Сноп (математика)

Инструмент для отслеживания локально определенных данных, прикрепленных к открытым наборам топологического пространства.

В математике пучок ( мн.: пучки ) — это инструмент для систематического отслеживания данных (таких как множества , абелевы группы , кольца ) , прикрепленных к открытым множествам топологического пространства и определенных локально по отношению к ним. Например, для каждого открытого набора данными может быть кольцо непрерывных функций, определенных в этом открытом наборе. Такие данные хорошо себя ведут, поскольку их можно ограничить меньшими открытыми наборами, а также данные, присвоенные открытому набору, эквивалентны всем коллекциям совместимых данных, присвоенным коллекциям меньших открытых наборов, охватывающим исходное открытое множество (интуитивно, каждая база данных представляет собой сумму составляющих его данных).

Область математики, изучающая пучки, называется теорией пучков .

Пучки концептуально понимаются как общие и абстрактные объекты . Их правильное определение скорее техническое. Они конкретно определяются, например, как пучки множеств или как пучки колец , в зависимости от типа данных, присвоенных открытым наборам.

Существуют также отображения (или морфизмы ) одного пучка в другой; пучки (определенного типа, например пучки абелевых групп ) со своими морфизмами на фиксированном топологическом пространстве образуют категорию . С другой стороны, каждому непрерывному отображению соответствует как функтор прямого образа , переводящий пучки и их морфизмы на области в пучки и морфизмы на кодобласти , так и функтор обратного образа, действующий в противоположном направлении. Эти функторы и некоторые их варианты являются важной частью теории пучков.

Благодаря своей общей природе и универсальности пучки имеют несколько приложений в топологии, особенно в алгебраической и дифференциальной геометрии . Во-первых, геометрические структуры, такие как дифференцируемое многообразие или схема, могут быть выражены через пучок колец в пространстве. В таких контекстах некоторые геометрические конструкции, такие как векторные расслоения или делители, естественным образом задаются в терминах пучков. Во-вторых, пучки обеспечивают основу для очень общей теории когомологий , которая включает в себя также «обычные» теории топологических когомологий, такие как сингулярные когомологии . Особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий когомологии пучков обеспечивают мощную связь между топологическими и геометрическими свойствами пространств. Пучки также составляют основу теории D -модулей , которая обеспечивает приложения к теории дифференциальных уравнений . Кроме того, обобщения пучков на более общие параметры, чем топологические пространства, такие как топология Гротендика , предоставили приложения к математической логике и теории чисел .

Определения и примеры

Во многих математических разделах несколько структур, определенных в топологическом пространстве (например, дифференцируемое многообразие ) , могут быть естественным образом локализованы или ограничены открытыми подмножествами : типичные примеры включают непрерывные вещественные или комплексные функции, дифференцируемые в - раз (действительнозначные или комплексные) функции. комплекснозначные) функции, ограниченные вещественнозначные функции, векторные поля и сечения любого векторного расслоения в пространстве. Возможность ограничить данные меньшими открытыми подмножествами приводит к появлению концепции предпучков. Грубо говоря, пучки — это те предпучки, в которых локальные данные можно склеить с глобальными данными. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n}$

Предварительные шкивы

Пусть – топологическое пространство. Предварительный пучок наборов состоит из следующих данных: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$

• Для каждого открытого множества существует множество . Это множество также обозначается . Элементы этого набора называются секциями over . Разделы over называются глобальными разделами . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle \Gamma (U,F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$
• Для каждого включения открытых множеств существует функция . Ввиду многих приведенных ниже примеров морфизмы называются морфизмами ограничения . Если , то его ограничение часто обозначают по аналогии с ограничением функций. ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}\colon F(U)\rightarrow F(V)}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{V,U}}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{V,U}(s)}$ ${\displaystyle s|_{V}}$

Морфизмы ограничения должны удовлетворять двум дополнительным ( функториальным ) свойствам:

• Для каждого открытого множества морфизм ограничения является тождественным морфизмом на . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}\colon F(U)\rightarrow F(U)}$ ${\displaystyle F(U)}$
• Если у нас есть три открытых множества , то составное ${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{W,V}\circ {\text{res}}_{V,U}={\text{res}}_{W,U}}$

Неформально вторая аксиома гласит, что не имеет значения, ограничимся ли мы до W за один шаг или ограничимся сначала до V , а затем до W. Краткая функториальная переформулировка этого определения приведена ниже.

Многие примеры предпучков происходят из разных классов функций: любому можно присвоить набор непрерывных вещественных функций на . Тогда карты ограничений просто задаются путем ограничения непрерывной функции на меньшее открытое подмножество , которое снова является непрерывной функцией. Две аксиомы предпучка проверяются сразу, тем самым давая пример предпучка. Это можно расширить до пучка голоморфных функций и пучка гладких функций . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{0}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(-)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(-)}$

Другой распространенный класс примеров — присвоение множеству постоянных вещественных функций на . Этот предпучок называется постоянным предпучком, связанным с ним , и обозначается . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}^{psh}}$

Шкивы

Учитывая предпучок, естественный вопрос, который следует задать, заключается в том, в какой степени его разделы на открытом множестве определяются их ограничениями на открытые подмножества . Пучок — это предпучок , секции которого в техническом смысле однозначно определяются своими ограничениями. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Аксиоматически пучок — это предпучок, который удовлетворяет обеим следующим аксиомам:

1. ( Локальность ) Предположим, что это открытое множество, является открытым покрытием с для всех и являются сечениями. Если для всех , то . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle s,t\in F(U)}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle s=t}$
2. ( Склейка ) Пусть — открытое множество, открытое покрытие с для всех и семейство секций. Если все пары разделов договорились о перекрытии своих доменов, то есть если для всех , то существует раздел такой, что для всех . ^[1] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \{s_{i}\in F(U_{i})\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}=s_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

В обеих этих аксиомах гипотеза об открытой крышке эквивалентна предположению, что . ${\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=U}$

Секция , существование которой гарантируется аксиомой 2, называется склейкой , конкатенацией или сопоставлением секций s _i . По аксиоме 1 оно единственно. Сечения и, удовлетворяющие предварительному условию согласия аксиомы 2, часто называют совместными ; таким образом, аксиомы 1 и 2 вместе утверждают, что любой набор попарно совместимых секций может быть однозначно склеен . Отделенный предпучок или монопредпучок — это предпучок, удовлетворяющий аксиоме 1. ^[2] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{j}}$

