пример: положительные рациональные числа

Аналогично группа Гротендика мультипликативного коммутативного моноида (начиная с 1) состоит из формальных дробей с эквивалентностью ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{*},\times )}$ ${\displaystyle p/q}$

${\displaystyle p/q\sim p'/q'\iff pq'r=p'qr}$для некоторых ${\displaystyle r\iff pq'=p'q}$

которые, конечно, можно отождествить с положительными рациональными числами .

Пример: группа Гротендика многообразия.

Группа Гротендика является фундаментальной конструкцией К-теории . Группа компактного многообразия M определяется как группа Гротендика коммутативного моноида всех классов изоморфизма векторных расслоений конечного ранга на M с операцией моноида, заданной прямой суммой. Это дает контравариантный функтор от многообразий к абелевым группам. Этот функтор изучается и расширяется в топологической К-теории . ${\displaystyle K_{0}(M)}$

Пример: группа Гротендика кольца.

Нулевая алгебраическая группа K (не обязательно коммутативного ) кольца R — это группа Гротендика моноида, состоящего из классов изоморфизма конечно порожденных проективных модулей над R , с операцией моноида, заданной прямой суммой . Тогда – ковариантный функтор от колец к абелевым группам. ${\displaystyle K_{0}(R)}$ ${\displaystyle K_{0}}$

Два предыдущих примера связаны между собой: рассмотрим случай, когда – кольцо комплекснозначных гладких функций на компактном многообразии M . В этом случае проективные R -модули двойственны векторным расслоениям над M (по теореме Серра–Свона ). Таким образом и являются одной и той же группой. ${\displaystyle R=C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle K_{0}(R)}$ ${\displaystyle K_{0}(M)}$

Группа Гротендика и расширения

Определение

Другая конструкция, носящая название группы Гротендика , следующая: пусть R — конечномерная алгебра над некоторым полем k или, в более общем смысле, артиновым кольцом . Затем определим группу Гротендика как абелеву группу, порожденную множеством классов изоморфизма конечно порожденных R -модулей и следующими соотношениями: Для каждой короткой точной последовательности ${\displaystyle G_{0}(R)}$ ${\displaystyle \{[X]\mid X\in R{\text{-mod}}\}}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

R -модулей добавим соотношение

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0.}$

Из этого определения следует, что для любых двух конечно порожденных R -модулей M и N , из-за расщепляемости короткой точной последовательности ${\displaystyle [M\oplus N]=[M]+[N]}$

${\displaystyle 0\to M\to M\oplus N\to N\to 0.}$

Примеры

Пусть K — поле. Тогда группа Гротендика — это абелева группа, порожденная символами любого конечномерного K - векторного пространства V. Фактически изоморфен тому, генератором которого является элемент . Здесь символ конечномерного K -векторного пространства V определяется как размерность векторного пространства V. Предположим, что имеется следующая короткая точная последовательность K -векторных пространств. ${\displaystyle G_{0}(K)}$ ${\displaystyle [V]}$ ${\displaystyle G_{0}(K)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [K]}$ ${\displaystyle [V]}$ ${\displaystyle [V]=\dim _{K}V}$

${\displaystyle 0\to V\to T\to W\to 0}$

Так как любая короткая точная последовательность векторных пространств расщепляется, то верно, что . Фактически, для любых двух конечномерных векторных пространств V и W справедливо следующее: ${\displaystyle T\cong V\oplus W}$

${\displaystyle \dim _{K}(V\oplus W)=\dim _{K}(V)+\dim _{K}(W)}$

Следовательно, приведенное выше равенство удовлетворяет условию символа в группе Гротендика. ${\displaystyle [V]}$

${\displaystyle [T]=[V\oplus W]=[V]+[W]}$

Заметим, что любые два изоморфных конечномерных K -векторных пространства имеют одинаковую размерность. Кроме того, любые два конечномерных K -векторных пространства V и W одной размерности изоморфны друг другу. Фактически, каждое конечное n -мерное K -векторное пространство V изоморфно . Таким образом, наблюдение из предыдущего абзаца доказывает следующее уравнение: ${\displaystyle K^{\oplus n}}$

