Александр Гротендик , позже Александр Гротендик на французском языке ( / ˈ ɡ r oʊ t ən d iː k / ; немецкий: [ˌalɛˈksandɐ ˈɡʁoːtn̩ˌdiːk] ;французский:[ɡʁɔtɛndik]математикнемецкого происхождения, ставший ведущей фигурой в создании современнойалгебраической геометрии.[7][8]Его исследования расширили сферу применения этой области и добавили элементыкоммутативной алгебры,гомологической алгебры,теории пучковитеории категорийк ее основам, в то время как его так называемая«относительная» перспективапривела к революционным достижениям во многих областяхчистой математики.[7][9]Многие считают его величайшим математиком двадцатого века.[10][11]
Гротендик начал свою продуктивную и публичную карьеру в качестве математика в 1949 году. В 1958 году он был назначен профессором-исследователем в Институте высших научных исследований (IHÉS) и оставался там до 1970 года, когда, движимый личными и политическими убеждениями, он ушел из-за спора о военном финансировании. Он получил медаль Филдса в 1966 году за достижения в алгебраической геометрии , гомологической алгебре и K-теории . [12] Позже он стал профессором в Университете Монпелье [1] и, продолжая производить соответствующие математические работы, он отошел от математического сообщества и посвятил себя политическим и религиозным занятиям (сначала буддизму, а затем более католическому христианскому видению). [13] В 1991 году он переехал во французскую деревню Лассер в Пиренеях , где жил в уединении, продолжая работать над математикой и своими философскими и религиозными мыслями до своей смерти в 2014 году. [14]
Гротендик родился в Берлине в семье анархистов . Его отец, Александр «Саша» Шапиро (также известный как Александр Танарофф), имел хасидские еврейские корни и был заключен в тюрьму в России до переезда в Германию в 1922 году, в то время как его мать, Йоханна «Ханка» Гротендик , происходила из протестантской немецкой семьи в Гамбурге и работала журналисткой. [a] Будучи подростками, оба его родителя порвали со своим ранним происхождением. [16] На момент его рождения мать Гротендика была замужем за журналистом Йоханнесом Раддацем, и первоначально его имя при рождении было записано как «Александр Раддац». Этот брак был расторгнут в 1929 году, и Шапиро признал свое отцовство, но никогда не женился на Ханке Гротендик. [16] У Гротендика был брат по материнской линии, его единокровная сестра Майди.
Гротендик жил со своими родителями в Берлине до конца 1933 года, когда его отец переехал в Париж, чтобы избежать нацизма . Вскоре за ним последовала и его мать. Гротендик был оставлен на попечении Вильгельма Гейдорна, лютеранского пастора и учителя в Гамбурге . [17] [18] По словам Винфрида Шарлау , в это время его родители принимали участие в гражданской войне в Испании в качестве нестроевых вспомогательных войск. [19] [20] Однако другие утверждают, что Шапиро воевал в анархистском ополчении. [21]
В мае 1939 года Гротендик был посажен на поезд в Гамбурге во Францию. Вскоре после этого его отец был интернирован в Ле-Верне . [22] Затем он и его мать были интернированы в различных лагерях с 1940 по 1942 год как «нежелательные опасные иностранцы». [23] Первым лагерем был лагерь Рьекро , где его мать заразилась туберкулезом, который в конечном итоге стал причиной ее смерти в 1957 году. Находясь там, Гротендик умудрился посещать местную школу в Менделе. Однажды ему удалось сбежать из лагеря, намереваясь убить Гитлера . [22] Позже его мать Ханка была переведена в лагерь для интернированных Гюрс на оставшуюся часть Второй мировой войны . [22] Гротендику разрешили жить отдельно от матери. [24]
В деревне Ле-Шамбон-сюр-Линьон его укрывали и прятали в местных пансионатах и пансионатах , хотя иногда ему приходилось искать убежища в лесах во время нацистских налетов, иногда выживая без еды и воды в течение нескольких дней. [22] [24]
Его отец был арестован в соответствии с антиеврейским законодательством Виши и отправлен в лагерь для интернированных Дранси , а затем передан французским правительством Виши немцам для отправки на смерть в концентрационный лагерь Освенцим в 1942 году. [8] [25]
В Ле-Шамбоне Гротендик посещал Коллеж Севеноль (теперь известный как Le Collège-Lycée Cévenol International ), уникальную среднюю школу, основанную в 1938 году местными протестантскими пацифистами и антивоенными активистами. Многие из детей-беженцев, спрятанных в Ле-Шамбоне, посещали Коллеж Севеноль, и именно в этой школе Гротендик, по-видимому, впервые увлекся математикой. [26]
В 1990 году за то, что жители деревни рисковали своей жизнью ради спасения евреев, они были признаны « Праведниками народов мира ».