Предпучок, состоящий из упомянутых выше непрерывных функций, является пучком. Это утверждение сводится к проверке того, что для данных непрерывных функций , согласованных на пересечениях , существует единственная непрерывная функция , ограничение которой равно . Напротив, постоянный предпучок обычно не является пучком, поскольку он не удовлетворяет аксиоме локальности на пустом множестве (более подробно это объясняется в разделе « Постоянный пучок »). ${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{i}}$

Предшкивы и шкивы обычно обозначаются заглавными буквами, что особенно распространено, предположительно, от французского слова faisceau , обозначающего сноп . Также распространено использование каллиграфических букв, таких как . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Можно показать, что для задания пучка достаточно указать его ограничение на открытые множества базиса топологии лежащего в его основе пространства. Более того, можно также показать, что достаточно проверить приведенные выше аксиомы пучков относительно открытых множеств покрытия. Это наблюдение используется для построения другого примера, имеющего решающее значение в алгебраической геометрии, а именно квазикогерентных пучков . Здесь рассматриваемое топологическое пространство представляет собой спектр коммутативного кольца ${\displaystyle R}$ , точки которого являются простыми идеалами в . Открытые множества составляют основу топологии Зарисского в этом пространстве. Для данного -модуля существует пучок, обозначаемый в Spec , который удовлетворяет условию ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{f}:=\{p\subseteq R,f\notin p\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],}$локализация at .​​ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$

Существует еще одна характеристика пучков, эквивалентная рассмотренной ранее. Предпучок является пучком тогда и только тогда, когда для любого открытого и любого открытого покрытия , является расслоенным произведением . Эта характеристика полезна при построении пучков, например, если это абелевы пучки, то ядро ​​морфизма пучков является пучком, поскольку проективные пределы коммутируют с проективными пределами. С другой стороны, коядро не всегда является пучком, поскольку индуктивный предел не обязательно коммутирует с проективными пределами. Один из способов исправить это — рассмотреть нётеровы топологические пространства; все открытые множества компактны, так что коядро представляет собой пучок, поскольку конечные проективные пределы коммутируют с индуктивными пределами. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (U_{a})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\cong {\mathcal {F}}(U_{a})\times _{{\mathcal {F}}(U_{a}\cap U_{b})}{\mathcal {F}}(U_{b})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$

Дальнейшие примеры

Пучок участков непрерывной карты

Любое непрерывное отображение топологических пространств определяет пучок , полагая ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle \Gamma (Y/X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma (Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s=\operatorname {id} _{U}\}.}$

Любой такой элемент обычно называют разделом , и этот пример является причиной того, что элементы в обычно называются разделами . Эта конструкция особенно важна, когда есть проекция расслоения на его базовое пространство. Например, пучки гладких функций — это пучки сечений тривиального расслоения . Другой пример: пучок секций ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathbb {C} {\stackrel {\exp }{\to }}\mathbb {C} \setminus \{0\}}$

- это пучок, который присваивает любому набору ветвей комплексного логарифма на . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Учитывая точку и абелеву группу , пучок небоскребов определяется следующим образом: если - открытое множество, содержащее , то . Если не содержит , то тривиальная группа . Карты ограничений являются либо тождественными на , если оба открытых множества содержат , либо нулевой картой в противном случае. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{x}(U)=S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{x}(U)=0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Шкивы на коллекторах

На -мерном -многообразии существует ряд важных пучков, таких как пучок -раз непрерывно дифференцируемых функций (с ). Его разделы в некоторых случаях являются -functions . При этот пучок называется структурным пучком и обозначается . Ненулевые функции также образуют пучок, обозначаемый . Дифференциальные формы (степени ) также образуют пучок . Во всех этих примерах морфизмы ограничения задаются ограничивающими функциями или формами. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}^{j}}$ ${\displaystyle j\leq k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{j}}$ ${\displaystyle U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle j=k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega _{M}^{p}}$

Отправка присваивания компактно поддерживаемым функциям не является пучком, поскольку, как правило, нет способа сохранить это свойство путем перехода к меньшему открытому подмножеству. Вместо этого это формирует копучок , двойную концепцию, в которой карты ограничений идут в противоположном направлении, чем в случае с пучками. ^[3] Однако взятие двойственного к этим векторным пространствам действительно дает пучок, пучок распределений . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Предварительные шкивы, которые не являются шкивами

Помимо упомянутого выше постоянного предпучка, который обычно не является пучком, существуют и другие примеры предпучков, которые не являются пучками:

• Пусть – двухточечное топологическое пространство с дискретной топологией. Определите предпучок следующим образом: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle F}$
  $${\displaystyle F(\varnothing )=\{\varnothing \},\ F(\{x\})=\mathbb {R} ,\ F(\{y\})=\mathbb {R} ,\ F(\{x,y\})=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$$
  Карта ограничения — это проекция на его первую координату, а карта ограничения — это проекция на его вторую координату. представляет собой предпучок, который не разделен: глобальный раздел определяется тремя числами, но значения этого раздела определяют только два из этих чисел. Таким образом, хотя мы можем склеить любые две секции и , мы не можем склеить их однозначно. ${\displaystyle F(\{x,y\})\to F(\{x\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(\{x,y\})\to F(\{y\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{y\}}$
• Пусть – действительная прямая , и пусть – множество ограниченных непрерывных функций на . Это не связка, потому что не всегда можно склеить. Например, пусть будет набор всех таких, что . Тождественная функция ограничена на каждом . В результате мы получаем раздел на . Однако эти участки не склеиваются, поскольку функция не ограничена на вещественной прямой. Следовательно, это предпучок, но не пучок. Фактически отделен, поскольку является подпучком пучка непрерывных функций. ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|<i}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Мотивирующие пучки из комплексных аналитических пространств и алгебраической геометрии

Одна из исторических мотиваций для пучков возникла в результате изучения комплексных многообразий , ^[4] комплексной аналитической геометрии , ^[5] и теории схем из алгебраической геометрии . Это связано с тем, что во всех предыдущих случаях мы рассматриваем топологическое пространство вместе со структурным пучком, придающим ему структуру комплексного многообразия, комплексного аналитического пространства или схемы. Эта перспектива оснащения топологического пространства пучком важна для теории локально окольцованных пространств (см. ниже). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Технические проблемы со сложными коллекторами