${\displaystyle [V]=\left[K^{\oplus n}\right]=n[K]}$

Следовательно, каждый символ генерируется элементом с целыми коэффициентами, что означает, что он изоморфен генератору . ${\displaystyle [V]}$ ${\displaystyle [K]}$ ${\displaystyle G_{0}(K)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [K]}$

В более общем смысле, пусть это набор целых чисел. Группа Гротендика — абелева группа, порожденная символами любых конечно порожденных абелевых групп A. Прежде всего отметим, что любая конечная абелева группа G удовлетворяет этому требованию . Имеет место следующая короткая точная последовательность, где отображение представляет собой умножение на n . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [G]=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to 0}$

Из точной последовательности следует, что , поэтому каждая циклическая группа имеет свой символ, равный 0. Это, в свою очередь, означает, что каждая конечная абелева группа G удовлетворяет фундаментальной теореме о конечных абелевых группах. ${\displaystyle [\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ]=[\mathbb {Z} ]-[\mathbb {Z} ]=0}$ ${\displaystyle [G]=0}$

Заметим, что по фундаментальной теореме о конечно порожденных абелевых группах каждая абелева группа A изоморфна прямой сумме периодической подгруппы и абелевой группы без кручения , изоморфной для некоторого неотрицательного целого числа r , называемого рангом A и обозначаемого к . Определите символ как . Тогда группа Гротендика изоморфна с генератором. Действительно, наблюдение, сделанное в предыдущем абзаце, показывает, что каждая абелева группа A имеет свой символ, тот же, что и символ где . При этом ранг абелевой группы удовлетворяет условиям символа группы Гротендика. Предположим, что имеется следующая короткая точная последовательность абелевых групп: ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$ ${\displaystyle r={\mbox{rank}}(A)}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [A]={\mbox{rank}}(A)}$ ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [\mathbb {Z} ].}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [\mathbb {Z} ^{r}]=r[\mathbb {Z} ]}$ ${\displaystyle r={\mbox{rank}}(A)}$ ${\displaystyle [A]}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

Тогда тензоризация с рациональными числами приводит к следующему уравнению. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0\to A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to 0}$

Поскольку приведенное выше представляет собой короткую точную последовательность -векторных пространств, последовательность распадается. Таким образом, имеем следующее уравнение. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }(B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )+\dim _{\mathbb {Q} }(C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

С другой стороны, также имеет место следующее соотношение; для получения дополнительной информации см. Ранг абелевой группы .

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

Следовательно, имеет место следующее уравнение:

${\displaystyle [B]=\operatorname {rank} (B)=\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (C)=[A]+[C]}$

Таким образом, было показано, что изоморфно с генератором ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [\mathbb {Z} ].}$

Универсальная собственность

Группа Гротендика обладает универсальным свойством. Дается предварительное определение: функция из множества классов изоморфизма абелевой группе называется аддитивной , если для каждой точной последовательности имеет место Тогда для любой аддитивной функции существует единственный групповой гомоморфизм такой, что факторизуется и отображение который переводит каждый объект в элемент, представляющий его класс изоморфизма в Конкретно это означает, что он удовлетворяет уравнению для каждого конечно порожденного -модуля и является единственным групповым гомоморфизмом, который это делает. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$ ${\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0.}$ ${\displaystyle \chi :R{\text{-mod}}\to X}$ ${\displaystyle f:G_{0}(R)\to X}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle G_{0}(R).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f([V])=\chi (V)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$

Примерами аддитивных функций являются характер-функции из теории представлений : если — конечномерная -алгебра, то можно связать характер с каждым конечномерным -модулем , который определяется как след -линейного отображения , заданного умножением. с включенным элементом . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \chi _{V}:R\to k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V:\chi _{V}(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle V}$