После войны молодой Гротендик изучал математику во Франции, сначала в Университете Монпелье, где поначалу не преуспел, провалив такие предметы, как астрономия. [27] Работая самостоятельно, он заново открыл меру Лебега . После трех лет все более независимых исследований там, он отправился продолжить свое обучение в Париж в 1948 году. [17]
Первоначально Гротендик посещал семинар Анри Картана в Высшей нормальной школе , но ему не хватало необходимой подготовки, чтобы следить за мощным семинаром. По совету Картана и Андре Вейля он перешел в Университет Нанси , где два ведущих специалиста работали в области интересов Гротендика, топологических векторных пространствах : Жан Дьедонне и Лоран Шварц . Последний недавно получил медаль Филдса. Он показал своему новому студенту свою последнюю работу; она заканчивалась списком из 14 открытых вопросов, актуальных для локально выпуклых пространств . Гротендик представил новые математические методы, которые позволили ему решить все эти проблемы в течение нескольких месяцев. [28]
В Нанси он написал диссертацию под руководством этих двух профессоров по функциональному анализу с 1950 по 1953 год. [29] В это время он был ведущим специалистом в теории топологических векторных пространств. [30] В 1953 году он переехал в Университет Сан-Паулу в Бразилии, куда он иммигрировал по паспорту Нансена , поскольку отказался принять французское гражданство (поскольку это повлекло бы за собой военную службу вопреки его убеждениям). Он оставался в Сан-Паулу (за исключением длительного визита во Францию с октября 1953 года по март 1954 года) до конца 1954 года. Его опубликованная работа со времени, проведенного в Бразилии, по-прежнему относится к теории топологических векторных пространств; именно там он завершил свою последнюю крупную работу по этой теме (по «метрической» теории банаховых пространств ).
Гротендик переехал в Лоуренс, штат Канзас , в начале 1955 года, и там он отложил свой старый предмет, чтобы заняться алгебраической топологией и гомологической алгеброй , а также все больше и больше алгебраической геометрией. [31] [32] Именно в Лоуренсе Гротендик разработал свою теорию абелевых категорий и переформулировал когомологии пучков на их основе, что привело к очень влиятельной « работе Тохоку ». [33]
В 1957 году Оскар Зариски пригласил его посетить Гарвардский университет , но предложение не состоялось, когда он отказался подписать обязательство не работать над свержением правительства Соединенных Штатов — отказ, который, как его предупредили, грозил ему тюрьмой. Перспектива тюрьмы его не беспокоила, пока у него был доступ к книгам. [34]
Сравнивая Гротендика в годы его правления в Нэнси со студентами, обучавшимися в Высшей нормальной школе того времени ( Пьер Самюэль , Роже Годеман , Рене Том , Жак Диксмье , Жан Серф , Ивонн Брюа , Жан-Пьер Серр и Бернар Мальгранж ), Лейла Шнепс сказала:
Он был совершенно неизвестен этой группе и их профессорам, происходил из такой бедной и хаотичной среды и был, по сравнению с ними, настолько невежественным в начале своей исследовательской карьеры, что его молниеносное восхождение к внезапной славе тем более невероятно; совершенно уникально в истории математики. [35]
Его первые работы по топологическим векторным пространствам, написанные в 1953 году, были успешно применены в физике и информатике, достигнув кульминации в установлении связи между неравенством Гротендика и парадоксом Эйнштейна–Подольского–Розена в квантовой физике . [36]
В 1958 году Гротендик был направлен в Институт высших научных исследований (IHÉS), новый частный научно-исследовательский институт, который, по сути, был создан для Жана Дьедонне и Гротендика. [3] Гротендик привлек внимание интенсивной и высокопродуктивной деятельностью семинаров там ( фактически рабочие группы, привлекавшие к основополагающей работе некоторых из самых способных французских и других математиков молодого поколения). [17] Гротендик практически прекратил публикацию статей через традиционный, научный журнальный путь. Тем не менее, он смог играть доминирующую роль в математике в течение примерно десятилетия, собрав сильную школу. [37]
Официально в это время у него были ученики Мишель Демазюр (который работал над SGA3, над групповыми схемами ), Люк Иллюзи (котангенсный комплекс), Мишель Рейно , Жан-Луи Вердье (соучредитель теории производных категорий ) и Пьер Делинь . Соавторами проектов SGA также были Майкл Артин ( этальные когомологии ), Ник Кац ( теория монодромии и карандаши Лефшеца ). Жан Жиро также разрабатывал там расширения теории торсоров неабелевых когомологий . Многие другие, такие как Дэвид Мамфорд , Робин Хартшорн , Барри Мазур и CP Ramanujam , также были вовлечены.