Одним из главных исторических мотивов введения пучков было создание устройства, отслеживающего голоморфные функции на комплексных многообразиях . Например, на компактном комплексном многообразии (например, комплексном проективном пространстве или исчезающем пространстве в проективном пространстве однородного многочлена ) единственные голоморфные функции ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

являются постоянными функциями. ^{[6] [7]} Это означает, что существуют два компактных комплексных многообразия , которые не изоморфны, но, тем не менее, их кольца глобальных голоморфных функций, обозначаемые , изоморфны. Сравните это с гладкими многообразиями , где каждое многообразие может быть вложено в некоторое , следовательно, его кольцо гладких функций возникает в результате ограничения гладких функций из . Другая сложность при рассмотрении кольца голоморфных функций на комплексном многообразии состоит в том, что при достаточно малом открытом множестве голоморфные функции будут изоморфны . Пучки являются прямым инструментом для решения этой сложности, поскольку они позволяют отслеживать голоморфную структуру в базовом топологическом пространстве на произвольных открытых подмножествах . Это означает, что по мере усложнения топологии кольцо можно выразить склейкой . Обратите внимание, что иногда этот пучок обозначается или просто , или даже когда мы хотим подчеркнуть пространство, с которым связан пучок структур. ${\displaystyle X,X'}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X),{\mathcal {H}}(X')}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)\cong {\mathcal {H}}(\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U_{i})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Отслеживание подмногообразий с помощью пучков

Другой распространенный пример пучков можно построить, рассматривая комплексное подмногообразие . Существует ассоциированный пучок , который принимает открытое подмножество и дает кольцо голоморфных функций на . Этот вид формализма оказался чрезвычайно мощным и мотивирует многие гомологические алгебры, такие как когомологии пучков, поскольку теория пересечений может быть построена с использованием этих видов пучков из формулы пересечения Серра. ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle U\cap Y}$

Операции со связками

Морфизмы

Морфизмы пучков, грубо говоря, аналогичны функциям между ними. В отличие от функции между множествами, которая представляет собой просто присвоение выходных данных входным, морфизмы пучков также должны быть совместимы с локально-глобальными структурами базовых пучков. Эта идея конкретизируется в следующем определении.

Пусть и – два пучка множеств (соответственно абелевых групп, колец и т. д.) на . Морфизм состоит из морфизма множеств (соответственно абелевых групп, колец и т. д.) для каждого открытого множества из при условии, что этот морфизм совместим с ограничениями . Другими словами, для каждого открытого подмножества открытого множества следующая диаграмма коммутативна . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi :F\to G}$ ${\displaystyle \varphi _{U}:F(U)\to G(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}F(U)&\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad } &G(U)\\r_{V,U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }r'_{V,U}\\F(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&G(V)\end{array}}}$

Например, взятие производной дает морфизм пучков на : Действительно, для данной ( -раз непрерывно дифференцируемой) функции (с in open) ограничение (на меньшее открытое подмножество ) ее производной равно производной . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n-1}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f|_{V}}$

С учетом этого понятия морфизма пучки множеств (соответственно абелевы группы, кольца и т. д.) на фиксированном топологическом пространстве образуют категорию . Поэтому к пучкам можно применять общие категориальные понятия моно- , эпи- и изоморфизмов . ${\displaystyle X}$

Морфизм пучков на является изоморфизмом (соответственно мономорфизмом) тогда и только тогда, когда существует открытое накрытие таких , которые являются изоморфизмами (соответственно инъективными морфизмами) множеств (соответственно абелевых групп, колец и т. д.) для всех . Эти утверждения дают примеры того, как работать с пучками, используя локальную информацию, но важно отметить, что мы не можем таким же образом проверить, является ли морфизм пучков эпиморфизмом. Действительно, утверждение о том, что отображения на уровне открытых множеств не всегда сюръективны для эпиморфизмов пучков, эквивалентно неточности функтора глобальных сечений или, что то же самое, нетривиальности пучковых когомологий . ${\displaystyle \varphi \colon F\rightarrow G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi |_{U_{\alpha }}\colon F(U_{\alpha })\rightarrow G(U_{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi _{U}\colon F(U)\rightarrow G(U)}$

Стебли снопа

Стебель пучка фиксирует свойства пучка «вокруг» точки , обобщая зародыши функций . Здесь «вокруг» означает, что, концептуально, мы рассматриваем все меньшие и меньшие окрестности точки. Конечно, ни один отдельный район не будет достаточно маленьким, что требует учета какого-то ограничения. Точнее, стебель определяется как ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),}$

прямой предел распространяется на все открытые подмножества, содержащие данную точку . Другими словами, элемент стебля задается сечением над некоторой открытой окрестностью , и два таких сечения считаются эквивалентными, если их ограничения согласуются на меньшей окрестности. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Естественный морфизм переводит сечение в росток в точке . Это обобщает обычное определение ростка . ${\displaystyle F(U)\to F_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle x}$

Во многих ситуациях знания стеблей снопа достаточно, чтобы контролировать сам сноп. Например, на стеблях можно проверить, является ли морфизм пучков мономорфизмом, эпиморфизмом или изоморфизмом. В этом смысле сноп определяется его стеблями, которые являются локальными данными. Напротив, глобальная информация, представленная в связке, т. е. глобальные разделы , т. е. разделы всего пространства , обычно несут меньше информации. Например, для компактного комплексного многообразия глобальные сечения пучка голоморфных функций равны , поскольку любая голоморфная функция ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle X\to \mathbb {C} }$

постоянна по теореме Лиувилля . ^[6]

Превращение предварительного снопа в сноп

Часто бывает полезно взять данные, содержащиеся в предварительном пучке, и выразить их в виде пучка. Оказывается, есть лучший способ сделать это. Он принимает предпучок и создает новый пучок, называемый сучификацией или пучком, связанным с предпучком . Например, снопирование постоянного предпучка (см. выше) называется постоянным пучком . Несмотря на название, его разделы представляют собой локально постоянные функции. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle F}$

