Групповой гомоморфизм

Математическая функция между группами, сохраняющая структуру умножения

Изображение гомоморфизма группы ( h ) из G (слева) в H (справа). Овал внутри H — это изображение h . N — ядро ​​h , а aN — смежный класс N. _

В математике для данных двух групп ( G ,∗) и ( H , ·) групповой гомоморфизм из ( G ,∗) в ( H , ·) представляет собой функцию h  : G → H такую, что для всех u и v в G, утверждается, что

${\displaystyle h(u*v)=h(u)\cdot h(v)}$

где групповая операция в левой части уравнения — это операция G , а в правой части — операция H.

Из этого свойства можно сделать вывод, что h отображает единичный элемент e _G группы G в единичный элемент e _H группы H ,

${\displaystyle h(e_{G})=e_{H}}$

и он также отображает обратные значения в обратные в том смысле, что

${\displaystyle h\left(u^{-1}\right)=h(u)^{-1}.\,}$

Следовательно, можно сказать, что h «совместим со структурой группы».

В областях математики, где рассматриваются группы, наделенные дополнительной структурой, гомоморфизм иногда означает отображение, которое учитывает не только структуру группы (как указано выше), но и дополнительную структуру. Например, часто требуется, чтобы гомоморфизм топологических групп был непрерывным.

Интуиция

Целью определения группового гомоморфизма является создание функций, сохраняющих алгебраическую структуру. Эквивалентное определение группового гомоморфизма: Функция h  : G → H является групповым гомоморфизмом, если всякий раз, когда

а * б знак равно c   у нас есть   час ( а ) ⋅ час ( б ) знак равно час ( c ).

Другими словами, группа H в некотором смысле имеет аналогичную алгебраическую структуру, что и G , и гомоморфизм h сохраняет ее.

Типы

Мономорфизм

Групповой гомоморфизм, который является инъективным (или взаимно однозначным); т. е. сохраняет различимость.

Эпиморфизм

Групповой гомоморфизм, который является сюръективным (или онто); т. е. достигает каждой точки кодомена.

изоморфизм

Групповой гомоморфизм, который является биективным ; т. е. инъективный и сюръективный. Его обратный также является групповым гомоморфизмом. В этом случае группы G и H называются изоморфными ; они различаются только обозначениями своих элементов (кроме идентификационного элемента) и идентичны для всех практических целей. Т.е. мы перемаркируем все элементы кроме тождественности.

эндоморфизм

Групповой гомоморфизм, h : G → G ; домен и кодомен одинаковы. Также называется эндоморфизмом G .

Автоморфизм

Групповой эндоморфизм, который является биективным и, следовательно, изоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G с функциональной композицией в качестве операции само образует группу, группу автоморфизмов G . Он обозначается Aut( G ). Например, группа автоморфизмов ( Z , +) содержит только два элемента: тождественное преобразование и умножение на −1; он изоморфен ( Z /2Z , +).

Образ и ядро

Мы определяем ядро ​​h как набор элементов в G , которые отображаются в единицу в H

${\displaystyle \operatorname {ker} (h):=\left\{u\in G\colon h(u)=e_{H}\right\}.}$

и образ h быть

${\displaystyle \operatorname {im} (h):=h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.}$

Ядро и образ гомоморфизма можно интерпретировать как меру того, насколько он близок к изоморфизму. Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ группового гомоморфизма h ( G ) изоморфен фактор-группе G /ker h .

Ядро h является нормальной подгруппой G :

${\displaystyle {\begin{aligned}h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H},\end{aligned}}}$

и образ h является подгруппой H .