Работа Александра Гротендика в период, который описывается как «Золотой век» в IHÉS, создала несколько объединяющих тем в алгебраической геометрии , теории чисел , топологии , теории категорий и комплексном анализе . [29] Его первым (до IHÉS) открытием в алгебраической геометрии была теорема Гротендика–Хирцебруха–Римана–Роха , обобщение теоремы Хирцебруха–Римана–Роха , доказанное алгебраически; в этом контексте он также ввел K-теорию . Затем, следуя программе, которую он изложил в своем докладе на Международном конгрессе математиков 1958 года , он ввел теорию схем , подробно развив ее в своих «Элементах алгебраической геометрии» ( EGA ) и предоставив новые более гибкие и общие основы для алгебраической геометрии, которые были приняты в этой области с того времени. [17] Он продолжил вводить теорию étale когомологии схем, предоставляя ключевые инструменты для доказательства гипотез Вейля , а также кристаллические когомологии и алгебраические когомологии де Рама , чтобы дополнить ее. Тесно связанный с этими теориями когомологии, он создал теорию топосов как обобщение топологии (актуальную также в категорной логике ). Он также предоставил, посредством категорической теории Галуа , алгебраическое определение фундаментальных групп схем, породив ныне известную étale фундаментальную группу , а затем предположил существование ее дальнейшего обобщения, которое теперь известно как фундаментальная групповая схема . В качестве основы для своей когерентной теории двойственности он также ввел производные категории , которые были далее развиты Вердье. [38]
Результаты его работы по этим и другим темам были опубликованы в EGA и в менее отшлифованной форме в заметках Семинара по алгебраической геометрии ( SGA ), которым он руководил в IHÉS. [17]
Политические взгляды Гротендика были радикальными и пацифистскими . Он решительно выступал как против вмешательства США во Вьетнам , так и против советского военного экспансионизма . В знак протеста против войны во Вьетнаме он читал лекции по теории категорий в лесах, окружающих Ханой , пока город подвергался бомбардировкам. [39] В 1966 году он отказался присутствовать на Международном конгрессе математиков (ICM) в Москве, где он должен был получить медаль Филдса. [7] Он ушел из научной жизни около 1970 года после того, как узнал, что IHÉS частично финансируется военными. [40] Он вернулся в академическую сферу несколько лет спустя в качестве профессора в Университете Монпелье .