Пучок может быть построен с использованием эталового пространства , а именно как пучок секций карты. ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \mathrm {Spe} (F)\to X.}$

Другое построение пучка происходит с помощью функтора от предпучков к предпучкам, который постепенно улучшает свойства предпучка: для любого предпучка является отделенным предпучком, а для любого отделенного предпучка - это пучок. Соответствующий пучок имеет вид . ^[8] ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle LF}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle LF}$ ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle LLF}$

Идея о том, что пучок является наилучшим приближением пучка, уточняется с помощью следующего универсального свойства : существует естественный морфизм предпучков, так что для любого пучка и любого морфизма предпучков существует единственный морфизм пучков такой, что . Фактически является левым сопряженным функтором к функтору включения (или функтору забывания ) из категории пучков в категорию предпучков и является единицей присоединения. Таким образом, категория пучков превращается в подкатегорию предпучков Жиро . Эта категоричная ситуация является причиной того, что функтор расслоения появляется при построении коядер пучковых морфизмов или тензорных произведений пучков, но не для ядер, скажем. ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle i\colon F\to aF}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f\colon F\to G}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon aF\rightarrow G}$ ${\displaystyle f={\tilde {f}}i}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle i}$

Подшкивы, частные шкивы

Если — подпучок пучка абелевых групп, то факторпучок — это пучок, ассоциированный с предпучком ; другими словами, факторпучок укладывается в точную последовательность пучков абелевых групп; ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)/K(U)}$

${\displaystyle 0\to K\to F\to Q\to 0.}$

(это также называется расширением пучка .)

Пусть – пучки абелевых групп. Множество морфизмов пучков от до образует абелеву группу (по абелевой групповой структуре ). Пучок hom из и , обозначаемый ${\displaystyle F,G}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (F,G)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {Hom}}(F,G)}$

– пучок абелевых групп, где – пучок, заданный (обратите внимание, что пучок здесь не требуется). Прямая сумма и представляет собой пучок, заданный формулой , а тензорное произведение и представляет собой пучок, связанный с предпучком . ${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})}$ ${\displaystyle F|_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (F|_{U})(V)=F(V)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)\oplus G(U)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes G(U)}$

Все эти операции распространяются на пучки модулей над пучком колец ; Вышеупомянутое является частным случаем, когда является постоянным пучком . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Базовая функториальность

Поскольку данные (пред)пучка зависят от открытых подмножеств базового пространства, пучки в разных топологических пространствах не связаны друг с другом в том смысле, что между ними нет морфизмов. Однако, учитывая непрерывное отображение между двумя топологическими пространствами, движение вперед и назад связывает пучки с теми, которые находятся внутри, и наоборот. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Прямое изображение

Продвижение (также известное как прямое изображение ) пучка на - это пучок, определяемый формулой ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(f^{-1}(V)).}$

Вот открытое подмножество , так что его прообраз открыт в силу непрерывности . Эта конструкция восстанавливает упомянутую выше связку небоскребов : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle S_{x}=i_{*}(S)}$

где – включение, и рассматривается как пучок на синглтоне (по . ${\displaystyle i:\{x\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S(\{*\})=S,S(\emptyset )=\emptyset }$

Для отображения локально компактных пространств прямой образ с компактным носителем является подпучком прямого образа. ^[9] По определению, состоит из тех, чья поддержка является собственным отображением над . Если это само по себе, то , но в целом они не согласны. ${\displaystyle (f_{!}{\mathcal {F}})(V)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}}$

Обратное изображение

Обратный образ или обратное изображение идет другим путем: он создает пучок на , обозначенный как выход из связки на . Если – включение открытого подмножества, то прообраз – это всего лишь ограничение, т. е. он задается выражением для открытия в . Пучок (на некотором пространстве ) называется локально постоянным, если по некоторым открытым подмножествам так, что ограничение на все эти открытые подмножества является постоянным. В широком диапазоне топологических пространств такие пучки эквивалентны представлениям фундаментальной группы . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Для общих карт определение более сложное; это подробно описано в функторе обратного изображения . Стебель является существенным частным случаем отступления с точки зрения естественной идентификации, где, как указано выше: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}=i^{-1}{\mathcal {G}}(\{x\}).}$

В более общем плане стебли удовлетворяют требованиям . ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}}$

Расширение на ноль

Для включения открытого подмножества расширение нулем пучка абелевых групп на определяется как ${\displaystyle j:U\to X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (j_{!}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(V)}$если и иначе. ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle (j_{!}{\mathcal {F}})(V)=0}$

Для пучка на эта конструкция является в некотором смысле дополнительной к , где - включение дополнения к : ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}}$для in , в противном случае стебель равен нулю, в то время как ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0}$для in и равно в противном случае. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}}$

Таким образом, эти функторы полезны для сведения вопросов теории пучков к вопросам о стратах стратификации , т. е. разложения на меньшие, локально замкнутые подмножества. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Дополняет

Шкивы в более общих категориях

В дополнение к (предварительным) пучкам, представленным выше, где это просто набор, во многих случаях важно отслеживать дополнительную структуру в этих разделах. Например, сечения пучка непрерывных функций естественным образом образуют вещественное векторное пространство , а ограничение представляет собой линейное отображение между этими векторными пространствами. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

Предпучки со значениями в произвольной категории определяются путем рассмотрения категории открытых множеств как предполагаемой категории, объекты которой являются открытыми множествами и чьи морфизмы являются включениями. Тогда -значный предпучок на то же самое, что контравариантный функтор от до . Морфизмы в этой категории функторов, также известные как естественные преобразования , такие же, как морфизмы, определенные выше, как можно увидеть, разгадав определения. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O(X)}$ ${\displaystyle C}$

Если целевая категория допускает все пределы , то предпучок со значениями является пучком, если следующая диаграмма является эквалайзером для каждого открытого покрытия любого открытого множества : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle F(U)\rightarrow \prod _{i}F(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Здесь первая карта является произведением карт ограничений

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i},U}\colon F(U)\rightarrow F(U_{i})}$

а пара стрелок — произведения двух наборов ограничений

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}\colon F(U_{i})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j})}$

и

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Если — абелева категория , это условие можно также перефразировать, потребовав, чтобы существовала точная последовательность ${\displaystyle C}$