Выбрав подходящий базис и записав соответствующие матрицы в блочно-треугольной форме, легко увидеть, что характер-функции аддитивны в указанном выше смысле. Благодаря свойству универсальности это дает нам «универсальный характер» такой, что . ${\displaystyle \chi :G_{0}(R)\to \mathrm {Hom} _{K}(R,K)}$ ${\displaystyle \chi ([V])=\chi _{V}}$

Если и — групповое кольцо конечной группы , то это отображение характеров даже дает естественный изоморфизм и кольца характеров . В модулярной теории представлений конечных групп полем может быть алгебраическое замыкание конечного поля с p элементами. В этом случае аналогично определенное отображение, сопоставляющее каждому -модулю его характер Брауэра, также является естественным изоморфизмом на кольцо характеров Брауэра. Таким образом группы Гротендика появляются в теории представлений. ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {C} [G])}$ ${\displaystyle Ch(G)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}}},}$ ${\displaystyle k[G]}$ ${\displaystyle G_{0}({\overline {\mathbb {F} _{p}}}[G])\to \mathrm {BCh} (G)}$

Это универсальное свойство также делает его «универсальным приемником» обобщенных эйлеровых характеристик . В частности, для любого ограниченного комплекса объектов в ${\displaystyle G_{0}(R)}$ ${\displaystyle R{\text{-mod}}}$

${\displaystyle \cdots \to 0\to 0\to A^{n}\to A^{n+1}\to \cdots \to A^{m-1}\to A^{m}\to 0\to 0\to \cdots }$

есть канонический элемент

${\displaystyle [A^{*}]=\sum _{i}(-1)^{i}[A^{i}]=\sum _{i}(-1)^{i}[H^{i}(A^{*})]\in G_{0}(R).}$

Фактически группа Гротендика была первоначально введена для изучения эйлеровых характеристик.

Группы Гротендика точных категорий

Общее обобщение этих двух понятий даёт группа Гротендика точной категории . Проще говоря, точная категория — это аддитивная категория вместе с классом выделенных коротких последовательностей A → B → C. Выделенные последовательности называются «точными последовательностями», отсюда и название. Точные аксиомы этого выдающегося класса не имеют значения для построения группы Гротендика. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Группа Гротендика определяется так же, как и раньше, как абелева группа с одним генератором [ M  ] для каждого (класса изоморфизма) объекта(ов) категории и одного отношения ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0}$

для каждой точной последовательности

${\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}$.

Альтернативно и эквивалентно, можно определить группу Гротендика, используя универсальное свойство: отображение из в абелеву группу X называется «аддитивным», если для каждой точной последовательности имеется ; абелева группа G вместе с аддитивным отображением называется группой Гротендика тогда и только тогда, когда каждое аддитивное отображение факторизуется однозначно через . ${\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}$ ${\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0}$ ${\displaystyle \phi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to G}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X}$ ${\displaystyle \phi }$

Каждая абелева категория является точной категорией, если использовать стандартную интерпретацию слова «точный». Это дает понятие группы Гротендика из предыдущего раздела, если в качестве категории конечно порожденных R -модулей выбрать . Это на самом деле абелевское уравнение, поскольку в предыдущем разделе предполагалось, что R артиново (и, следовательно, нётерово ). ${\displaystyle {\mathcal {A}}:=R{\text{-mod}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

С другой стороны, всякая аддитивная категория также точна, если объявить точными те и только те последовательности, которые имеют вид с каноническими морфизмами включения и проекции. Эта процедура создает группу Гротендика коммутативного моноида в первом смысле (здесь имеется в виду «множество» [игнорируя все основные вопросы] классов изоморфизма в .) ${\displaystyle A\hookrightarrow A\oplus B\twoheadrightarrow B}$ ${\displaystyle (\mathrm {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )}$ ${\displaystyle \mathrm {Iso} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Группы Гротендика триангулированных категорий

Обобщая еще больше, можно также определить группу Гротендика для триангулированных категорий . Конструкция по существу аналогична, но использует отношения [ X ] − [ Y ] + [ Z ] = 0 всякий раз, когда существует отмеченный треугольник X → Y → Z → X [1].