Хотя вопрос военного финансирования был, пожалуй, самым очевидным объяснением ухода Гротендика из IHÉS, те, кто его знал, говорят, что причины разрыва были более глубокими. Пьер Картье , visiteur de longue durée («долгосрочный гость») в IHÉS, написал статью о Гротендике для специального тома, опубликованного по случаю сороковой годовщины IHÉS. [41] В этой публикации Картье отмечает, что как сын антивоенного анархиста и тот, кто вырос среди бесправных, Гротендик всегда испытывал глубокое сострадание к бедным и угнетенным. Как говорит Картье, Гротендик пришел к выводу, что Бюр-сюр-Иветт — это « une cage dorée » («золотая клетка»). Пока Гротендик работал в IHÉS, оппозиция войне во Вьетнаме нарастала, и Картье предполагает, что это также усилило неприязнь Гротендика к тому, что он стал мандарином научного мира. [3] Кроме того, после нескольких лет в IHÉS Гротендик, казалось, искал новые интеллектуальные интересы. К концу 1960-х годов он начал интересоваться научными областями за пределами математики. Дэвид Рюэль , физик, присоединившийся к факультету IHÉS в 1964 году, сказал, что Гротендик несколько раз приходил к нему поговорить о физике . [b] Биология интересовала Гротендика гораздо больше, чем физика, и он организовал несколько семинаров по биологическим темам. [41]
В 1970 году Гротендик вместе с двумя другими математиками, Клодом Шевалли и Пьером Самюэлем , создал политическую группу под названием Survivre — позднее название было изменено на Survivre et vivre . Группа публиковала бюллетень и была посвящена антивоенным и экологическим вопросам. Она также резко критиковала неразборчивое использование науки и технологий. [42] Гротендик посвятил следующие три года этой группе и был главным редактором ее бюллетеня. [1]
Хотя Гротендик продолжал заниматься математическими исследованиями, его стандартная математическая карьера в основном закончилась, когда он покинул IHÉS. [8] После ухода из IHÉS Гротендик стал временным профессором в Коллеж де Франс на два года. [42] Затем он стал профессором в Университете Монпелье, где он все больше отдалялся от математического сообщества. Он официально вышел на пенсию в 1988 году, через несколько лет после того, как принял исследовательскую должность в CNRS . [1]
Хотя в 1980-х годах он и не публиковал результаты своих математических исследований традиционными способами, он выпустил несколько влиятельных рукописей с ограниченным распространением, содержащих как математические, так и биографические материалы.
Книга «La Longue Marche à travers la théorie de Galois» ( «Долгий поход по теории Галуа» ) , изданная в 1980 и 1981 годах, представляет собой рукописную рукопись объёмом 1600 страниц, содержащую многие идеи, которые привели к созданию программы «Esquisse d'un» . [43] Она также включает исследование теории Тейхмюллера .
В 1983 году, вдохновленный перепиской с Рональдом Брауном и Тимом Портером из Университета Бангора , Гротендик написал 600-страничную рукопись под названием Pursuing Stacks . Она началась с письма, адресованного Дэниелу Квиллену . Это письмо и последующие части были распространены из Бангора (см. Внешние ссылки ниже). В них Гротендик неформально, в стиле дневника, объяснил и развил свои идеи о связи между алгебраической теорией гомотопии и алгебраической геометрией и перспективами некоммутативной теории стеков . Рукопись, которая редактируется для публикации Г. Мальциниотисом, позже привела к другой его монументальной работе, Les Dérivateurs . Написанный в 1991 году, этот последний опус объемом около 2000 страниц продолжил развитие гомотопических идей, начатых в Pursuing Stacks . [7] Большая часть этой работы предвосхитила последующее развитие в середине 1990-х годов теории мотивной гомотопии Фабьена Мореля и Владимира Воеводского .
В 1984 году Гротендик написал предложение Esquisse d'un Programme («Набросок программы») [43] для должности в Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS). В нем описаны новые идеи для изучения пространства модулей комплексных кривых. Хотя Гротендик никогда не публиковал свою работу в этой области, это предложение вдохновило других математиков работать в этой области, став источником теории детского рисунка и анабелевой геометрии . Позднее оно было опубликовано в двух томах под названием Geometric Galois Actions (Cambridge University Press, 1997).
В этот период Гротендик также дал согласие на публикацию некоторых своих черновиков для EGA по теоремам типа Бертини ( EGA V, опубликовано в Ulam Quarterly в 1992–1993 годах и позднее размещено на веб-сайте Grothendieck Circle в 2004 году).