${\displaystyle 0\to F(U)\to \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Частный случай этого условия связки возникает, когда набор пуст, а набор индексов также пуст. В этом случае условие связки должно быть конечным объектом в . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\emptyset )}$ ${\displaystyle C}$

Окольцованные пространства и пучки модулей

В некоторых геометрических дисциплинах, включая алгебраическую геометрию и дифференциальную геометрию , пространства сопровождаются естественным пучком колец, часто называемым структурным пучком и обозначаемым . Такая пара называется кольцевым пространством . Многие типы пространств можно определить как определенные типы кольцевых пространств. Обычно все стебли структурного пучка являются локальными кольцами , и в этом случае пара называется локально окольцованным пространством . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Например, -мерное многообразие — это локально окольцованное пространство, структурный пучок которого состоит из -функций на открытых подмножествах . Свойство быть локально окольцованным пространством приводит к тому, что такая функция, отличная от нуля в точке , также отлична от нуля на достаточно малой открытой окрестности точки . Некоторые авторы фактически определяют вещественные (или комплексные) многообразия как локально окольцованные пространства, локально изоморфные паре, состоящей из открытого подмножества (соответственно ) вместе с пучком (соответственно голоморфных) функций. ^[10] Точно так же схемы , основополагающее понятие пространств в алгебраической геометрии, представляют собой локально окольцованные пространства, которые локально изоморфны спектру кольца . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Для данного кольцевого пространства пучок модулей — это такой пучок , что на каждом открытом множестве , является -модулем и для каждого включения открытых множеств карта ограничения совместима с картой ограничения : ограничение fs является ограничением раз больше, чем для любого in и in . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)\to {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$

Наиболее важными геометрическими объектами являются пучки модулей. Например, существует взаимно однозначное соответствие между векторными расслоениями и локально свободными пучками -модулей . Эта парадигма применяется к вещественным векторным расслоениям, комплексным векторным расслоениям или векторным расслоениям в алгебраической геометрии (где состоят из гладких функций, голоморфных функций или регулярных функций соответственно). Пучки решений дифференциальных уравнений являются -модулями , т. е. модулями над пучком дифференциальных операторов . В любом топологическом пространстве модули над постоянным пучком — это то же самое, что пучки абелевых групп в указанном выше смысле. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Для пучков модулей над пучками колец существует другой функтор обратного образа. Этот функтор обычно обозначается и отличается от . См. функтор обратного изображения . ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

Условия конечности пучков модулей.

Условия конечности модуля над коммутативными кольцами порождают аналогичные условия конечности для пучков модулей: называется конечно порожденным (соответственно конечно представленным ), если для каждой точки существует открытая окрестность , натуральное число (возможно, зависящее от ), и сюръективный морфизм пучков (соответственно кроме натурального числа и точной последовательности ). Параллельный понятию когерентного модуля , называется когерентным пучком, если он имеет конечный тип и если для любого открытого множества и любого морфизма пучков (не обязательно сюръективных), ядро ​​имеет конечный тип. когерентен , если он когерентен как модуль над собой. Как и в случае с модулями, связность, как правило, является более строгим условием, чем конечное представление. Теорема Оки о когерентности утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексном многообразии когерентен. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}\to {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Этальное пространство связки

В приведенных выше примерах было отмечено, что некоторые пучки естественным образом возникают как пучки сечений. Фактически, все пучки множеств можно представить как пучки секций топологического пространства, называемого étalé space , от французского слова étalé [etale] , что примерно означает «распространённый». Если является пучком над , то этальное пространство (иногда называемое этальным пространством ) является топологическим пространством вместе с локальным гомеоморфизмом таким , что пучок сечений есть . Пространство обычно очень странное, и даже если пучок возникает из естественной топологической ситуации, он может не иметь какой-либо четкой топологической интерпретации. Например, если — пучок сечений непрерывной функции , то тогда и только тогда, когда — локальный гомеоморфизм . ${\displaystyle F\in {\text{Sh}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \Gamma (\pi ,-)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle E=Y}$ ${\displaystyle f}$

Этальное пространство построено из стеблей над . Как набор, это их непересекающееся объединение и очевидное отображение, принимающее значение на ножке over . Топология определяется следующим образом. Для каждого элемента и каждого мы получаем росток at , обозначаемый или . Эти микробы определяют точки . Для любого и объединение этих точек (для всех ) объявляется открытым в . Обратите внимание, что каждый стебель имеет дискретную топологию как топологию подпространства. Два морфизма между пучками определяют непрерывное отображение соответствующих этальных пространств, совместимое с отображениями проекций (в том смысле, что каждый росток отображается в росток над той же точкой). Это превращает конструкцию в функтор. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [s]_{x}}$ ${\displaystyle s_{x}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle E}$

Приведенная выше конструкция определяет эквивалентность категорий между категорией пучков множеств на и категорией этальных пространств над . Построение этального пространства также можно применить к предпучку, и в этом случае пучок сечений этального пространства восстанавливает пучок, связанный с данным предпучком. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Эта конструкция превращает все пучки в представимые функторы на определенных категориях топологических пространств. Как и выше, пусть – пучок на , пусть – его этальное пространство, и пусть – естественная проекция. Рассмотрим надкатегорию топологических пространств над , т. е. категорию топологических пространств вместе с фиксированными непрерывными отображениями в . Каждый объект этой категории является непрерывным отображением , а морфизм из в является непрерывным отображением , которое коммутирует с двумя отображениями в . Существует функтор ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle {\text{Top}}/X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle Z\to X}$ ${\displaystyle Y\to Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma :{\text{Top}}/X\to {\text{Sets}}}$

отправка объекта в . Например, если есть включение открытого подмножества, то ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f^{-1}F(Y)}$ ${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(U)=F(U)=\Gamma (F,U)}$

а для включения точки , то ${\displaystyle i:\{x\}\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(\{x\})=F|_{x}}$

это стебель at . Существует естественный изоморфизм ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )}$,

который показывает, что (для эталового пространства) представляет функтор . ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle E}$построено так, что карта проекции является покрывающей. В алгебраической геометрии естественный аналог накрывающего отображения называется этальным морфизмом . Несмотря на сходство с «étalé», слово étale [etal] во французском языке имеет другое значение. В схему и в морфизм схем можно превратиться так, что он сохранит то же универсальное свойство, но, вообще говоря, не будет этальным морфизмом, поскольку не является квазиконечным. Однако формально оно является этальным . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Определение пучков этальными пространствами старше определения, данного ранее в статье. Это все еще распространено в некоторых областях математики, таких как математический анализ .