Гомоморфизм h является групповым мономорфизмом; т. е. h инъективен (взаимно однозначен) тогда и только тогда, когда ker( h ) = { e _G }. Инъекция напрямую дает, что в ядре есть уникальный элемент, и, наоборот, уникальный элемент в ядре дает инъекцию:

${\displaystyle {\begin{aligned}&&h(g_{1})&=h(g_{2})\\\Leftrightarrow &&h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}\\\Leftrightarrow &&h\left(g_{1}\circ g_{2}^{-1}\right)&=e_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e_{G}\}\\\Rightarrow &&g_{1}\circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}\end{aligned}}}$

Примеры

• Рассмотрим циклическую группу Z ₃ = ( Z /3 Z , +) = ({0, 1, 2}, +) и группу целых чисел ( Z , +). Отображение h  : Z → Z /3 Z с h ( u ) = u mod 3 является гомоморфизмом группы. Он сюръективен , и его ядро ​​состоит из всех целых чисел, кратных 3.

• Набор

  ${\displaystyle G\equiv \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}}$

  образует группу при матричном умножении. Для любого комплексного числа u функция f _u  : G → C ^* определяется формулой

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}}$

  является групповым гомоморфизмом.
• Рассмотрим мультипликативную группу положительных действительных чисел ( R ⁺ , ⋅ ) для любого комплексного числа u, функцию f _u  : R ⁺ → C , определенную формулой

  ${\displaystyle f_{u}(a)=a^{u}}$

  является групповым гомоморфизмом.

• Экспоненциальное отображение дает групповой гомоморфизм из группы действительных чисел R с добавлением к группе ненулевых действительных чисел R * с умножением. Ядро — {0}, а изображение состоит из положительных действительных чисел.
• Экспоненциальное отображение также дает групповой гомоморфизм из группы комплексных чисел C с добавлением к группе ненулевых комплексных чисел C * с умножением. Это отображение сюръективно и имеет ядро ​​{2π ki  : k ∈ Z }, как видно из формулы Эйлера . Поля типа R и C , которые имеют гомоморфизмы из своей аддитивной группы в свою мультипликативную группу, называются экспоненциальными полями .
• Функция , определенная, является гомоморфизмом. ${\displaystyle \Phi :(\mathbb {N} ,+)\rightarrow (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle \Phi (x)={\sqrt[{}]{2}}x}$

Категория групп

Если h  : G → H и k  : H → K являются групповыми гомоморфизмами, то гомоморфизмами являются и k ∘ h  : G → K . Это показывает, что класс всех групп вместе с групповыми гомоморфизмами как морфизмами образует категорию .

Гомоморфизмы абелевых групп

Если G и H — абелевы (т. е. коммутативные) группы, то множество Hom( G , H ) всех гомоморфизмов групп из G в H само по себе является абелевой группой: сумма h + k двух гомоморфизмов определяется формулой

( час + k )( ты ) знак равно час ( ты ) + k ( ты ) для всех ты в G .

Коммутативность H необходима, чтобы доказать, что h + k снова является гомоморфизмом группы.

Добавление гомоморфизмов совместимо с композицией гомоморфизмов в следующем смысле: если f находится в Hom( K , G ) , h , k — элементы Hom( G , H ) , а g находится в Hom( H , L ) , затем

( час + k ) ∘ ж знак равно ( час ∘ ж ) + ( k ∘ ж )    и    грамм ∘ ( час + k ) знак равно ( грамм ∘ час ) + ( грамм ∘ k ) .

Поскольку композиция ассоциативна , это показывает, что множество End( G ) всех эндоморфизмов абелевой группы образует кольцо , кольцо эндоморфизмов группы G. Например, кольцо эндоморфизмов абелевой группы, состоящее из прямой суммы m копий Z / n Z , изоморфно кольцу m - m матриц с элементами из Z / n Z . Вышеупомянутая совместимость также показывает, что категория всех абелевых групп с групповыми гомоморфизмами образует преаддитивную категорию ; существование прямых сумм и ядер с хорошим поведением делает эту категорию типичным примером абелевой категории .

Смотрите также

• Основная теорема о гомоморфизмах
• Квазиморфизм
• Кольцевой гомоморфизм

Рекомендации

• Даммит, Д.С.; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. стр. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556, Збл  0984.00001

Внешние ссылки

• Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «Групповой гомоморфизм». Математический мир .