В обширном автобиографическом труде Récoltes et Semailles («Жатвы и посевы», 1986) Гротендик описывает свой подход к математике и свой опыт в математическом сообществе, которое изначально приняло его открыто и радушно, но которое он постепенно воспринимал как управляемое конкуренцией и статусом. Он жалуется на то, что он считал «похоронами» своей работы и предательством со стороны своих бывших студентов и коллег после того, как он покинул сообщество. [17] Récoltes et Semailles был наконец опубликован в 2022 году издательством Gallimard [44] и, благодаря французскому историку науки Алену Эрреману [7] , также доступен в Интернете. [45] Английский перевод Лейлы Шнепс будет опубликован издательством MIT Press в 2025 году. [46] Частичный английский перевод можно найти в Интернете. [47] Японский перевод всей книги в четырех томах был завершен Цудзи Юичи (1938–2002), другом Гротендика по периоду Survivre . Первые три тома (соответствующие частям 0–III книги) были опубликованы между 1989 и 1993 годами, в то время как четвертый том (часть IV) был завершен и, хотя и не опубликован, его копии в виде машинописной рукописи распространяются. Гротендик помог с переводом и написал предисловие к нему, в котором он назвал Цудзи своим «первым настоящим соавтором». [48] [49] [50] [51] [52] [53] Части Récoltes et Semailles были переведены на испанский язык, [54] а также в русский перевод, который был опубликован в Москве. [55]
В 1988 году Гротендик отказался от премии Крафорда , написав открытое письмо в СМИ. Он написал, что ему и другим признанным математикам не нужна дополнительная финансовая поддержка, и раскритиковал то, что он считал упадком этики научного сообщества, которое характеризовалось откровенным научным воровством, которое, по его мнению, стало обычным явлением и терпимым. В письме также выражалось его убеждение, что совершенно непредвиденные события до конца века приведут к беспрецедентному краху цивилизации. Гротендик добавил, однако, что его взгляды «никоим образом не подразумевались как критика целей Королевской академии в управлении ее фондами», и добавил: «Я сожалею о неудобствах, которые мой отказ принять премию Крафорда мог причинить вам и Королевской академии». [56]
La Clef des Songes [57] , рукопись на 315 страницах, написанная в 1987 году, представляет собой рассказ Гротендика о том, как его размышления об источнике сновидений привели его к выводу о существовании божества . [58] В примечаниях к этой рукописи Гротендик описал жизнь и работу 18 «мутантов», людей, которыми он восхищался как провидцами, намного опередившими свое время и возвещавшими новую эпоху. [1] Единственным математиком в его списке был Бернхард Риман . [59] Под влиянием католического мистика Марты Робин , которая, как утверждалось, выжила только благодаря Святой Евхаристии, Гротендик чуть не уморил себя голодом в 1988 году. [1] Его растущая озабоченность духовными вопросами также проявилась в письме под названием Lettre de la Bonne Nouvelle, отправленном 250 друзьям в январе 1990 года. В нем он описал свои встречи с божеством и объявил, что «Новая Эра» начнется 14 октября 1996 года. [7]
Grothendieck Festschrift , опубликованный в 1990 году, представлял собой трехтомный сборник научных работ, приуроченный к его шестидесятилетию в 1988 году. [60]
Более 20 000 страниц математических и других трудов Гротендика хранятся в Университете Монпелье и остаются неопубликованными. [61] Они были оцифрованы для сохранения и находятся в свободном доступе через портал Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck. [62] [63]
В 1991 году Гротендик переехал на новый адрес, которым он не поделился со своими предыдущими контактами в математическом сообществе. [1] После этого его навещало очень мало людей. [64] Местные жители помогли ему с более разнообразной диетой после того, как он попытался жить на основном продукте — супе из одуванчиков . [65] В какой-то момент Лейла Шнепс и Пьер Лошак нашли его, затем они вели короткую переписку. Таким образом, они стали одними из «последних членов математического сообщества, которые вступили с ним в контакт». [66] После его смерти выяснилось, что он жил один в доме в Лассерре, Арьеж , небольшой деревне у подножия Пиренеев . [ 67]