Когомологии пучков

В контекстах, где открытое множество фиксировано, а пучок рассматривается как переменная, множество также часто обозначается ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle \Gamma (U,F).}$

Как отмечалось выше, этот функтор не сохраняет эпиморфизмов. Вместо этого эпиморфизм пучков представляет собой отображение, обладающее следующим свойством: для любого сечения существует покрытие, где ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$

${\displaystyle U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$

открытых подмножеств, таких, что ограничение находится в образе . Однако сам по себе не обязательно должен быть по образу . Конкретным примером этого явления является экспоненциальная карта ${\displaystyle g|_{U_{i}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{i})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}{\stackrel {\exp }{\to }}{\mathcal {O}}^{\times }}$

между пучком голоморфных функций и ненулевыми голоморфными функциями. Это отображение является эпиморфизмом, который означает, что любая ненулевая голоморфная функция (скажем, на некотором открытом подмножестве в ) допускает комплексный логарифм локально , т. е. после ограничения на соответствующие открытые подмножества. Однако не обязательно иметь глобальный логарифм. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Когомологии пучков фиксируют это явление. Точнее, для точной последовательности пучков абелевых групп

${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1}\to {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}\to 0,}$

(т.е. эпиморфизм с ядром ), существует длинная точная последовательность ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$

$${\displaystyle 0\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{1})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{2})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{2})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{2}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to \dots }$$

${\displaystyle H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{3}}$

Существует несколько различных способов построения пучковых когомологий. Гротендик (1957) ввел их , определив когомологии пучков как производный функтор . Этот метод теоретически удовлетворительен, но, поскольку он основан на инъективном разрешении , малопригоден для конкретных вычислений. Резолюции Годемента — еще один общий, но практически недоступный подход. ${\displaystyle \Gamma }$

Вычисление пучковых когомологий

Когомологии пучков часто можно вычислить, особенно в контексте пучков на многообразиях, используя разрешения мягких пучков , тонких пучков и дряблых пучков (также известных как вялые пучки от французского flasque, означающего дряблый). Например, разбиение аргумента единицы показывает, что пучок гладких функций на многообразии является мягким. Высшие группы когомологий исчезают для мягких пучков, что дает возможность вычислить когомологии других пучков. Например, комплекс де Рама является разрешением постоянного пучка на любом гладком многообразии, поэтому когомологии пучка равны его когомологиям де Рама . ${\displaystyle H^{i}(U,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$

Другой подход – когомологии Чеха . Когомологии Чеха были первой теорией когомологий, разработанной для пучков, и она хорошо подходит для конкретных вычислений, таких как вычисление когерентных когомологий пучков комплексного проективного пространства . ^[11] Он связывает разделы об открытых подмножествах пространства с классами когомологий в пространстве. В большинстве случаев когомологии Чеха вычисляют те же группы когомологий, что и производные когомологии функторов. Однако для некоторых патологических пространств когомологии Чеха дадут правильные, но неправильные группы высших когомологий. Чтобы обойти эту проблему, Жан-Луи Вердье разработал гиперпокрытия . Гиперпокрытия не только дают правильные группы высших когомологий, но и позволяют заменить упомянутые выше открытые подмножества некоторыми морфизмами из другого пространства. Эта гибкость необходима в некоторых приложениях, таких как построение смешанных структур Ходжа Пьера Делиня . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H^{1}}$

Многие другие группы когерентных пучков когомологий находятся с помощью вложения пространства в пространство с известными когомологиями, такими как , или некоторое взвешенное проективное пространство . Таким образом, известные группы пучковых когомологий на этих объемлющих пространствах могут быть связаны с пучками , давая . Например, легко найти когерентные когомологии пучков проективных плоских кривых . Одной из больших теорем в этом пространстве является разложение Ходжа , найденное с использованием спектральной последовательности, связанной с пучковыми группами когомологий , доказанное Делинем. ^{[12] [13]} По сути, страница с терминами ${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle H^{i}(Y,i_{*}{\mathcal {F}})\cong H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,\Omega _{X}^{q})}$

пучковых когомологий гладкого проективного многообразия вырождается, что означает . Это дает каноническую структуру Ходжа на группах когомологий . Позже было обнаружено, что эти группы когомологий можно легко вычислить явно, используя вычеты Гриффитса . См. якобианский идеал . Теоремы такого рода приводят к одной из самых глубоких теорем о когомологиях алгебраических многообразий, теореме о разложении , прокладывающей путь для смешанных модулей Ходжа . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$ ${\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {C} )}$

Другим чистым подходом к вычислению некоторых групп когомологий является теорема Бореля-Ботта-Вейля , которая идентифицирует группы когомологий некоторых линейных расслоений на многообразиях флагов с неприводимыми представлениями групп Ли . Эту теорему можно использовать, например, для легкого вычисления групп когомологий всех линейных расслоений на проективном пространстве и грассмановых многообразиях .

Во многих случаях существует теория двойственности пучков, обобщающая двойственность Пуанкаре . См. двойственность Гротендика и двойственность Вердье .

Производные категории пучков

Производная категория категории пучков, скажем, абелевых групп на некотором пространстве X , обозначенная здесь как , является концептуальным убежищем для пучковых когомологий в силу следующего соотношения: ${\displaystyle D(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} ,{\mathcal {F}}[n]).}$

Присоединение между , которое является левым сопряженным (уже на уровне пучков абелевых групп), порождает присоединение ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle f^{-1}:D(Y)\rightleftarrows D(X):Rf_{*}}$(для ), ${\displaystyle f:X\to Y}$

где – производный функтор. Этот последний функтор включает в себя понятие пучковых когомологий, поскольку для . ${\displaystyle Rf_{*}}$ ${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

Подобно , также может быть получено прямое изображение с компактной поддержкой . В силу следующего изоморфизма параметризует когомологии с компактным носителем слоев : ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle Rf_{!}F}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (R^{i}f_{!}F)_{y}=H_{c}^{i}(f^{-1}(y),F).}$^[14]

Этот изоморфизм является примером теоремы о замене базы . Есть еще одно дополнение

${\displaystyle Rf_{!}:D(X)\rightleftarrows D(Y):f^{!}.}$

В отличие от всех рассмотренных выше функторов, скрученный (или исключительный) функтор обратного образа, вообще говоря, определяется только на уровне производных категорий , т. е. функтор не получается как производный функтор некоторого функтора между абелевыми категориями. Если и X — гладкое ориентируемое многообразие размерности n , то ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

${\displaystyle f^{!}{\underline {\mathbf {R} }}\cong {\underline {\mathbf {R} }}[n].}$^[15]

Это вычисление и совместимость функторов с двойственностью (см. двойственность Вердье ) могут быть использованы для получения интеллектуального объяснения двойственности Пуанкаре . В контексте квазикогерентных пучков схем существует аналогичная двойственность, известная как когерентная двойственность .