Дальнейшие примеры

• В абелевой категории конечномерных векторных пространств над полем k два векторных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Таким образом, для векторного пространства V

${\displaystyle [V]={\big [}k^{\dim(V)}{\big ]}\in K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} }).}$

Более того, для точной последовательности

${\displaystyle 0\to k^{l}\to k^{m}\to k^{n}\to 0}$

m = l + n , поэтому

${\displaystyle \left[k^{l+n}\right]=\left[k^{l}\right]+\left[k^{n}\right]=(l+n)[k].}$

Таким образом

${\displaystyle [V]=\dim(V)[k],}$

и изоморфен и порождается Наконец для ограниченного комплекса конечномерных векторных пространств V  *, ${\displaystyle K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} })}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [k].}$

${\displaystyle [V^{*}]=\chi (V^{*})[k]}$

где стандартная эйлерова характеристика, определяемая формулой ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi (V^{*})=\sum _{i}(-1)^{i}\dim V=\sum _{i}(-1)^{i}\dim H^{i}(V^{*}).}$

• Для кольцевого пространства можно рассмотреть категорию всех локально свободных пучков над X. затем определяется как группа Гротендика этой точной категории, и это снова дает функтор. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$

• Для кольцевого пространства можно также определить категорию как категорию всех когерентных пучков на X. Это включает в себя особый случай ( если окольцованное пространство является аффинной схемой ), когда оно является категорией конечно порожденных модулей над нётеровым кольцом R. В обоих случаях это абелева категория и тем более точная категория, поэтому применима приведенная выше конструкция. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• В случае, когда R — конечномерная алгебра над некоторым полем, группы Гротендика (определяемые через короткие точные последовательности конечно порожденных модулей) и (определяемые через прямую сумму конечно порожденных проективных модулей) совпадают. Фактически обе группы изоморфны свободной абелевой группе, порожденной классами изоморфизма простых R -модулей. ${\displaystyle G_{0}(R)}$ ${\displaystyle K_{0}(R)}$

• Существует еще одна группа Гротендика кольца или кольцевого пространства, которая иногда бывает полезна. В качестве категории в данном случае выбирается категория всех квазикогерентных пучков на кольцевом пространстве, которая сводится к категории всех модулей над некоторым кольцом R в случае аффинных схем. не является функтором, но тем не менее несет важную информацию. ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle G_{0}}$

• Поскольку (ограниченная) производная категория триангулирована, для производных категорий также существует группа Гротендика. Это имеет применение, например, в теории представлений. Однако для неограниченной категории группа Гротендика исчезает. Для производной категории некоторой комплексной конечномерной положительно градуированной алгебры существует подкатегория в неограниченной производной категории, содержащая абелеву категорию A конечномерных градуированных модулей , группа Гротендика которой является q -адическим пополнением группы Гротендика A .

Смотрите также

• Поле дробей
• Локализация
• Топологическая К-теория
• Спектральная последовательность Атьи–Хирцебруха для вычисления топологической K-теории

Рекомендации

1. Брунс, Винфрид; Губеладзе, Иосиф (2009). Многогранники, кольца и K-теория . Спрингер. п. 50. ISBN 978-0-387-76355-2.

• Майкл Ф. Атья , K-Теория (Заметки Д.У. Андерсона, осень 1964 г.), опубликовано в 1967 г., WA Benjamin Inc., Нью-Йорк.
• Ачар, Прамод Н.; Строппель, Катарина (2013), «Пополнения групп Гротендика», Бюллетень Лондонского математического общества , 45 (1): 200–212, arXiv : 1105.2715 , doi : 10.1112/blms/bds079, MR  3033967, S2CID  260493607.
• «Группа Гротендика», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Группа Гротендика». ПланетаМатематика .
• Группа Гротендика алгебраических векторных расслоений; Расчеты аффинного и проективного пространства
• Группа Гротендика гладкой проективной комплексной кривой