В январе 2010 года Гротендик написал Люку Иллюзи письмо под названием «Déclaration d'intention de non-publishation» , в котором утверждал, что все материалы, опубликованные в его отсутствие, были опубликованы без его разрешения. Он просил, чтобы ни одна из его работ не была воспроизведена полностью или частично, и чтобы копии этой работы были удалены из библиотек. [68] Он охарактеризовал веб-сайт, посвященный его работам, как «мерзость». [69] Его диктат мог быть отменен в 2010 году. [70]
В сентябре 2014 года, почти полностью глухой и слепой, он попросил соседа купить ему револьвер, чтобы он мог покончить с собой. [71] 13 ноября 2014 года в возрасте 86 лет Гротендик скончался в больнице Сен-Лизье [71] или Сен-Жирон, Арьеж . [26] [72]
Гротендик родился в Веймарской Германии . В 1938 году, в возрасте десяти лет, он переехал во Францию в качестве беженца. Записи о его гражданстве были уничтожены при падении нацистской Германии в 1945 году, и он не подавал заявление на получение французского гражданства после войны. Таким образом, он стал лицом без гражданства по крайней мере большую часть своей трудовой жизни и путешествовал по нансеновскому паспорту . [4] [5] [6] Частично его нежелание иметь французское гражданство объясняется нежеланием служить во французской армии, особенно из-за Алжирской войны (1954–62). [3] [6] [15] В конце концов он подал заявление на получение французского гражданства в начале 1980-х годов, уже после того, как он давно миновал возраст, освобождающий его от военной службы. [3]
Гротендик был очень близок со своей матерью, которой он посвятил свою диссертацию. Она умерла в 1957 году от туберкулеза , которым она заразилась в лагерях для перемещенных лиц . [42]
У него было пятеро детей: сын от своей домовладелицы во время его пребывания в Нанси; [3] трое детей, Джоанна (1959), Александр (1961) и Матье (1965) от его жены Мирей Дюфур; [1] [34] и один ребенок от Жюстин Скалба, с которой он жил в коммуне в начале 1970-х годов. [1]
Ранние математические работы Гротендика были посвящены функциональному анализу . С 1949 по 1953 год он работал над докторской диссертацией по этой теме в Нанси под руководством Жана Дьедонне и Лорана Шварца . Его основные вклады включают топологические тензорные произведения топологических векторных пространств , теорию ядерных пространств как основу распределений Шварца и применение пространств L p в изучении линейных отображений между топологическими векторными пространствами. За несколько лет он стал ведущим авторитетом в этой области функционального анализа — в той степени, в которой Дьедонне сравнивает его влияние в этой области с влиянием Банаха . [73]
Однако именно в алгебраической геометрии и смежных областях Гротендик проделал свою самую важную и влиятельную работу. Примерно с 1955 года он начал работать над теорией пучков и гомологической алгеброй , создав влиятельную « работу Тохоку » ( Sur quelques points d'algèbre homologique , опубликованную в Tohoku Mathematical Journal в 1957 году), где он ввел абелевы категории и применил их теорию, чтобы показать, что когомологии пучков могут быть определены как некоторые производные функторы в этом контексте. [17]
Гомологические методы и теория пучков уже были введены в алгебраическую геометрию Жаном-Пьером Серром [74] и другими, после того как пучки были определены Жаном Лере . Гротендик вывел их на более высокий уровень абстракции и превратил их в ключевой организующий принцип своей теории. Он переместил внимание с изучения отдельных многообразий на свою относительную точку зрения (пары многообразий, связанных морфизмом ) , что позволило широко обобщить многие классические теоремы. [42] Первым крупным применением была относительная версия теоремы Серра, показывающая, что когомологии когерентного пучка на полном многообразии конечномерны; теорема Гротендика показывает, что высшие прямые образы когерентных пучков при надлежащем отображении когерентны; это сводится к теореме Серра над одноточечным пространством.
В 1956 году он применил те же самые мысли к теореме Римана–Роха , которая недавно была обобщена на любую размерность Хирцебрухом . Теорема Гротендика–Римана–Роха была объявлена Гротендиком на начальном Mathematische Arbeitstagung в Бонне в 1957 году. [42] Она появилась в печати в статье, написанной Арманом Борелем совместно с Серром. Этот результат был его первой работой по алгебраической геометрии. Гротендик продолжил планировать и выполнять программу по восстановлению основ алгебраической геометрии, которые в то время находились в состоянии текучести и обсуждались на семинаре Клода Шевалле . Он изложил свою программу в своем докладе на Международном конгрессе математиков 1958 года .