Перверсивные пучки — это некоторые объекты в , т. е. комплексы пучков (а не собственно пучки вообще). Они являются важным инструментом для изучения геометрии особенностей . ^[16] ${\displaystyle D(X)}$

Производные категории когерентных пучков и группа Гротендика.

Другое важное применение производных категорий пучков связано с производной категорией когерентных пучков на схеме , обозначенной . Это было использовано Гротендиком в его разработке теории пересечений ^[17] с использованием производных категорий и K-теории , что продукт пересечения подсхем представлен в K-теории как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{Coh}(X)}$ ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]\cdot [Y_{2}]=[{\mathcal {O}}_{Y_{1}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{Y_{2}}]\in K({\text{Coh(X)}})}$

где - когерентные пучки, определяемые -модулями, заданными их структурными пучками . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y_{i}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Сайты и топои

Гипотезы Вейля Андре Вейля утверждали , что существует теория когомологий для алгебраических многообразий над конечными полями , которая дает аналог гипотезы Римана . Когомологии комплексного многообразия можно определить как пучковые когомологии локально постоянного пучка в евклидовой топологии, что предполагает определение теории когомологий Вейля в положительной характеристике как пучковых когомологий постоянного пучка. Но единственной классической топологией такого многообразия является топология Зарисского , а в топологии Зарисского очень мало открытых множеств, настолько мало, что когомологии любого постоянного Зарисского пучка на неприводимом многообразии обращаются в нуль (кроме нулевой степени). Александр Гротендик решил эту проблему, введя топологии Гротендика , которые аксиоматизируют понятие покрытия . Идея Гротендика заключалась в том, что определение пучка зависит только от открытых множеств топологического пространства, а не от отдельных точек. Как только он аксиоматизировал понятие покрытия, открытые множества можно было заменить другими объектами. Предварительный пучок переносит каждый из этих объектов в данные, как и раньше, и пучок — это предпучок, который удовлетворяет аксиоме склейки в отношении нашего нового понятия покрытия. Это позволило Гротендику определить этальные когомологии и ℓ-адические когомологии , которые в конечном итоге были использованы для доказательства гипотез Вейля. ${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }}}$

Категория с топологией Гротендика называется сайтом . Категория пучков на участке называется топосом или топосом Гротендика . Понятие топоса позже было абстрагировано Уильямом Ловером и Майлзом Тирни для определения элементарного топоса , который имеет связи с математической логикой .

История

Первые истоки теории пучков трудно определить – они могут совпадать с идеей аналитического продолжения ^{[ нужны разъяснения ]} . Потребовалось около 15 лет, чтобы на основе основополагающих работ по когомологиям возникла узнаваемая, самостоятельная теория пучков .

• 1936 Эдуард Чех представляет нервную конструкцию, позволяющую связать симплициальный комплекс с открытым покрытием.
• 1938 Хасслер Уитни дает «современное» определение когомологий, подводя итог работе, проведенной с тех пор, как Дж. У. Александер и Колмогоров впервые определили коцепи .
• 1943 Норман Стинрод публикует статью о гомологии с локальными коэффициентами . ^[18]
• 1945 Жан Лере публикует работу, выполненную в качестве военнопленного , мотивированную доказательством теорем о неподвижной точке для применения в теории PDE ; это начало теории пучков и спектральных последовательностей . ^[19]
• 1947 Анри Картан опровергает теорему де Рама методами связки в переписке с Андре Вейлем (см. Теорему Де Рама – Вейля ). Лере в своих курсах дает определение связки через закрытые множества (более поздние панцири ).
• 1948 г. На семинаре Картана впервые излагается теория пучков.
• 1950 Теория связки «второго издания» семинара Картана: используется определение пространства связки ( espace étalé ) со стебельчатой ​​структурой. Вводятся носители и когомологии с носителями. Непрерывные отображения порождают спектральные последовательности. В то же время Киёси Ока вводит идею (смежную с ней) пучка идеалов в нескольких комплексных переменных .
• 1951 г. Семинар Картана доказывает теоремы А и Б , основанные на работе Оки.
• 1953. Картан и Жан-Пьер Серр доказали теорему конечности для когерентных пучков в аналитической теории ^[20] , а также двойственность Серра .
• 1954 г. В статье Серра Faisceaux algébriques cohérents ^[21] (опубликованной в 1955 г.) пучки вводятся в алгебраическую геометрию . Эти идеи немедленно использовал Фридрих Хирцебрух , написавший в 1956 году большую книгу о топологических методах.
• 1955 Александр Гротендик на лекциях в Канзасе определяет абелеву категорию и предпучок и с помощью инъективных резолюций позволяет напрямую использовать когомологии пучков во всех топологических пространствах в качестве производных функторов .
• 1956 г. Доклад Оскара Зариски « Алгебраическая теория пучков» ^[22]
• 1957 г. В статье Гротендика в Тохоку ^[23] переписана гомологическая алгебра ; он доказывает двойственность Гротендика (т. е. двойственность Серра для возможно сингулярных алгебраических многообразий).
• 1957 г. и далее: Гротендик расширяет теорию пучков в соответствии с потребностями алгебраической геометрии, вводя: схемы и общие пучки на них, локальные когомологии , производные категории (с Вердье) и топологии Гротендика . Возникает также его влиятельная схематическая идея « шести операций » в гомологической алгебре.
• 1958 г. Опубликована книга Роджера Годемана по теории пучков. Примерно в это же время Микио Сато предлагает свои гиперфункции , которые, как окажется, имеют теоретико-связочную природу.