Его основополагающая работа по алгебраической геометрии находится на более высоком уровне абстракции, чем все предыдущие версии. Он адаптировал использование незамкнутых общих точек , что привело к теории схем . Гротендик также был пионером систематического использования нильпотентов . Как «функции», они могут принимать только значение 0, но они несут бесконечно малую информацию в чисто алгебраических условиях. Его теория схем стала признанной лучшей универсальной основой для этой области из-за ее выразительности, а также ее технической глубины. В этой обстановке можно использовать бирациональную геометрию , методы из теории чисел , теорию Галуа , коммутативную алгебру и близкие аналоги методов алгебраической топологии , все в интегрированном виде. [17] [75] [76]
Гротендик известен своим мастерством абстрактных подходов к математике и своим перфекционизмом в вопросах формулировки и представления. [37] Относительно мало его работ после 1960 года было опубликовано обычным путем в научном журнале , первоначально распространяясь в дублированных томах семинарских заметок; его влияние было в значительной степени личным. Его влияние распространилось на многие другие разделы математики, например, на современную теорию D-модулей . Хотя его превозносили как «Эйнштейна математики», его работа также вызвала негативную реакцию, поскольку многие математики искали более конкретные области и проблемы. [77] [78]
Основная часть опубликованных работ Гротендика собрана в монументальных, но неполных сборниках «Элементы алгебраической геометрии» ( EGA ) и «Семинар алгебраической геометрии» ( SGA ). Сборник Fondements de la Géometrie Algébrique ( FGA ), в котором собраны доклады, прозвучавшие на семинаре Бурбаки , также содержит важный материал. [17]
Работа Гротендика включает изобретение этальной и l -адической теорий когомологий, которые объясняют наблюдение, сделанное Андре Вейлем , который утверждал о связи между топологическими характеристиками многообразия и его диофантовыми (теоретико-числовыми) свойствами. [42] Например, число решений уравнения над конечным полем отражает топологическую природу его решений над комплексными числами . Вейль понимал, что для доказательства такой связи нужна новая теория когомологий, но ни он, ни какой-либо другой эксперт не видели, как это сделать, пока такая теория не была сформулирована Гротендиком.
Эта программа достигла своей кульминации в доказательствах гипотез Вейля , последняя из которых была доказана учеником Гротендика Пьером Делинем в начале 1970-х годов, после того как Гротендик в значительной степени отошел от математики. [17]
В ретроспективе Гротендика «Récoltes et Semailles» он выделил двенадцать своих вкладов, которые, по его мнению, можно квалифицировать как «великие идеи». [79] В хронологическом порядке они таковы:
Здесь термин «йога» обозначает своего рода «метатеорию», которая может использоваться эвристически; Мишель Рейно пишет другие термины «нить Ариадны» и «философия» как эффективные эквиваленты. [80]
Гротендик писал, что из этих тем самой большой по объему была тема топосов, поскольку они синтезировали алгебраическую геометрию, топологию и арифметику. Наиболее широко разработанной темой были схемы, которые были основой « par excellence » для восьми других тем (всех, кроме 1, 5 и 12). Гротендик писал, что первая и последняя темы, топологические тензорные произведения и регулярные конфигурации, были более скромными по размеру, чем другие. Топологические тензорные произведения играли роль инструмента, а не источника вдохновения для дальнейших разработок; но он ожидал, что регулярные конфигурации не могут быть исчерпаны в течение жизни математика, посвятившего себя им. Он считал, что самыми глубокими темами были мотивы, анабелева геометрия и теория Галуа–Тейхмюллера. [81]
Многие считают Гротендика величайшим математиком двадцатого века. [11] В некрологе Дэвид Мамфорд и Джон Тейт написали:
Хотя математика становилась все более абстрактной и общей на протяжении 20-го века, именно Александр Гротендик был величайшим мастером этого направления. Его уникальным умением было устранить все ненужные гипотезы и зарыться в область так глубоко, что ее внутренние закономерности на самом абстрактном уровне раскрывали себя, а затем, подобно фокуснику, показать, как решение старых проблем выпадало прямолинейными способами теперь, когда их истинная природа была раскрыта. [11]
К 1970-м годам работа Гротендика считалась влиятельной не только в алгебраической геометрии и смежных областях теории пучков и гомологической алгебры [82] , но и в логике, в области категорической логики. [83]
По словам математика Рави Вакиля , «Целые области математики говорят на языке, который он создал. Мы живем в этой большой структуре, которую он построил. Мы принимаем это как должное — архитектор ушел». В той же статье Колин Макларти сказал: «Многие люди сегодня живут в доме Гротендика, не подозревая, что это дом Гротендика». [64]
Гротендик подошел к алгебраической геометрии, прояснив основы этой области и разработав математические инструменты, предназначенные для доказательства ряда примечательных гипотез. Алгебраическая геометрия традиционно подразумевала понимание геометрических объектов, таких как алгебраические кривые и поверхности, посредством изучения алгебраических уравнений для этих объектов. Свойства алгебраических уравнений, в свою очередь, изучаются с использованием методов теории колец . В этом подходе свойства геометрического объекта связаны со свойствами связанного кольца. Пространство (например, действительное, комплексное или проективное), в котором определен объект, является внешним по отношению к объекту, в то время как кольцо является внутренним.