В этот момент пучки стали основной частью математики, использование которой ни в коем случае не ограничивалось алгебраической топологией . Позднее было обнаружено, что логика в категориях пучков является интуиционистской логикой (это наблюдение сейчас часто называют семантикой Крипке–Джойала , но, вероятно, следует приписать ряду авторов).

Смотрите также

• Когерентный пучок
• Гербе
• Стек (математика)
• Сноп спектров
• Извращенная связка
• Предварительный пучок пространств
• Конструктивная связка
• Теорема Де Рама

Примечания

1. Эйзенбуд, Дэвид; Харрис, Джо (6 апреля 2006 г.), Геометрия схем , GTM , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer, стр. 11–18, ISBN. 978-0-387-22639-2
2. Теннисон, BR (1975), Теория пучка , Cambridge University Press , MR  0404390
3. Бредон (1997, Глава V, §1)
4. Демайи, Жан-Пьер. «Сложная аналитическая и дифференциальная геометрия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 28 августа 2020 года.
5. Картан, Анри. «Аналитические комплексы и когомологии разнообразия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 8 октября 2020 года.
6. «Дифференциальная геометрия. Голоморфные функции на комплексном компактном многообразии являются только константами». Математический обмен стеками . Проверено 7 октября 2020 г.
7. Хоули, Ньютон С. (1950). «Теорема о компактных комплексных многообразиях». Анналы математики . 52 (3): 637–641. дои : 10.2307/1969438. JSTOR  1969438.
8. СГА 4 II 3.0.5
9. Иверсен (1986, Глава VII)
10. Раманан (2005)
11. Хартсхорн (1977), Теорема III.5.1.
12. Делинь, Пьер (1971). «Теория де Ходж: II». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 40 :5–57. дои : 10.1007/BF02684692. S2CID  118967613.
13. Делинь, Пьер (1974). «Теория де Ходж: III». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 44 : 5–77. дои : 10.1007/BF02685881. S2CID  189777706.
14. Иверсен (1986, глава VII, теорема 1.4)
15. Кашивара и Шапира (1994, глава III, §3.1)
16. де Катальдо и Мильорини (2010)
17. Гротендик. «Формализм пересечений в собственных алгебраических схемах».
18. Стинрод, штат Нью-Йорк (1943). «Гомология с локальными коэффициентами». Анналы математики . 44 (4): 610–627. дои : 10.2307/1969099. JSTOR  1969099.
19. Дьедонне, Жан (1989). История алгебраической и дифференциальной топологии 1900–1960 гг . Биркхойзер. стр. 123–141. ISBN 978-0-8176-3388-2.
20. Картан, Анри; Серр, Жан-Пьер (1953). «Теорема конечности, касающаяся компактных аналитических разновидностей». Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris . 237 : 128–130. Збл  0050.17701.
21. Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents» (PDF) , Annals of Mathematics , Вторая серия, 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969915, MR  0068874
22. Зариски, Оскар (1956), «Научный отчет о втором летнем институте, несколько комплексных переменных. Часть III. Теория алгебраических пучков», Бюллетень Американского математического общества , 62 (2): 117–141, doi : 10.1090/S0002 -9904-1956-10018-9 , ISSN  0002-9904
23. Гротендик, Александр (1957), "Sur quelques point d'algèbre homologique", The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN  0040-8735, MR  0102537

Рекомендации

• Бредон, Глен Э. (1997), Теория пучков , Тексты для выпускников по математике, том. 170 (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94905-5, МР  1481706(ориентирован на традиционные топологические приложения)
• де Катальдо, Андреа Марк; Мильорини, Лука (2010). «Что такое извращенный сноп?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 57 (5): 632–4. arXiv : 1004.2983 . Бибкод : 2010arXiv1004.2983D. МР  2664042.
• Годеман, Роджер (2006) [1973], Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Париж: Hermann, ISBN 2705612521, МР  0345092
• Гротендик, Александр (1957), «Sur quelques point d'algèbre homologique», The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN  0040-8735, MR  0102537
• Хирцебрух, Фридрих (1995), Топологические методы в алгебраической геометрии , Классика математики, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58663-0, МР  1335917(обновленное издание классической книги, в котором использовано достаточно теории снопов, чтобы показать ее силу)
• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN 3-540-16389-1, МР  0842190
• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (1994), Пучки на многообразиях , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], том. 292, Шпрингер-Верлаг, ISBN 978-3-540-51861-7, МР  1299726(продвинутые методы, такие как производная категория и исчезающие циклы в наиболее разумных пространствах)
• Мак Лейн, Сондерс ; Мурдейк, Ике (1994), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса , Universitext, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97710-2, МР  1300636(подчеркнуты теория категорий и топосы)
• Мартин, Уильям Т.; Черн, Шиинг-Шен ; Зариски, Оскар (1956), «Научный отчет о Втором летнем институте, несколько комплексных переменных», Бюллетень Американского математического общества , 62 (2): 79–141, doi : 10.1090/S0002-9904-1956-10013-X , ISSN  0002-9904, МР  0077995
• Раманан, С. (2005), Глобальное исчисление , Аспирантура по математике, том. 65, Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/gsm/065, ISBN. 0-8218-3702-8, МР  2104612
• Сибах, Дж. Артур ; Зеебах, Линда А.; Стин, Линн А. (1970), «Что такое пучок», American Mathematical Monthly , 77 (7): 681–703, doi : 10.1080/00029890.1970.11992563, MR  0263073, S2CID  203043621
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents» (PDF) , Annals of Mathematics , Вторая серия, 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969915, MR  0068874
• Свон, Ричард Г. (1964), Теория пучков , Чикагские лекции по математике (3-е изд.), University of Chicago Press , ISBN 9780226783291(краткие конспекты лекций)
• Теннисон, Барри Р. (1975), Теория пучков, Серия лекций Лондонского математического общества, том. 20, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-20784-3, МР  0404390(педагогическое лечение)
• Росиак, Дэниел (2022). Теория снопов на примерах. Кембридж, Массачусетс. дои : 10.7551/mitpress/12581.001.0001. ISBN 978-0-262-37042-4. OCLC  1333708310. S2CID  253133215.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)(вводная книга в открытом доступе)