Гротендик заложил новую основу для алгебраической геометрии, сделав внутренние пространства («спектры») и связанные кольца основными объектами изучения. С этой целью он разработал теорию схем , которые неформально можно рассматривать как топологические пространства , на которых коммутативное кольцо связано с каждым открытым подмножеством пространства. Схемы стали основными объектами изучения для практиков современной алгебраической геометрии. Их использование в качестве основы позволило геометрии впитать технические достижения из других областей. [84]
Его обобщение классической теоремы Римана–Роха связало топологические свойства комплексных алгебраических кривых с их алгебраической структурой и теперь носит его имя, называясь «теоремой Гротендика–Хирцебруха–Римана–Роха». Инструменты, которые он разработал для доказательства этой теоремы, положили начало изучению алгебраической и топологической K-теории , которая исследует топологические свойства объектов, связывая их с кольцами. [85] После прямого контакта с идеями Гротендика в Боннском рабочем совете , топологическая K-теория была основана Михаэлем Атья и Фридрихом Хирцебрухом . [86]
Построение Гротендиком новых теорий когомологий , которые используют алгебраические методы для изучения топологических объектов, повлияло на развитие алгебраической теории чисел , алгебраической топологии и теории представлений . В рамках этого проекта его создание теории топосов , теоретико-категорного обобщения топологии точек и множеств , повлияло на области теории множеств и математической логики . [82]
Гипотезы Вейля были сформулированы в конце 1940-х годов как набор математических задач в арифметической геометрии . Они описывают свойства аналитических инвариантов, называемых локальными дзета-функциями , числа точек на алгебраической кривой или многообразии более высокой размерности. Открытие Гротендиком ℓ-адических этальных когомологий , первого примера теории когомологий Вейля , открыло путь для доказательства гипотез Вейля, в конечном итоге завершенного в 1970-х годах его учеником Пьером Делинем . [85] Масштабный подход Гротендика был назван «визионерской программой». [87] Затем ℓ-адические когомологии стали фундаментальным инструментом для теоретиков чисел, с приложениями к программе Ленглендса . [88]
Предполагаемая теория мотивов Гротендика должна была стать «ℓ-адической» теорией, но без выбора «ℓ», простого числа. Она не обеспечила предполагаемого пути к гипотезам Вейля, но стояла за современными разработками в алгебраической K-теории , теории мотивной гомотопии и мотивной интеграции . [89] Эта теория, работа Дэниела Квиллена и теория классов Черна Гротендика считаются фоном для теории алгебраических кобордизмов , другого алгебраического аналога топологических идей. [90]
Акцент Гротендика на роли универсальных свойств в различных математических структурах вывел теорию категорий в русло мейнстрима как организующий принцип для математики в целом. Среди ее применений теория категорий создает общий язык для описания схожих структур и методов, которые можно увидеть во многих различных математических системах. [91] Его понятие абелевой категории теперь является основным объектом изучения в гомологической алгебре . [92] Возникновение отдельной математической дисциплины теории категорий приписывается влиянию Гротендика, хотя и непреднамеренному. [93]
«Полковник Лагримас» ( на английском языке «Слезы полковника» ) — роман пуэрториканско-костариканского писателя Карлоса Фонсеки о Гротендике. [94]
У группы Stone Hill All Stars есть песня, названная в честь Александра Гротендика. [95]
Книга Бенджамина Лабатута « Когда мы перестаем понимать мир» посвящает одну главу работе и жизни Гротендика, представляя его историю ссылкой на японского математика Шиничи Мочизуки . Книга представляет собой слегка беллетризированный рассказ о мире научных исследований и стала финалистом Национальной книжной премии [96]
В романе Кормака Маккарти « Пассажир» и его продолжении «Стелла Марис » главный герой — ученик Гротендика. [97] [98]
Александр Гротендик, возможно, самый важный математик 20-го века...
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ){{cite web}}: CS1 maint: год ( ссылка )Первые 4 главы из незавершённой второй части запланированной четырёхтомной биографии.
